ОТВЕТЫ

Рынок

Кривая спроса будет горизонтальной при резервной цене в 500 $ для 25 квартир, а затем упадет до уровня резервной цены в 200 $.

В первом случае равновесная цена будет равна 500 $, а во втором – 200 $. В третьем случае равновесной будет любая цена, заключенная в интервале между 200 $ и 500 $.

Потому что, если мы хотим сдать еще одну квартиру, нам придется предложить бо­лее низкую цену. По мере снижения p число людей, у которых резервные цены выше p, всегда должно увеличиваться.

Цена квартир внутреннего кольца возросла бы, поскольку спрос на квартиры не изменился бы, а предложение уменьшилось.

Цена квартир внутреннего кольца возросла бы.

В длительном периоде налог, несомненно, привел бы к уменьшению числа квартир, предлагаемых к сдаче.

Он установил бы цену в 25 $ и сдал бы 60 квартир. Во втором случае он сдал бы все 40 квартир по максимальной цене, приемлемой рынком. Эту цену мы находим из уравнения D(p)=100–2p=40, решение которого есть p*=30.

Все, у кого резервная цена выше равновесной цены конкурентного рынка, так что конечный исход был бы эффективным по Парето. (Разумеется, в длительном периоде, возможно было бы построено меньше новых квартир, что привело бы к неэффективно­сти другого рода.)

Бюджетное ограничение

Новая бюджетная линия задана уравнением 2p1x1+8p2x2=4m.

Точка пересечения с вертикальной осью (осью x­2) опускается ниже, а точка пересе­чения с горизонтальной осью (осью x1) остается той же самой. Поэтому бюджетная ли­ния становится более пологой.

Более пологой. Ее наклон есть –2p1/3p2.

Товар, цена которого была приравнена к 1; цены всех других товаров измеряются относительно цены товараизмерителя.

Налогу в размере 8 центов за галлон.

(t+ p1)x1+(p2–s)x2=m–u.

Да, поскольку все наборы, которые были доступны потребителю ранее, доступны ему при новых ценах и доходе.

Предпочтения

Нет. Потребителю могло бы быть и безразлично, какой из двух наборов выбрать. Единственное, что мы можем заключить с полным основанием, это то, что (x1,x2)f(у1,у2).

На оба вопроса следует ответить "да".

Это отношение предпочтения транзитивно, но не характеризуется полной упорядо­ченностью – оба человека могли бы быть одного роста. Оно не рефлексивно, так как неверным является утверждение, что человек строго выше себя самого.

Это отношение предпочтения транзитивно, но не характеризуется полной упорядо­ченностью. Что, если бы A был крупнее B, но двигался бы медленнее? Кого из двоих предпочел бы тренер?

Да. Кривая безразличия может пересекать себя, она просто не может пересекать другую, отличную от нее, кривую безразличия.

Нет, потому что существуют наборы, лежащие на данной кривой безразличия, кото­рые содержат строго больше обоих товаров, чем другие наборы, лежащие на указанной кривой безразличия.

Отрицательный наклон. Если вы дадите потребителю больше анчоусов, вы тем са­мым понизите его благосостояние, поэтому придется забрать у него немного стручко­вого перца, чтобы вернуть его на его кривую безразличия. В этом случае полезность возрастает в направлении к началу координат.

Потому что потребитель слабо предпочитает взвешенное среднее двух наборов третьему.

Если вы откажетесь от одной 5-долларовой купюры, то сколько 1-долларовых купюр вам потребуется в качестве компенсации? Вполне достаточно будет пяти купюр по 1 доллару. Следовательно, ответ составит –5 или –1/5 в зависимости от того, какой из товаров вы откладываете на горизонтальной оси.

Ноль – если вы заберете у потребителя немного товара 1, то ему потребуется ноль единиц товара 2, чтобы компенсировать эту потерю.

Анчоусы и арахисовое масло, шотландское виски и напиток "Кул Эйд" и другие подобные им омерзительные сочетания.

Полезность

Функция f(u)=u2 является монотонным преобразованием для положительных зна­чений u, но не для отрицательных.

1) да; 2) нет (верно для положительных v); 3) нет (верно для отрицательных v); 4) да (определяется только для положительных v); 5) да; 6) нет; 7) да; 8) нет.

Предположим, что луч из начала координат пересекал бы данную кривую безразли­чия в двух точках, скажем, в точках (х,х) и (у,у). Тогда либо х>у, либо у>х, а это означало бы, что один из наборов содержит больше обоих товаров. Но если предпочтения монотонны, то один из наборов должен был бы предпочитаться другому.

Обе функции полезности представляют совершенные субституты.

Квазилинейные предпочтения. Да.

Функция полезности представляет предпочтения Кобба-Дугласа.

Потому что MRS измеряется вдоль кривой безразличия, а полезность вдоль кривой безразличия остается постоянной.

Выбор

x2=0 при p1>p2, x2=m/p2 при p2<p1 и x2 принимает любое значение в интервале от 0 до m/p2, когда p1=p2.

Оптимальный выбор составит x1=m/p1 и x2=0, если p1/p2<b, x1=0 и x2=m/p2, если p1/p2>b, и любое количество товаров, лежащее на бюджетной линии, если p2/p1=b.

Пусть z – число чашек кофе, покупаемых потребителем. Тогда нам известно, что 2z есть число покупаемых им чайных ложек сахара. Должно удовлетворяться бюджетное ограничение 2p1z+p2z=m. Выразив из этого уравнения z мы получаем z=m/(2p1+p2).

Нам известно, что вы потребляете либо сразу все мороженое, либо сразу все олив­ки. Поэтому двумя оптимальными потребительскими наборами для вас будут либо x1=m/p1, x­2­­=0, либо x­1­­=0, x2=m/p2.

Эго функция полезности Кобба-Дугласа, поэтому он истратит на товар 4/(1+4)=4/5 своего дохода.

При ломаных предпочтениях, таких, как совершенные комплементы, когда измене­ние цены не вызывает никакого изменения спроса.

Спрос

Нет. Если его доход увеличивается и он расходует его целиком, то он должен поку­пать больше по крайней мере одного товара.

Функция полезности для совершенных субститутов есть u(x1,x2)>x1+x2. Поэто­му, если u(x1,x2)>u, мы имеем x1+x2>y1+y2. Отсюда следует, что tx1+tx2>ty1+ty2, так что u(tx1,tx2)>u(ty1,ty2).

Функция полезности Кобба-Дугласа обладает тем свойством, что u(tx1,tx2)=(tx1)a(tx2)1–a=tx1ax21–a=tu(x1,x2). Поэтому, если u(x1,x2)>u(y1,y2), то мы знаем, что u(tx1,tx2)>u(ty1,ty2), так что предпочтения Кобба-Дугласа действительно гомотетичны.

Кривой спроса.

Нет. Вогнутые предпочтения могут приводить только к выбору таких оптимальных потребительских наборов, которые предполагают нулевое потребление одного из това­ров.

Мы знаем, что x1=m/(p1+p2). Выразив p1 как функцию других переменных, мы имеем p1=m/x1–p2.

Выявленные предпочтения

Нет. Этот потребитель нарушает Слабую Аксиому Выявленных Предпочтений, по­скольку когда он покупал набор (x1,x2), он мог купить набор (y1,y2), и наоборот. В условных обозначениях: p1x1+p2x2=1∙1+2∙2=5>4=1∙2+2∙1=p1y1+p2y2 и q1y1+q2y2=2∙2+1∙1=5>4=2∙1+1∙2= q1x1+q2x2.

Да. Нарушений WARP нет, поскольку набор y не был доступен, когда покупался набор x, и наоборот.

Поскольку в момент покупки набора x набор y был дороже набора x, и наоборот, сказать, какой набор из двух наборов предпочтительнее, невозможно.

Изменение обеих цен на одну и ту же величину. В этом случае набор базисного года по-прежнему был бы оптимальным.

При совершенных комплементах.

Уравнение Слуцкого

Да.

В этом случае эффект дохода свелся бы на нет. Остался бы только чистый эффект замещения, который автоматически был бы отрицательным.

Правительство получает tx' в виде налоговых поступлений и выплачивает tx, поэто­му оно терпит убытки.

Поскольку их прежнее потребление остается доступным, благосостояние потребите­лей должно быть, по меньшей мере, таким же. Это происходит потому, что правительст­во возвращает им большую сумму денег, чем та, которую они теряют из-за более высо­кой цены бензина.

Купля и продажа

Его валовой спрос составляет (9,1).

В текущих ценах набор (y1,y2)=(3,5) стоит больше набора (4,4). Потребитель не обязательно предпочтет потребить этот набор, но, безусловно, предпочтет владеть им, поскольку он мог бы продать его и купить тот набор, который ему нравится больше.

Конечно. Это зависит от того, являлся ли он чистым покупателем или же чистым продавцом подорожавшего товара.

Да, но только в случае, если бы США стали чистым экспортером нефти.

Новая бюджетная линия сдвинулась бы наружу и осталась бы параллельной старой, так как увеличение числа часов в сутках есть чистый эффект начального запаса.

Наклон будет положительным.

Межвременной выбор

При процентной ставке в 15% 1 доллар, выплачиваемый через 20 лет, стоит сегодня 3 цента. Поэтому 1 миллион долларов стоит сегодня 0,03∙1.000.000= 30.000$.

