Г Л А В А  3  МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС.

 Состав, структура, схема.

Идея сбалансированности  является  основой  всякого рационального хозяйствования.

Рассмотрим схему народного хозяйства,  состоящую из n отраслей, каждая из которых выпускает свой продукт.

В народнохозяйственном механизме все отрасли связаны  между собой. Поэтому часть продукции, произведенной i-ой отраслью, потребляется (затрачивается) при функционировании j-ой отраслью. Пусть xij - величина продукции i-ой отрасли затрачиваемой (используемой) j-ой отраслью.  Кроме того, потребителями продукции i-ой отрасли является население и непроизводственные сферы (коммунальные хозяйства,  культурно-просветительные учреждения, сфера услуг и т.п.).

Пусть далее,  vj  -  объем  конечного  продукта j-ой отрасли.  Очевидно,  он включает dj - непроизводственное потребление (включая вложения в  непроизводственные фонды) и bj  - накопления производственных фондов.

Пусть далее,  wj - общий объем производства j-ой отрасли, тогда имеем следующие соотношения:

                                                                     wj    = uj   +   vj       j = 1, 2, ..., n,                                        (3.1)

     где

                                                                                                  n

                                                                                        uj =  å xij

                                                                                                 i=1

общее промышленное и производственное потребление, далее:

                                                                                   vj   = dj    +    bj,

где vj  - непроизводственное потребление и накопление.

В принципе формула (3.1) представляет математическую модель  межотраслевого баланса в сфере потребления.

Изложенный формализм межотраслевого баланса можно представить в виде таблицы:

В рассмотренной схеме межотраслевого баланса четко выделяется матрица:

                                                                             x11  x12  ...  x1n ö

                                                                             ........................ ÷

                                                                             xn1  xn2  ...  xnn ø

которая может быть представлена как в натуральном исчислении (тонны,  штуки, экземпляры и т.п.),  так и в стоимостной форме (в каких-то базовых  неизменных ценах). Наиболее часто используемой формой является стоимостная.

Отрасль можно анализировать не только с точки  зрения  распределения  ее продукции, но и с точки зрения затрат на производство в данной отрасли.  Пусть в этом случае,  в i-ой отрасли имеются затраты на заработную плату  zi  ,  кроме этого в балансе необходимо предусмотреть доход Di (i = 1, 2, ..., n). Тогда баланс по затратам будет иметь для i-ой отрасли следующий вид:

                                                                             n

                                                                  wi  = å xki   + zi   + i,      (i = 1, 2, ..., n),

                                                                          k=1

т.е. стоимость продукции i-ой отрасли равна стоимости  продукции,  затраченной от всех n отраслей, плюс заработная плата и доход от реализации продукции этой отрасли.

     Совокупность величин v1,  v2, ..., vn представляет собой национальный доход в его отраслевой структуре, а

                                                                                n

                                                    å vk   - суммарный национальный доход.

                                                                             k=1

Представленные балансовые  соотношения позволяют рассчитать важнейшие характеристики - коэффициенты прямых и полных затрат и др.

Введем определение коэффициента прямых затрат в виде соотношения:

                                                                  aij = xij / wj  ,     или      xij = aijwj   .

Подставляя последнее соотношение в (3.1) получим:

                                                                                          n

                                                                              wj  =  å ajk  wk   + vj

                                                                                        k=1

или в векторной форме:

                                                                                     w = Aw + v                                                   (3.2)

Таким образом,  имеем систему n линейных уравнений с n  неизвестными: объемами производства  (wj) и объемами конечного продукта (vj).  Исходя из этой системы можно осуществить увязку потребностей и различного  рода  ресурсов  в рамках всего народного хозяйства.

                                        n                                               n

По определению åaij<1, что равносильно åxij < xj. Это означает, что затраты на продукцию

                                i=1                                            i=1

j-ой отрасли превышают затраты труда на средства производства, поставляемые j-ой отрасли из других отраслей.

Когда строго соблюдаются поставки средств производства по затратам труда, т.е. имеет место устойчивая экономика, указанное выше неравенство соблюдается и следовательно матрица (I - A) имеет обратную, т.е. существует матрица:

                                                                                      (I - A) -1 ,

и система (3.2) имеет единственное решение. Если элементы вектора w не связаны дополнительными  ограничениями,  то  решение  системы является оптимальным. Имеется в виду такой экономный или  оптимальный  план  w,  который удовлетворяет конечный спрос при минимальных затратах труда.

