ГЛАВА II. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 2 î. Цель анализа времемкых рядов

бы конечно, излишним на этой стадии входить в подроб-юлиз различных причин, ио которым желательно исследовать е рЯды, но сделать несколько общих замечаний необ-І так как' эти причины очень часто определяют выбор мето-* которые мы решаем применить. Вообще говоря, можно различать пять типов исследований {42}

(а)           На самом поверхностном уровне берут какой-либо один ряд и

строят простую систему, обычно Go-pse или менее математического

типа, которая описывает его поведение в сжатом виде.

(б)           Проникая немного глубже, делают попытку объяснить его

поведение с помощью других переменных и определить соотноше

ние между наблюдениями и некоторыми структурными законами

поведения. Другими словами, для объяснения наблюдений в качест

ве гипотезы строится модель.

(в)           Результаты анализа, полученные в (а) или (б), ^ -жпо исполь

зовать для прогнозировании поведснгя ряда. В случае (а;. да.л'£ когда

ничего неизвестно об основном механизме, генерируши?"! ряд, ис

ходят из предположения, что в системе существует достаточная

инерция, чтобы гарантировать в будущем такое же поведение, как и

в прошлом. Случай (б) характеризуется большим проникновением в

область рассматриваемых причинно-следственных связей.

(г)            В случае (б) может.потребоваться контроль системы или пу

тем выработки сигналов, предупреждающих о грядущих неблаго

приятных событиях, или путем исследования того, что может слу

читься, если изменить некоторые из параметров модели.

Зходимость рас-:нх переменных гором наблюде-

никнуть и

'•ад веско; тг быть в

(д)           В более общем .случае может в

«отреть совместное развитие во вре

яи, иначе говоря, наша переменная І

ЇТМЙ   R *-*•(•*

подобном случае, со статистической тдчьч; зрения, мы прн-

I К более Общей ЇЄМЄ ПОС" рсеННЯ  M,', r-миГИЧСеКИХ УН

огда трудно различить ту грань, где кончается георяя : к рядов и начинается'теория построения моделе" 'Построение моделей в своем наиболее обще?.; «»« тема, чем временные рады, такой грани, ?

-28-

2.2. Разложение временных радов на компоненты

лнализ временных рядов наводит на мысль, что полезно в oft. щем случае рассматривать ряд как смесь четырех компонент [4gl-

(а)           тренда или долгосрочного движения;

(б)           более или менее регулярных колебаний относительно тренда-

(в)           сезонной компоненты;

(г)            остатка или несистематического случайного эффекта.

Ряд удобно представлять в виде суммы этих четырех компонент и одной из целей анализа является разложение ряда на его составляющие для отдельного изучения. Однако следует помнить, что, по-ступая так. мы фактически постулируем модель. Возможно, целесообразно предположить, что тренд обусловлен наличием постоянных факторов, однообразно действующих приблши гельно в одном а гом же направлении, а краткосрочные колебания относительно этого

ДОЛГОСРОЧНОГО ДВНЖСНИЯ ПРОИСХОДЯТ IIO СОВОКуІІНОС І И ЛрН'іИН, И 410

в обоих движениях имеется некое возмущение, присущее случайным событиям и обусловливающее появление остатка. Но id, чш это так, и что эффекты от различных воздействующих факторов аддитивны, является предположением и имееі характер (имотезы, от которой мы всегда должны быть ютовы отказаться, если наша модель плохо соответствует данным,

Понятия тренда и сезонности «перепутываются», и часто невозможно отделить одно, не выделяя в то же время другого. Однако понятия эти достаточно различны. На уровне общих идей тренд представляется как плавное основное движение неколеба тельного типа на протяжении значительного периода времени. То, что одному исследователю сажется трендом, друюй исследователь, который мыслит гораздо более масштабными временными категориями, может расценить всего лишь как временное наблюдение или краткосрочное колебание.