Наклон межвременного бюджетного ограничения равен

–(1+r). Поэтому по мере роста r наклон становится более отрицательным (более крутым).

Если товары являются совершенными субститутами, то потребители будут поку­пать только более дешевый товар. Применительно к случаю межвременных закупок продуктов питания, это означает, что потребители покупают пищу только в одном пе­риоде, что может быть не очень реалистичным.

Чтобы остаться кредитором после изменения процентных ставок, потребитель должен выбрать точку, которую он мог бы выбрать при старых процентных ставках, но решил не выбирать. Поэтому благосостояние потребителя должно быть ниже. Если по­сле изменения ставок потребитель становится заемщиком, то он выбирает ранее недос­тупную точку, которую нельзя сравнивать с исходной точкой (поскольку исходная точка при новом бюджетном ограничении не является более доступной), и, следовательно, то, как изменилось благосостояние потребителя, остается неизвестным.

При процентной ставке в 10% текущая стоимость 100 долларов составляет 90,91 долл. При ставке в 5% текущая стоимость 100 долларов составляет 95,24 долл.

Рынки активов

Актив A должен продаваться за 11/(1+0,10)=10$.

Норма дохода равна (10.000+10.000)/100.000=20%.

Нам известно, что норма дохода по необлагаемым налогом облигациям r должна быть такой, чтобы (1–t)ri=r, следовательно, (1–0,40)∙0,10=0,06=r.

Сегодняшняя цена редкого ресурса должна составлять 40/(1+0,10)10 =15,42$.

Неопределенность

Требуется способ уменьшить потребление при плохом исходе и увеличить потреб­ление при хорошем исходе. Чтобы сделать это, придется продавать страховку от убыт­ков, а не покупать ее.

Функции a) и c) обладают свойством ожидаемой полезности (они являются ли­нейными преобразованиями тех функций, о которых шла речь в данной главе), а функ­ция

b) – нет.

Поскольку данный индивид не расположен к риску, он предпочитает самой игре ее ожидаемое значение 325 $ и поэтому выберет платеж.

Если платеж составит 320 $, решение будет зависеть от вида функции полезно­сти; мы не можем сказать ничего в общем.

Вы должны нарисовать функцию, которая вначале является выпуклой, а затем ста­новится вогнутой.

Чтобы осуществить взаимное страхование, риски должны быть независимыми. Однако в случае ущерба от наводнения это не так. Если один из домов в данном районе терпит ущерб от наводнения, то весьма вероятно, что пострадают все дома.

Рисковые активы

Чтобы достичь стандартного отклонения в 2%, вам потребуется инвестировать в рисковый актив x=σx/σm=2/3 вашего богатства. Это даст в результате норму дохода, равную (2/3)∙0,09+(1–2/3)∙0,06=8%.

Цена риска равна (rm–rf)/σm=(9–6)/3=1. Иными словами, за каждый допол­нительный процент стандартного отклонения можно получить 1% дохода.

Согласно уравнению ценообразования САРМ, акции должны приносить ожидаемую норму дохода

rf+β(rm–rf)=0,05+1,5∙(0,10–0,05)=0,125, или 12,5%. Акции долж­ны продаваться по своей ожидаемой текущей стоимости, равной 100/1,125=88,89$.

Излишек потребителя

Мы хотим подсчитать площадь под кривой спроса слева от количества 6. Разобьем ее на площадь треугольника с основанием 6 и высотой 6 и площадь прямоугольника с основанием 6 и высотой 4. Применив формулы из курса геометрии средней школы, на­ходим, что площадь треугольника равна 18, а площадь прямоугольника равна 24. Таким образом, валовая выгода равна 42.

При цене, равной 4, излишек потребителя задан площадью треугольника с осно­ванием 6 и высотой 6, т.е. излишек потребителя равен 18. При цене, равной 6, соот­ветствующий треугольник имеет основание 4 и высоту 4, что дает нам площадь, рав­ную 8. Таким образом, изменение цены привело к сокращению излишка потребителя на 10 долл.

Десять долларов. Поскольку спрос на дискретный товар не изменился, единствен­ное, что произошло, это – сокращение на десять долларов расходов потребителя на другие товары.

Рыночный спрос

Обратная кривая спроса есть P(q)=200–2q.

Решение о том, потреблять ли наркотик, вполне могло быть чувствительным к це­не, поэтому регулирование рыночного спроса на экстенсивном пределе способствовало бы увеличению эластичности рыночного спроса.

Общий доход составляет R(p)=12q–2p2; он максимизируется при p=3.

Общий доход составляет pd(p)=100 независимо от цены, поэтому все цены мак­симизируют общий доход.

Верно. Взвешенное среднее эластичностей по доходу должно равняться 1, поэтому если у одного товара эластичность по доходу отрицательна, у другого товара эластич­ность по доходу должна быть больше 1, чтобы среднее равнялось 1.

Равновесие

Если кривая предложения горизонтальна, субсидия целиком передается потребите­лям, однако при вертикальной кривой предложения субсидию полностью получают производители.

Потребитель.

В этом случае кривая спроса на красные карандаши была бы горизонтальна при цене pb, так как это та наибольшая цена, которую потребители готовы были бы запла­тить за красные карандаши. Таким образом, при введении налога на красные карандаши потребители в итоге будут платить за них pb, так что всю сумму налога, в конце концов, будут платить производители (если красные карандаши вообще будут продаваться – может случиться так, что налог вынудит производителя уйти из отрасли по производству красных карандашей).

В данном случае кривая предложения иностранной нефти горизонтальна при цене, равной 25 долларов. Поэтому цена для потребителей должна повыситься на 5 долларов, со­ставляющих сумму налога, так что чистая цена для потребителей станет равной 30 долларов. Поскольку иностранная и отечественная нефть для потребителей является совершенны­ми субститутами, отечественные производители будут также продавать свою нефть за 30 долларов и получать непредвиденную прибыль в размере 5 долларов за баррель.

Нулевая. Потеря "мертвого груза" измеряет стоимость потерянного выпуска. По­скольку до и после введения налога количество предложения остается одним и тем же, потери "мертвого груза" нет. Другими словами: продавцы платят всю сумму налога, и всё, что они платят, поступает правительству. Та сумма, которую согласились бы запла­тить продавцы, чтобы избежать налога, есть просто налоговая выручка, получаемая пра­вительством, поэтому излишнего бремени налога нет.

Нулевой доход.

Она приносит отрицательный доход, так как в этом случае мы имеем чистое суб­сидирование взятия ссуд.

Технология

Возрастающая отдача от масштаба.

Убывающая отдача от масштаба.

Если a+b=1, мы имеем постоянную отдачу от масштаба; a+b<1 дает нам убы­вающую отдачу от масштаба, а

a+b>1 – возрастающую отдачу от масштаба.

4∙3=12 единиц.

Верно.

Да.

Максимизация прибыли

Прибыль уменьшится.

Прибыль увеличится, поскольку выпуск возрастет в большей степени, чем издерж­ки на него.

Если бы производство фирмы в самом деле характеризовалось убывающей от­дачей от масштаба, то при уменьшении в два раза количеств применяемых факто­ров производства объем выпуска, производимый фирмой, составил бы больше по­ловины от прежнего объема выпуска. Поэтому указанная фирма, образовавшаяся в результате деления исходной крупной фирмы, получала бы больше прибыли, чем крупная фирма. Это один из доводов, объясняющих нам, почему невозможна си­туация, в которой производство всех фирм характеризовалось бы убывающей отда­чей от масштаба.

Садовник не принял в расчет альтернативные издержки. Чтобы точно учесть ис­тинные издержки, садовник должен включить в последние стоимость своего собствен­ного времени, затраченного на выращивание урожая, даже если никакой явной заработ­ной платы ему не выплачивалось.

Не в общем случае. Рассмотрим, например, случай неопределенности, для кото­рого это не так.

Увеличивать.

Количество применяемого фактора x1 остается без изменений, а прибыль фирмы возрастает.

Не может.

Минимизация издержек

Поскольку прибыль равна общему доходу за вычетом общих издержек, в случае, если фирма не минимизирует издержки, имеется какой-то способ, которым она может увеличить прибыль, однако, это противоречит тому факту, что фирма максимизирует прибыль.

Увеличить применяемое количество фактора 1 и уменьшить применяемое количе­ство фактора 2.

Поскольку факторы производства являются совершенными субститутами, имею­щими одинаковую цену, фирме безразлично, какой из них применять. Поэтому фирма будет применять любое количество двух указанных факторов, при котором соблюдается равенство x1+x2=y.

Спрос фирмы на бумагу либо снижается, либо остается постоянным.

Эта теория предполагает соблюдение неравенства Σni=1ΔwiΔxi≤0, где Δwi=wit–wis и Δxi=xit–xis.

Кривые издержек

Верно, верно, неверно.

Одновременно увеличив выпуск на втором заводе и сократив выпуск на первом, фирма может уменьшить издержки.

Неверно.

Предложение фирмы

Обратная кривая предложения имеет вид p=20y, так что кривая предложения имеет вид y=p/20.

Воспользовавшись равенством AC=MC, получим уравнение 10y+1000/y=20y. Решив его, найдем у*=10.

Выразив из этого уравнения p, получаем Ps(y)=(y–100)/20.