Это безусловно возможно,  если каким-либо способом определены n неизвестных вектора v.  С целью уменьшения количества неизвестных,  как правило, проводится большая работа во многих сферах потребления и составляются прогнозы различных сторон жизни общества:  политической,  демографической,  ресурсной, потребностей населения в различных продуктах и т.п.  Исходя из этих  прогнозов оцениваются значения величин (объемов) конечного продукта,  описываемых

вектором v.

Пусть себестоимость  производства  одной единицы продукции j-ой отрасли будет равна cj .  Тогда общие народнохозяйственные расходы выражаются  соотношением:

                                                                                                 n

                                                                                       L =  å cjxj.

                                                                                               j=1

Ставится следующая задача оптимизации плана X 0, когда:

                                                                                   (I - A)X Y,

а линейная форма L обращается в минимум.

Таким образом, приходим к так называемой статической модели межотраслевого баланса.

Очевидно, что условиям задачи  может  удовлетворять  множество  наборов значений xi (i = 1,2, ..., n). Каждый такой набор носит название допустимого решения (стратегии, управления, плана). То решение, которое доставляет минимум целевой функции (линейной форме L) называется оптимальным.

Все соотношения в  представленной  задаче  являются  линейными  относительно xi (i= 1, 2,  ..., n). Поэтому такого типа задачи носят название линейных, а так как идет поиск оптимального плана (программы),  то и тип задач  называется линейным программированием.

Поиск решения задачи межотраслевого баланса путем обращения матрицы (I - A) в различных аспектах был предложен Леонтьевым В., и в научных кругах задача с матрицей (I - A) называется задачей Леонтьева.

Матрица A получила название матрицы Леонтьева. Матрица (I - A)-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат. Основной результат межотраслевого анализа может быть сформулирован в виде матричного равенства:

                                                                             w = (I - A)-1 v .                                             (3.3)

Матрица A называется продуктивной, если матрица (I - A)-1 ³ 0 (положительная). Нормой матрицы A назовем максимум сумм элементов ее столбцов. Она обозначается ||A||. Можно доказать что, если A положительная матрица и ||A|| £ 1, причем хотя бы для одного столбца сумма его элементов строго меньше 1, то A будет продуктивной матрицей.

Рассмотрим пример. Пусть имеем экономику двух отраслей, представленную данными следующей таблицы.

Разделим  данные каждого столбца этой таблицы на объем производства соответствующей отрасли, получим следующую таблицу.

Поскольку технологии, т.е. состав оборудования и количество металла и энергии на один рубль производимой продукции, будут меняться слабо, то особый интерес представляет матрица межотраслевых связей, представляющая данные первых двух столбцов указанной таблицы, т.е.

                                                                                     æ 0.05   0.40 ö

                                                                             A = ç                      ÷

                                                                                     è 0.15   0.10 ø.

Элементы этой матрицы aij представляют собой прямые затраты продукции отрасли i на один рубль производства отрасли j, Так, нужно затратить 40 коп. продукции сталелитейной отрасли для производства продукции энергетики на один рубль.

Находим матрицу I - A, т.е.

                                                                                     æ  0.95    -0.40  ö

                                                                        I - A = ç                          ÷

                                                                                     è -0.15     0.10  ø.

Далее находим матрицу (I - A)-1, т.е.

                                                                                         1      æ 0.90   0.40 ö

                                                                 (I - A)-1 =               ç                     ÷

                                                                                     0.795  è 0.15   0.95 ø.

Отсюда видно, что матрица A является продуктивной.

Наконец, поскольку вектор конечного потребления v = (75; 30), то

                                                                           1      æ 0.90   0.40 ö æ 75 ö       æ 100 ö   

                                           w = (I - A)-1 v =             ç                    ÷ ç       ÷  =  ç         ÷

                                                                        0.795 è 0.15   0.95 ø è 30 ø       è   50 ø.

Легко видеть, что вектор w представляет балансовый валовый выпуск продукции в рассматриваемой системе экономики. Аналогичным образом можно рассчитать валовый продукт, обеспечивающий баланс по каким-либо другим векторам конечного потребления.

З А Д А Ч И  ПО  Т Е М Е

ЗАДАЧА 3.1.

Дана матрица Леонтьева:

                                                                                      æ 0.2   0.4   0.2 ö

                                                                              A = ç  0.3   0      0.1 ÷

                                                                                      è 0.5   0.6   0.4 ø.

Является ли она продуктивной?

ЗАДАЧА 3.2.

Задан баланс продукции по двум отраслям в виде следующей таблицы.

Построить структурную матрицу и рассчитать валовый выпуск на новый вариант потребления:

                                                                        v = (70; 40).

