ГЛАВА III. МЕТОДЫ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

3.1. Экстраполяция тенденций как способ прогнозирована®

Преступность как социально-экономическое явление формируется при воздействии многих факторов, однако выделить илияние каждого из них не представляется возможным, поэтому процесс upoitio-зирования показателей преступж ci и рассмаїривается как функция времени. При таких условиях задачу прогнозирования слсд>ег понимать как пісіраполяцию сложившихся во времени тенденций.

Общая задача жсіралоляцин заключается в нахождении значений некоюрой функции, описывающей изменение показателя во времени, в точке, лежащей вне интервала наблюдения данной функции, чю онрсделяег возможность не ользоиания экстраполяции для целей прогнозирования К настоящему времени экстраполяция нашла широкое применение как способ прогнозирования в силу просто І ы иснольіуемьіх прогнозирующих моделей и их фінической интерпретируемости.

Эксграно.тяция определяет тенденции будущего развития исследуемою явления при условии, что закономерности данного явления, сложившиеся в прошлом, будут существовать и в будущем. 'Зш закономерности определяют наиболее устойчивые черты прогнозируемою процесса - е$о тренд, причем предполагается, что тренд может быть описан с помощью какой-либо функции.

Рассматриваемая экстраполяция основывается на следующих допущениях [94]:

развитие нресгуїшосі и как социально-экономическою процес

са може г быгь с достаточным основанием охарактеризовано плавной

траекюрией - трендом;

общие условия, определяющие тент ;нции развитие iipetayiiHO-

сти в прошлом, «е претерпят существенных изменений в будущем.

При данном подходе задача экстраполяции должна решаться в spa папа:

подбор вида функции тренда (структурная

Іфш нозирующев модели);

определение параметров функции тренда (паї

иденіификация проінозирующай модели);

3)             ироі нознрование с полнощью носгроенной мод-; »,

Наметим, что как бы хорошо не была носгроена

мидель (ирецикгор), прогноз непременно содержит оіішбку, причем \величяваен'я с ) величі-ннем времени ун(ч-#гденн •(  Но

-38-

этому прогнозироваїше преступности с помощью экстраполяции наиболее целесообразно на короткие сроки. Естественно, что по мере поступления новой информации об изменении значений соответствующих показателей параметры функции тренда должны непрерывно усложняться, А это приводит к необходимости использования адаптивных методов.

3.2. Применение фильтров в задачах прогнозирования преступности

Пусть динамику изменения преступности можно описать вектором показателей, заданных в форме дискретной последовательности

XI*] = q>Wn-kl g[nl п, Ф., *),            (3.1)

где Х[п - k] - значение показателей на период п - k; g[w] - ряд показателей определенным образом влияющих на развитие преступности; « - текущий момент времени; k - объем предыстории; Ф. - оператор, задающий структуру внутренних связей между выбранными показателями.

Тогда задача прогнозирования преступности на основе временного ряда значений выбранного показателя может быть сформулирована как задача построения предиктора вида

![«+/] =/( Ф [«], g [лі и, е, I. в) t          (32)

где Х[п+1] - прогнозируемая последовательность на период я+/; Ф[п] - оператор преобразования исходного ряда в прогнозируемый; g[n] - ряд, связанный с прогнозируемым и определенным образом влияющий Ma него; п - текущее дискретное время; є - допуски прогноза; / - период упреждения; а - некоторый числовой параметр, определяющий свойства функции / (•), обеспечивающей выделение тренда. При этом тренд рассматривается как полезная составляющая рада, s все остальное может быть отнесено к помехам. Кроме того, реальные данные, характеризующие динамику изменения значений показателей преступности, могут быть искажены, тогда наряду с прогнозированием необходимо осуществлять предварительную фильтрацию данных. Таким образом, прогнозирующая модель преступности может рассматриваться как фильтр, на вход которого по-сгуяает некоторая входная последовательность значений соответствующих показателей, а на выходе выделяется прогноз полезной со-стайляющей временного ряда.

В теории r практике фильтрации получили распространение следующие типы цифровых фильтров:

-39-

1. Рекурсивные фильтры, выходной сигнал которых ж[п] является

функцией предыстории как входного g\n], так и выходного сигналов

фильтра. Уравнение рекурсивного фильтра имеет вид

q              р

>,*[«->]  (3.3)

где у • , <р    • постоянные ко ^ффицненты фильтра, р> q • целые числа.

