ГЛАВА 3. АРИФМЕТИКА ФИНАНСОВОГО РЫНКА

В настоящей главе рассматривается содержание и техника осу-

ществления финансовых расчетов. Вначале мы остановимся на опре-

делении простого и сложного процентов, эффективного и эквива-

лентного процентов, дисконтированной стоимости, аннуитета, его

будущей и приведенной стоимости. В заключение сформулируем по-

нятие доходности, покажем зависимость между номинальными, ре-

альными ставками процента и инфляцией.

3. 1. ПРОСТОЙ И СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ

3. 1. 1. Простой процент

Финансовые расчеты могут осуществляться на основе простого

или сложного процента. Простой процент — это начисление процен-

та только на первоначально инвестированную сумму.

Например, в начале года инвестор размещает на счете в банке

сумму Р под процент r. Через год он получит сумму Р1, которая рав-

на первоначально инвестированным средствам плюс начисленные

проценты, или

p1 = Р + Рr = Р(1 + r)

Через два года сумма на счете составит:

Р2 = Р + Рr + Рr = Р(1 + 2r)

Аналогичным образом можно представить сумму Рn, которую

вкладчик получит через n лет:

Рп = Р(1 + rп), (1)

где: Рn — будущая стоимость;

Р — сегодняшняя стоимость.

Пример.

Р = 1000000 руб., r = 20%. Определить, какую сумму получит

вкладчик через 5 лет.

Она равна:

1000000 (1 + 0, 2х5) = 2000000 руб.

(Чтобы сделать формулы более компактными, начисляемый про-

цент берут сразу в десятичных значениях, поэтому вместо 20% мы по-

ставили 0, 2)

Если простой процент начисляется в течение периода времени, ко-

торое меньше года, формула (1) принимает вид:

(2)

или

(3)

где: t — количество дней начисления процента в течение года;

pt — сумма, которая получается при начислении процента за t

дней;

r — начисляемый процент.

Если не сказано иное, обычно начисленный процент задается как

процент в расчете на год. Тогда за t дней будет начислена только его

часть, а именно или

В формуле (2) финансовый год принят равным 360, а в формуле (3)

— 365 дням. Выбор формулы (2) или (3) зависит от того, с каким ин-

струментом работает инвестор. Так, в банковской системе год счита-

ется равным 360 дням. Поэтому расчеты по начислению процентов по

вкладам следует делать с помощью формулы (2). Расчеты по опера-

циям с государственными краткосрочными облигациями осу-

ществляются на базе, равной 365 дням. В этом случае используют

формулу (3).

Пример.

Вкладчик размещает в банке 1000000 руб. под 20%. Определить,

какую сумму он получит через 300 дней.

Она равна:

руб.

Для сравнительного анализа финансовые расчеты следует осу-

ществлять на основе одного временного периода, т. е. 360 или 365

дней. Поэтому возникает необходимость перерасчета величины про-

цента с одной временной базы на другую. Это можно сделать с по-

мощью формул (4) и (5):

(4)

(5)

где: r365 - ставка процента на базе 365 дней;

r360 - ставка процента на базе 360 дней.

Пример.

r360 = 20% Определить ставку процента на базе 365 дней.

Она равна:

В примере процентная ставка на базе 365 дней равна 20, 28%, а для

360 дней — только 20%. Такой результат получается в связи с тем,

что в первом случае предполагается начисление процентов дополни-

тельно еще в течение 5 дней.

Если период начисления процентов измеряется в месяцах, то фор-

мулы (2) и (3) можно представить следующим образом:

где: а — количество месяцев, за которые начисляется процент;

Pa сумма, которую инвестор получит через а месяцев.

Пример.

Р = 1000000 руб., r = 20%. Определить, какую сумму получит ин-

вестор через три месяца.

Она равна:

3. 1. 2. Сложный процент

3. 1. 2. 1. Начисление процента один раз в год

Сложный процент — это процент, который начисляется на перво-

начально инвестированную сумму и начисленные в предыдущие

периоды проценты

Отличие результатов для сложного и простого процентов возни-

кает только со второго периода начисления. Так, при начислении в

банке сложного процента раз в год вкладчик в конце года получит

сумму:

Однако в конце второго года его капитал возрастет до:

В конце третьего года он составит:

Аналогичным образом можно показать, что через п лет сумма на

счете вырастет до величины:

(7)

Пример.