При цене, равной 10, предложение составляет 40, а при цене, равной 20, оно со­ставляет 80. Излишек производителя слагается из прямоугольника площадью 10∙40 и треугольника площадью – ½∙10∙40, что дает общее изменение излишка производителя в размере 600. Это изменение равно изменению прибыли, так как постоянные издержки не меняются.

Кривая предложения задается выражением y=p/2 для всех p≥2 и y=0 для всех p≤0. При p=2 фирме безразлично, поставлять на рынок 1 единицу выпуска или нет.

В основном технологическое (в более продвинутых моделях может быть рыноч­ным); рыночное; может быть либо технологическим, либо рыночным; технологическое.

Предпосылка о том, что все фирмы отрасли считают рыночную цену заданной.

Рыночной цене. Максимизирующая прибыль фирма будет выбирать объем выпус­ка таким образом, чтобы предельные издержки производства последней единицы вы­пуска равнялись ее предельному доходу, который в случае чистой конкуренции равен рыночной цене.

Фирме следует производить нулевой выпуск (независимо от того, имеются у нее постоянные издержки или нет).

В коротком периоде, если рыночная цена выше средних переменных издержек, фирме следует производить какой-то ненулевой объем выпуска, даже если она терпит убытки. Это утверждение верно, потому что при нулевом выпуске фирма понесла бы убытки в большем размере, так как ей необходимо в любом случае оплачивать постоян­ные издержки. Однако в длительном периоде постоянных издержек не существует, и поэтому любая фирма, которая терпит убыток, может произвести нулевой выпуск, поне­ся при этом максимальный убыток в размере нуля долларов.

У всех фирм отрасли рыночная цена должна равняться предельным издержкам производства.

Предложение отрасли

Обратные кривые предложения задаются выражениями P1(y1)=10+y1 и P2(y2)=10+y2. При цене ниже 10 ни одна из фирм не поставляет на рынок продукцию. При цене, равной 15, на рынок вступит фирма 2, а при любой цене выше 15 на рынке дейст­вуют обе фирмы. Таким образом, излом кривой предложения имеет место при цене, равной 15.

В коротком периоде потребители платят всю сумму налога. В длительном периоде всю сумму налога платят продавцы.

Неверно. Более правильным было бы следующее утверждение: указанные продо­вольственные магазины самообслуживания могут назначать более высокие цены, потому что они находятся вблизи университетского городка. Из-за того, что эти магазины могут назначать более высокие цены, землевладельцы, в свою очередь, могут запрашивать за пользование удобно расположенным участком земли высокую арендную плату.

Верно.

Прибыли или убытки фирм, действующих в отрасли в настоящее время.

Более пологой.

Нет, это не нарушает конкурентной модели. Учитывая издержки, мы забыли оце­нить плату за лицензию.

Монополия

Нет. Максимизирующий прибыль монополист иногда не стал бы производить в области неэластичного спроса на его продукт.

Сначала выразим из заданного уравнения обратную кривую спроса, получив p(y)=50–y/20. Таким образом, предельный доход задается выражением MR(y)=50–y. Приравняв его к предельным издержкам, равным 2, и решив полученное уравнение, получаем y=48. Чтобы определить цену, подставим полученное значение y в обратную функцию спроса.

Кривая спроса характеризуется постоянной

эластичностью –3. Воспользовавшись формулой p[1+1/ε]=МС, мы подставляем в нее –3, получая при этом p[1–1/3]=2. Решив полученное уравнение, находим p=3. Подставляем это значение обратно в функцию спроса, чтобы найти произведенное количество: D(3)=10∙3–3.

Кривая спроса характеризуется постоянной эластичностью –1. Поэтому предель­ный доход равен нулю для всех объемов выпуска. Следовательно, он никогда не может равняться предельным издержкам.

В случае линейной кривой спроса цена возрастает на величину, равную половине изменения издержек. В рассматриваемом случае – на 3 $.

В этом случае p=kMC, где k=1/(1–1/3)=3/2. Таким образом, цена повышается на 9 $.

Цена будет вдвое выше предельных издержек.

Субсидию в размере 50%, так что предельные издержки для монополиста становятся равными половине фактических предельных издержек. Такой уровень субси­дии гарантирует равенство цены предельным издержкам при выбранном монополистом объеме выпуска.

Монополист производит в точке, где p(y)+yΔp/Δy=MC(y). Преобразуя это урав­нение, мы получаем p(y)=MC(y)–yΔp/Δy. Поскольку кривые спроса имеют отрица­тельный наклон, нам известно, что Δp/Δy<0, а это доказывает, что p(y)>MC(y).

Неверно. Обложение монополиста налогом может вызвать повышение рыночной цены на величину большую, чем сумма налога, равную ей или меньшую, чем она.

Перед таким регулирующим органом возникает целый ряд проблем, включаю­щий: определение истинных предельных издержек фирмы, разработку гарантий того, что монополист обслужит всех клиентов, гарантирование того, что при новой цене и новом объеме выпуска монополист не понесет убытков.

Некоторыми условиями, способствующими этому, являются: высокие постоянные издержки и низкие предельные издержки, большой, по сравнению с размерами рынка, наименьший экономически выгодный масштаб деятельности, легкость сговора и т.п.

Поведение монополии

Да, если она может проводить совершенную ценовую дискриминацию.

pi=εic/(1+εi) для i=1,2.

Если монополист может проводить совершенную ценовую дискриминацию, он может извлечь весь излишек потребителей; если он может взимать плату за вход, он может сделать то же самое. Следовательно, монополисту одинаково выгодны обе поли­тики ценообразования. (На практике гораздо легче потребовать плату за вход, чем на­значать различную цену за каждый аттракцион.)

Это – ценовая дискриминация третьей степени. Очевидно, администрация "Диснейленда" полагает, что спрос на аттракционы со стороны жителей Южной Кали­форнии более эластичен, чем спрос со стороны других посетителей парка.

Рынки факторов

Конечно. Монопсонист может производить при любом уровне эластичности пред­ложения.

Так как при такой заработной плате спрос на труд превысил бы его предложение, можно предположить, что возникла бы безработица.

Мы находим равновесные цены, произведя соответствующую подстановку в урав­нения функций спроса. Поскольку p=a–by, можно воспользоваться найденным решением для y, получив p=(3a+c)/4. Поскольку k=a–2bx, можно воспользоваться решением для x, получив k=(a+c)/2.

Олигополия

В равновесии каждая фирма будет производить (a–c)/3b, так что весь отраслевой выпуск составит 2(a–c)/3b.

Ничего. Поскольку предельные издержки у всех фирм одинаковы, то, какая из них производит выпуск, значения не имеет.

Нет, потому что одним из возможных вариантов выбора для лидера по Стэкльбергу является выбор объема выпуска, который он производил бы в равновесии по Курно. Поэтому у него всегда имеется возможность получить, по крайней мере, не меньшую прибыль.

Из текста нам известно, что должно соблюдаться равенство p[1–1/n|ε|]=MC. Поскольку MC>0 и p>0, должно соблюдаться 1–1/n|ε|>0. Преобразование этого неравенства дает нам искомый результат.

Сделайте кривую f2(y1) круче кривой f1(y2).

Вообще говоря, нет. Цена равна предельным издержкам только в случае решения по Бертрану.

Теория игр

В ответ на отступничество (по ошибке) первого игрока второй игрок также нару­шает соглашение. Но тогда первый игрок нарушит соглашение в ответ на это, и каждый из игроков будет продолжать нарушать соглашение в ответ на отступничество другого! Этот пример показывает, что стратегия "зуб за зуб" может оказаться не самой лучшей в случае, когда игроки могут ошибиться либо в своих действиях, либо в своем восприятии действий другого игрока.

И да, и нет. Игрок предпочитает разыгрывать доминирующую стратегию незави­симо от стратегии противника (даже в том случае, если противник разыгрывает свою собственную доминирующую стратегию). Поэтому, если все игроки используют доми­нирующие стратегии, это означает, что все они разыгрывают стратегию, являющуюся оптимальной при заданной стратегии противников, и, следовательно, равновесие по Нэшу существует. Однако не все равновесия по Нэшу являются равновесиями с доми­нирующими стратегиями.

Не обязательно. Нам известно, что до тех пор, пока ваш противник разыгрывает свою стратегию, приводящую к равновесию по Нэшу, вам лучше всего придерживаться своей стратегии, приводящей к равновесию по Нэшу, но если противник разыгрывает другую стратегию, возможно, и для вас найдется лучшая стратегия.

Рассуждая формально, если заключенные получают возможность отомстить, то выигрыши в данной игре могут измениться. Такая ситуация могла бы привести к исходу игры, эффективному по Парето (представьте себе, например, случай, когда оба заклю­ченных договариваются между собой о том, что убьют любого, кто признается, и будем считать, что смерть имеет очень низкую полезность).

Доминирующая стратегия, приводящая к равновесию по Нэшу, состоит в том, что­бы нарушать возможное соглашение в каждом раунде. Эта стратегия выводится посред­ством того же самого процесса обратной индукции, которым мы пользовались при вы­ведении стратегии для случая игры, заканчивающейся 10-м раундом. Свидетельства из практики при использовании много меньших временных периодов, похоже, указывают на то, что игроки редко прибегают к этой стратегии.