2. По.чурекурсивные фиіьгирьі, выходной сигнал в {п ^1)~Й момент времени которых является функцией его предыстории, а также функцией прогнозируемого значения входного сигнала g[n + l]. Разностное уравнение такого фильтра/j-oro порядка имеет вид

-1 -p]+i^[fi+l]   (3.4)

у-            "L         Д                ТГ    *)   "£--         ' і             -      -таг

3.             Нерекурсивные фильтры, вычсдной сигнал которых в n-й мо

мент времени является функцией только предыстории входного сиг

нала:

х[п + \}= 2 Vjg[n-j}.              (3,5)

Адаптивные цифровые фтьтры, выходной сигнал которых в

я-й момені времени является функцией не только входных сигналов,

но и функцией перестраиваемых коэффициентов, минимизирующих

заданный критерий фильтрации. Данные фильтры могут иметь раз

личные структуры и алгоритмы настройки коэффициентов в зависи

мости от критерия фильтрации.

Прогнозирующие филынры, у которых предсказанное на / так»

тов значение выходного сигнала явлнется функцией предыстории

вчода. Разностное уравнение такою фильтра имеет вид:

х[п + [}- ^jg[«j + І/2fii" — 1J + ... + ^/pg[n + I — р]       (3-6)

Заметим, что такое деление, пришшн в f56j, является условным, почтому для целей прогнозирования преступности может быть использован филь'р любою из приведенных типов. Кроме юго, целесообразно введение адаптивной настройки коэффициентов независимо or используемой структуры, чго позволяет в боцьшинетв-? случаев режоповысшь точность предсказания,

3.3. Экстраполяции с помощью tрейдов

Характерной особенностью временных рядов показателей преступности является наличие а них трендов или основных тенденций, сложившихся под влиянием наиболее типичных, воздействий, Іакой

-40

временной ряі можно описать некоторой дискретной функцией времени, которую целесообразно представить в виде суммы некоторой детерминированной функции и случайной составляющей:

дг[«] = *[я] + ф7],       «=1,2,3,...,        (3.7)

где детерминированная функция х[п] является трендом, а случайная функция С [и] отражает воздействие ка формирование преступности множества неучтенных факторов.

С теоретической точки зрения [41] тренд преступности является результатом воздействия на ее формирование основных закономерностей причинно-следственного характера, регулирующих данный аспект динамики изменения прогнозируемых показателей. Воздействие же прочих факторов самой разнообразной природы носит в основном стохастический характер и отражается случайной функцией С Г п } . Представление в виде суммы тренда и случайной составляющей удобно также тем, что при этом выделяется "управляемая" часть преступности, закономерности развития, которой с достаточной точностью могут быть определены, и "неуправляемая" стохастическая часть. Дня описания тренда х{п] могут применяться самые различные функции, например, линейная, параболическая, степенная, экспоненциальная, модернизированная экспоненциальная, логе-стическая, 63%-ная функция, функции Гомпертца, Джонсона, Торнк-виста, гиперболическая, экологическая и ряд других. На практике же наиболее часто применяют полиномиальные

*М= I V,*1            (3.8)

ели экспоненциальные

(3.9)

функции.

Параметрам этих функций несложно придать качественный статистический смысл. Линейная функция х[п] = <$> + tpi"> описывающая изменение преступности» определяется постоянным приростом <р \ с начальным уровнем (р с . Парабола х[п] ~ с й + т-$>! к + фъп определяется постоянным темпом изменения абсолютного прироста 2 <&2- Экспоненциальная функцияехр($>о + + ф\п)характеризует постоянный относительный рост в **', а ехр (ф о + у> І я + с) 2 ч2 ) - постоянный относительный прирост в **. Вообще же статистическая интерпретация трендов преступности многообразна, однако основное ее применение в анализе состояния и динамики изменения преступности заключается в определении основных направлений

•4f-

развития преступности как объекта исследования, выделении ее ти

пичных черт и прогнозировании при выполнении задач планирова

ния и управления деятельностью органов внутренних дел. Необхо

димо отметить, что проблема выбора конкретной кривой для описа

ния тренда преступности является далеко не тривиальной, так как

правильный или неправильный выбор может существенно повлиять

на качество экстраполяции. Наиболее обоснованным представляется

путь, когда форма кривой определяется в результате статистического

анализа соответствующих показателей, который в большинстве слу

чаев не удается провести ввиду ограниченности времени и средств.

