4.5. ВАЖНЕЙШИЕ НЕВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ (ПОИСК И СОРТИРОВКА)

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133

Одними из важнейших процедур обработки структурированной информации являются сортировка и поиск. Сортировкой называют процесс перегруппировки заданной последовательности (кортежа) объектов в некотором определенном порядке. Определенный порядок (например, упорядочение в алфавитном порядке, по возрастанию или убыванию количественных характеристик, по классам, типам и т.п) в последовательности объектов необходим для удобства работы с этими объектами. В частности, одной из целей сортировки является облегчение последующего поиска элементов в отсортированном множестве. Под поиском подразумевается процесс нахождения в заданном множестве объекта, обладающего свойствами или качествами задаваемого априори эталона (или шаблона).

Очевидно, что с отсортированными (упорядоченными) данными работать намного легче, чем с произвольно расположенными. Упорядоченные данные позволяют эффективно их обновлять, исключать, искать нужный элемент и т.п. Достаточно представить, например, словари, справочники, списки кадров в неотсортированном виде и сразу становится ясным, что поиск нужной информации является труднейшим делом, если не невозможным.

Существуют различные алгоритмы сортировки данных. И понятно, что не существует универсального, наилучшего во всех отношениях алгоритма сортировки. Эффективность алгоритма зависит от множества факторов, среди которых можно выделить основные:

• числа сортируемых элементов;

• степени начальной отсортированности (диапазона и распределения значений сортируемых элементов);

• необходимости исключения или добавления элементов;

• доступа к сортируемым элементам (прямого или последовательного).

Принципиальным для выбора метода сортировки является последний фактор. Если данные могут быть расположены в оперативной памяти, то к любому элементу возможен прямой доступ. Удобной структурой данных в этом случае выступает массив сортируемых элементов. Если данные размещены на внешнем носителе, то к ним можно обращаться лишь последовательно. В качестве структуры подобных данных можно взять файловый тип.

В этой связи выделяют сортировку двух классов объектов: массивов (внутреняя сортировка) и файлов (внешняя сортировка).

Процедура сортировки предполагает, что при наличии некоторой упорядочивающей функции F расположение элементов исходного множества меняется таким образом, что

a1, а2… аn → ak1, ak2…akn

F(ak1) < F(ak2) < F(akn)

где знак неравенства понимается в смысле того порядка, который установлен в сортируемом множестве.

Поиск и сортировка являются классическими задачами теории обработки данных, решают эти задачи с помощью множества различных алгоритмов. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Поиск. Для определенности примем, что множество, в котором осуществляется поиск, задано как массив

var a:array[0..N] of item;

где item - заданный структурированный тип данных обладающий хотя бы одним полем (ключом), по которому необходимо проводить поиск.

Результатом поиска, как правило, служит элемент массива, равный эталону, или отсутствие такового.

Линейный поиск. Процедура заключается в простом последовательном просмотре всех элементов массива и сравнении их с эталоном X.

i:=0;

while (i<=N)and(a[i]<>X) do i:=i+1 end.

Часто бывает целесообразнее осуществлять поиск с барьером, вводя дополнительно граничный элемент массива a[N+l]:

a[N+l]:=X;i:=0;

while a[i]<>X do i:=i+l end.

Равенство i = N + 1 означает, что совпадений не было, т.е. что эталонный элемент отсутствует.

Попытайтесь разобраться в чем различие представленных конструкций. Приведем пример программы поиска эталона х в массиве а[0..n].

Программа 42

program poiskl; (*линейный поиск*) const N=8;

type item= integer;

var a : array[0..n] of item; i :integer; x : item;

begin

(*задание искомого массива*) for i:=0 to N do

begin writet'Bвeди элемент a[ ',i, ']= '); readln(a[i]);

end;

writeln; write('введи эталон x= '); readln(x);

(* линейный поиск*)

i:=0; while (i<=N)and(a[i]<>X) do begin i:=i+l end;

(*вывод результата*)

if i<=N then write( 'найден элемент на ',i, ' месте ') else write( 'такого элемента в массиве нет ') ;

readin

end.