Р = 1000000 руб., r = 20%. Определить, какую сумму получит ин-

вестор через 5 лет.

Она равна:

руб.

3. 1. 2. 2. Начисление процентов несколько раз в год

Сложный процент может начисляться чаще, чем один раз в год,

например, раз в полгода, квартал, месяц и т. д. В этом случае форму-

ла () принимает вид:

(8)

где: т — периодичность начисления процента в течение года.

Пример.

Р = 1000000 руб., r = 20%. Определить сумму, которую вкладчик

получит в конце пятого года, если процент начисляется: а) ежеквар-

тально; б) ежемесячно.

Она равна:

а) руб.

б) руб.

Как видно из настоящего примера, чем чаще периодичность на-

числения сложного процента, тем большую сумму получит инвестор

за тот же период времени при одинаковой годовой процентной став-

ке.

3. 1. 2. 3. Непрерывное начисление процента

Сложный процент может начисляться очень часто. Если перио-

дичность начисления процентов стремиться к бесконечности (т —> °о),

то мы получим непрерывное начисление процентов. Несмотря на то,

что логически непросто представить себе частоту начисления про-

центов, равную бесконечности, математически возможно определить

ту сумму средств, которую получит инвестор, если разместит деньги

на условиях непрерывно начисляемого процента. Формула для не-

прерывно начисляемого процента имеет следующий вид:

(9)

где: rn — непрерывно начисляемый процент;

n — период времени начисления процента;

е = 2, 71828...

Пример.

Р = 1000000 руб., r = 20%. Определить, какую сумму получит ин-

вестор, если процент начисляется непрерывно в течение а) полугода;

б) 5 лет.

а) Через погода капитал инвестора составит:

руб.

б) Через пять лет:

руб.

Формулу (9) можно получить следующим образом:

где:

При непрерывном начислении процентов и, следовательно,

. В этом случае:

Тогда

3. 1. 3. Эквивалентный и эффективный проценты

В практике финансового рынка процент, начисляемый по активу,

задают как простой процент в расчете на год. Однако если в рамках

года по активу предусмотрено начисление сложного процента, то

общий результат, который получит инвестор, будет выше деклари-

руемого. Чтобы его определить необходимо рассчитать эффективный

или реальный процент.

Эффективный (реальный) процент — это процент, который полу-

чается по итогам года при начислении сложного процента в рамках

года.

Эффективный процент можно определить из следующего соотно-

шения:

(10)

где: rэф — эффективный процент,

r — простой процент в расчете на год, который задан по условиям

финансового инструмента.

Тогда:

Пример.

По банковскому счету установлены 20. 4% годовых, но процент

начисляется ежемесячно. Определить эффективный процент.

Он равен:

или

Если известен эффективный процент, то по формуле (12), которая

вытекает из формулы (11), можно определить эквивалентный ему

простой процент в расчете на год:

(12)

Пример.

rэф = 30%, т = 4 раза в год. Определить эквивалентный простой

процент.

Он равен:

или 27,12 %

3. 1. 4. Эквивалентность непрерывно начисляемого процента

и процента, начисляемого т раз в год

В финансовых расчетах может возникнуть необходимость найти

эквивалентность между непрерывно начисляемым процентом и про-

центом, начисляемым т раз в год. Например, в формулах определе-

ния курсовой стоимости опциона используется непрерывно начис-

ляемый процент. В то же время на финансовом рынке инвесторы

оперируют главным образом ставками, предполагающими начисле-

ние процента раз в год, полгода, квартал и месяц.

Эквивалентность между двумя видами процентов можно найти,

приравняв суммы, получаемые с учетом непрерывно начисляемого

процента и начисления процента т раз в год, а именно:

(13)

(где: rп — непрерывно начисляемый процент)

или

(14)

Отсюда

(15)

или

(16)

Пример.

r = 10% годовых, начисляется четыре раза в год. Определить экви-

валентный непрерывно начисляемый процент.

Он равен:

или 9,877%

Из формулы (14) процент r можно получить следующим образом:

(17)

Пример.

rn = 10%. Определить эквивалентный ему процент в расчете на год,

если он начисляется четыре раза в год.