В равновесии игрок B выбирает стратегию "слева", а игрок A – стратегию "верх". Игрок B предпочитает ходить первым, поскольку это приводит к получению им выиг­рыша в размере 9 вместо выигрыша в размере 1. (Заметьте, однако, что в последователь­ной игре ходить первым – не всегда преимущество. Не могли бы вы привести пример, иллюстрирующий это?).

Обмен

Да. Рассмотрим, например, распределение, при котором все богатство сосредото­чено у одного индивида. При таком распределении благосостояние другого индивида ниже, чем при распределении, согласно которому он владеет чем-то.

Нет. Ведь это означало бы, что при распределении, которое, как утверждается, яв­ляется эффективным по Парето, существует какой-то способ повысить благосостояние всех, что противоречит предположению об эффективности по Парето.

Если нам известна контрактная кривая, то любой обмен должен закончиться в ка­кой-то точке на этой кривой; однако, где именно, мы не знаем.

Да, но при этом благосостояние кого-то другого должно понизиться.

Сумма величин избыточного спроса на двух оставшихся рынках должна равняться нулю.

Производство

Отказ от производства одного кокоса высвобождает ресурсы стоимостью 6$, и эти ресурсы можно было бы использовать для производства 2 фунтов рыбы (стоимость которых равна 6$).

Результатом более высокой заработной платы была бы более крутая изопрофитная линия, что означало бы перемещение объема выпуска, максимизирующего прибыль фирмы в точку слева от точки текущего равновесия, а это повлекло бы за собой умень­шение спроса на труд. Однако, при этом новом бюджетном ограничении Робинзон за­хочет предложить труда больше, чем то количество труда, которое требуется. Почему? Следовательно, рынок труда не будет находиться в равновесии.

При соблюдении нескольких предпосылок экономика, находящаяся в конкурент­ном равновесии, эффективна по Парето. Обычно признается, что для общества это хо­рошо, поскольку это означает, что в данной экономике не существует возможности по­высить благосостояние какого-либо индивида без нанесения ущерба кому-то другому. Однако вполне возможно, что общество предпочло бы другое распределение благосос­тояния; иными словами вполне возможно, что общество предпочитает повысить благо­состояние одной группы людей за счет другой.

Ему следует производить больше рыбы. Как указывает его предельная норма за­мещения, он готов отказаться от двух кокосов, чтобы получить еще одну рыбу. Предель­ная норма трансформации подразумевает, что для получения еще одной рыбы ему надо отказаться лишь от одного кокоса. Следовательно, отказываясь всего лишь от одного коко­са (притом, что он готов был бы отказаться от двух), он может получить еще одну рыбу.

Обоим пришлось бы работать по 9 часов в день. Если они оба работают по 6 часов в день (Робинзон собирает кокосы, а Пятница ловит рыбу) и отдают друг другу половину всего произведенного ими продукта, то они могут производить тот же самый выпуск. Со­кращение числа рабочих часов с 9 до 6 в день происходит вследствие перестройки произ­водства, основанной на использовании сравнительных преимуществ каждого индивида.

Экономическая теория благосостояния

Главный его недостаток состоит в том, что имеется много распределений, которые невозможно сравнить между собой – не существует способа выбрать лучшее из двух любых распределений, эффективных по Парето.

Она имела бы вид: W(u1,…,un)=max{u1,…,un }.

Поскольку согласно ницшеанской функции благосостояния интерес представляет лишь благосостояние того индивида, у которого оно наивысшее, максимум благосостояния при таком распределении обычно подразумевает получение всего богатства одним индивидом.

Предположим, что это не так. Тогда каждый индивид завидует кому-то другому. Составим список индивидов с указанием того, кто кому завидует. Индивид A завидует

кому-то – назовем этого человека индивидом B. Индивид B, в свою очередь, кому-то завидует, скажем, индивиду C. И т.д. В конце концов, мы найдем того, кто завидует индивиду, стоящему в списке раньше. Допустим, что мы получаем цикл "С завидует D завидует E завидует C". Теперь рассмотрим следующий обмен: C получает то, что имеет­ся у D, D получает то, что имеется у E, а E получает то, что имеется у C. Каждый индивид, участвующий в данном цикле, получает тот набор, который он предпочитает, и по­этому благосостояние каждого из этих индивидов повышается. Но тогда первоначальное распределение не могло быть эффективным по Парето!

Сначала путем голосования следует произвести выбор из распределений x и y, а за­тем – выбор между победителем (z) и распределением y. Сначала путем голосования сле­дует произвести выбор из пары распределений x и y, а затем – выбор между победителем (x) и распределением z. Эта способность влиять на исход голосования путем установления порядка голосования объясняется фактом нетранзитивности общественных предпочтений.

Внешние эффекты (экстерналии)

Верно. Как правило, проблемы, связанные с эффективностью, могут быть устране­ны с помощью четкого определения прав собственности. Однако вводя права собствен­ности, мы вводим также и начальный запас, а это может иметь важные последствия с точки зрения распределения.

Неверно.

Ну не все же ваши соседи по общежитию такие плохие...

Правительство могло бы просто раздать оптимальное число прав на выпас. Другой альтернативой могла бы быть продажа им прав на выпас. (Вопрос: за сколько продава­лись бы эти права? Подсказка: вспомните о рентных платежах.) Правительство могло бы также ввести налог в размере t на одну корову, такой, чтобы f(c*)/c*+t=a.

Право и экономический анализ

Возможно. Вероятность застать кого-либо мусорящим может быть очень мала, по­этому для предотвращения такого поведения величина штрафа должна быть большой.

Если жертва получает полную компенсацию издержек, связанных с несчастным случаем, у нее не будет стимула проявлять осторожность, чтобы избежать несчастного случая.

Произведя подстановку из формулы, приведенной в тексте, мы получаем 100=p*–3∙1/6p. Решая это уравнение для p*, мы находим, что p*=200.

Информационные технологии

Пользователи тяготели бы к приобретению пакетов программ, которые использует большинство пользователей, так как это облегчило бы им обмен файлами и информа­цией о том, как пользоваться программой.

Согласно уравнению πF≥(1–π)x*K/D(p*) следует ответить "да" – до тех пор, пока вероятность быть пойманным остается той же самой.

В этом случае условия максимизации прибыли будут одинаковыми. Если два чело­века совместно пользуются видео, то производитель просто удвоит цену и получит при этом ту же самую прибыль.

Общественные блага

Продажная цена товара не будет самой высокой из предложенных. Скорее, это будет вторая по высоте цена плюс доллар. Товар получает индивид, который готов предложить наивысшую цену, но он должен заплатить только цену, предложенную тем индивидом, который готов был заплатить вторую по высоте цену, плюс какая-то небольшая сумма.

Аргументация аналогична той, которая была приведена в случае налога Клар­ка. Представьте, что вы завышаете предложенную вами цену по сравнению с вашей истинной оценкой товара. Если вы все равно являетесь лицом, предлагающим наи­высшую цену, то ваши шансы на получение товара не меняются. Если вы не являе­тесь таким лицом, то при повышении предлагаемой вами цены, позволяющем превы­сить нынешнюю наивысшую предлагаемую цену, вы получите товар, но вам придется заплатить за него вторую по высоте цену из предлагаемых – а это больше суммы, в которую вы оцениваете товар. Аналогичные рассуждения можно провести и для слу­чая занижения предложенной цены по сравнению с истинной оценкой товара.

Мы хотим, чтобы сумма предельных норм замещения равнялась предельным из­держкам предоставления общественного блага. Сумма MRS есть 20=10∙2, а предель­ные издержки составляют 2x. Поэтому мы получаем уравнение 2x=20, означающее, что x=10. Итак, число уличных фонарей, эффективное по Парето, составляет 10.

Асимметричная информация

Поскольку в равновесии обмениваются только автомобили низкого качества и создается излишек в размере 200$ на сделку, общий создаваемый излишек есть 50∙200=10.000$.

Если бы автомобили приписывались случайным образом, то средний излишек, приходящийся на сделку, равнялся бы средней готовности платить 1800 долларов за выче­том средней готовности продать 1500 долларов. Это дает средний излишек на сделку в раз­мере 300 долларов, а так как число сделок равно 100, мы получаем общий излишек в разме­ре 30000 долларов, что много лучше рыночного решения.

Из текста нам известно, что уравнение для оптимальной системы материального стимулирования имеет вид s(x)=wx+K. Заработная плата w должна равняться предельному продукту рабочего, в данном случае равному 1. Константа K выбирается таким образом, что полезность рабочего в точке оптимального выбора есть ū=0. Оптимальный выбор x имеет место в точке, где цена 1 равняется предельным издержкам x, так что x*=1. В этой точке рабочий получает полезность

x*+K–c(x*)=1+К–½+К. Поскольку полез­ность, получаемая рабочим, должна равняться 0, отсюда следует, что К=–½.

В ответе к предыдущей задаче мы видели, что при оптимальном объеме производ­ства прибыль равна ½. Поскольку ū=0, рабочий был бы готов заплатать ½ за лизинг технологии.

Если рабочий должен достичь уровня полезности 1, то фирме придется выплатить ему аккордный платеж в размере ½.

ХЭЛ Р. ВЭРИАН

МИКРОЭКОНОМИКА

ЗАДАЧИ

Компьютерная вёрстка

Михайлюк Артём Александрович

Киев 1998.