Поиск делением пополам. В большинстве случаев процедура поиска применяется к упорядоченным данным (телефонный справочник, библиотечные каталоги и пр.). В подобных ситуациях эффективным алгоритмом является поиск делением пополам. В этом методе сравнение эталона Х осуществляется с элементом, расположенным в середине массива и в зависимости от результата сравнения (больше или меньше) дальнейший поиск проводится в левой или в правой половине массива.

L:=0; R:=N; while L<R do

begin

m:=(L+R) div 2;

if a[m]<X then L:=m+l else R:=m;

end;.

Например, пусть эталонный ключ х=13, а в массиве имеются следующие элементы:

а[0]=1; а[1]=3; а[2]=4; а[3]=7; а[4]=8; а[5]=9; а[6]=13; а[7]=20; а[8]=23.

Бинарный процесс поиска показан ниже:

1 3 4 7 8 9 13 20 23 - элементы массива

0 1 2 3 4 5 6 7 8- порядковые номера элементов

L m R

a[m]=x =>поиск закончен и m = 6

Программа поиска представлена ниже.

Программа 43

program poisk2; (*поиск делением пополам*)

const N=8;

type item= integer;

var a: array[0..n] of item; i, L, R, m:integer; x: item; f:

boolean;

begin

(*задание искомого массива*)

for i:=0 to N do

begin write( 'введи элемент a[',i, '1= '); readln(a[i])

end;

writeln; write( 'введи эталон х= '); readln(x);

(*бинарный поиск*)

L:=0; R:=N; f:=false;

repeat m:=(L+R) div 2; if a[m]=X then f:=true;

if a[m]<X then L:=m+l

else R:=m;

writeln(m,L,R);

until (L>=R)or(f);

(*вывод результата*)

if f then write('найден элемент на ',m, ' месте') else write('такого элемента в массиве нет ');

readln

end.

Сортировка массивов. Как и в случае поиска определим массив данных:

var a: array [0.. N] of item

Важным условием сортировки массива большого объема является экономное использование доступной памяти. В прямых методах сортировки осуществляется принцип перестановки элементов «на том же месте». Ниже рассмотрим три группы сортировок: с помощью включения, выбора и обмена.

Сортировка с помощью включения Кто играл в карты, процедуру сортировки включениями осуществлял многократно. Как правило, после раздачи карт игрок, держа карты веером в руке, переставляет карты с места на место стремясь их расположить по мастям и рангам, например, сначала все тузы, затем короли, дамы и т.д. Элементы (карты) мысленно делятся на уже «готовую последовательность» и неправильно расположенную последовательность. Теперь на каждом шаге, начиная с i = 2, из неправильно расположенной последовательности извлекается очередной элемент и перекладывается в готовую последовательность на нужное место.

for i:=2 to N do begin

x:=a[i];

<включение х на соответствующее место готовой последовательности a[l],...,a[i]>

end

Поиск подходящего места можно осуществить одним из методов поиска в массиве, описанным выше. Затем х либо вставляется на свободное место, либо сдвигает вправо на один индекс всю левую сторону. Схематично представим алгоритм для конкретного примера:

Исходные элементы

i=2

i=3

i=4

i=5

В алгоритме поиск подходящего места осуществляется как бы просеиванием х при движении по последовательности и сравнении с очередным a[j]. Затем х либо вставляется на свободное место, либо a[j] сдвигается вправо и процесс как бы «уходит» влево.

Программа 44

program sortirov)ca_l;

(*сортировка включением по линейному поиску*) const N=5;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i, j: integer; х: item;

begin (*задание искомого массива*)

for i:=l to N do begin write('введи элемент a[',i,']=');

readln(a[i]) end;

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ' );

end;

writeln;

(*алгоритм сортировки включением*) .for i:=2 to n do begin

x:=a[i]; j:=i; a[0]:=x; (*барьер*)

while x<a[j-l] do

begin

a[j]:=a[j-l); j:=j-l;

end;

a[j]:=x; .