Он равен:

или 10,126%

3. 1. 5. Комбинация простого и сложного процентов

В ряде случаев возникает ситуация, когда начисление процентов

включает и сложный, и простой проценты. Например, средства

вкладчика находятся на счете в банке 5 лет и 2 месяца. Проценты ка-

питализируются (т. е. присоединяются к основной сумме счета, на ко-

торую начисляется процент) в конце каждого года. В течение года

начисляется простой процент. Для такого случая сумму, которую по-

лучит инвестор, можно рассчитать по следующей формуле:

(18)

где: Pn+t — сумма, которую получит инвестор за п лет и t дней;

P — первоначально инвестированная сумма;

t — число дней, за которые начисляется простой процент;

r — процент, начисляемый в течение года.

Пример.

Вкладчик положил на счет в банк сумму 1000000 руб. Банк еже-

годно начисляет 20% годовых с учетом их капитализации. В течение

года начисляется простой процент. Определить, какую сумму полу-

чит вкладчик через 5 лет и шестьдесят дней.

Она составит:

руб.

В зависимости от того, когда вкладчик размещает средства на сче-

те, простой процент может начисляться также в начале периода инве-

стирования средств или и в начале и в конце. Суммы, которые полу-

чит вкладчик, можно рассчитать соответственно с помощью формул

(19) и (30) (капитализация процентов осуществляется ежегодно):

(19)

(20)

3. 2. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ

В финансовых расчетах возникает необходимость сравнивать

между собой различные суммы денег в разные моменты времени. На-

пример, какая величина больше: 100 тыс. руб. сегодня или 1 млн. руб.

через пять лет. Дело в том, что сегодня инвестор может положить 100

тыс. руб. в банк и за пять лет они принесут ему некоторый процент.

Если через пять лет 100 тыс. руб. на счете вкладчика превратятся в 1

млн. руб., то можно сказать, что 100 тысяч руб. сегодня и 1 млн. руб.

через пять лет — это эквивалентные, т. е. равные во времени суммы.

Если вкладчик получит больше 1 млн. руб., тогда 100 тыс. руб. сегод-

ня «стоят» больше 1 млн. руб. через пять лет.

Чтобы сравнить суммы денег во времени, их необходимо привести

к единому временному знаменателю. В практике финансовых расче-

тов принято приводить суммы средств, которые получит инвестор, к

сегодняшнему дню, т. е. начальной точке отсчета. Данную задачу ре-

шают (при начислении сложного процента) с помощью формулы (21).

Она получается из формулы (7).

Формула (21) называется формулой дисконтированной или приве-

денной стоимости. Pп — это будущая стоимость, P — дисконти-

рованная или приведенная стоимость (в литературе в качестве сино-

нимов используют также термины сегодняшняя, настоящая, текущая

стоимость). это коэффициент дисконтирования.

Пример.

Инвестор желал бы через пять лет получить на своем счете 5 млн.

руб. Банк начисляет 20% годовых. Определить, на какую сумму необ-

ходимо вкладчику сегодня открыть счет.

Она равна:

руб.

При начислении сложного процента т раз в год формула (21)

принимает вид:

(22)

а для непрерывно начисляемого процента:

(23)

На основе формул (1), (2) и (3) получаем соответственно формулы

дисконтированной стоимости для простого процента:

(24)

(25)

(26)

3.3. Определение периода начисления

процента

На практике возникают вопросы определения периода времени,

которое потребуется для увеличения суммы Р до значения Рn при

начислении процента r.

Для простого процента из формулы (1) получим:

Пример 1.

Сколько времени потребуется для того, чтобы сумма в 100000 руб.

увеличилась до 200000 руб. при начислении 20% годовых.

Период времени равен:

лет

Пример 2.

Сколько времени потребуется для того, чтобы сумма 100000 руб.

увеличилась до 205000 руб. при начислении 20% годовых.

Период времени равен:

года

Допустим, что год равен 365 дням, тогда 0, 25 года эквивалентно t

= 0, 25 • 365 = 91 дню. Таким образом, инвестор получит 205000 руб.

через 5 лет и 92 дня.

Из формул (2) и (3) период t будет равен соответственно:

(28)

(29)

На основе формулы (7) период времени инвестирования равен:

(30)

3. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУДУЩЕЙ СТОИМОСТИ

ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ

Допустим, что инвестор в конце каждого года в течение опреде-

ленного периода времени получает платежи, которые не являются

одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа

на время до окончания данного периода, то по его завершении он по-

лучит некоторую сумму денег, которую называют будущей стои-

мостью потока платежей.