Рынок

Кривая спроса будет горизонтальной при резервной цене в 500 $ для 25 квартир, а затем упадет до уровня резервной цены в 200 $.

В первом случае равновесная цена будет равна 500 $, а во втором – 200 $. В третьем случае равновесной будет любая цена, заключенная в интервале между 200 $ и 500 $.

Потому что, если мы хотим сдать еще одну квартиру, нам придется предложить бо­лее низкую цену. По мере снижения p число людей, у которых резервные цены выше p, всегда должно увеличиваться.

Цена квартир внутреннего кольца возросла бы, поскольку спрос на квартиры не изменился бы, а предложение уменьшилось.

Цена квартир внутреннего кольца возросла бы.

В длительном периоде налог, несомненно, привел бы к уменьшению числа квартир, предлагаемых к сдаче.

Он установил бы цену в 25 $ и сдал бы 60 квартир. Во втором случае он сдал бы все 40 квартир по максимальной цене, приемлемой рынком. Эту цену мы находим из уравнения D(p)=100–2p=40, решение которого есть p*=30.

Все, у кого резервная цена выше равновесной цены конкурентного рынка, так что конечный исход был бы эффективным по Парето. (Разумеется, в длительном периоде, возможно было бы построено меньше новых квартир, что привело бы к неэффективно­сти другого рода.)

Бюджетное ограничение

Новая бюджетная линия задана уравнением 2p1x1+8p2x2=4m.

Точка пересечения с вертикальной осью (осью x­2) опускается ниже, а точка пересе­чения с горизонтальной осью (осью x1) остается той же самой. Поэтому бюджетная ли­ния становится более пологой.

Более пологой. Ее наклон есть –2p1/3p2.

Товар, цена которого была приравнена к 1; цены всех других товаров измеряются относительно цены товараизмерителя.

Налогу в размере 8 центов за галлон.

(t+ p1)x1+(p2–s)x2=m–u.

Да, поскольку все наборы, которые были доступны потребителю ранее, доступны ему при новых ценах и доходе.

Предпочтения

Нет. Потребителю могло бы быть и безразлично, какой из двух наборов выбрать. Единственное, что мы можем заключить с полным основанием, это то, что (x1,x2)f(у1,у2).

На оба вопроса следует ответить "да".

Это отношение предпочтения транзитивно, но не характеризуется полной упорядо­ченностью – оба человека могли бы быть одного роста. Оно не рефлексивно, так как неверным является утверждение, что человек строго выше себя самого.

Это отношение предпочтения транзитивно, но не характеризуется полной упорядо­ченностью. Что, если бы A был крупнее B, но двигался бы медленнее? Кого из двоих предпочел бы тренер?

Да. Кривая безразличия может пересекать себя, она просто не может пересекать другую, отличную от нее, кривую безразличия.

Нет, потому что существуют наборы, лежащие на данной кривой безразличия, кото­рые содержат строго больше обоих товаров, чем другие наборы, лежащие на указанной кривой безразличия.

Отрицательный наклон. Если вы дадите потребителю больше анчоусов, вы тем са­мым понизите его благосостояние, поэтому придется забрать у него немного стручко­вого перца, чтобы вернуть его на его кривую безразличия. В этом случае полезность возрастает в направлении к началу координат.

Потому что потребитель слабо предпочитает взвешенное среднее двух наборов третьему.

Если вы откажетесь от одной 5-долларовой купюры, то сколько 1-долларовых купюр вам потребуется в качестве компенсации? Вполне достаточно будет пяти купюр по 1 доллару. Следовательно, ответ составит –5 или –1/5 в зависимости от того, какой из товаров вы откладываете на горизонтальной оси.

Ноль – если вы заберете у потребителя немного товара 1, то ему потребуется ноль единиц товара 2, чтобы компенсировать эту потерю.

Анчоусы и арахисовое масло, шотландское виски и напиток "Кул Эйд" и другие подобные им омерзительные сочетания.

Полезность

Функция f(u)=u2 является монотонным преобразованием для положительных зна­чений u, но не для отрицательных.

1) да; 2) нет (верно для положительных v); 3) нет (верно для отрицательных v); 4) да (определяется только для положительных v); 5) да; 6) нет; 7) да; 8) нет.

Предположим, что луч из начала координат пересекал бы данную кривую безразли­чия в двух точках, скажем, в точках (х,х) и (у,у). Тогда либо х>у, либо у>х, а это означало бы, что один из наборов содержит больше обоих товаров. Но если предпочтения монотонны, то один из наборов должен был бы предпочитаться другому.

Обе функции полезности представляют совершенные субституты.

Квазилинейные предпочтения. Да.

Функция полезности представляет предпочтения Кобба-Дугласа.

Потому что MRS измеряется вдоль кривой безразличия, а полезность вдоль кривой безразличия остается постоянной.

Выбор

x2=0 при p1>p2, x2=m/p2 при p2<p1 и x2 принимает любое значение в интервале от 0 до m/p2, когда p1=p2.

Оптимальный выбор составит x1=m/p1 и x2=0, если p1/p2<b, x1=0 и x2=m/p2, если p1/p2>b, и любое количество товаров, лежащее на бюджетной линии, если p2/p1=b.

Пусть z – число чашек кофе, покупаемых потребителем. Тогда нам известно, что 2z есть число покупаемых им чайных ложек сахара. Должно удовлетворяться бюджетное ограничение 2p1z+p2z=m. Выразив из этого уравнения z мы получаем z=m/(2p1+p2).

Нам известно, что вы потребляете либо сразу все мороженое, либо сразу все олив­ки. Поэтому двумя оптимальными потребительскими наборами для вас будут либо x1=m/p1, x­2­­=0, либо x­1­­=0, x2=m/p2.

Эго функция полезности Кобба-Дугласа, поэтому он истратит на товар 4/(1+4)=4/5 своего дохода.

При ломаных предпочтениях, таких, как совершенные комплементы, когда измене­ние цены не вызывает никакого изменения спроса.

Спрос

Нет. Если его доход увеличивается и он расходует его целиком, то он должен поку­пать больше по крайней мере одного товара.

Функция полезности для совершенных субститутов есть u(x1,x2)>x1+x2. Поэто­му, если u(x1,x2)>u, мы имеем x1+x2>y1+y2. Отсюда следует, что tx1+tx2>ty1+ty2, так что u(tx1,tx2)>u(ty1,ty2).

Функция полезности Кобба-Дугласа обладает тем свойством, что u(tx1,tx2)=(tx1)a(tx2)1–a=tx1ax21–a=tu(x1,x2). Поэтому, если u(x1,x2)>u(y1,y2), то мы знаем, что u(tx1,tx2)>u(ty1,ty2), так что предпочтения Кобба-Дугласа действительно гомотетичны.

Кривой спроса.

Нет. Вогнутые предпочтения могут приводить только к выбору таких оптимальных потребительских наборов, которые предполагают нулевое потребление одного из това­ров.

Мы знаем, что x1=m/(p1+p2). Выразив p1 как функцию других переменных, мы имеем p1=m/x1–p2.

Выявленные предпочтения

Нет. Этот потребитель нарушает Слабую Аксиому Выявленных Предпочтений, по­скольку когда он покупал набор (x1,x2), он мог купить набор (y1,y2), и наоборот. В условных обозначениях: p1x1+p2x2=1∙1+2∙2=5>4=1∙2+2∙1=p1y1+p2y2 и q1y1+q2y2=2∙2+1∙1=5>4=2∙1+1∙2= q1x1+q2x2.

Да. Нарушений WARP нет, поскольку набор y не был доступен, когда покупался набор x, и наоборот.

Поскольку в момент покупки набора x набор y был дороже набора x, и наоборот, сказать, какой набор из двух наборов предпочтительнее, невозможно.

Изменение обеих цен на одну и ту же величину. В этом случае набор базисного года по-прежнему был бы оптимальным.

При совершенных комплементах.

Уравнение Слуцкого

Да.

В этом случае эффект дохода свелся бы на нет. Остался бы только чистый эффект замещения, который автоматически был бы отрицательным.

Правительство получает tx' в виде налоговых поступлений и выплачивает tx, поэто­му оно терпит убытки.

Поскольку их прежнее потребление остается доступным, благосостояние потребите­лей должно быть, по меньшей мере, таким же. Это происходит потому, что правительст­во возвращает им большую сумму денег, чем та, которую они теряют из-за более высо­кой цены бензина.

Купля и продажа

Его валовой спрос составляет (9,1).

В текущих ценах набор (y1,y2)=(3,5) стоит больше набора (4,4). Потребитель не обязательно предпочтет потребить этот набор, но, безусловно, предпочтет владеть им, поскольку он мог бы продать его и купить тот набор, который ему нравится больше.

Конечно. Это зависит от того, являлся ли он чистым покупателем или же чистым продавцом подорожавшего товара.

Да, но только в случае, если бы США стали чистым экспортером нефти.

Новая бюджетная линия сдвинулась бы наружу и осталась бы параллельной старой, так как увеличение числа часов в сутках есть чистый эффект начального запаса.

Наклон будет положительным.

Межвременной выбор

При процентной ставке в 15% 1 доллар, выплачиваемый через 20 лет, стоит сегодня 3 цента. Поэтому 1 миллион долларов стоит сегодня 0,03∙1.000.000= 30.000$.

