ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ /Л. Балансовые модели преступности

Результаты функционирования любой социально-экономической системы находят свое отражение в отчетных взаимосвязанных социально - экономических показателях. Система показателей дает информацию, качественно отличную от той, которую несут отдельные статистические показатели. Рассматривая показатели в системе, можно установить причинно-следственные связи и отношения, имеющиеся в рассматриваемых явлениях.

Как было отмечено выше, преступность можно рассматривать как некоторый социально-экономический процесс, который формируется под влиянием различных социально-экономических явлений. Поэтому, в процессе анализа и прогнозирования преступности представляется целесообразной задача выделения системы социально-экономических фаюоров, оказывающих наибольшее влияние на формирование преступности и изменение динамики ее развития, и построение моделей их взаимосвязей.

Проведенные исследования показали, что наиболее эффективными при решении такого рода задач являются балансовые модели. В основе предлагаемой балансовой модели лежат следующие предположения:

Преступность, в целом, является совокупностью отдельных ви

дов преступлений (в зависимости от классификации преступности,

используемой при построении модели и ее анализе), которые могут

рассматриваться в виде отдельных объекюв.

Каждый объект характеризуется множеством допустимых для

данного объекта (вида преступности) наборов значений факторов,

оказывающих влияние на формирование преступности.

Увеличение числа совершенных преступлений конкретного вида

в несколько раз возможно только при таком же изменении значе

ний соответствующих  социальных  и экономически.*  факторов

(свойство линейности).

Пусть модель преступности описывает п различных видов пре-.стунности. Обозначим эти виды через  Р], Р?, ..., pj, . . , Р„. Отдельные виды преступлений можно охарактеризовагь числами, которые равны х(, Полный вектор числа совершенных преступлений

обозначим как Х = {х ,...,х.                х }. Для построения модели пре

ступности выберем т влияющих на развитие преступности факто

ров, потребность системы в которых может быть описана вектором

-109-

соответствующих значений G = {g,.-.g,.-.gmb Каждый вид преступности Р> будем характеризовать вектором

1-я компонента которого указывает, какое количество /-го фактора необходимо для совершения одного преступления вида у. Таким образом учитываются предположения (2) и (3). Числа уц будем называть коэффициентами прямых затрат факторов. Влияние факторов на формирование отдельных видов преступлений может быть охарактеризовано матрицей коэффициентов прямых затрат факторов

>u    V21    -   ¥\j    -     ¥\п "

У 21     V22     -     V2J     -       V 2*

(7.2)

\¥ ml     ¥ ml     -     V*J     •••     ¥ тн/

j-й столбец которой состоит из 'коэффициентов прямых затрат факторов, влияющих на формирование у-го вида преступности, а 1-я строка описывает суммарное влияние фактора /, на формирование преступности в целом.

Если полный вектор числа совершенных преступлений есть X ~{х ,...,* ,...,* }, ю суммарное влияние фактора / на формирование преступности можно определить по формуле;

(1^1,2,.... т).            (7.3)

С учетом вышесказанного, балансовая модель преступное! rf будет

Т

иметь вид:             X = iff  G,               (7.4)

7.2, Адаптивные алгоритмы прогнозирования многомерных

временных рядов                ,

Представляя обобщенную модель в виде (6.6), мг тем самым рассматривали влияние множества факторов на единственный отклик. При таком подходе задала прогнозирования чножества показателей будет реиться с номшцью множества моделей, причем влияние различных откликов друг аа друга не учитывается. В ю же время, как уже отмечалось выше, любая социально-

-Не-

экономическая система характеризуется множеством показателей, которые должны прогнозироваться одновременно и в тесной взаимосвязи. В данном разделе рассматриваются проблемы прогнозирования многомерных временных рядов на основе математической модели со множеством факторов и откликов. Рассмотрим модель вида [24, 33, 34]

Xln] = ¥'TG[n}+~[n],           (7.5)