 Состав, структура, схема.

Идея сбалансированности  является  основой  всякого рационального хозяйствования.

Рассмотрим схему народного хозяйства,  состоящую из n отраслей, каждая из которых выпускает свой продукт.

В народнохозяйственном механизме все отрасли связаны  между собой. Поэтому часть продукции, произведенной i-ой отраслью, потребляется (затрачивается) при функционировании j-ой отраслью. Пусть xij - величина продукции i-ой отрасли затрачиваемой (используемой) j-ой отраслью.  Кроме того, потребителями продукции i-ой отрасли является население и непроизводственные сферы (коммунальные хозяйства,  культурно-просветительные учреждения, сфера услуг и т.п.).

Пусть далее,  vj  -  объем  конечного  продукта j-ой отрасли.  Очевидно,  он включает dj - непроизводственное потребление (включая вложения в  непроизводственные фонды) и bj  - накопления производственных фондов.

Пусть далее,  wj - общий объем производства j-ой отрасли, тогда имеем следующие соотношения:

                                                                     wj    = uj   +   vj       j = 1, 2, ..., n,                                        (3.1)

     где

                                                                                                  n

                                                                                        uj =  å xij

                                                                                                 i=1

общее промышленное и производственное потребление, далее:

                                                                                   vj   = dj    +    bj,

где vj  - непроизводственное потребление и накопление.

В принципе формула (3.1) представляет математическую модель  межотраслевого баланса в сфере потребления.

Изложенный формализм межотраслевого баланса можно представить в виде таблицы:

В рассмотренной схеме межотраслевого баланса четко выделяется матрица:

                                                                             x11  x12  ...  x1n ö

                                                                             ........................ ÷

                                                                             xn1  xn2  ...  xnn ø

которая может быть представлена как в натуральном исчислении (тонны,  штуки, экземпляры и т.п.),  так и в стоимостной форме (в каких-то базовых  неизменных ценах). Наиболее часто используемой формой является стоимостная.

Отрасль можно анализировать не только с точки  зрения  распределения  ее продукции, но и с точки зрения затрат на производство в данной отрасли.  Пусть в этом случае,  в i-ой отрасли имеются затраты на заработную плату  zi  ,  кроме этого в балансе необходимо предусмотреть доход Di (i = 1, 2, ..., n). Тогда баланс по затратам будет иметь для i-ой отрасли следующий вид:

                                                                             n

                                                                  wi  = å xki   + zi   + i,      (i = 1, 2, ..., n),

                                                                          k=1

т.е. стоимость продукции i-ой отрасли равна стоимости  продукции,  затраченной от всех n отраслей, плюс заработная плата и доход от реализации продукции этой отрасли.

     Совокупность величин v1,  v2, ..., vn представляет собой национальный доход в его отраслевой структуре, а

                                                                                n

                                                    å vk   - суммарный национальный доход.

                                                                             k=1

Представленные балансовые  соотношения позволяют рассчитать важнейшие характеристики - коэффициенты прямых и полных затрат и др.

Введем определение коэффициента прямых затрат в виде соотношения:

                                                                  aij = xij / wj  ,     или      xij = aijwj   .

Подставляя последнее соотношение в (3.1) получим:

                                                                                          n

                                                                              wj  =  å ajk  wk   + vj

                                                                                        k=1

или в векторной форме:

                                                                                     w = Aw + v                                                   (3.2)

Таким образом,  имеем систему n линейных уравнений с n  неизвестными: объемами производства  (wj) и объемами конечного продукта (vj).  Исходя из этой системы можно осуществить увязку потребностей и различного  рода  ресурсов  в рамках всего народного хозяйства.

                                        n                                               n

По определению åaij<1, что равносильно åxij < xj. Это означает, что затраты на продукцию

                                i=1                                            i=1

j-ой отрасли превышают затраты труда на средства производства, поставляемые j-ой отрасли из других отраслей.

Когда строго соблюдаются поставки средств производства по затратам труда, т.е. имеет место устойчивая экономика, указанное выше неравенство соблюдается и следовательно матрица (I - A) имеет обратную, т.е. существует матрица:

                                                                                      (I - A) -1 ,

и система (3.2) имеет единственное решение. Если элементы вектора w не связаны дополнительными  ограничениями,  то  решение  системы является оптимальным. Имеется в виду такой экономный или  оптимальный  план  w,  который удовлетворяет конечный спрос при минимальных затратах труда.