Вообще, если можно определить тренд и ееюн.чую компоненту и вычесть их ш данных, то остается колеблющийся ряд, „оторый может з одном предельном случае представлять чисш случайные скачки, а в другом - плавное колебательное движение. В большинстве же случаев будет что-то среднее: некая нерегулярность, особенно в н( совершенных данных, и определенного тина систематический * фект в том смысле, что последовательные члены полученного р** не будут независимыми. Назовем эют систематический эффект о

Далее будем предполагать, что наблюдения в исследуемом .іиюгга через равные интервалы времени  и, как правило, без

можно принять этот интервал за единицу, й для обо-

обш»0^ исПОЛЬЗовать индексы, например 44,421,43] и

значена   РЯД наблюдение в момент ». Будем также считать, что на-

инаются при t-l, но имеется возможность, если зто

'               авить предшествующие члены,  полагая *=0,

14*^

І /=-2 и т. Д-

такого подхода в последующих математических вы-

конечные разности, а ие производные,

2.3. Треид

Существенным в понятии тренда является гладкость, что на актике стачает желательность его представления непрерывной и ифферениируемой функцией времени.

Поскольку любая гладкая функция при самых общих допущениях может быть локально представлена полиномом с довольно высокой степенью точности, предпочтительной являегся следующая процедура. Подбираем полином к первой группе, скажем, ш 2т -V 1 членов ряда (далее будет ясно, почему берется нечетное чисяо) и используем эгот полином для определении значения тренда в (m + і) средней точке группы. Затем подбираем полином того же порадка к группе, состоящей иэ нторого, третьего, ..., (2т + 2) -го наблюдения, и находим значение тренда в (т + 2)-й точые и так далее тем же способом вдоль всего рада до последней группы ш 2т + 1 членов. В дейсгвшельносш неї необходимости нодбнраіь полиномы каждый раз, так как эта процедура эквивалентна линейной комбинации наблюдений с коэффшшешами, которые мої у І быть определены раз и навсегда.

Предположим, например, что мы хотим подобрать полином пьею порядка к Ірунпам но семь точек. Без потери общности что        рассматриваются        моменты         времени ~3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 . Запишем искомый полином в виде:

(2Д)

х(<) = о0 + a,» -t- а212 -I- «j

консганты а находим методом наименьших квадрагов, t,e, * минимизации критерия

(2.2)

-30-

Дифференцироваше по а дает нам четыре уравнения такого тип»

У -0, 1,2,3.

(23)

сводятся к виду

Суммы нечетных порядков t от -3 до -*-3 равны 0, и уравнена дятся к виду

=   28а

4-!96а2;

(2.4)

І588а,.

J

Пока нас интересует только ай, значеш^е рада в момент f =0. используя лншь первое и третье из уравнений, получаем:

з

~

(2.5)

t

Оївцозагеїшю, значение тревда 8 какой-либо точке равно сред-

значению е@мй точек с данной точкой в качестве

І

І./—9   1   й   7   й   Ч    -.•?! С2.6)

•~—{_   А,  Л,  Os   /»  О,  «>,        AJ»

которые в сил>' симметрии можно записать короче:

(2.7)

1[-2, 3, б, 7, ...].

> вполне понятным причинам это значение называется скояі -т средним,

Эта процедура имеет самый общий хараістер. если к 2т +1 ',.•:• чьпршот полином порядка р,необходимо миговивировая

Минимизация приводит к уравнениям, аналогичным (2.3)» *

рые разбиваются                сек & »2.4^ Решение £

Іельно a0 зависит от численных значений суммы  J)'   и лин

-Зі-

яв» ТУ *ï'î • Л"1** значением тренда в точке і » * К*:    енное среднее значений от х[* -m] до х[* + їй].

B3se

ывести некоторые свойства таких скользащих средних: весов равна единице. Это должно быть так, потому

применить процедуру эзвешиваниа к ряду, все члены кото-го  авны одной и той же констате, то среднее должно равняться

,той же константе.

2)  Веса симметричны относительно серединного значения. Это следует из того факта,  что они  получены кш функции сумм

У tjx[t] которые сами симметричны.

" 3)  В силу (2) значения тренда ut зависят от направленна отсчета времени.

4)             Поскольку определяющие уравнения, такие как (2.4), pu v: >•

лаются на две подсистемы, значение % будет тем же самым незш;-

снмоот юго, присутствует член fiij/  или нет. Другими словами, для полиномов чешого порядка 2k формулы будут те же самые, «по н для полиномов порядка 2k + 1. Можно добавить, что:

5)             Формулы не позволяют вычислить значения тренда для пер

вых и последних т значений ряда.