Будущую стоимость потока платежей можно определить по фор-

муле:

(31)

где: F — будущая стоимость потока платежей;

Сt — сумма платежа в году t;

r — процент, под который инвестируется сумма Сt;

п — количество лет, в течение которых производятся выплаты;

— знак суммы;

Как видно из формулы (31), начисление процентов на первый пла-

теж осуществляется в течение (n-1) года, так как сама выплата проис-

ходит только в конце первого года.

Пример.

Инвестиционный горизонт вкладчика равен 4 годам. Он получил

в конце первого года 1 млн. руб., второго — 2 млн. руб., третьего —

2, 5 млн. руб., четвертого — 2, 7 млн. руб. и инвестировал сумму каж-

дого платежа под 15% годовых до окончания данного четырехлетне-

го периода. Определить будущую стоимость потока платежей.

Она составит:

3. 5. АННУИТЕТ

Аннуитет — это поток одинаковых по сумме платежей, которые

осуществляются с равной периодичностью. (В качестве синонима так-

же используется термин рента). Если платежи осуществляются в кон-

це каждого периода, такой аннуитет называется отложенным. Если

платежи осуществляются в начале каждого периода, то это немедлен-

ный аннуитет.

3. 5. 1. Будущая стоимость аннуитета

3. 5. 1. 1. Будущая стоимость аннуитета при начислении сложного

процента один раз в год

Определить будущую стоимость аннуитета можно с помощью

формулы (31). Однако ее можно привести к более удобному виду, так

как величина каждого платежа является одинаковой. Умножим обе

части уравнения (31) на (1 + r) и вычтем полученный результат из

уравнения (31). Получим:

или

(32)

Инвестор в течение четырех лет в конце каждого года получает

сумму 1000000 руб. и размещает каждый платеж под 15% до оконча-

ния четырехлетнего периода. Определить будущую стоимость аннуи-

тета.

Она равна:

руб.

Преобразуем формулу (32), чтобы получить значение С:

(33)

Данную формулу можно использовать, чтобы определить размер

ежегодных отчислений для формирования к определенному моменту

времени фонда денежных средств требуемого размера, например,

пенсионного фонда или фонда по выкупу предприятием своих обли-

гаций.

Пример.

Предприятие должно погасить через пять лет облигации на сумму

10 млрд. руб. Определить размер ежегодных отчислений для форми-

рования выкупного фонда, если данные средства до момента погаше-

ния облигаций инвестируются под 15% годовых.

Сумма ежегодных отчислений составит:

млрд. руб.

3. 5. 1. 2. Будущая стоимость аннуитета при осуществлении

выплат т раз в год

Если условия аннуитета предусматривают осуществление плате-

жей т раз в год, то формула (31) примет вид:

(34)

где: С — величина выплаты за год.

Умножим обе части уравнения (34) на и вычтем результат

из уравнения (34). После преобразования получим:

(35)

3. 5. 1. 3. Будущая стоимость аннуитета при начислении

процента т раз в год

Рассматриваемый случай отличается от предыдущего тем, что

сложный процент начисляется в течение года т раз, а платежи по ан-

нуитету осуществляются только в конце каждого года. Это означает,

что проценты по первому платежу начисляются с начала второго го-

да и осуществляется т раз в год; по второму платежу — с начала тре-

тьего года и также осуществляется т раз в год и т. д.

В этом случае будущая стоимость аннуитета равна:

(36)

Умножим обе части уравнения (35) на (1 + r/m)m и вычтем ре-

зультат из уравнения (36). После преобразования получим:

(37)

3. 5. 2. Приведенная стоимость аннуитета

3. 5. 2. 1. Приведенная стоимость аннуитета при начислении

процента один раз в год

Приведенная стоимость аннуитета представляет собой будущую

стоимость аннуитета, дисконтированную к моменту времени его уч-

реждения, т. е. на величину

Приведенная стоимость аннуитета равна:

или

(38)

где Р — приведенная стоимость аннуитета.

Пример.

С= 1000000 руб., r = 15%, п = 5 лет. Определить приведенную стои-

мость аннуитета.

Она равна:

руб.

