Теория игр

Рассмотрим стратегию "зуб за зуб" в повторяющейся игре "дилемма заключенного". Предположим, что один из игроков совершает ошибку и нарушает соглашение, хотя собирался сотрудничать. Что при этом произойдет, если оба игрока будут продолжать следовать стратегии "зуб за зуб"?

Всегда ли равновесия с доминирующими стратегиями являются равно­весиями по Нэшу? Всегда ли равновесия по Нэшу являются равновесиями с доминирующими стратегиями?

Допустим, что ваш противник не следует стратегии, равновесной по Нэшу. Должны ли вы в таком случае следовать вашей равновесной по Нэшу стратегии?

Известно, что игра "дилемма заключенного", разыгрываемая в один раунд, имеет результатом равновесие по Нэшу с доминирующими стратегиями, которое является неэффективным по Парето. Предположим, что мы позволим двум заключенным отомстить после того, как они отсидят в тюрьме предполагаемый срок. На какую сторону игры это могло бы ока­зать формальное воздействие? Мог бы при этом возникнуть исход, эффек­тивный по Парето?

Какова доминирующая стратегия в равновесии по Нэшу для повто­ряющейся игры "дилемма заключенного", если оба игрока знают, что игра закончится после одного миллиона повторений? Если бы вы собирались провести эксперимент с людьми, разыгрывающими данный сценарий, каков был бы ваш прогноз в отношении возможности использования игроками данной стратегии?

Допустим, что в последовательной игре, описанной в настоящей главе, первый ход делает не игрок A, а игрок B. Нарисуйте новую игру в экстен­сивной форме. Каково равновесие в этой игре? Что предпочтет игрок B – делать ход первым или вторым?

Обмен

Может ли существовать такое распределение, эффективное по Парето, при котором чье-либо благосостояние ниже, чем при распределении, не эффективном по Парето?

Может ли существовать такое распределение, эффективное по Парето, при котором благосостояние всех индивидов ниже, чем при каком-то распределении, не являющемся эффективным по Парето?

Верно или неверно? Если нам известна контрактная кривая, то известен исход любой сделки.

Можно ли повысить благосостояние какого-то индивида, если мы находимся в точке распределения, эффективного по Парето?

Если на восьми из десяти рынков стоимость избыточного спроса равна нулю, то что можно сказать про два оставшихся рынка?

Производство

Конкурентная цена кокосов равна 6$ за фунт, а конкурентная цена рыбы – 3$ за фунт. Сколько добавочных фунтов рыбы могло бы произвести общество, отказавшись от производства 1 фунта кокосов?

Что произошло бы, если бы фирма, деятельность которой представлена на рис. 3, решила платить более высокую зарплату?

В каком смысле конкурентное равновесие можно считать для данной экономики хорошим и в каком – плохим?

Что должен сделать Робинзон, стремясь увеличить свою полезность, если предельная норма замещения кокосов рыбой составляет для него –2, а предельная норма трансформации для этих двух товаров равна –1?

Экономическая теория благосостояния

Предположим, мы говорим, что распределение x общественно пред­почитается распределению y только в том случае, если каждый пред­почитает распределение x распределению y. (Иногда это называют ранжи­рованием по Парето, так как данное ранжирование тесно связано с идеей эффективности по Парето.) Каков недостаток данного подхода, если пользоваться им как правилом принятия общественных решений?

Роулсианская функция благосостояния учитывает только благосостояние того индивида, у которого оно ниже всех. Функцию, являющуюся проти­воположностью роулсианской, можно было бы назвать "ницшеанской" функцией благосостояния – функцией благосостояния, согласно которой ценность распределения зависит лишь от благосостояния индивида с наивысшим уровнем благосостояния. Каков мог быть математический вид ницшеанской функции благосостояния?

Предположим, что множество возможных полезностей – выпуклое и что потребителей заботит только собственное потребление. Какого рода рас­пределения представляют точки максимума благосостояния для ниц­шеанской функции благосостояния?

Допустим, что распределение является эффективным по Парето и что каждого индивида заботит только его собственное потребление. Докажите, что должен существовать индивид, который никому не завидует в смысле, описанном в тексте данной главы. (Над этой головоломкой придется поразмыслить, но она того стоит.)

Способность устанавливать последовательность голосования часто может служить мощным орудием воздействия на итоги голосования. Приняв в качестве предпосылки, что общественные предпочтения определяются голосованием по принципу большинства по каждой паре альтернатив и что предпочтения приведены в таблице, продемонстрируйте этот факт, разработав такую последовательность голосо­вания, в результате которой победителем оказывается распределение y. Найдите такую последовательность голосования, при которой победи­телем оказывается z. Каким свойством общественных предпочтений объя­сняется то, что способность устанавливать последовательность голосо­вания обладает таким воздействием на его итоги?

