Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Валентин Подвысоцкий
Уравнение:
|
X4 + TX2 + PX + Q = 0 |
(1) |
имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.
Известно, что:
|
X1 + X2 + X3 + X4 = 0, |
(2) |
|
X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T, |
(3) |
|
X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P, |
(4) |
|
X1X2X3X4 = Q. |
(5) |
Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
|
X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2, |
(6) |
|
(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P. |
(7) |
Составляем квадратное уравнение:
|
Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0, |
(8) |
где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.
Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:
Y2 – (T + A)Y + Q = 0.
Решая уравнение (8) получаем:
|
X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2), |
(9) |
|
X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2). |
(10) |
Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
|
X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. |
(11) |
Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:
|
X1X2 – X3X4 = Р/А1/2. |
(12) |
Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем
|
P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. |
(13) |
Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:
|
A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. |
(14) |
Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:
|
X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0, |
(15) |
|
X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0. |
(16) |
Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
|
X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0, |
(17) |
|
X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0. |
(18) |
Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.n-t.org/
| Высшая математика для менеджеров | |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ... x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0. Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа |
| Математические основы теории систем | |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление 1 Введение 3 Объект и устройство 3 Задачи управления 4 Матричный формализм в теории систем 6 Линейные операторы 6 Инвариантное ... вектор выхода x=[x1,x2,...,xm]T Уравнение входа для одномерной системы представляет собой скалярное алгебраическое уравнение |
Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
| Контрольные задания для заочников по математике | |
|
Министерство образования Российской Федерации государственный технический университет МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольные задания для ... 41. (x2+y2) 2 = 2(x2-y2); 42. (x2+y2) 2 = 4xy; i3x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 5, i x1+2x2+ x3+6x4+ x5=4, |
Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа |
| Основы анализа и синтеза комбинационных логических устройств | |
|
Министерство образования Российской Федерации Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева Новомосковский институт Основы ... Представить в СДНФ логическую функцию пяти аргументов f(x1,x2,x3,x4,x5), равную единице на следующих четырех наборах x1 x2 x3 x4 x5 U x1 x2 x3 x4 x5 U x1 x2 x3 x4 x5 U x1 x2 x3 x4 x5 |
Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: учебное пособие |
| Нечеткие множества в системах управления | |
|
В. Я. Пивкин, Е. П. Бакулин, Д. И. Кореньков Нечеткие множества в системах управления Под редакцией доктора технических наук, профессора Ю.Н ... Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей: |
Раздел: Рефераты по логике Тип: реферат |