5.1. Базовая модель домохозяйства с одним работником

Как и в работах Й. Бен-Порэта (1967, 1970), принципиальным аналитическим предположением в этой модели является то, что человеческий капитал функционирует на основе нейтрального эндогенного технического прогресса типа Харрода с временем в качестве аргумента. Человеческий капитал воплощен в людях и является продуктивным как в рыночном смысле, так и в производстве самого себя, если он используется в личное время агента. В отличие от модели Й. Бен-Порэта, Дж. Хекман предполагает, что человеческий капитал является прямым источником потребительских выгод, так как оказывает воздействие на эффективность проведения свободного времени агента, используемого в его потреблении.

Описание семейных предпочтений включает представление, что человеческий капитал дает внерыночные выгоды, воплощен в личности человека и заключается в моментальной функции полезности человека в возрасте (t):

, (1)

где X(t) – поток потребляемых в семье благ (предметов длительного пользования и продуктов питания);

L(t) – время досуга (свободное от работы);

H(t) – величина человеческого капитала в момент;

c – положительный коэффициент продуктивности.

Функция полезности предполагается строго вогнутой по ее аргументам с положительными первыми производными. Представление, что образование влияет на семейные предпочтения, является эмпирически доказанным в работе Михаэля (Michael, 1973).

Описание производства человеческого капитала, которое соответствует нейтральной по Харроду модели Бен- Порэта, дается соотношением для темпа роста человеческого капитала, H:

(2)

где J(t) – время, посвященное накоплению человеческого капитала;

D(t) – затраты покупаемых товаров на инвестиции в человеческий капитал;

s - экспоненциальная ставка обесценения человеческого капитала (норма амортизации);

b – коэффициент продуктивности.

Производственная функция F предполагается строго вогнутой. Кроме того, человеческий капитал бывает продуктивным только в случае, если потребитель выделяет собственное время для его производства. Уравнение (2) является динамическим ограничением, налагаемым на поведение потребителя.

Второе ограничение, воздействующее на поведение потребителя, это бюджетное ограничение. Предполагается, что на кредитном рынке действует ставка процента и выполняется требование, чтобы конечная ценность финансовых вкладов была неотрицательной (в конце жизни агента). Если рыночная ценность единицы услуг человеческого капитала равна ставке R в единицу времени, то максимальная доналоговая величина заработка человека в данный момент времени равна: W(t) = RH(t), где максимальный объем времени, располагаемый потребителем в момент t, нормализован к единице.

Суммарные затраты равны денежным затратам на потребление товаров X(t) по цене P(t), прямым расходам на образование D(t) c ценой Pd(t), затратами досуга L(t) и инвестиционного времени J(t), каждое из которых измеряется в долях единицы и оценивается ценой W(t). При отсутствии налоговой системы и переоценки капитальных вкладов суммарные сбережения в возрасте t (т.е. общее изменение чистого финансового богатства) можно записать так:

(3)

где r A(t) равно доходу от процентов по вкладу (или выплате процентов по долгам).

При наличии пропорционального подоходного налога со ставкой (1-a) ограничение (3) принимает вид:

(4)

При расчетах на основе реальных данных могут встретиться счетные проблемы:

1. Измеренные доходы могут не включать расходы на образование Pd(t)×D(t) при обучении на производстве, когда работодатель выплачивает пониженную заработную плату обучаемому работнику.

2. Отчетные (сообщаемые) часы работы могут включать инвестиционное время (при обучении на рабочем месте).

Если налоговую ставку умножить на измеренный доход, а доход очистить от прямых расходов на инвестиционные товары, то ограничение (3) приобретает вид (4).

В модели Дж. Хекмана предполагается, что потребитель максимизирует дисконтированную с помощью нормы предпочтения во времени d общую полезность на горизонте времени Т:

(5)

где d – норма предпочтения во времени;

B[A(Т)] - полезность, получаемая от конечных (посмертных) активов (от оставляемого наследства), предполагаемая строго вогнутой.