6)             Можно вывести формулы' для построения трендов на чешом

Ісяе точек, однако при этом были бы получены значения трендов в

серединах временных интервалов между наблюдениями, что, очевидно, весьма неудобно.

2.4. Цещрированиые средние

І уже ошечали, что наибольшее удобство представляє"» яе-

юние нечетного числа точек в качестве базы для расчета

о оказывается, что многие периоды времени, которые

орать в качестве базы для расчета среднего, содержат

в месяц         точек — двадцагь чешре часа в сутках, ч м ыре недели

чаях к   './ІЄ1ЬІРе_кваРІала и двенадцать месяцев в году. В таких слу-

блк)деН; rt^"eo^xo^11Mo окреслить .начения фенда в точках на-

ннем      Оьічно эго делав Ігч простым арифметическим усредне-

Іт

Ніій День    °ЖИМ> например, что имею гея наблюдения на пос^ед-каждого месяца, скажем с января по декабрь   Просин.

32-

скользящее среднее 12 точек с весами —[12] дает значение тренда

12t

В середине июля. Поэтому, чтобы получить значение тренда на конец июля для сравнения с действительным значением в этой точке, мы берем арифметическое среднее значений тренда в середине июля й в середине августа. Легко убедиться в том, что это эквивалентно вычислению 13-месячного среднего с весами При расчете этого среднего берутся два январских наблюдения (а в общем случае наблюдения за два одноименных месяца), но каждое входит с весом, в два раза меньшим, чем наблюдения за другие месяцы.

2.5. Сезонность

Ряды показателей преступности имеют ярко выраженный сезонный характер. Сезонные эффекты, несмотря на то, что время их наступления год от года может несколько отклоняться от среднего, имеют регулярный характер, который другие элементы исследуемого ряда, как правило, не имели.

Необходимо отметить» что существуют различные причины для самостоятельного исследования сезонных эффектов преступности, к яигорым можно донести следующие:

Желательно сравнить показатели преступности в разных точ-

ïrax года как исключительно внутригодовое явление, с целью эффек

тивного распределения ресурсов ОВД по месяцам.

Может потребоваться исключение сезонных эффектов из ряда

показателей преетупности для изучения других его компонент, на

пример, реакции населения на изменения социально-экономической

обстановки в государстве,

Иногда требуется текущее значение "скорректировать1" на се

зонный эффект, например, для того, чтобы выяснить какой была бы

оперативная обстановка в замний месяц, если бы обычное влияние

сезонности не изменило ее,

Существует три типа моделей, в котарьвс сезонный эффект представлен либо аддкшвно, либо мультипликативно. Если x'(t)- гладкая составляющая рада (тренд и краткосрочные колебания), s(t) - сезонна» компонента, a e(t)- член ошибки, то ряд x(t) можно записать либо как

x(t)»x'(t) + s(t) + e(t),            (2.9)

дибо как

x(t) = X'(tXt)e(t),   (2,10)

язи же ворожка емеаншвая модезь

(2.11)

-33-

Рассмотрим обобщенную процедуру корректировки значений исследуемого ряда с учетом сезонного эффекта.

Несколько изменим обозначения. Пусть ху будет значением исходного ряда для i-oro года и j-oro периода, для которого оценивается сезонный эффект , a x[j - оценкой тренда, полученной с помощью центрированного скользящего среднего, подсчитываемого по п точкам (соответствующих выбранному периоду). Затем для каждого периода построим регрессии:

v.. -о- 4-h-х'-          (115\

У ~    j         J   в"   \л.ІЛ)

Если a j = 0, то модель будет мультиплик тивной, если bi « Ï » то

мы имеем аддитивную модель.

Далее скорректируем константы а и b и полу ~*л

a'j=a;-â,

•е!--Уа-

°j;!           (2.ІЗ)

nj=i

Тогда скорректированные на сезонность значения будут определяться выражением

К" — &''

Х|; (скорректированное)^—™—^. (2.14)

Данная модель была использована для выявления сезонной составляющей временного рада, характеризующего динамику развитии экономической преступности в г. Харькове. Результаты анализа

приведены на рис. 2 Л.