Чтобы лучше понять экономический смысл такой величины как

приведенная стоимость аннуитета, можно представить следующую

ситуацию. Проиллюстрируем ее на приведенном выше примере. До-

пустим, некоторое лицо должно выплачивать в течение последующих

пяти лет в конце каждого года сумму в 1000000 руб. Данную задачу

можно решить, разместив на счете в банке под 15% годовых сумму в

3352155, 1 руб. (т. е. приведенную стоимость аннуитета). Тогда в конце

первого года на счете аккумулируется сумма в размере:

3352155,1•1,15 = 3854978,4 руб.

Из нее 1 млн. руб. используется в качестве первого платежа по ан-

нуитету.

На второй год сумма на счете составит:

2854978,4•1,15 = 3283225,12 руб.

1 млн. руб. из нее пойдет на выплату аннуитета.

На третий год на счете аккумулируется сумма:

2283225,12•1,15 = 2625708,89 руб.

1 млн. руб. из нее пойдет на выплату аннуитета.

На четвертый год сумма на счете составит:

1625708,89•1,15 = 1869565,22 руб.

1 млн. руб. из нее уплачивается по аннуитету.

В конце года сумма на счете вырастет до:

869565,22•1,15 = 1000000 руб.

Данный миллион рублей составит последний платеж по аннуите-

ту.

Таким Образом, пятилетнюю ренту можно заменить одной выпла-

той в размере 3352155, 1 в начале пятилетнего периода, поскольку эта

величина при ставке процента 15% эквивалентна стоимости всех вы-

плат по аннуитету.

Формулу приведенной стоимости аннуитета также можно исполь-

зовать в случае, когда заемщик берет кредит на условиях его погаше-

ния в будущем равными платежами ежегодно. Для этого найдем из

формулы (38) величину С:

(39)

где: Р — сумма кредита;

r — процент по кредиту;

С — платеж по кредиту;

п — число лет, на которые берется кредит.

Пример.

Заемщик берет кредит на пять лет в размере 1 млрд. руб. под 30%

годовых с условием погашения его равными суммами в конце каждо-

го года. Определить величину ежегодной выплаты по кредиту.

Она составит:

руб.

3. 5. 2. 2. Приведенная стоимость аннуитета при осуществлении

выплат т раз в год.

Для рассматриваемого случая приведенную стоимость аннуитета

находят дисконтированием будущей стоимости аннуитета на

Тогда

(40)

3. 5. 2. 3. Приведенная стоимость аннуитета при начислении

процента т раз в год

Будущая стоимость такого аннуитета рассчитывается по формуле

(37). Приведенная стоимость определяется дисконтированием правой

части формулы (37) на . Тогда:

(41)

3. 5. 3. Вечная рента

Вечная рента предполагает, что платежи будут осуществляться

всегда. Будущую стоимость такого аннуитета определить невозмож-

но, так как она не являет конечной величиной. Однако можно рас-

считать приведенную стоимость вечной ренты, воспользовавшись

формулой (38). Поскольку для такого аннуитета п —» «>, то она при-

нимает вид:

(42)

Примером вечного аннуитета может служить английская бессроч-

ная государственная облигация, которая называется консоль. Она вы-

пущена в 18 веке и по ней выплачивается доход каждые полгода.

3. 5. 4. Немедленный аннуитет

На рынке ценных бумаг главным образом используется понятие

отложенного аннуитета. Поэтому приведем формулы будущей и при-

веденной стоимости немедленного аннуитета только для случая на-

числения сложного процента один раз в год.

Будущую стоимость аннуитета можно определить, умножив фор-

мулу (32) на (1 + r), так как на каждый платеж проценты будут начис-

ляться на один год больше по сравнению с условием отложенного ан-

нуитета.

(43)

где: Fn — будущая стоимость немедленного аннуитета;

п — количество лет, в течение которых выплачивается аннуитет.

Приведенную стоимость немедленного аннуитета найдем дискон-

тированием правой части формулы (43) на (l + r)n.

Тогда

или

(44)

где: Pп — приведена стоимость немедленного аннуитета.

Приведенную стоимость немедленной вечной ренты можно полу-

чить, умножив формулу (42) на (1 + r).

Тогда

(45)

3. 6. ДОХОДНОСТЬ

На финансовом рынке инвестора интересует результативность его

операций.