Обозначив предельную полезность дохода в момент t (т.е. «теневую» цену активов) через l(t) и отношение «теневой» цены человеческого капитала к «теневой» цене физического (нечеловеческого) капитала через g(t), Дж. Хекман доказывает, что

(5а)

(5б)

Конечная «теневая» цена активов (l(t)) равна предельной ценности посмертных активов, а конечная относительная «теневая» цена человеческого капитала (g(t)) равна нулю, так как человеческий капитал воплощен в человеке. Обе переменные цены монотонно снижаются с возрастом человека. Функции спроса на покупаемые товары X(t) и эффективное время (L(t)H(t)) являются полезностным аналогом функций спроса на факторы для конкурентной фирмы, максимизирующей прибыль на горизонте T. В этой задаче предельная полезность (l(0)) является аналогом цены продукта (которая равна предельным затратам), измеренной в единицах ценности начального периода. Поэтому можно написать:

  ;       (6а)

.         (6б)

Из строгой вогнутости и двойной дифференцируемости функции полезности вытекают следующие ограничения:

(6в)

(6г)

Матрица первых частных производных функций спроса является отрицательно определенной.

Спрос на инвестиционный вход в модели Дж. Хекмана записан как

(7а)

(7б)

Строгая вогнутость и дважды дифференцируемость производственной функции подразумевает, что

D1<0       IH2<0 (7в)

D2=IH1 (7г)

И эта матрица первых частных производных функции спроса на инвестиционный вход является отрицательно определенной.

Уравнения (5б), (7а) и (7б) показывают, что если цена спроса для человеческого капитала, g(t), является независимой от начальных запасов человеческого или физического капитала, то индивидуумы, различающиеся по величине таких запасов, принимают одинаковые решения по инвестициям в человеческий капитал.

Определим запас человеческого капитала индивидуума в возрасте t как интеграл от дисконтированных инвестиций в человека в предыдущий период плюс дисконтированный начальный запас человеческого капитала:

. (8)

В настоящее время ценность ресурсов, доступных для конечного потребления и досуга за все время жизни, FW, равна:

Текущий доход человека является потоком ежегодного дохода, эквивалентного по ценности FW.

Выражение в фигурных скобках внутри интеграла является ценностью прибылей от инвестиций в человеческий капитал индивидуума в возрасте t. Интеграл от этого выражения, приведенный к началу жизни человека, является ценностью чистых заработков индивидуума от инвестиций в его человеческий капитал за все время его жизни.

Как и в работах Й. Бен-Порэта (1967, 1970), принципиальным аналитическим предположением в этой модели является то, что человеческий капитал функционирует на основе нейтрального эндогенного технического прогресса типа Харрода с временем в качестве аргумента. Человеческий капитал воплощен в людях и является продуктивным как в рыночном смысле, так и в производстве самого себя, если он используется в личное время агента. В отличие от модели Й. Бен-Порэта, Дж. Хекман предполагает, что человеческий капитал является прямым источником потребительских выгод, так как оказывает воздействие на эффективность проведения свободного времени агента, используемого в его потреблении.

Описание семейных предпочтений включает представление, что человеческий капитал дает внерыночные выгоды, воплощен в личности человека и заключается в моментальной функции полезности человека в возрасте (t):

, (1)

где X(t) – поток потребляемых в семье благ (предметов длительного пользования и продуктов питания);

L(t) – время досуга (свободное от работы);

H(t) – величина человеческого капитала в момент;

c – положительный коэффициент продуктивности.

Функция полезности предполагается строго вогнутой по ее аргументам с положительными первыми производными. Представление, что образование влияет на семейные предпочтения, является эмпирически доказанным в работе Михаэля (Michael, 1973).

Описание производства человеческого капитала, которое соответствует нейтральной по Харроду модели Бен- Порэта, дается соотношением для темпа роста человеческого капитала, H:

(2)

где J(t) – время, посвященное накоплению человеческого капитала;

D(t) – затраты покупаемых товаров на инвестиции в человеческий капитал;

s - экспоненциальная ставка обесценения человеческого капитала (норма амортизации);

b – коэффициент продуктивности.

Производственная функция F предполагается строго вогнутой. Кроме того, человеческий капитал бывает продуктивным только в случае, если потребитель выделяет собственное время для его производства. Уравнение (2) является динамическим ограничением, налагаемым на поведение потребителя.