(for k:=l to n do write(a[k.l, ' ') end; writeln;) end;

(*вывод отсортированного массива*) for i:=l to N do begin .

write(a[i], ' ') ;

end;

readln;

end.

В рассмотренном примере программы для анализа процедуры пошаговой сортировки можно рекомендовать использовать трассировку каждого прохода по массиву с целью визуализации его текущего состояния. В тексте программы в блоке непосредственного алгоритма сортировки в фигурных скобках находится строка, которая при удалении скобок выполнит требуемое (параметр k необходимо описать в разделе переменных - var k:integer). Во всех последующих программах сортировки легко осуществить подобную процедуру.

Вернемся к анализу метода прямого включения. Поскольку готовая последовательность уже упорядочена, то алгоритм улучшается при использовании алгоритма поиска делением пополам. Такой способ сортировки называют методом двоичного включения.

Программа 45

program sortirovka_2;

(*сортировка двоичным включением*) const N=5;

type item= integer;

var a: array(l..n] of item; i, j, m, L, R: integer; x: item;

begin

(*задание элементов массива*) for i:=l to N do

begin write('Bведи элемент a[',i,']= '-); readln(a[i]) ;

end;

for i:=l to N do

begin write (a[i], ' ');

end;

writeln;

(*алгоритм сортировки двоичным включением*)

for i:=2 to n do begin

x:=a(i]; L:=l; R:=i;

while L<R do begin

m:=(L+R) div 2; if a[m]<=x then L:=m+l else R:=m;

end;

for j:=i downto R+l do a(j]:=a[j-1];

a[R]:-x;

end;

(* вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do

begin write(a[i], ' ');

end; , readln;

end.

Один из вариантов улучшенной сортировки включением был предложен Д.Шеллом. Его метод предполагает сначала отдельную группировку и сортировку элементов, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, например 4 (четвертная сортировка), после первого прохода перегруппировку элементов таким образом, чтобы каждый элемент группы отстоял от другого на 2 номера, после двойной сортировки на третьем проходе одинарную (обычную) сортировку.

Исходные элементы

Четвертная сортировка

Двойная сортировка

Одинарная сортировка

Каждая из сортировок основывается на алгоритме прямого включения и, соответственно, должна программироваться аналогично. Если для условия окончания поиска использовать барьер, а их необходимо ставить для каждой из сортировок, то необходимо расширить границы массива на несколько компонентов (барьеров) влево, т.е. использовать массив а[-r..n], где r - количество сортировок.

Сортировка с помощью прямого выбора. Алгоритм прямого выбора является одним из распространенных в силу своей простоты. Сначала определяют минимальный элемент среди всех элементов массива, затем его меняют местами с первым. Далее процесс повторяется с той лишь разницей, что минимальный ищется со второго и меняется со вторым и т.д.

i=2, min= 11

i=3.min=12

i=4, min=13

i=5,min=15.

Программа 46

program sortirovka_3;

(*улучшенная сортировка включением - сортировка Шелла*)

const N=8; t=4;

type item= integer;

var a: array[-9..n] of item; i, j, k, s :integer; x: item;

m: l..t; h :array [l..t] of integer;

begin

(*задание искомого массива*)

for i:=l to N do

begin write('введи элемент a[',i,']=') readln(a[i])

end;

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

writeln;

(*алгоритм Шелла*)

h[l]:=9; h[2]:=5; h[3]:=3; h[4]:=1;

for m:=l to t do

begin k:=h[m]; s:=-k; (*барьеры для каждого шага*)

for i:=k+l to n do

begin x:=a[i], j:=i—k; if s=0 then s:=-k;- s:=s+l;

a[s]:=x; while x<a[j] do begin a[j+k]:=a(j]; j:=j-k;

end;

a[j+k]:=x

end;

(*вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readln;

end.