Например, лицо А инвестировало 2 млн. руб. на три года и полу-

чило сумму в 6 млн. руб. Лицо В инвестировало 3 млн. руб. на пять

лет, и его результат составил 10 млн. руб. Какой из вариантов инве-

стирования оказался более предпочтительным. Ответить на данный

вопрос с помощью абсолютных величин довольно трудно, так как в

примере отличаются как суммы, так и сроки инвестирования. Резуль-

тативность инвестиций сравнивают с помощью такого показателя

как доходность. Доходность — это относительный показатель, ко-

торый говорит о том, какой процент приносит рубль инвестирован-

ных средств за определенный период. Например, доходность инве-

стиций составляет 10%. Это означает, что инвестированный рубль

приносит 10 коп. прибыли. Более высокий уровень доходности озна-

чает лучшие результаты для инвестора.

В самом общем виде показатель доходности можно определить

как отношение полученного результата к затратам, которые принес-

ли данный результат. Доходность выражают в процентах. Когда мы

рассматривали вопросы начисления процентов, то оперировали

определенными процентными ставками. Данные процентные ставки

есть не что иное как показатели доходности для операций инвесто-

ров. В финансовой практике принято, что показатель доходности или

процент на инвестиции обычно задают или определяют в расчета на

год, если специально не сказано о другом временном периоде. По-

этому, если говорится, что некоторая ценная бумага приносит 20%,

то это следует понимать, как 20% годовых. В то же время реально

бумага может обращаться на рынке в течение времени больше или

меньше года. Такая практика существует потому, что возникает не-

обходимость сравнивать доходность инвестиций, отличающихся по

срокам продолжительности. Рассмотрим некоторые разновидности

показателя доходности.

3. 6. 1. Доходность за период

Доходность за период — это доходность, которую инвестор полу-

чит за определенный период времени. Она определяется по формуле:

(46)

где: r — доходность за период;

Р — первоначально инвестированные средства;

рп — сумма, полученная через п лет.

Пример.

Вкладчик инвестировал 2000000 руб. и получил через 5 лет

5000000 руб. Определить доходность его операции.

Она равна:

или 150%

Таким образом, капитал инвестора за пять лет вырос на 150%.

3. 6. 2. Доходность в расчете на год

На финансовом рынке возникает необходимость сравнивать до-

ходности различных финансовых инструментов. Поэтому наиболее

часто встречающийся показатель доходности — это доходность в

расчета на год. Он определяется как средняя геометрическая, а имен-

но:

(47)

где: r — доходность в расчете на год;

п — число лет.

Пример.

Р = 2000000 руб., Pп = 5000000 руб., п = 5 лет. Определить доход-

ность в расчете на год.

Она равна:

или 20,11%

Таким образом, средняя доходность инвестора в расчете на год

составила 20, 11%.

Если сложный процент начисляется т раз в год, то доходность за

год определяется на формуле:

(48)

Величина, которая получается в круглых скобках правой части

уравнения (48), — это доходность за один период начисления слож-

ного периода. Поэтому, чтобы получить доходность в расчете на год,

умножают на количество периодов.

Пример.

Р = 2000000 руб., Рn = 5000000 руб., п = 5 лет, процент начисляется

ежеквартально. Определить доходность в расчете на год.

Она равна:

или 18,7%

Если процент начисляется непрерывно, то доходность в расчете на

год можно определить по формуле:

(49)

где: rn — доходность, представленная как непрерывно начисляемый

процент.

До настоящего момента мы определяли показатель доходности по

операциям, которые занимали период времени больше года. Поэтому

расчеты строились на формулах с использованием сложного процен-

та. Когда финансовая операция занимает меньше года, как правило, в

расчетах оперируют простым процентом. Если быть более точным,

то более строгим критерием здесь выступает возможность на практи-

ке инвестировать средства с учетом сложного процента.

Например, если на рынке выпускаются ценные бумаги с погаше-

нием через полгода и год, то доходность по годичным ценным бума-

гам следует определять с учетом сложного процента. Такое правило

возникает потому, что вкладчик может получить сложный процент в

рамках года, инвестировав свои средства вначале в шестимесячную

бумагу, и после ее погашения реинвестировать полученные средства в

следующую шестимесячную бумагу.

Для краткосрочных операций доходность определяется на основе

формул (50) и (51).

(50)

(51)

Пример.

Р= 2000000 руб., Pt = 2020000 руб., t = 90 дней, финансовый год

равен 360 дням. Определить доходность операции инвестора.