Наклон межвременного бюджетного ограничения равен

–(1+r). Поэтому по мере роста r наклон становится более отрицательным (более крутым).

Если товары являются совершенными субститутами, то потребители будут поку­пать только более дешевый товар. Применительно к случаю межвременных закупок продуктов питания, это означает, что потребители покупают пищу только в одном пе­риоде, что может быть не очень реалистичным.

Чтобы остаться кредитором после изменения процентных ставок, потребитель должен выбрать точку, которую он мог бы выбрать при старых процентных ставках, но решил не выбирать. Поэтому благосостояние потребителя должно быть ниже. Если по­сле изменения ставок потребитель становится заемщиком, то он выбирает ранее недос­тупную точку, которую нельзя сравнивать с исходной точкой (поскольку исходная точка при новом бюджетном ограничении не является более доступной), и, следовательно, то, как изменилось благосостояние потребителя, остается неизвестным.

При процентной ставке в 10% текущая стоимость 100 долларов составляет 90,91 долл. При ставке в 5% текущая стоимость 100 долларов составляет 95,24 долл.

Рынки активов

Актив A должен продаваться за 11/(1+0,10)=10$.

Норма дохода равна (10.000+10.000)/100.000=20%.

Нам известно, что норма дохода по необлагаемым налогом облигациям r должна быть такой, чтобы (1–t)ri=r, следовательно, (1–0,40)∙0,10=0,06=r.

Сегодняшняя цена редкого ресурса должна составлять 40/(1+0,10)10 =15,42$.

Неопределенность

Требуется способ уменьшить потребление при плохом исходе и увеличить потреб­ление при хорошем исходе. Чтобы сделать это, придется продавать страховку от убыт­ков, а не покупать ее.

Функции a) и c) обладают свойством ожидаемой полезности (они являются ли­нейными преобразованиями тех функций, о которых шла речь в данной главе), а функ­ция

b) – нет.

Поскольку данный индивид не расположен к риску, он предпочитает самой игре ее ожидаемое значение 325 $ и поэтому выберет платеж.

Если платеж составит 320 $, решение будет зависеть от вида функции полезно­сти; мы не можем сказать ничего в общем.

Вы должны нарисовать функцию, которая вначале является выпуклой, а затем ста­новится вогнутой.

Чтобы осуществить взаимное страхование, риски должны быть независимыми. Однако в случае ущерба от наводнения это не так. Если один из домов в данном районе терпит ущерб от наводнения, то весьма вероятно, что пострадают все дома.

Рисковые активы

Чтобы достичь стандартного отклонения в 2%, вам потребуется инвестировать в рисковый актив x=σx/σm=2/3 вашего богатства. Это даст в результате норму дохода, равную (2/3)∙0,09+(1–2/3)∙0,06=8%.

Цена риска равна (rm–rf)/σm=(9–6)/3=1. Иными словами, за каждый допол­нительный процент стандартного отклонения можно получить 1% дохода.

Согласно уравнению ценообразования САРМ, акции должны приносить ожидаемую норму дохода

rf+β(rm–rf)=0,05+1,5∙(0,10–0,05)=0,125, или 12,5%. Акции долж­ны продаваться по своей ожидаемой текущей стоимости, равной 100/1,125=88,89$.

Излишек потребителя

Мы хотим подсчитать площадь под кривой спроса слева от количества 6. Разобьем ее на площадь треугольника с основанием 6 и высотой 6 и площадь прямоугольника с основанием 6 и высотой 4. Применив формулы из курса геометрии средней школы, на­ходим, что площадь треугольника равна 18, а площадь прямоугольника равна 24. Таким образом, валовая выгода равна 42.

При цене, равной 4, излишек потребителя задан площадью треугольника с осно­ванием 6 и высотой 6, т.е. излишек потребителя равен 18. При цене, равной 6, соот­ветствующий треугольник имеет основание 4 и высоту 4, что дает нам площадь, рав­ную 8. Таким образом, изменение цены привело к сокращению излишка потребителя на 10 долл.

Десять долларов. Поскольку спрос на дискретный товар не изменился, единствен­ное, что произошло, это – сокращение на десять долларов расходов потребителя на другие товары.

Рыночный спрос

Обратная кривая спроса есть P(q)=200–2q.

Решение о том, потреблять ли наркотик, вполне могло быть чувствительным к це­не, поэтому регулирование рыночного спроса на экстенсивном пределе способствовало бы увеличению эластичности рыночного спроса.

Общий доход составляет R(p)=12q–2p2; он максимизируется при p=3.

Общий доход составляет pd(p)=100 независимо от цены, поэтому все цены мак­симизируют общий доход.

Верно. Взвешенное среднее эластичностей по доходу должно равняться 1, поэтому если у одного товара эластичность по доходу отрицательна, у другого товара эластич­ность по доходу должна быть больше 1, чтобы среднее равнялось 1.

Равновесие

Если кривая предложения горизонтальна, субсидия целиком передается потребите­лям, однако при вертикальной кривой предложения субсидию полностью получают производители.

Потребитель.

В этом случае кривая спроса на красные карандаши была бы горизонтальна при цене pb, так как это та наибольшая цена, которую потребители готовы были бы запла­тить за красные карандаши. Таким образом, при введении налога на красные карандаши потребители в итоге будут платить за них pb, так что всю сумму налога, в конце концов, будут платить производители (если красные карандаши вообще будут продаваться – может случиться так, что налог вынудит производителя уйти из отрасли по производству красных карандашей).

В данном случае кривая предложения иностранной нефти горизонтальна при цене, равной 25 долларов. Поэтому цена для потребителей должна повыситься на 5 долларов, со­ставляющих сумму налога, так что чистая цена для потребителей станет равной 30 долларов. Поскольку иностранная и отечественная нефть для потребителей является совершенны­ми субститутами, отечественные производители будут также продавать свою нефть за 30 долларов и получать непредвиденную прибыль в размере 5 долларов за баррель.

Нулевая. Потеря "мертвого груза" измеряет стоимость потерянного выпуска. По­скольку до и после введения налога количество предложения остается одним и тем же, потери "мертвого груза" нет. Другими словами: продавцы платят всю сумму налога, и всё, что они платят, поступает правительству. Та сумма, которую согласились бы запла­тить продавцы, чтобы избежать налога, есть просто налоговая выручка, получаемая пра­вительством, поэтому излишнего бремени налога нет.

Нулевой доход.

Она приносит отрицательный доход, так как в этом случае мы имеем чистое суб­сидирование взятия ссуд.

Технология

Возрастающая отдача от масштаба.

Убывающая отдача от масштаба.

Если a+b=1, мы имеем постоянную отдачу от масштаба; a+b<1 дает нам убы­вающую отдачу от масштаба, а

a+b>1 – возрастающую отдачу от масштаба.

4∙3=12 единиц.

Верно.

Да.

Максимизация прибыли

Прибыль уменьшится.

Прибыль увеличится, поскольку выпуск возрастет в большей степени, чем издерж­ки на него.

Если бы производство фирмы в самом деле характеризовалось убывающей от­дачей от масштаба, то при уменьшении в два раза количеств применяемых факто­ров производства объем выпуска, производимый фирмой, составил бы больше по­ловины от прежнего объема выпуска. Поэтому указанная фирма, образовавшаяся в результате деления исходной крупной фирмы, получала бы больше прибыли, чем крупная фирма. Это один из доводов, объясняющих нам, почему невозможна си­туация, в которой производство всех фирм характеризовалось бы убывающей отда­чей от масштаба.

Садовник не принял в расчет альтернативные издержки. Чтобы точно учесть ис­тинные издержки, садовник должен включить в последние стоимость своего собствен­ного времени, затраченного на выращивание урожая, даже если никакой явной заработ­ной платы ему не выплачивалось.

Не в общем случае. Рассмотрим, например, случай неопределенности, для кото­рого это не так.

Увеличивать.

Количество применяемого фактора x1 остается без изменений, а прибыль фирмы возрастает.

Не может.

Минимизация издержек

Поскольку прибыль равна общему доходу за вычетом общих издержек, в случае, если фирма не минимизирует издержки, имеется какой-то способ, которым она может увеличить прибыль, однако, это противоречит тому факту, что фирма максимизирует прибыль.

Увеличить применяемое количество фактора 1 и уменьшить применяемое количе­ство фактора 2.

Поскольку факторы производства являются совершенными субститутами, имею­щими одинаковую цену, фирме безразлично, какой из них применять. Поэтому фирма будет применять любое количество двух указанных факторов, при котором соблюдается равенство x1+x2=y.

Спрос фирмы на бумагу либо снижается, либо остается постоянным.

Эта теория предполагает соблюдение неравенства Σni=1ΔwiΔxi≤0, где Δwi=wit–wis и Δxi=xit–xis.

Кривые издержек

Верно, верно, неверно.

Одновременно увеличив выпуск на втором заводе и сократив выпуск на первом, фирма может уменьшить издержки.

Неверно.

Предложение фирмы

Обратная кривая предложения имеет вид p=20y, так что кривая предложения имеет вид y=p/20.

Воспользовавшись равенством AC=MC, получим уравнение 10y+1000/y=20y. Решив его, найдем у*=10.

Выразив из этого уравнения p, получаем Ps(y)=(y–100)/20.