Программа 47

program sortirovka 4;

(*сортировка прямым выбором*)

const N=5;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i, j, k: integer; x: item;

begin

(*задание искомого массива*)

for i: =1 to N do

begin write('введи элемент a[', i, ']='); readln(a[i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i],' ');

end;

writeln;

(*алгоритм прямого выбора*)

for i:=l to n-1 do

begin k:=i; x:=a[i]; (*поиск наименьшего элемента*)

for j:=i+l to n do (*и его индекса из a[i]...a{n]*)

if a[j]<x then begin k:=j; x:=a[k)

end;

a(k]:=a[i]; a[i]:=x;

end;

(*вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readln;

end.

Улучшенный метод сортировки выбором с помощью дерева. Метод сортировки прямым выбором основан на поисках наименьшего элемента среди неготовой последовательности. Усилить метод можно запоминанием информации при сравнении пар элементов. Этого добиваются определением в каждой паре меньшего элемента за n/2 сравнений. Далее n/4 сравнений позволит выбрать меньший из пары уже выбранных меньших и т.д. Получается двоичное дерево сравнений после n-1 сравнений у которого в корневой вершине находится наименьший элемент, а любая вершина содержит меньший элемент из двух приходящих к ней вершин. Одним из алгоритмов, использующих структуру дерева, является сортировка с помощью пирамиды (Дж.Вилльямс). Пирамида определяется как последовательность ключей hL...hR, такая, что *

hi<=h2i и hi<=h2i+l, для i=L,...,R/2.

Другими словами пирамиду можно определить как двоичное дерево заданной высоты h, обладающее тремя свойствами:

• каждая конечная вершина имеет высоту h или h-1;

• каждая конечная вершина высоты h находится слева от любой конечной вершины высоты h-1;

• значение любой вершины больше значения любой следующей за ней вершины. Рассмотрим пример пирамиды, составленной по массиву

27 9 14 8 5 11 7 2 3.

У пирамиды п вершин, их значения можно разместить в массиве а, но таким образом, что следующие за вершиной из a[i] помещаются в a[2i] и a[2i+l]. Заметим, что а[6]=11,а[7]=7, а они следуют за элементом а[3]=14 (рис.3.14).

Рис. 3.14. Пирамида

Очевидно, что если 2i > n , тогда за вершиной a[i] не следуют другие вершины, и она является конечной вершиной пирамиды.

Процесс построения пирамиды для заданного массива можно разбить на четыре этапа:

1) меняя местами а[1] и а[п], получаем 3 9 14 8 5 11 7 2 27;

2) уменьшаем n на 1, т. е. n=n-l, что эквивалентно удалению вершины 27 из дерева;

3) преобразуем дерево в другую пирамиду перестановкой нового корня с большей из двух новых, непосредственно следующих за ним вершин, до тек пор, пока он не станет больше, чем обе вершины, непосредственно за ним следующие;

4) повторяем шаги 1, 2, 3 до тех пор, пока не получим n= I.

Для алгоритма сортировки нужна процедура преобразования произвольного массива в пирамиду (шаг 3). В ней необходимо предусмотреть последовательный просмотр массива справа налево с проверкой одновременно двух условий: больше ли a[i], чем a[2i] и a[2i+l].

Полный текст программы приведен ниже.

Программа 48

program sortirovka_5;

(*улучшенная сортировка выбором - сортировка с помощью дерева*) const N=8;

type item= integer;

var a : array(l..n] of item; k, L, R: integer; x: item;

procedure sift(L,R:integer);

var i, j: integer; x,y: item;

begin i:=L; j:=2*L; x:=a[L]; if (j<R) and (a[j]<a[j+1]) then j:=j+l;

while (j<=R)and(x<a[j]) do begin y:=a[i]; a[i]:=a[j];

а[j]:=y a[i]:=a[j]; i:=j; j:=2*j;

if (j<R)and(a[j]<a(j+l]) thenj:=j+l;

end;

begin

(*задание искомого массива*) for k:=l to N do begin write('введи элемент a[',k,']=');

readln(a[k]) ;

end;

for k:=l to N do begin write(a[k], ' ');

end;

writeln;

(*алгоритм сортировки с помощью дерева*) (*построение пирамиды*) L:=(n div 2) +1; R:=n; while L>1 do begin L:=L-1; SIFT(L,R);

end;

(*сортировка*) while R>1 do begin x:=a[l]; a[l]:=a[R]; a(R]:=x;

R:=R-1; SIET(1,R);

end;

(*вывод отсортированного массива*) for k:=l to N do begin write(a[k],' ');

end;

readin;

end.