Кроме того, имеющиеся в информационных подразделениях МВД

временные ряды, как правило, настолько коротки, что построенный

на их базе тренд при дальнейшем росте обьема выборки может не

соответствовать реальному процессу или описываться совершенно

другим типом кривой. Как указыв лось в [94], наиболее приемлемым

является метод, который основывается на сравнении характеристик

изменения приростов исследуемого временного ряда с соответст

вующими характеристиками кривых роста. Для описания тренда вы

бирается та кривая, закон изменения прироста которой наиболее

близок к закономерности изменения фактических д^кнотс. Для уст-

раненид oudCHui-гк оьдоорі ікад,жзатга"г :'рт"чой необходимо при

выделении тренда либо аппроксимировать одиночные данные раз

личными кривыми и проследить, как они будут вести себя в даль

нейшем, либо осуществлять аппроксимацию с помощью системы ор

тогональных полиномов, например Лягерра, Эрмита, Чебышева и

др.[46]. Начиная процесс экстраполяции с помощью функции невы

соких степеней, мы всегда сможем по мере надобности ввести-до

полнительные члены, если выбранная исходная система по какой-

либо причине не сможет нас удовлетворить. При этом необходимо

всегда помнить, что применять следует полиномы невысоких степе

ней, так как в противном случае аппроксимирующие функции будут

отражать случайные отклонения, а не тренд.              •*-

3.4. Определение параметров тренда

Все рассуждения, изложенные в предыдущем параграфе ч г сящиеся к конкретному выбору кривой для описания тренда І

СТуПНОСТИ, МОГуТ быТЬ ОТНеСеНЫ К Этапу СТруКТурНОЙ ИДСІіТВфї.ч

предиктора. Здесь мы рассмотрим некоторые процедуры мччшкг.нин параметров конкретных кривых, при этом ^удем по;ш параметры входят б тренд линейно (либо путем некой;;' зовашш исходная кривая может быть сведена к лкч..

-42-

метрам функции). Процедуры нелинейного оценивания значительно сложнее и менее разработаны. Итак, будем рассматривать процедуры определения коэффициентов Іренда преступности типа (3.8). Заметим, что по теореме Вейерштрасса, прочие виды кривых мы можем с наперед заданной точностью аппроксимировать формами (3.8) и (3.9). Процедура оценивания коэффициентов, как это уже отмечалось во второй главе, является некоторым алгоритмом минимизации выбранного критерия идентификации Q . В теории и практике статистического оценивания используется целый ряд критериев, однако же в силу изложенных выше соображений, в первую очередь будут интересовать те, которые не связаны с какими-либо предположениями о статистических свойствах преступности. Эго так называемые непараметрические критерии, основанные на рассогласовании между фактическими данными оыбранного показателя и выходом предиктора (трендом). В общем виде эти критерии могут быть записаны а форме ,

(ЗЛО)

При q=l критерий (ЗЛО) принимает форму критерия наименьших модулей, при q=2 - критерия наименьших квадратов, при q -» со -минимаксного критерия.

В практике прогнозирования используются, как правило, нриіе-рии наименьших модулей и наименьших крч,;рагов, либо сводят*; к ним, например, в {30} критерии вида:

v

J   .  .

Vі І         

а=- _Ж_ .

я—1 Наиболее распространенной схемой

іфиКсИ.Чи.ЦИЯ ПО MCSOïiy  Мгі'і>ЗЄНЬШИХ Ы5И

обеспечивает минимизльш) с\ммы Л'ических предполо/кенні!   Критерий *»! отклонений факшчесміл данных от І pi;/, инстз, главными из кширых являются c.iv * критерий имеем достаточно всный ф сия выходного ситна.. І предиктора отн     І

ющш зичвскі

-ЛУІИЙ) п

и

(3.11) (3.12)

-43-

критерий не использует никаких других предположений о слу

чайных возмущениях, кроме предположения о существовании ко

нечных дисперсий;

при наличии гауссовских помех оценка по этому критерию да

ет наилучшее приближение;

критерий достаточно удобен при проведении различных мате

матических операций.

