§ 2. Виды средних величин

Средние статистические величины имеют несколько видов, но все они относятся к классу степенных средних, т. е. средних, построенных из различных степеней вариантов: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая и т. д.

Общий вид формулы степенной средней таков:

где х – средняя определенной степени (читается «икс с чертой»); х – варианты (меняющиеся значения признака); л – число вариант (число единиц в совокупности); т – показатель степени средней величины; £ – знак суммирования (сигма большая).

250

При расчете различных степенных средних все основные показатели, на основе которых осуществляется этот расчет (х, я), остаются неизменными. Меняется только величина т и соответственно JC.

Если т = 2, то получается средняя квадратическая. Ее формула

Если т = 1, то получается средняя арифметическая. Ее формула

7 *арифм.

Если т = -1, то получается средняя гармоническая. Ее формула

*гармон.

Если т = О, то получается средняя геометрическая. Ее формула

,Х, Х2 • Х3: . .-Х„ .

Различные виды средних при одних и тех же исходных показателях (значении вариант х и их числе л) имеют в связи с разными значениями степени далеко не одинаковые численные значения. Рассмотрим их на конкретных примерах.

Предположим, что в поселке N в 1995 г. было зарегистрировано 3 автотранспортных преступления, а в 1996 г. – 6. В этом случае jc,=3, х2=6, a n (число вариант, лет) в обоих случаях равно 2.

При значении степени т = 2 получаем среднюю квадрати-ческую величину:

= ,/22j = 4,75.

1 получаем среднюю арифмети-

При значении степени т ческую величину:

•*арифм. ~~

При значении степени т = 0 получаем среднюю геометрическую величину:

251

*геом = V*l Х2 = VJ 6 = V18 = 4,25.

При значении степени т = - 1 получаем среднюю гармоническую величину:

• vJL-

*гармон – "• Zw у ~

Произведенные расчеты показали, что разные средние образуют между собой следующую цепь неравенства:

(4,75) > харифм (4,5) > хгеом (4,25) > .

,.(4,0).

Закономерность проста: чем меньше степень средней (2; 1; 0; - 1), тем меньше значение соответствующей средней. Таким образом, каждая средняя приведенного ряда мажорантна (мажор от фр. majeur – больший) в отношении средних, стоящих справа от нее. И это называется правилом мажорантное™ средних.

В приведенных упрощенных примерах значения вариант (х) не повторялись: значение 3 встречалось один раз и значение 6 -тоже. Статистические реалии более сложны. Значения вариантов могут повторяться по нескольку раз. Вспомним обоснование выборочного метода на основе экспериментального извлечения карточек, пронумерованных от 1 до 10. Некоторые номера карточек извлекались по 2, 3, 5, 8 раз. При расчете среднего возраста осужденных, среднего срока наказания, среднего срока расследования или рассмотрения уголовных дел одна и та же варианта (х), например возраст 20 лет или мера наказания 5 лет, может повторяться десятки и даже сотни раз, т. е. с той или иной частотой (/). В этом случае в общую и специальные формулы расчета средних вводится символ / – частота. Частоты при этом называют статистическими весами, или весами средней, а сама средняя называется взвешенной степенной средней. Это означает, что каждая варианта (возраст 25 лет) как бы взвешивается по частоте (40 человек), т. е. умножается на нее.

Итак, общая формула взвешенной степенной средней имеет вид:

где х – взвешенная средняя степени т; х – варианты (меняющиеся значения признака); т – показатель степени средней; Z – знак суммирования (сигма большая);/– частоты вариант.

252

Формулы других взвешенных средних будут иметь такой вид: средняя квадратическая –

средняя арифметическая – харифм =

средняя геометрическая – Зсгеом. = ^х{ -х{ х{ ...-х{\ средняя гармоническая -- *гармон. =

Выбор обычной средней или взвешенной определяется статистическим материалом, а выбор вида степенной (арифметической, геометрической и т. д.) – целью исследования. Вспомним, когда рассчитывался среднегодовой прирост абсолютных показателей мы прибегали к средней арифметической, а когда исчисляли среднегодовые темпы прироста (снижения), то вынуждены были обращаться к средней геометрической, поскольку средняя арифметическая эту задачу выполнить не могла, так как приводила к ошибочным выводам.

В юридической статистике самое широкое применение находит средняя арифметическая. Она используется при оценке нагрузки оперативных работников, следователей, прокуроров, судей, адвокатов, других сотрудников юридических учреждений; расчете абсолютного прироста (снижения) преступности, уголовных и гражданских дел и других единиц измерения; обосновании выборочного наблюдения и т. д.

Средняя геометрическая величина используется при вычислении среднегодовых темпов прироста (снижения) юридически значимых явлений.

Средний квадратичный показатель (средний квадрат отклонения, средне квадратическое отклонение) играют важную роль при измерении связей между изучаемыми явлениями и их причинами, при обосновании корреляционной зависимости.

Некоторые из этих средних, широко применяемых в юридической статистике, а также мода и медиана будут более подробно рассмотрены в последующих параграфах. Средняя гармоническая, средняя кубическая, средняя прогрессивная (изобретение советского времени) в юридической статистике практичес-

253

ки не применяются. Средняя гармоническая, например, которая в предыдущих учебниках по судебной статистике1 подробно излагалась на абстрактных примерах, оспаривается видными экономическими статистиками. Они считают среднюю гармоническую обратной величиной средней арифметической, и поэтому она, по их мнению, не имеет самостоятельного значения, хотя другие статистики видят в ней определенные преимущества . Не вникая в теоретические споры экономических статистиков, скажем, что средняя гармоническая нами подробно не излагается ввиду неприменения в юридическом анализе.

Кроме обычных и взвешенных степенных средних для характеристики среднего значения варианты в вариационном ряду могут быть взяты не расчетные, а описательные средние: мода (наиболее часто встречающаяся варианта) и медиана (срединная варианта в вариационном ряду). Они широко применяются в юридической статистике.