Рассмотрим стратегию "зуб за зуб" в повторяющейся игре "дилемма заключенного". Предположим, что один из игроков совершает ошибку и нарушает соглашение, хотя собирался сотрудничать. Что при этом произойдет, если оба игрока будут продолжать следовать стратегии "зуб за зуб"?

Всегда ли равновесия с доминирующими стратегиями являются равно­весиями по Нэшу? Всегда ли равновесия по Нэшу являются равновесиями с доминирующими стратегиями?

Допустим, что ваш противник не следует стратегии, равновесной по Нэшу. Должны ли вы в таком случае следовать вашей равновесной по Нэшу стратегии?

Известно, что игра "дилемма заключенного", разыгрываемая в один раунд, имеет результатом равновесие по Нэшу с доминирующими стратегиями, которое является неэффективным по Парето. Предположим, что мы позволим двум заключенным отомстить после того, как они отсидят в тюрьме предполагаемый срок. На какую сторону игры это могло бы ока­зать формальное воздействие? Мог бы при этом возникнуть исход, эффек­тивный по Парето?

Какова доминирующая стратегия в равновесии по Нэшу для повто­ряющейся игры "дилемма заключенного", если оба игрока знают, что игра закончится после одного миллиона повторений? Если бы вы собирались провести эксперимент с людьми, разыгрывающими данный сценарий, каков был бы ваш прогноз в отношении возможности использования игроками данной стратегии?

Допустим, что в последовательной игре, описанной в настоящей главе, первый ход делает не игрок A, а игрок B. Нарисуйте новую игру в экстен­сивной форме. Каково равновесие в этой игре? Что предпочтет игрок B – делать ход первым или вторым?

Обмен

Может ли существовать такое распределение, эффективное по Парето, при котором чье-либо благосостояние ниже, чем при распределении, не эффективном по Парето?

Может ли существовать такое распределение, эффективное по Парето, при котором благосостояние всех индивидов ниже, чем при каком-то распределении, не являющемся эффективным по Парето?

Верно или неверно? Если нам известна контрактная кривая, то известен исход любой сделки.

Можно ли повысить благосостояние какого-то индивида, если мы находимся в точке распределения, эффективного по Парето?

Если на восьми из десяти рынков стоимость избыточного спроса равна нулю, то что можно сказать про два оставшихся рынка?

Производство

Конкурентная цена кокосов равна 6$ за фунт, а конкурентная цена рыбы – 3$ за фунт. Сколько добавочных фунтов рыбы могло бы произвести общество, отказавшись от производства 1 фунта кокосов?

Что произошло бы, если бы фирма, деятельность которой представлена на рис. 3, решила платить более высокую зарплату?

В каком смысле конкурентное равновесие можно считать для данной экономики хорошим и в каком – плохим?

Что должен сделать Робинзон, стремясь увеличить свою полезность, если предельная норма замещения кокосов рыбой составляет для него –2, а предельная норма трансформации для этих двух товаров равна –1?

Экономическая теория благосостояния

Предположим, мы говорим, что распределение x общественно пред­почитается распределению y только в том случае, если каждый пред­почитает распределение x распределению y. (Иногда это называют ранжи­рованием по Парето, так как данное ранжирование тесно связано с идеей эффективности по Парето.) Каков недостаток данного подхода, если пользоваться им как правилом принятия общественных решений?

Роулсианская функция благосостояния учитывает только благосостояние того индивида, у которого оно ниже всех. Функцию, являющуюся проти­воположностью роулсианской, можно было бы назвать "ницшеанской" функцией благосостояния – функцией благосостояния, согласно которой ценность распределения зависит лишь от благосостояния индивида с наивысшим уровнем благосостояния. Каков мог быть математический вид ницшеанской функции благосостояния?

Предположим, что множество возможных полезностей – выпуклое и что потребителей заботит только собственное потребление. Какого рода рас­пределения представляют точки максимума благосостояния для ниц­шеанской функции благосостояния?

Допустим, что распределение является эффективным по Парето и что каждого индивида заботит только его собственное потребление. Докажите, что должен существовать индивид, который никому не завидует в смысле, описанном в тексте данной главы. (Над этой головоломкой придется поразмыслить, но она того стоит.)

Способность устанавливать последовательность голосования часто может служить мощным орудием воздействия на итоги голосования. Приняв в качестве предпосылки, что общественные предпочтения определяются голосованием по принципу большинства по каждой паре альтернатив и что предпочтения приведены в таблице, продемонстрируйте этот факт, разработав такую последовательность голосо­вания, в результате которой победителем оказывается распределение y. Найдите такую последовательность голосования, при которой победи­телем оказывается z. Каким свойством общественных предпочтений объя­сняется то, что способность устанавливать последовательность голосо­вания обладает таким воздействием на его итоги?