Эти обстоятельства обеспечили широкое применение данного метода в задачах прогнозирования. Так, например, в [98] указывается на более чем 1 50 программ для ЭВМ, связанных с прогнозными разработками и реализующих аналитические виды экстраполяции с использованием метода наименьших квадратов.

Итак, пусть предиктор преступности описывается полиномом

.„+<рмр;                (3.13)

в качестве критерия идентификавди используем швдратнчную форму

(3.14)

Дифференцируя (3.14) по <р і и приравнивая частные производные к нулю, получаем систему нормальных уравнений

!>[*]= І

(ЗЛ5Х

1

1

1

1

где k - текущее дискретное время, пробегающее значения от 1 до п. Решение дангой системы в матричной форме имеет вид

<b*(NTNTlNTX[n\,             (3.16)

(І  і ...   П

î   2         2

где

(3.17)

vl   м   ,..

л <p І,..., <pp)T - вектор-столбец размерности Q?+i) искомых ко эффициейтов модели, Х[п] œ (хЩ, х[2], ..., x[n})J - вектор-столпеїі размерности (»-*•!) имеющихся значений показателей, Т транспонирования.

.44-

Прогноз с помощью предиктора (3.13) осуществляется подстановкой в уравнение в качестве аргумента будущего момента времени я+1.

Следует отметить, что даже при относительно небольших значениях и и р решение уравнения (3.16) на ЭВМ требует достаточно много времени и значительного объема оперативной памяш, что свя-

Т

зано с необходимостью обращения матрицы N N. Таким образом, данная процедура плохо приспособлена для работы в реальном маг-штабе времени при прогнозировании пресгупносги. Из других недостатков данной процедуры следует отметить то, что она учитывай все невязки с одинаковыми весами независимо от времени регис І рации этих невязок. Таким образом, при построении предикторов преступности "устаревшие" чанные могут оказать огрищпечьное влияние на точность прогноза.

Для целей оперативного прогнозирования преступно.;'я ue icvo-образно использовать алгоритм текущего средне! о [7!|, коифын

Осуществляет НаХОЖДеНИе НеИЗВеСТНЫХ  КОЭффиЦИеВТОВ  lid   !ЄК;ІЦЄМ

интервале времени с применением мегода наименьших квадрате. Этот алгоритм уже относится к адаптивным процедурам, поскольку е. нем осуществляется отсеивание устаревшей информации. Используемый критерий идентификации имеет вид

1     »    ( Р       ^2

0я- £ (4*)-р/* J .   (3-І?)

где параметр q определяет интервал усреднения.

Система нормальных уравнений в этом случае имеет вид

аО       І Ч (             Р              Л

j*.—- £ И»-*}- Е*М*-*П(я-*У *0.       (3-18)

где/ = 0, 1,...,/?.

Для упрощения выкладок введем обозначения

1   ^

•- 1*[»-*Хя~*)'-и%.    /-0,1,2,...,/»;    (3.19)

fi«8

,  /J- 0, 1,2, ...,/>.

(3.20)

Тогда система нормальных уравнений приобретает вид Р

- mj,     j = 0, 1, 2, ... ,/» .

(3.21)

или

МФ=т,

(3.22)

\ntpQ

(«   *)

,  (3,23)

.

Р

£(»-*)    «"'£(«-*)

о              о

Отсюда j-ый коэффициент предиктора имеет вид

(3,24)

где матрица Л// отличается от А/тем, что »'-ый столбец в ней заменен столбцом т. Данная процедура значительно проще в реализации не ЭВМ, так как сводится в основном к вычислению определителей размерности (р+1 )х (р+1 ).

3.S. Алгоритм прогнозирования с дисконтированием устаревшей информации

Прогнозирование с использованием метода наименьших квадратов осуществляется в предположении неизменности всех тенденций преступности, сложившихся за исследуемый период. В реальных условиях дело обстоит далеко не так. Иод ышянием различных факторов эти тенденции постоянно изменяются и те события, которые имели место некоторое время тому назад, вряд ли окажут существенное влияние на динамику изменения преступности. В таких условиях метод наименьших квадратов, предполагающий неизменность тенденций за исследуемый период, может оказаться не гибким, так как методы оценки коэффициентов модели, использующие всю априорную информацию с одинаковым весом, не могут обеспечить эффективную оценку детерминированной основы процесса азмснекия преступности.