Это безусловно возможно,  если каким-либо способом определены n неизвестных вектора v.  С целью уменьшения количества неизвестных,  как правило, проводится большая работа во многих сферах потребления и составляются прогнозы различных сторон жизни общества:  политической,  демографической,  ресурсной, потребностей населения в различных продуктах и т.п.  Исходя из этих  прогнозов оцениваются значения величин (объемов) конечного продукта,  описываемых

вектором v.

Пусть себестоимость  производства  одной единицы продукции j-ой отрасли будет равна cj .  Тогда общие народнохозяйственные расходы выражаются  соотношением:

                                                                                                 n

                                                                                       L =  å cjxj.

                                                                                               j=1

Ставится следующая задача оптимизации плана X 0, когда:

                                                                                   (I - A)X Y,

а линейная форма L обращается в минимум.

Таким образом, приходим к так называемой статической модели межотраслевого баланса.

Очевидно, что условиям задачи  может  удовлетворять  множество  наборов значений xi (i = 1,2, ..., n). Каждый такой набор носит название допустимого решения (стратегии, управления, плана). То решение, которое доставляет минимум целевой функции (линейной форме L) называется оптимальным.

Все соотношения в  представленной  задаче  являются  линейными  относительно xi (i= 1, 2,  ..., n). Поэтому такого типа задачи носят название линейных, а так как идет поиск оптимального плана (программы),  то и тип задач  называется линейным программированием.

Поиск решения задачи межотраслевого баланса путем обращения матрицы (I - A) в различных аспектах был предложен Леонтьевым В., и в научных кругах задача с матрицей (I - A) называется задачей Леонтьева.

Матрица A получила название матрицы Леонтьева. Матрица (I - A)-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат. Основной результат межотраслевого анализа может быть сформулирован в виде матричного равенства:

                                                                             w = (I - A)-1 v .                                             (3.3)

Матрица A называется продуктивной, если матрица (I - A)-1 ³ 0 (положительная). Нормой матрицы A назовем максимум сумм элементов ее столбцов. Она обозначается ||A||. Можно доказать что, если A положительная матрица и ||A|| £ 1, причем хотя бы для одного столбца сумма его элементов строго меньше 1, то A будет продуктивной матрицей.

Рассмотрим пример. Пусть имеем экономику двух отраслей, представленную данными следующей таблицы.

Разделим  данные каждого столбца этой таблицы на объем производства соответствующей отрасли, получим следующую таблицу.

Поскольку технологии, т.е. состав оборудования и количество металла и энергии на один рубль производимой продукции, будут меняться слабо, то особый интерес представляет матрица межотраслевых связей, представляющая данные первых двух столбцов указанной таблицы, т.е.

                                                                                     æ 0.05   0.40 ö

                                                                             A = ç                      ÷

                                                                                     è 0.15   0.10 ø.

Элементы этой матрицы aij представляют собой прямые затраты продукции отрасли i на один рубль производства отрасли j, Так, нужно затратить 40 коп. продукции сталелитейной отрасли для производства продукции энергетики на один рубль.

Находим матрицу I - A, т.е.

                                                                                     æ  0.95    -0.40  ö

                                                                        I - A = ç                          ÷

                                                                                     è -0.15     0.10  ø.

Далее находим матрицу (I - A)-1, т.е.

                                                                                         1      æ 0.90   0.40 ö

                                                                 (I - A)-1 =               ç                     ÷

                                                                                     0.795  è 0.15   0.95 ø.

Отсюда видно, что матрица A является продуктивной.

Наконец, поскольку вектор конечного потребления v = (75; 30), то

                                                                           1      æ 0.90   0.40 ö æ 75 ö       æ 100 ö   

                                           w = (I - A)-1 v =             ç                    ÷ ç       ÷  =  ç         ÷

                                                                        0.795 è 0.15   0.95 ø è 30 ø       è   50 ø.

Легко видеть, что вектор w представляет балансовый валовый выпуск продукции в рассматриваемой системе экономики. Аналогичным образом можно рассчитать валовый продукт, обеспечивающий баланс по каким-либо другим векторам конечного потребления.

З А Д А Ч И  ПО  Т Е М Е

ЗАДАЧА 3.1.

Дана матрица Леонтьева:

                                                                                      æ 0.2   0.4   0.2 ö

                                                                              A = ç  0.3   0      0.1 ÷

                                                                                      è 0.5   0.6   0.4 ø.

Является ли она продуктивной?

ЗАДАЧА 3.2.

Задан баланс продукции по двум отраслям в виде следующей таблицы.

Построить структурную матрицу и рассчитать валовый выпуск на новый вариант потребления:

                                                                        v = (70; 40).