где Х[п}> G[n] - векторы размерности р и q соответственно, у -(<7>$»)- матрица коэффициентов, S [n] - последовательность взаимно некоррелированных случайных векторов с нулевым средним и ковариационной (р*р) матрицей

R*M{00T}.           (7.6)

В данной задаче у и R - матрицы неизвестных параметров, которые должны быть оценены на основании многомерных рядов Х[п], G[n], «=1,2,.... Заметим, что вектор С[п] может содержать как входные переменные g[n] в момент времени, п, так и авто-регрессивные члены, то есть

GT[n]=(G[n},Xr[»- l],Jfr[»-2],,..,l).      (7.7)

Запишем (7.S) относительно ошибок, заменив у* его оценкой у

ф,] = ад-ггСМ,      4 (7-8)

и зведем в рассмотрение критерий идентификации

(7.9)

где А- некоторая положительно определенная (р*р) матрица. Предполагается, что неизвестная матрица у* не зависит о'т времени. Однако во многих практических приложениях это не выполняется, поэтому необходимо предусмотреть возможность слежения за изменяющейся матрицей уЛ Простейший прием в этом случае заключается в экспоненциальном взвешивании данных согласно их "возрасту". Тогда критерий (7.9) удобнее рассматривать в виде

где последовательность весов or £1 выбирается аналогично тому, как это показано ранее. Критерий (7.10) может быть записан следующим образом:

Q=

(7.11)

j=l

где /„ - единичная матрица (рф),

Матрица W\n] может быть   вычислена   согласно    рекуррентному соотношению

/   yf    «"ІЧ f   yf    *ï\  *

(7.13)

Если матрица И'іп] представима в виде

Щп} =

(7.14)

то (7. 1 1) можно записать в форме: Q =

где

есть решение матричного уравнения

которое для невырожденной матрицы Н^|я) имеет вид

И«1-^!Лм-             (7-17)

Очевидно, что для любой положительно определенной А ми-шшум (7.15) достигается для Іу=у/ [п]. Отсюда tff [п] для <х^\ является оценкой наименьших квадратов у*.

Оценка R може І быть получена из выражения

j\n],         (7.18)

где

(7.19) (7.20)

Тогда оценка (7,18) может быть выражена следующим образом:

. г[и]

где

-ИМ,

(7.21)

-112-

«

ri „_      *iyf*F ! ? 4- I           /7 'J'%\

При организации вычислительного процесса вместо    оценок (7.13), (7.17) и (7.22) удобнее непосредственно рассматривать

СМ-Я&,.                (7.24)

Тогда процесс построения многомерной модели может быть проведен по следующим рекуррентным соотношениям:

/*Гм1 — Ґ* fm     îl^Twl     /7 OjC^

s [и] = Gr[»]C [n - 1К?{и] = С7Г[и]А[я],          (7.27)

S2[n]-a2^e [иі,       (7.28)

1

-v[«}vr[w],

(7.30)

47.31)

Сам автор настоящего метода В. Петерка.указывает, что хотя данная процедура хорошо обоснована, ничего-не может быть сказано о ее оптимальности 0 статистических свойствах получаемых оценок,

І

которые могут быть получены только в асимптотике. Мы же, со своей стороны, отметим, что с вычислительной точки зрения проце; дура(7,25Н?-31) представляется громоздкой и требующей значительного объема априорной информации. Поэтому разработка более простых процедур прогнозирования многомерных временных последовательностей представляется весьма привлекательной.

Пусть оценка значения прогнозируемого вектора показателей Щп] представиш линейной формой

Х[п]*Ф'Щп-Л       (7.32)

гІеДв]==(хІ[пї,Х2[йї,...,хж[й])г - вектор показателей размерности (»к1); Щп, p]™(xi[rhl],xi[n-2])...,xiln-p],x2[n-\]r..,xM[n-p]f- вектор показателей размерности (ран)х1;

-113-

1* p-m

**

•ï

v?i... <pp

- матрица исходных коэффициентов размерности m*(pxm).