При цене, равной 10, предложение составляет 40, а при цене, равной 20, оно со­ставляет 80. Излишек производителя слагается из прямоугольника площадью 10∙40 и треугольника площадью – ½∙10∙40, что дает общее изменение излишка производителя в размере 600. Это изменение равно изменению прибыли, так как постоянные издержки не меняются.

Кривая предложения задается выражением y=p/2 для всех p≥2 и y=0 для всех p≤0. При p=2 фирме безразлично, поставлять на рынок 1 единицу выпуска или нет.

В основном технологическое (в более продвинутых моделях может быть рыноч­ным); рыночное; может быть либо технологическим, либо рыночным; технологическое.

Предпосылка о том, что все фирмы отрасли считают рыночную цену заданной.

Рыночной цене. Максимизирующая прибыль фирма будет выбирать объем выпус­ка таким образом, чтобы предельные издержки производства последней единицы вы­пуска равнялись ее предельному доходу, который в случае чистой конкуренции равен рыночной цене.

Фирме следует производить нулевой выпуск (независимо от того, имеются у нее постоянные издержки или нет).

В коротком периоде, если рыночная цена выше средних переменных издержек, фирме следует производить какой-то ненулевой объем выпуска, даже если она терпит убытки. Это утверждение верно, потому что при нулевом выпуске фирма понесла бы убытки в большем размере, так как ей необходимо в любом случае оплачивать постоян­ные издержки. Однако в длительном периоде постоянных издержек не существует, и поэтому любая фирма, которая терпит убыток, может произвести нулевой выпуск, поне­ся при этом максимальный убыток в размере нуля долларов.

У всех фирм отрасли рыночная цена должна равняться предельным издержкам производства.

Предложение отрасли

Обратные кривые предложения задаются выражениями P1(y1)=10+y1 и P2(y2)=10+y2. При цене ниже 10 ни одна из фирм не поставляет на рынок продукцию. При цене, равной 15, на рынок вступит фирма 2, а при любой цене выше 15 на рынке дейст­вуют обе фирмы. Таким образом, излом кривой предложения имеет место при цене, равной 15.

В коротком периоде потребители платят всю сумму налога. В длительном периоде всю сумму налога платят продавцы.

Неверно. Более правильным было бы следующее утверждение: указанные продо­вольственные магазины самообслуживания могут назначать более высокие цены, потому что они находятся вблизи университетского городка. Из-за того, что эти магазины могут назначать более высокие цены, землевладельцы, в свою очередь, могут запрашивать за пользование удобно расположенным участком земли высокую арендную плату.

Верно.

Прибыли или убытки фирм, действующих в отрасли в настоящее время.

Более пологой.

Нет, это не нарушает конкурентной модели. Учитывая издержки, мы забыли оце­нить плату за лицензию.

Монополия

Нет. Максимизирующий прибыль монополист иногда не стал бы производить в области неэластичного спроса на его продукт.

Сначала выразим из заданного уравнения обратную кривую спроса, получив p(y)=50–y/20. Таким образом, предельный доход задается выражением MR(y)=50–y. Приравняв его к предельным издержкам, равным 2, и решив полученное уравнение, получаем y=48. Чтобы определить цену, подставим полученное значение y в обратную функцию спроса.

Кривая спроса характеризуется постоянной

эластичностью –3. Воспользовавшись формулой p[1+1/ε]=МС, мы подставляем в нее –3, получая при этом p[1–1/3]=2. Решив полученное уравнение, находим p=3. Подставляем это значение обратно в функцию спроса, чтобы найти произведенное количество: D(3)=10∙3–3.

Кривая спроса характеризуется постоянной эластичностью –1. Поэтому предель­ный доход равен нулю для всех объемов выпуска. Следовательно, он никогда не может равняться предельным издержкам.

В случае линейной кривой спроса цена возрастает на величину, равную половине изменения издержек. В рассматриваемом случае – на 3 $.

В этом случае p=kMC, где k=1/(1–1/3)=3/2. Таким образом, цена повышается на 9 $.

Цена будет вдвое выше предельных издержек.

Субсидию в размере 50%, так что предельные издержки для монополиста становятся равными половине фактических предельных издержек. Такой уровень субси­дии гарантирует равенство цены предельным издержкам при выбранном монополистом объеме выпуска.

Монополист производит в точке, где p(y)+yΔp/Δy=MC(y). Преобразуя это урав­нение, мы получаем p(y)=MC(y)–yΔp/Δy. Поскольку кривые спроса имеют отрица­тельный наклон, нам известно, что Δp/Δy<0, а это доказывает, что p(y)>MC(y).

Неверно. Обложение монополиста налогом может вызвать повышение рыночной цены на величину большую, чем сумма налога, равную ей или меньшую, чем она.

Перед таким регулирующим органом возникает целый ряд проблем, включаю­щий: определение истинных предельных издержек фирмы, разработку гарантий того, что монополист обслужит всех клиентов, гарантирование того, что при новой цене и новом объеме выпуска монополист не понесет убытков.

Некоторыми условиями, способствующими этому, являются: высокие постоянные издержки и низкие предельные издержки, большой, по сравнению с размерами рынка, наименьший экономически выгодный масштаб деятельности, легкость сговора и т.п.

Поведение монополии

Да, если она может проводить совершенную ценовую дискриминацию.

pi=εic/(1+εi) для i=1,2.

Если монополист может проводить совершенную ценовую дискриминацию, он может извлечь весь излишек потребителей; если он может взимать плату за вход, он может сделать то же самое. Следовательно, монополисту одинаково выгодны обе поли­тики ценообразования. (На практике гораздо легче потребовать плату за вход, чем на­значать различную цену за каждый аттракцион.)

Это – ценовая дискриминация третьей степени. Очевидно, администрация "Диснейленда" полагает, что спрос на аттракционы со стороны жителей Южной Кали­форнии более эластичен, чем спрос со стороны других посетителей парка.

Рынки факторов

Конечно. Монопсонист может производить при любом уровне эластичности пред­ложения.

Так как при такой заработной плате спрос на труд превысил бы его предложение, можно предположить, что возникла бы безработица.

Мы находим равновесные цены, произведя соответствующую подстановку в урав­нения функций спроса. Поскольку p=a–by, можно воспользоваться найденным решением для y, получив p=(3a+c)/4. Поскольку k=a–2bx, можно воспользоваться решением для x, получив k=(a+c)/2.

Олигополия

В равновесии каждая фирма будет производить (a–c)/3b, так что весь отраслевой выпуск составит 2(a–c)/3b.

Ничего. Поскольку предельные издержки у всех фирм одинаковы, то, какая из них производит выпуск, значения не имеет.

Нет, потому что одним из возможных вариантов выбора для лидера по Стэкльбергу является выбор объема выпуска, который он производил бы в равновесии по Курно. Поэтому у него всегда имеется возможность получить, по крайней мере, не меньшую прибыль.

Из текста нам известно, что должно соблюдаться равенство p[1–1/n|ε|]=MC. Поскольку MC>0 и p>0, должно соблюдаться 1–1/n|ε|>0. Преобразование этого неравенства дает нам искомый результат.

Сделайте кривую f2(y1) круче кривой f1(y2).

Вообще говоря, нет. Цена равна предельным издержкам только в случае решения по Бертрану.

Теория игр

В ответ на отступничество (по ошибке) первого игрока второй игрок также нару­шает соглашение. Но тогда первый игрок нарушит соглашение в ответ на это, и каждый из игроков будет продолжать нарушать соглашение в ответ на отступничество другого! Этот пример показывает, что стратегия "зуб за зуб" может оказаться не самой лучшей в случае, когда игроки могут ошибиться либо в своих действиях, либо в своем восприятии действий другого игрока.

И да, и нет. Игрок предпочитает разыгрывать доминирующую стратегию незави­симо от стратегии противника (даже в том случае, если противник разыгрывает свою собственную доминирующую стратегию). Поэтому, если все игроки используют доми­нирующие стратегии, это означает, что все они разыгрывают стратегию, являющуюся оптимальной при заданной стратегии противников, и, следовательно, равновесие по Нэшу существует. Однако не все равновесия по Нэшу являются равновесиями с доми­нирующими стратегиями.

Не обязательно. Нам известно, что до тех пор, пока ваш противник разыгрывает свою стратегию, приводящую к равновесию по Нэшу, вам лучше всего придерживаться своей стратегии, приводящей к равновесию по Нэшу, но если противник разыгрывает другую стратегию, возможно, и для вас найдется лучшая стратегия.

Рассуждая формально, если заключенные получают возможность отомстить, то выигрыши в данной игре могут измениться. Такая ситуация могла бы привести к исходу игры, эффективному по Парето (представьте себе, например, случай, когда оба заклю­ченных договариваются между собой о том, что убьют любого, кто признается, и будем считать, что смерть имеет очень низкую полезность).

Доминирующая стратегия, приводящая к равновесию по Нэшу, состоит в том, что­бы нарушать возможное соглашение в каждом раунде. Эта стратегия выводится посред­ством того же самого процесса обратной индукции, которым мы пользовались при вы­ведении стратегии для случая игры, заканчивающейся 10-м раундом. Свидетельства из практики при использовании много меньших временных периодов, похоже, указывают на то, что игроки редко прибегают к этой стратегии.