Она равна:

или 4%

Таким образом, в расчете на год доходность операции составила

4%. Для краткосрочных ценных бумаг также можно рассчитать эф-

фективную доходность, т. е. эффективный процент. Для этого можно

воспользоваться следующей формулой (для примера возьмем финан-

совый год равным 360 дням).

(52)

или

(53)

где: rэф — эффективная доходность в расчете на год;

t — период финансовой операции (время с момента покупки до

продажи или погашения ценной бумаги);

r — простой процент в расчете на год;

rt — доходность за период t.

Продолжая вышеприведенный пример, рассмотрим эффективную

доходность операции. Она равна:

или 4,06%

Поскольку, то формулу (53) можно представить еще

следующим образом:

(54)

В нашем примере доходность за 90 дней составляет

или 1%, а тогда эффективная доход-

ность за год равна:

или 4,06%

3. 6. 3. Процентные ставки и инфляция

В рыночной экономике существует инфляция. Поэтому для про-

центных ставок (и, соответственно, показателя доходности) необхо-

димо различать номинальные и реальные величины, чтобы опреде-

лить действительную эффективность финансовых операций. Если

темп инфляции превышает ставку процента, которую получает

вкладчик на инвестированные средства, то для него результат от фи-

нансовой операции окажется отрицательным. Несмотря на то, что по

абсолютной величине (в денежных единицах, например, в рублях) его

средства возрастут, их совокупная покупательная способность упа-

дет. Таким образом, он сможет купить на новую сумму денег меньше

товаров и услуг, чем на те средства, которыми располагал до начала

операции.

Номинальная процентная ставка — это процентная ставка без

учета инфляции. В качестве номинальных выступают процентные

ставки банковских учреждений. Номинальная ставка говорит об аб-

солютном увеличении денежных средств инвестора.

Реальная процентная ставка — это ставка, скорректированная на

процент инфляции. Реальная ставка говорит о приросте покупатель-

ной способности средств инвестора.

Взаимосвязь между номинальной и реальной процентными став-

ками можно представить следующим образом:

или

Данное уравнение называют уравнением Фишера. Запишем его в

буквенном обозначении:

(55)

где: r — номинальная ставка процента;

у — реальная ставка процента;

i — темп инфляции.

Из уравнения (55) можно получить реальную процентную ставку:

(56)

или

(57)

Пример.

r = 50%, i = 30%. Определить реальную ставку процента.

Она равна:

или 15,38%

Раскроем скобки в уравнении (55)

(58)

Если значения реальной процентной ставки и инфляции невысоки,

то величина yi в уравнении (58) будет очень малой и ей можно прене-

бречь. Тогда уравнение Фишера примет следующий вид:

(59)

и соответственно:

(60)

Пример.

r = 15%, i = 5 %. Определить реальную ставку процента.

Она равна:

у = 15% — 5% = 10%

Расчет реальной ставки процента с помощью уравнения (55) даст

результат 9, 52%.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

Простой процент представляет собой начисление процента только

на первоначально инвестированную сумму.

Сложный процент — это начисление процента на первоначально

инвестированную сумму и начисленные проценты. Сложный процент

может начисляться более чем один раз в год. Предельной величиной

начисления сложного процента является непрерывно начисляемый

процент.

Эффективный процент — это процент, получаемый по итогам го-

да при начислении сложного процента в рамках года.

Дисконтированная стоимость — это сегодняшняя стоимость бу-

дущей суммы денег.

Аннуитет представляет собой поток одинаковых платежей, осу-

ществляемых с равной периодичностью в течение определенного пе-

риода времени.

Будущая стоимость аннуитета — это сумма денег, получаемая в

конце срока аннуитета, если все платежи по нему реинвестируются до

момента его окончания.

Приведенная стоимость аннуитета представляет собой будущую

стоимость аннуитета, дисконтированную к моменту времени его уч-

реждения.

Доходность — это показатель результативности инвестиций. На

основе значений доходности сравнивают эффективность операций на

финансовом рынке.

Действительную результативность операций инвестора показы-

вает реальная процентная ставка. Она говорит о приросте покупа-

тельной способности его средств. Номинальная ставка процента по-

казывает только абсолютную величину прироста средств инвестора и

не учитывает инфляцию.

Зависимость между номинальной, реальной процентными ставка-

ми и инфляцией описывается уравнением Фишера.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. В чем разница между простым и сложным процентами?