Для определения неизвестных коэффициентов матрицы Ф * воспользуемся градиентной процедурой. Коэффициенты матрицы Ф будем определять, минимизируя функционал

(7.33)

Тогда градиентный алгоритм настройки 'оэффициентов матрицы Ф будет иметь вид

Ф[п}= Ф[п-1]-2г [пМ.п]Х* І"- -у],    (7.34)

где v[m] = Х[п] -Ф[п- \]Х{п ~ j] - ошибка прогігоза на «-ом шаге. Для определения значения параметра п введем критерий

0{п}=ТгОТ{п-\}9 [п-1}-ТгвТ{п$ [ni                (7.35)

Махсяшізадия критерия (7.35) соответствует трео..^«нию наибольшей скорости убывания средней дисперсии оценок коэффициентов матрицы Ф.

Запишем алгориш (7.34) относитгяжо оід'^ок

Т

Умножая выражение (7.36) слева на в {п] и подставляя полученное выражение в (7.35), имеем

Шп]ХТ(п-№[п-\]-

~2ТгГ 2[n}X\n-j}vT[n}v[n}XT[n~j}.

(7.37)

Оптимальное значение у'[п] получаем приравниванием нулю производной критерия @[п} до у [и], т.е. из уравнения

(7.38)

Решая это уравнение относительно у[п], получим

Т[п - j] + Tr vT[n]XT[n -J>r(»M»]^rf» - Л

или с учетом того, что

-114-

-.(7.40)

У l«î=~

2TrX[n - j}vT(n\v[n\XT[n - j]      XT[n - j]X[n - J] Найденное -значение у '[п] действительно обеспечивает минимум & [п], так как

= -ТгХ[п -

[л - у] < 0 .     (7.4 і )

Окончательно алгоритм (7.34) приобретает вид:

тгх[п~д*гШп]хт[п-Я 1

В частном случае, когда Х[п] -   одномерная   временная по-

следовательность, т.е.

, ,      * ,   *

Х\п -J] , (7,43)

х[п} = >

алгоритм настройки коэффициентов (7.42) имеет вид

(7.44)

т.е. совпадает с алгоритмом Качмажа.

Действительно, записав градиешную процедуру (7.34) для случая (7.43) и повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что

if - \\

^-- \}Х(п

j

\n - \\ х (7.45;

Подставляя далее й (7.38) выражение уїл О[п] (7 45; а у: (7.40), находим

v    — —                tl До '

/        —  (,  /     W s

Цтметим,  ч.о   данный алгоритм    кроме

'. * ;;;л' ' rit ил (uAd^'ï Іщо одним важним   І І

Vj =

-116-

л-

їмо

ІЄ%

70 •

«в

60

40-

го

го

r/ройнози/,. Рис. 72

•vl -°~v2

Данный алгоритм был использован для построения модели, связывающей коэффициенты хищений, совершенных путем кражи (>() и хищений, совершенных путем раеграгы (дса) в г. Харькове, которые приведены на рис. 4.2. Характер взаимосвязи между коэффициентом х\ и коэффициентом дг2 был определен системой уравнении

з              з

l»-j\

(7 47}

где р і (Л я 1, ,.., 6; / = 1 ,2) - подлежащие   определению козффи-циенты.

Нарис. 7.1 представлена динамика факіических значений х\ ндг их ііроіноюв. а на рис 7.2 - динамика ошибок прогноза. Ках следует иі фафяков, процесс прогнозирования каракчернзуегся пе~ риодом обучения со жачатсльнымн ошибками прогноза и периодом слежения, коїла нроінош мало отличаются от фактических значений нокаттелей. Результаты прогнозирования свндеіе Іьству-Іог о тим, чіо применение данного адаптивного алгоритме поэво-яяеі о [споживать нестационарный характер

Î18