В равновесии игрок B выбирает стратегию "слева", а игрок A – стратегию "верх". Игрок B предпочитает ходить первым, поскольку это приводит к получению им выиг­рыша в размере 9 вместо выигрыша в размере 1. (Заметьте, однако, что в последователь­ной игре ходить первым – не всегда преимущество. Не могли бы вы привести пример, иллюстрирующий это?).

Обмен

Да. Рассмотрим, например, распределение, при котором все богатство сосредото­чено у одного индивида. При таком распределении благосостояние другого индивида ниже, чем при распределении, согласно которому он владеет чем-то.

Нет. Ведь это означало бы, что при распределении, которое, как утверждается, яв­ляется эффективным по Парето, существует какой-то способ повысить благосостояние всех, что противоречит предположению об эффективности по Парето.

Если нам известна контрактная кривая, то любой обмен должен закончиться в ка­кой-то точке на этой кривой; однако, где именно, мы не знаем.

Да, но при этом благосостояние кого-то другого должно понизиться.

Сумма величин избыточного спроса на двух оставшихся рынках должна равняться нулю.

Производство

Отказ от производства одного кокоса высвобождает ресурсы стоимостью 6$, и эти ресурсы можно было бы использовать для производства 2 фунтов рыбы (стоимость которых равна 6$).

Результатом более высокой заработной платы была бы более крутая изопрофитная линия, что означало бы перемещение объема выпуска, максимизирующего прибыль фирмы в точку слева от точки текущего равновесия, а это повлекло бы за собой умень­шение спроса на труд. Однако, при этом новом бюджетном ограничении Робинзон за­хочет предложить труда больше, чем то количество труда, которое требуется. Почему? Следовательно, рынок труда не будет находиться в равновесии.

При соблюдении нескольких предпосылок экономика, находящаяся в конкурент­ном равновесии, эффективна по Парето. Обычно признается, что для общества это хо­рошо, поскольку это означает, что в данной экономике не существует возможности по­высить благосостояние какого-либо индивида без нанесения ущерба кому-то другому. Однако вполне возможно, что общество предпочло бы другое распределение благосос­тояния; иными словами вполне возможно, что общество предпочитает повысить благо­состояние одной группы людей за счет другой.

Ему следует производить больше рыбы. Как указывает его предельная норма за­мещения, он готов отказаться от двух кокосов, чтобы получить еще одну рыбу. Предель­ная норма трансформации подразумевает, что для получения еще одной рыбы ему надо отказаться лишь от одного кокоса. Следовательно, отказываясь всего лишь от одного коко­са (притом, что он готов был бы отказаться от двух), он может получить еще одну рыбу.

Обоим пришлось бы работать по 9 часов в день. Если они оба работают по 6 часов в день (Робинзон собирает кокосы, а Пятница ловит рыбу) и отдают друг другу половину всего произведенного ими продукта, то они могут производить тот же самый выпуск. Со­кращение числа рабочих часов с 9 до 6 в день происходит вследствие перестройки произ­водства, основанной на использовании сравнительных преимуществ каждого индивида.

Экономическая теория благосостояния

Главный его недостаток состоит в том, что имеется много распределений, которые невозможно сравнить между собой – не существует способа выбрать лучшее из двух любых распределений, эффективных по Парето.

Она имела бы вид: W(u1,…,un)=max{u1,…,un }.

Поскольку согласно ницшеанской функции благосостояния интерес представляет лишь благосостояние того индивида, у которого оно наивысшее, максимум благосостояния при таком распределении обычно подразумевает получение всего богатства одним индивидом.

Предположим, что это не так. Тогда каждый индивид завидует кому-то другому. Составим список индивидов с указанием того, кто кому завидует. Индивид A завидует

кому-то – назовем этого человека индивидом B. Индивид B, в свою очередь, кому-то завидует, скажем, индивиду C. И т.д. В конце концов, мы найдем того, кто завидует индивиду, стоящему в списке раньше. Допустим, что мы получаем цикл "С завидует D завидует E завидует C". Теперь рассмотрим следующий обмен: C получает то, что имеет­ся у D, D получает то, что имеется у E, а E получает то, что имеется у C. Каждый индивид, участвующий в данном цикле, получает тот набор, который он предпочитает, и по­этому благосостояние каждого из этих индивидов повышается. Но тогда первоначальное распределение не могло быть эффективным по Парето!

Сначала путем голосования следует произвести выбор из распределений x и y, а за­тем – выбор между победителем (z) и распределением y. Сначала путем голосования сле­дует произвести выбор из пары распределений x и y, а затем – выбор между победителем (x) и распределением z. Эта способность влиять на исход голосования путем установления порядка голосования объясняется фактом нетранзитивности общественных предпочтений.

Внешние эффекты (экстерналии)

Верно. Как правило, проблемы, связанные с эффективностью, могут быть устране­ны с помощью четкого определения прав собственности. Однако вводя права собствен­ности, мы вводим также и начальный запас, а это может иметь важные последствия с точки зрения распределения.

Неверно.

Ну не все же ваши соседи по общежитию такие плохие...

Правительство могло бы просто раздать оптимальное число прав на выпас. Другой альтернативой могла бы быть продажа им прав на выпас. (Вопрос: за сколько продава­лись бы эти права? Подсказка: вспомните о рентных платежах.) Правительство могло бы также ввести налог в размере t на одну корову, такой, чтобы f(c*)/c*+t=a.

Право и экономический анализ

Возможно. Вероятность застать кого-либо мусорящим может быть очень мала, по­этому для предотвращения такого поведения величина штрафа должна быть большой.

Если жертва получает полную компенсацию издержек, связанных с несчастным случаем, у нее не будет стимула проявлять осторожность, чтобы избежать несчастного случая.

Произведя подстановку из формулы, приведенной в тексте, мы получаем 100=p*–3∙1/6p. Решая это уравнение для p*, мы находим, что p*=200.

Информационные технологии

Пользователи тяготели бы к приобретению пакетов программ, которые использует большинство пользователей, так как это облегчило бы им обмен файлами и информа­цией о том, как пользоваться программой.

Согласно уравнению πF≥(1–π)x*K/D(p*) следует ответить "да" – до тех пор, пока вероятность быть пойманным остается той же самой.

В этом случае условия максимизации прибыли будут одинаковыми. Если два чело­века совместно пользуются видео, то производитель просто удвоит цену и получит при этом ту же самую прибыль.

Общественные блага

Продажная цена товара не будет самой высокой из предложенных. Скорее, это будет вторая по высоте цена плюс доллар. Товар получает индивид, который готов предложить наивысшую цену, но он должен заплатить только цену, предложенную тем индивидом, который готов был заплатить вторую по высоте цену, плюс какая-то небольшая сумма.

Аргументация аналогична той, которая была приведена в случае налога Клар­ка. Представьте, что вы завышаете предложенную вами цену по сравнению с вашей истинной оценкой товара. Если вы все равно являетесь лицом, предлагающим наи­высшую цену, то ваши шансы на получение товара не меняются. Если вы не являе­тесь таким лицом, то при повышении предлагаемой вами цены, позволяющем превы­сить нынешнюю наивысшую предлагаемую цену, вы получите товар, но вам придется заплатить за него вторую по высоте цену из предлагаемых – а это больше суммы, в которую вы оцениваете товар. Аналогичные рассуждения можно провести и для слу­чая занижения предложенной цены по сравнению с истинной оценкой товара.

Мы хотим, чтобы сумма предельных норм замещения равнялась предельным из­держкам предоставления общественного блага. Сумма MRS есть 20=10∙2, а предель­ные издержки составляют 2x. Поэтому мы получаем уравнение 2x=20, означающее, что x=10. Итак, число уличных фонарей, эффективное по Парето, составляет 10.

Асимметричная информация

Поскольку в равновесии обмениваются только автомобили низкого качества и создается излишек в размере 200$ на сделку, общий создаваемый излишек есть 50∙200=10.000$.

Если бы автомобили приписывались случайным образом, то средний излишек, приходящийся на сделку, равнялся бы средней готовности платить 1800 долларов за выче­том средней готовности продать 1500 долларов. Это дает средний излишек на сделку в раз­мере 300 долларов, а так как число сделок равно 100, мы получаем общий излишек в разме­ре 30000 долларов, что много лучше рыночного решения.

Из текста нам известно, что уравнение для оптимальной системы материального стимулирования имеет вид s(x)=wx+K. Заработная плата w должна равняться предельному продукту рабочего, в данном случае равному 1. Константа K выбирается таким образом, что полезность рабочего в точке оптимального выбора есть ū=0. Оптимальный выбор x имеет место в точке, где цена 1 равняется предельным издержкам x, так что x*=1. В этой точке рабочий получает полезность

x*+K–c(x*)=1+К–½+К. Поскольку полез­ность, получаемая рабочим, должна равняться 0, отсюда следует, что К=–½.

В ответе к предыдущей задаче мы видели, что при оптимальном объеме производ­ства прибыль равна ½. Поскольку ū=0, рабочий был бы готов заплатать ½ за лизинг технологии.

Если рабочий должен достичь уровня полезности 1, то фирме придется выплатить ему аккордный платеж в размере ½.

ХЭЛ Р. ВЭРИАН

МИКРОЭКОНОМИКА

ЗАДАЧИ

Компьютерная вёрстка

Михайлюк Артём Александрович

Киев 1998.