Возраст

14

15

16

17

18

19

20 21

22

23

24

25 26

Число осужденных

10

25

40

60

80

102

150 160 Me

175 Mo

170

158

140 132

Медианой в этом дискретном ряду будет варианта «20 лет» с частотой 150 осужденных. По обе стороны от нее находится равное число единиц совокупности. Модой в этом ряду является варианта «22 года» с наибольшей частотой -- 175 осужденных. Если мы обратимся к таблице 5, то там медиана -- это срок рассмотрения дела в 4 дня с числом рассмотренных дел 80, а мода – срок в 3 дня и частотой 85 дел.

Если всем единицам любого ранжированного ряда придать порядковые номера, то номер медианы в ряду с нечетным чис-

п + 1 _

лом членов п определяется как -у-. В наших примерах: в первом

13 +1

случае (табл. 8), когда в ряду 13 членов, Me

• = 7, а во втором

7 + 1

случае (табл. 5) Me = –– = 4 . В последнем примере число членов в

ряду четное. Медианой будет средняя из двух центральных вариант, порядковые номера которых я:2 и я:2 + 1. Например, если в ряду 20 единиц, то в центре стоят единицы с порядковым номером 10 и 11. Средняя из двух величин определяется по формуле средней арифметической. В подобных случаях в качестве медианы можно определить и одну варианту, если единиц в совокупности много и различия между ними незначительные.

269

В интервальном ранжированном ряду медиана, как и при нахождении моды, определяется вначале в виде медианного интервала, а затем в нем находится медиана по соответствующей формуле. Медианный интервал определяется по кумулятивным (накопленным) частотам, которые являются последовательной суммой предыдущих частот, начиная с интервала с меньшим значением признака. Кумулятивная частота для раненых (табл. 6) складывалась таким образом: для интервала от 1 до 5 лет она равна числу раненых этого возраста (4626), а для следующего интервала от 6 до 10 лет является суммой раненых (частот) в возрасте от 1 до 5 лет (4626) и от 6 до 10 лет (9904), т. е. 14 530. И так до конца ряда.

Общая сумма накопленных частот равна обшей сумме частот, в нашем примере – общему числу раненых (183 926). Медиана в таком ряду определяется путем деления общей суммы (всех накопленных) частот на 2. В нашем примере: 183 926: 2 = 91 963. Следовательно, медианным интервалом в анализируемом ряду раненых будет интервал от 31 до 35 лет, который включает в себя эту частоту. До этого интервала сумма накопленных частот составила 89 954. Чтобы получить конкретное значение медианы, надо к 89954 прибавить еще 2009 (91 963-89 954 = 2009).

При определении значения медианы предполагают, что значение признака в интервале распределяется равномерно, т. е. число раненых (19 187), находящихся в интервале от 31 до 35 лет, распределяется равномерно между этими пятью годами. Если это предположение верно, то разнице между накопленными частотами 91 963 и 89 954, равной 2009, будет соответствовать следующая возрастная величина:

5 лет 2009

19 187

• = 0,524 года.

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала (от 31 до 35 лет), мы получим искомое значение медианы: 31 год+ 0,524 года = (округленно) 31,5 года или 31 год и 6 месяцев. Эти логические рассуждения укладываются в соответствующую формулу для расчета медианы в вариационном интервальном ряду:

Me = Х„ +1

.1/: 2-

/Me

где Me – медиана (в нашем примере для ряда раненых); Х0 – минимальная граница медианного интервала (31 год); /' – значение медианного интервала

270

(5 лет); If– сумма частот ряда или численность ряда (183 926), отсюда If: 1 – номер медианы (183 926 : 2 = 91 963); SXa – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу (89 954); /Ме – частота медианного интервала (19187).

Подставляя в эту формулу значения из нашего примера, получаем:

, 19 1 87

Итак, медиана для ряда раненых равна 31 году и 6 месяцам, т. е. тому же значению, которое мы получили перед рассмотрением формулы на основе л огико- математических операций. Теперь по этой же формуле рассчитаем медиану для погибших от ДТП:

Ме = 31+532791:2-'3157 =34-5-0,8 = 35. 4112

Следовательно, медианный интервал для погибших от ДТП тот же самый, что и для раненых (от 31 до 35 лет), но значение медианы внутри интервала для раненых составило 31 год и 6 месяцев, а для погибших – 35 лет.

Рассмотренная формула расчета медианы (в отличие от формулы расчета моды) применима для любого интервального ряда, как с равными, так и с неравными интервалами. Проверим это на данных погибших от ДТП, приведенных в табл. 7, где значения интервалов различаются в 5 и более раз.

Me = 21 + 4

32791

~ 2686

= 21 + 4 • 3,7 = 21 + 14,7 = 35,7 лет.

Медиана, рассчитанная для вариационного ряда с существенно различающими интервалами, несколько отличается от медианы, исчисленной для того же ряда, но с равными интервалами (35,0 и 35,7), и это объяснимо.

В практике мода и медиана иногда используются вместо средней арифметической или вместе с ней. При использовании вместе они дополняют друг друга, особенно когда в совокупности небольшое число единиц с очень большим или очень малым значениями исследуемого признака. В дополнение к средней арифметической желательно также исчислять моду и особенно медиану, которая в отличие от средней не зависит от крайних и характерных для совокупности значений признака. Медиану мож-

271

но использовать в качестве приближенной средней арифметической тогда, когда совокупность ранжирована и упорядочена. В этом случае медиана определяется по срединному значению варианты. В связи с этим значения других вариант можно и не измерять.

Кроме медианного деления вариационного ряда на две равные части, в статистике употребляются и более дробные деления: квартили, которые делят вариационный ряд по сумме частот на 4 равные части, децили – на 10 равных частей и центи-ли – на 100 равных частей. Они могут использоваться для более выразительных и компактных описаний исследуемого явления; в юридической статистике практически не применяются.