300 250 200 160 100

-4— йоюдный ряд

5 ? О 11 1   3  6  ? 9 11 1   3 S  ? а)

-34-

• Сезонный индекс

ISO

50

'І І' І  |-| Т І'І'Т'І »   І  І І   ГІГ J   Г І 7  І  І   І   І   І   І  І   І   І   І   І  І   '  І   '  '  І'Ч  І   II   І   І І   І  І   »

13678 11 13579 11 13570 11 13678 11

б)

250 200 150 H 100

- Сглаженный ряд

so

1   3678 11  1   3579 11  1   3879 11  1   357  9 11

В) Рис. 2.1.

2.6. Автокорреляция

Рассмотрим теперь, как влияет исключение тренда с помощью скользящего среднего на случайные колебания, которые моїуг присутствовать в исходном ряде. Усреднение приводит к изменению (обычно к уменьшению) дисперсии колебаний. Кроме »ого, что не менее важно, члены ряда, полученного в результате усреднения, не являются теперь независимыми.

Настало время, чтобы ввести понятие автокорреляции - одно из основных понятий в аналюе временных рядив. Пусть задан ряд значний *[1J, дс[2], ..., лг[и], тогда (и-1) пар (дг[1], 42]), (х[2], х[3]),..,, (х[п I], х[п\) образуют множество друмерных величин, которые имеют коэффициент корреляции стандартного типа. Это же относится к («-2} карам (х{\\, <Р1)> (*|2|,

-35-

(x(3], x[5\) и т.д. Назовем этот коэффициент для членов ряда, разделенных (k - 1) наблюдениями., т. е. для членов x[t] и x[t + k] « сериальной корреляцией порядка k » и будем обозначать его как rt. Если же ряд рассматривается как генеральная совокупность бесконечной длины, то будем говорить об автокорреляциях^ обозначать их через pk. Это согласуется с общепринятым в статистике обозначением характеристик генеральной совокупности греческими словами или буквами, а выборочных значений - латинскими.

В самом общем виде сериальная корреляция определяется как

(2.15)

n~

Громоздкость выражения объясняется тем, что коэффициент порядка k зависит от значений лЩ ..., х[п - k], выступающих в качестве первого члена пары, и значений х[\ + £],..., х[п], составляющих второй член. В большинстве случаев это выражение можно модифицировать, если измерять все переменные относительно среднего значения всего ряда х[1], х{2], „ . , х[и} и, кроме того, зшеивдъ диспер- , CnOSBEse --йжз' в зїіоьшяатете на ^<ерерс»я? ряда » «ç,v^. Определение тогда значительно упрощается и принимает вид:

1»-*,

(2.16)

где % - среднее, равное   £ хЩ In,

/*1    /

Обычно нет необходимости рассматривать отрицательные значения k, так как rç =r^. Массив коэффнаиентов д, fo,... или соответствующих им выборочных коэффициентов многое может сказать о внутренней структуре ряда, а. вся их совокупность, нанесенная на график с k в качестве абсциссы и р^, откладываемым по оси ординат, называется корреяограммой. Позже мы увидим, что коррелограмма представляет собой полезный инструмент анализа, позволяющий различать типы рядов.

36-

1.1. Ст„ізненарв»!е ряды

Теперь рассмотрим ряд, из которого тренд либо исключен, либо его в нем и.не было. Такой ряд называется стационарным. Но тот тип стационарности, который мы будем рассмагривать, сопряжен с наложением ограничении. На уровне интуитивных мдей мы требуем, чтобы ряд имел постоянное среднее и колебался вокруї этот среднего с постоянной дисперсией. Тогда можно ск&загь, ч го этот ряд «стационарен по среднему и дисперсии» В более общем случае, если имеется ряд *(?), можно потребовать, чтобы x(î) имели одну и ту же функцию распределения при любом значении ?, а в еще более общем случае - чтобы последовательные грунпы значений *(/ + l),...,;c(f + А) имели одинаковое многомерное распределение при любых значениях / и k. Этим математически выражено предположение, что механизм, генерирующий ряд, хотя и имеет вероятностный характер, остается неизменным во времени.

При довольно общих допущениях среднее, которое характерно вало бы распределение *(/) в определенный момент времени, если бы была возможность получить повторные значення для юго ж« момента временя при неизменных условиях, можеі быть оценено по множеству значений, собранных в дбйсівиїельиости за определенный период времени. Отмеченный процесс и является основопола гающим при математическом прогнозировании (119].

37-