3.2 Условия оптимальности в задаче (3.2)

К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 

                Условия оптимальности в задаче (3.2) представляют собой формулировку условий Куна-Таккера для этой задачи. Будем рассматривать следующую форму записи условий Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования:

 

 

(3.2.1)

 

                В нашем случае получим:

 

 

(3.2.2)

 

                Здесь Ai- столбцы матрицы A длины m, Di столбцы матрицы D длины n, Lk - строки матрицы A длины n, ej - n-мерные столбцы единичной матрицы. Здесь и далее xi - компоненты оптимального вектора задачи x, lk и Dk - множители Лагранжа условий Куна-Таккера. Запишем систему 3.2.2 в более обобщенной форме:

 

 

(3.2.3)

 

 

                где составные столбцы P0, ... Pm+2n каждый длиной m+n являются столбцами блочной матрицы P, имеющей следующий вид:

 

 

(3.2.4)

 

                В таком виде условия Куна-Таккера (3.2.3) можно записать в еще более простом виде:

 

 

(3.2.5)

 

 

                Поскольку рассматриваемая нами задача является задачей выпуклого программирования, указанные условия существования минимума являются одновременно необходимыми и достаточными. Доказательство указанных условий можно найти в [1,2].

                Условия оптимальности в задаче (3.2) представляют собой формулировку условий Куна-Таккера для этой задачи. Будем рассматривать следующую форму записи условий Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования:

 

 

(3.2.1)

 

                В нашем случае получим:

 

 

(3.2.2)

 

                Здесь Ai- столбцы матрицы A длины m, Di столбцы матрицы D длины n, Lk - строки матрицы A длины n, ej - n-мерные столбцы единичной матрицы. Здесь и далее xi - компоненты оптимального вектора задачи x, lk и Dk - множители Лагранжа условий Куна-Таккера. Запишем систему 3.2.2 в более обобщенной форме:

 

 

(3.2.3)

 

 

                где составные столбцы P0, ... Pm+2n каждый длиной m+n являются столбцами блочной матрицы P, имеющей следующий вид:

 

 

(3.2.4)

 

                В таком виде условия Куна-Таккера (3.2.3) можно записать в еще более простом виде:

 

 

(3.2.5)

 

 

                Поскольку рассматриваемая нами задача является задачей выпуклого программирования, указанные условия существования минимума являются одновременно необходимыми и достаточными. Доказательство указанных условий можно найти в [1,2].