Второе ограничение, воздействующее на поведение потребителя, это бюджетное ограничение. Предполагается, что на кредитном рынке действует ставка процента и выполняется требование, чтобы конечная ценность финансовых вкладов была неотрицательной (в конце жизни агента). Если рыночная ценность единицы услуг человеческого капитала равна ставке R в единицу времени, то максимальная доналоговая величина заработка человека в данный момент времени равна: W(t) = RH(t), где максимальный объем времени, располагаемый потребителем в момент t, нормализован к единице.

Суммарные затраты равны денежным затратам на потребление товаров X(t) по цене P(t), прямым расходам на образование D(t) c ценой Pd(t), затратами досуга L(t) и инвестиционного времени J(t), каждое из которых измеряется в долях единицы и оценивается ценой W(t). При отсутствии налоговой системы и переоценки капитальных вкладов суммарные сбережения в возрасте t (т.е. общее изменение чистого финансового богатства) можно записать так:

(3)

где r A(t) равно доходу от процентов по вкладу (или выплате процентов по долгам).

При наличии пропорционального подоходного налога со ставкой (1-a) ограничение (3) принимает вид:

(4)

При расчетах на основе реальных данных могут встретиться счетные проблемы:

1. Измеренные доходы могут не включать расходы на образование Pd(t)×D(t) при обучении на производстве, когда работодатель выплачивает пониженную заработную плату обучаемому работнику.

2. Отчетные (сообщаемые) часы работы могут включать инвестиционное время (при обучении на рабочем месте).

Если налоговую ставку умножить на измеренный доход, а доход очистить от прямых расходов на инвестиционные товары, то ограничение (3) приобретает вид (4).

В модели Дж. Хекмана предполагается, что потребитель максимизирует дисконтированную с помощью нормы предпочтения во времени d общую полезность на горизонте времени Т:

(5)

где d – норма предпочтения во времени;

B[A(Т)] - полезность, получаемая от конечных (посмертных) активов (от оставляемого наследства), предполагаемая строго вогнутой.

Обозначив предельную полезность дохода в момент t (т.е. «теневую» цену активов) через l(t) и отношение «теневой» цены человеческого капитала к «теневой» цене физического (нечеловеческого) капитала через g(t), Дж. Хекман доказывает, что

(5а)

(5б)

Конечная «теневая» цена активов (l(t)) равна предельной ценности посмертных активов, а конечная относительная «теневая» цена человеческого капитала (g(t)) равна нулю, так как человеческий капитал воплощен в человеке. Обе переменные цены монотонно снижаются с возрастом человека. Функции спроса на покупаемые товары X(t) и эффективное время (L(t)H(t)) являются полезностным аналогом функций спроса на факторы для конкурентной фирмы, максимизирующей прибыль на горизонте T. В этой задаче предельная полезность (l(0)) является аналогом цены продукта (которая равна предельным затратам), измеренной в единицах ценности начального периода. Поэтому можно написать:

  ;       (6а)

.         (6б)

Из строгой вогнутости и двойной дифференцируемости функции полезности вытекают следующие ограничения:

(6в)

(6г)

Матрица первых частных производных функций спроса является отрицательно определенной.

Спрос на инвестиционный вход в модели Дж. Хекмана записан как

(7а)

(7б)

Строгая вогнутость и дважды дифференцируемость производственной функции подразумевает, что

D1<0       IH2<0 (7в)

D2=IH1 (7г)

И эта матрица первых частных производных функции спроса на инвестиционный вход является отрицательно определенной.

Уравнения (5б), (7а) и (7б) показывают, что если цена спроса для человеческого капитала, g(t), является независимой от начальных запасов человеческого или физического капитала, то индивидуумы, различающиеся по величине таких запасов, принимают одинаковые решения по инвестициям в человеческий капитал.

Определим запас человеческого капитала индивидуума в возрасте t как интеграл от дисконтированных инвестиций в человека в предыдущий период плюс дисконтированный начальный запас человеческого капитала:

. (8)

В настоящее время ценность ресурсов, доступных для конечного потребления и досуга за все время жизни, FW, равна:

Текущий доход человека является потоком ежегодного дохода, эквивалентного по ценности FW.

Выражение в фигурных скобках внутри интеграла является ценностью прибылей от инвестиций в человеческий капитал индивидуума в возрасте t. Интеграл от этого выражения, приведенный к началу жизни человека, является ценностью чистых заработков индивидуума от инвестиций в его человеческий капитал за все время его жизни.