В этих условиях целесообразнее применение так называемых дисконтированных методов [94], При этом каждому наблюдению

-46-

присваивается свой вес, в результате чего в процессе нахождения коэффициентов тренда минимизируется критерий

е-!*/(*[*]-ад,

(3.24)

где k - 1,2,.... ;j « 0,..., я - 1; * = л -у.

Здесь основной проблемой является выбор конкретной функции весов ttj, которая должна устанавливаться о учетом фактора инерционности наблюдаемого показателя. Наибольшее распространение получили следующие варианты весовой функции:

1)             "Скользящее окно" [62]:

),   при   п-jeN ,   при   n~j<N,

FRsN- заданный параметр алгоритма.

2)             Веса, определяемые арифметической прогрессией:

3}   Веса,   определяемые   геометрической   прогрессией,   или "экспоненциальное сглаживание**:

4) Веса, следующие тогистической кривой или ступенчатой линии [96].

К настоящему времени наибольшее распространение получил аппарат экспоненциального сглаживания (весовая функция приведеш не, рис. 3.1), который и стоит у истоков адаптивного направления в прогнозировании [26, 50].

Основная идея метода заключается в том, что по данным ряда х[п], &*!, 2» ..., я требуется составить прогноз на моменты времени я+1 таким образом, чтобы более поздним наблюдениям присваивались бы большие веса по сравнению с более ранними наблюдениями. Экспоненциальное сглаживание позволяет произвести оценку коэффициентов полиномиального предиктора путем минимизация критерия

g * «

(3.25)

по tpj, который эквиэалентеа критерию минимума взвешенной суммы квадратов.

-47-

2 -   З     4     5'    б     7     8     9    10    11

Рис. 3.1

Для построения предиш ора используют понятие экспоненциальной средней j-io порядка

я— I

t ледует отметить, что &0)[п] = х[п]. В непосредствеинпх p*t .с tax удобнее пользоваться рекуррентной формулой для определения экспоненциальной средней:

(З 27) і экс-

S^[n}^aSu~^lnl+(l~a)^J)[n -ij. Козффидиеь.ы предиктора одаозначно оіфеделяюті

поненциальные средние:

- для полинома f>       го п уядк .?

- д/ш линейной мо

:

а

-(sP'ini-

-48-

- для параболической модели ОМ =

(2)

~ 2(5 - 4a)S     + (4 -

(3.30)

(1-а)

Прогноз во всех случаях получают согласно выражению

При рабоге со значеннями показателей преступности целесообразно испсм&зовать рекуррентные оценки коэффициентов, имеюіцие »вд

- 4«1+0 - «Х*М - *М),        (3.32)

- ФЗХ

(3.33)

f о W= «Ï»] * 0 -

(3.34)

= л[* - Ч -

к прогнозы

(3.35)

« - Ч + ftl«- Ч •»•

(3.36)

--1]          (3.37)

4

.для модели преступности ^левого порядка, линейной и параболической моделей соответственно. Все вышеоказанное может быть использовано дал прогнозирований преступности с полиномиальными трендами. Поскольку класс функций, применяемых для прогнозирования преступности, не может быть ограничен только полиномами. необходимо рассмотреть процесс построения предикторов вида

(3.38)

-49-

где F\l\~(fr[l\,fA.!\.. —ЛрШ)1 размерности (рх І) - вектор функций времени, задающий структуру модели преступности, Ф[и]=(^/[п], ф£п], ..., <Р Д"])Г - вектор коэффициентов предиктора размерности (pxl). Для построения предикторов преступности типа (3.38) применяется аппарат адаптивного экспоненциального сглаживания. В этом случае время для расчета значений функций Дп} отсчитывается относительно момента текущего наблюдения, т.е. вычисляется значение^ [n-k-п]- fi [-&]• Оценки коэффициентов находятся путем минимизации критерия

Q- "І <**(*[«- *]- FT[-k]^[n])2 .        (3.39)

*=0

Класс функций, применяемых в адаптивно   экспоненциальном сглаживании, ограничивается функциями, облагающими свойством

F[n + \]=LF[tr]t     (3.40)

где £ - переходная матрица размером (рхр), не зависящая от времени [95]. Требованию (3.40) отвечают, например, полшг ^миальные, экспоненциальные и гармонические функции