2. Вкладчик размещает на счете в банке 100 тыс. руб. Какую сумму

он получит через 60 дней, если банк начисляет по вкладу 10% годо-

вых?

(Ответ: 101666, 67 руб. )

3. Доходность финансового инструмента на базе 365 дней равна

20% годовых. Пересчитайте его доходность из расчета 365 дней.

(Ответ: 20, 28%)

4. Вкладчик размещает на счете в банке 100 тыс. руб. Какую сумму

он получит через 2 года, если банк начисляет по вкладу 10% годовых?

Проценты капитализируются ежегодно.

(Ответ: 121000 руб. )

5. Вкладчик размещает на счете в банке 100 тыс. руб. Какую сумму

он получит через 2 года, если банк начисляет по вкладу 10% годовых?

Проценты капитализируются через каждые полгода.

(Ответ: 121550, 63 руб. )

6. Вкладчик размещает на счете в банке 100 тыс. руб. Какую сумму

он получит через 60 дней, если банк начисляет по вкладу 10% годо-

вых на условиях непрерывного начисления процентов?

(Ответ: 101680, 63руб. )

7. По банковскому счету установлены 10% годовых. Процент на-

числяется ежеквартально. Рассчитайте эффективный процент.

(Ответ: 10, 38%)

8. 10% годовых начисляются четыре раза в год. Определите экви-

валентный непрерывно начисляемый процент.

(Ответ: 9, 88%)

9. Вкладчик размещает на счете в банке 100 тыс. руб. Какую сумму

он получит через 2 года 60 дней, если банк начисляет по вкладу 10%

годовых? Проценты капитализируются ежегодно.

(Ответ: 123016, 67 руб. )

10. Банк начисляет 10% годовых. Проценты капитализируются

ежегодно. Какую сумму вкладчик должен разместить в банке, чтобы

через 5 лет получить на счете 100 тыс. руб.

(Ответ: 62092, 13 руб. )

11. Инвестор в течение 10 лет в конце каждого года получает сум-

му 50 тыс. руб. и размещает каждый платеж до окончания десятилет-

него периода под 10% годовых. Определите будущую стоимость ан-

нуитета.

(Ответ: 796871, 23 руб. )

12. Пенсионный фонд через 10 лет должен аккумулировать 1 млрд.

руб. Определите размер ежегодных взносов в пенсионный фонд, если

до истечения указанного периода они инвестируются под 10% годо-

вых.

(Ответ: 62745394, 89 руб. )

13. Инвестор в течение 10 лет в конце каждого года получает сум-

му 50 тыс. руб. и размещает каждый платеж до окончания десятилет-

него периода под 10% годовых. Определите приведенную стоимость

аннуитета.

(Ответ: 307228, 36 руб. )

14. Заемщик берет кредит на 10 лет в размере 100 млн. руб. под

25% годовых с условием погашения его равными суммами в конце

каждого года. Определите величину ежегодных выплат по кредиту?

(Ответ: 28007256, 24 руб. )

15. Сколько стоит вечная рента, если по ней ежегодно выплачи-

вается 50 тыс. руб. ? Банковский процент равен 10% годовым.

(Ответ: 500000 руб. )

16. Вкладчик инвестировал 50 тыс. руб. и получил через 4 года

200 тыс. руб. Определите доходность его операции за четыре года.

(Ответ: 400%)

17. Определите по условиям задачи 16 доходность операции ин-

вестора в расчете на год.

(Ответ: 41, 42%)

18. Вкладчик инвестировал 50 тыс. руб. и получил через 100 дней

60 тыс. руб. Определите эффективную доходность его операции на

базе 365 дней.

(Ответ: 94, 54%)

19. Номинальная ставка процента равна 10% годовых, темп ин-

фляции — 5%. Определите реальную ставку процента.

(Ответ: 4, 76%)

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М., 1997, гл. 1-4.

2. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. —

М., 1997, гл. З.

3. Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами. — М, 1997,

гл. 4.

4. Финансовый менеджмент (под ред. Поляка Г. Б. ) — М., 1997.

гл. 7.

5. Финансовый менеджмент (под ред. Стояновой Е. С. ), — М.,

1997, гл. 2.

6. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.

— М., 1995, гл. 1, 2, 5.

«все книги «к разделу «содержание Глав: 24 Главы: < 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. >

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

ГЛАВА 3. АРИФМЕТИКА ФИНАНСОВОГО РЫНКА