Вектор неизвестных параметров Ф определяется с помощью выражения

(3.41) (3.42)

,ТчГ„Т _   П~ІГ

где R[n] = R[n -\} + Щп] = F[0]x[n]+ Je

Коэффициенты F[Q], a, L'1 - ке зависят от времени и могут быть введены в ЭВМ как константы. Предиктор, реализующий метод адаптивного экспоненциального сглаживания, осуществляет прогноз согласно выражению

х[«+/]= Рт[1]Ф[п] = Рт[1]К~1М[п] = ^[/]Мк] > (3.44) где Ір[1] - вектор-столбец размером (рх 1) коэффициентов, зависящих от времени упреждения и вычисляемых заранее.

Рассмотрим рекуррентную форму адаптивного экспоненциально

го сглаживания, когда прогнозирование преступности производится

на один шаг вперед. Для примера возьмем прогноз на мометгг ?г, сде

ланный в момент й-1. Тогда можно              I

х([п - 1] + 1) s ФГ[« - 1]F[1],               (3,45).

С учетом" (3.3 8) несложно получить оценив:

Вводя в рассмотрение вектор И- К" F{0], не зависящий ci r -можно вычислить оценки

-50-

Ф[и] » Нх[п] + £,ГФ(я - 1] - HF[ ї]Ф[п - 1] =

= 1ТФ[п -1] + Н(х(п] - х([п - і] + 1)) = 1ТФ[п -\]+ Hv[n],   (3.47) где v[n] • ошибка прогнозирования на и-ом шаге.

Использование адаптивных процедур экспоненциального сглаживания, несмотря на их привлекательность, связано с целым рядом затруднений, среди которых прежде всего нужно отметить необходимость достаточно точного знания начального вектора Ф[0]. Так, например, если в качестве предиктора используется полином второго порядка, для оценки веюора Ф{0) необходимо иметь не менее 150 наблюдений. Естественно, что в условиях использования малых выборок применение таких процедур становится весьма проблематичным.

3.6.    Некоторые    рекомендации    по    выбору    параметра сглаживания

При построении прогнозов с помощью метода экспоненциального сглаживания одной из основных проблем является выбор оптимального значения параметра а . Вопрос об оптимальности до настоящего времени остается открытым, так как неясно, ч го же принять за критерий оптимальности. Естественно, что при различных значениях результаты прогноза будут различными. При существенных изменениях значений показателей преступности может возникнуть ситуация, когда за время, пока предиктор обеспечит оценку новой детерминированной основы преступно», ти с необходимой точностью, появляются недопустимо большие ошибки прогнет. В связи с этим возникает задрча регулирования скорости реакции предиктора на изменения в динамике развития преступное!» на основе контроля ошибок прогнозирования. Как указывалось в {50], качество прогнозирования в зависимости от а носит экстремальный характер. При малых а обеспечивается большая точность при неизменной динамике изучаемого процесса, но медленная реакция на возможные изме-ненчя и, наоборот, увеличение а будет способствовать увеличению скорости этой реакции. В конечном итоге параметр шшживанш толжен выбираться таким, чтобы предиктор рфалал все изменения в лруктуре прогнозируемого ряда и игнорироїшь при том случайньк

'НУ;МуЩеНИЯ.

Зная статистические характеристики процесса, можне в принципі •з»І'/испить оптимальное значение о. Гак, например, д;и мяркоысннч оптимальное значение параметра сглаживание имеет вид

-51-

<x =

2r.

при   -

(3.48)

при      -\

где r\ - коэффициент автокорреляции при задержке на один шаг. Однако недостаток априорной информации о преступности и возможность изменения его параметров не позволяют нам в практических расчетах пользоваться формулами типа (3.48).

Различные авторы дают самые разнообразные рекомендации по выбору параметра сглаживания. Автор метода экспоненциального сглаживания Р.Браун рекомендует определять величину от, исходя из длины интервала сглаживания пи. При этом а вычисляется по формуле

а = -~-,    (3.49)

«0 + 1

но остается неясным, какую величину интервала сглаживания по выбирать. В [95] рекомендуется выбирать а в интервале 0.0 і-0,3, но и этот интервал слишком велик, чтобы сделать однозначный выбор. Задача выбора параметра сглаживания не может быть решена, исходя только из критерия (3.25). Настоящая задача может бьпь решена введением специальных критериев или ограничений.

В том случае, когда мы имеем априорную информацию о характере дрейфа коэффициентов предиктора Фэ можно использовать прием, разработанный в [62, 63]. Предположение • о характере дрейфа понимается ь том смысле, что годограф последовательности Ф[«] может быть аппроксимирован некоторой (априори веи^гестной й не наблюдаемой) кусочно-линейной траекторией с достаточно резкими точками разрывов и изломов. В случае прогнозирования преступности дрейф проявляется либо в виде достаточно плавного дрейфа коэффициентов либо в виде больших, "но редких скачкообразных изменений Ф.

л-*„

1

Для определения извилистости годографа вектора коэффициентов Ф на интервале [п - k, n] строится функция

»'=0

(3-50)

где | • || - евклидова норма.

Минимум этой функции достигается, когда годограф представлен. прямой линией, по мере увеличения извилистости годографа данная функция возрастает. Очевидно также, что извилистость увеличивается с ростом влияния помех. При прочих равных условиях величин;*

-52-

(3 50) находится в прямой зависимости от дисперсии ошибки прогноза и в обратной - от величины а . Эти обстоятельства позволяют разработать алгоритм, обеспечивающий поддержание а в окрестности неизвестного значения а путем стабилизации величины (3.50). В этом случае постоянная « заменяется кусочно-постоянной функцией а[я]=а, при Л0 + qk <, п < n0+(q+ \)k , q-0, I,..., причем ач определяется в моменты времени п = n0+qk по следующей рекуррентной формуле: aq -Qg-i + Aq,q = 1,2,,..

Да если Да если О во

Здесь «о. Да,

и   £fy_j <amax -Да, и   û^~l>amin - Да, (3.51) всех   остальных   вариантах , аВ1Ш , а,^ - заданные консіанш («ц Да<0; cj > с2 > 0; 1 > Onu» > «шш > 0). Благодаря условию (3.51) создаеіся схема автоматической стабіпизации извилистосіи оценок, основанная на использовании отрицательной обратной связи. К сожалению, недостаток этой схе.мы заключается в необходимости выбора целого ряда неизвестных параметров.

В [92, 115] рассматриваю гея методы реіулирования парамефа сглаживания на основе использования так называемого следящего сигнала. Следящий сигнал по Брауну определяется как

о-,.

(352)

где crv  - дисперсия ошибки прогноза, а но Грипу-Лич) как

? „ад

•

(3,53)

где ЗД - a'v[n] + (1 - a')Sv[n -1],

Ял] = a"|v[w| + (1 - а")Щп -1].

Рекомендации по использованию следящего сигнала обычно сводятся к совету изменить а при достижении сигналом определенного уровня. В [50] предложено осуществлять регулирование а с использованием методов адаптационной оптимизации. В данной ситуации наиболее   целесообразно   использование   поеледиваюльнсло   сим плекс-метода и различных его модификаций (31) Задавшись кипим либо критерием качества прогноза, б>дем искать ею я,стрем>м в за ви» нмости or величины а. Поскольку в данном случае мі,» имеем де-!о с задачей одномерной ошнмчмцни, симплекс бу.згг и/че;

отрезка прямой. Исходя из общей процедуры движения симплекса, получаем;

2 *

" '   ,        (3.54)

*/=!

где А - размерность факторного пространства, ао - отражаемая вершина, At, г отраженная вершина, A ,(i = 1, 2,..., &) - множество вершин симплекса. Запишем шпорнім регулирования параметра сглаживания в виде

а[п}*2а[п-\]-а[п-2\,              (3.55)

где of «J - значение папаметра сглаживания на п~и такте регулирования, а[п-2], ttjw-lj - значения параметра сглаживания, соответствующие наихудшему и наилучшему прогнозам на двух предыдущих тактах соответственно. Естесі венно, что при такой процедуре нужно задать некоторый шаг дискретности изменения параметра сглаживания Да. Таким образом, в процессе прогнозирования мы будем непрерывно подстраивать а и тем самым регулировать объем исноль-зуемой предыстории процесса. Для ускорения этого процесса можно испольювагь различные модификации последовательного симплекс метода, например, Нелдера-Мида [28J, Дамбраускаса [31] и др.

-54-