Сортировка с помощью обменов. Характерной чертой алгоритмов сортировки с помощью обмена является обмен местами двух элементов массива после их сравнения друг с другом. В так называемой «пузырьковой сортировке» проводят несколько проходов по массиву, в каждом из которых повторяется одна и та же процедура: сравнение двух последовательно стоящих элементов и их обмен местами в порядке меньшинства (старшинства) Подобная процедура сдвигает наименьшие элементы к левому концу массива. Название этого алгоритма связано с интерпретацией элементов как пузырей в сосуде с водой, обладающих весом соответствующего элемента (при этом массив надо представлять в вертикальном положении). При каждом проходе пузырьки всплывают до своего уровня.

Программа 49

program 5ortirovka_6;

(*сортировка прямым обменом - пузырьковая сортировка*)

const N=5;

type item= integer; var a: array(l,.n] of item; i, j: integer;

x: item;

begin (*задание искомого массива*)

for i:=l to N do begin write('введи элемент a[',i,']= ');

readln(a(i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i], ' '); „

end;

writeln;

(*алгоритм пузырьковой сортировки*) for i:=2 to n do for j:=n downto i do begin

if a[j-l]>a[j] then begin x:=a [j-1] ;a [j-1] :=a[j]; a[j]:=x;

1 end;

end;

(*вывод отсортированного массива*) for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readln;

end.

Представленную программу можно легко улучшить, если учесть, что если после очередного прохода перестановок не было, то последовательность элементов уже упорядочена, т.е. продолжать проходы не имеет смысла. Читатель без труда сможет внести коррективы в программу, использовав логическую переменную, которая контролировала бы факт обмена.

Если чередовать направление последовательных просмотров, алгоритм улучшается. Такой алгоритм называют «шейкерной» сортировкой.

Программа 50

program sortirovka_7;

(*сортировка прямым обменом - шейкерная сортировка*) const N=5;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i, j, k, L, R: integer; x: item;

begin (*задание искомого массива*)

for i:=l to N do begin write('введи элемент a(',i,']=');

readln(a[i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i],' end;

writeln;

(*алгоритм шейкерной сортировки*) L:=2; R:=n; k:=n;

repeat

for j:=R downto L do begin

if a[j-l]>a[j] then begin x:=a[j-l];a[j-l]:=a[j];

a(j]:=x; k:=j

end;

L:=k+l;

for j:=L to R do begin

if a[j-l]>a[j] then begin x:=a(j-l];

a[j-l]:=a[j]; a[j]:=x; k:=j end;

end;

R:=k-l;

until L>R;

(*вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do

begin write(a[i],' ');

end; readln;

end.

Пузырьковая сортировка является не самой эффективной, особенно для последовательностей, у которых «всплывающие» элементы находятся в крайней правой стороне. В улучшенной (быстрой) пузырьковой сортировке предлагается производить перестановки на большие расстояния, причем двигаться с двух сторон. Идея алгоритма заключается в сравнении элементов, из которых один берется слева (i = 1), другой -справа (j = n). Если a[i] <= a[j] , то устанавливают j = j - 1 и проводят следующее сравнение. Далее уменьшают j до тех пор, пока a[i] > a[j]. В противном случае меняем их местами и устанавливаем i = i + 1. Увеличение i продолжаем до тех пор, пока не получим a[i] > a[j]. После следующего обмена опять уменьшаем j. Чередуя уменьшение j и увеличение i, продолжаем этот процесс с обоих концов до тех пор, пока не станет i= j. После этого этапа возникает ситуация, когда первый элемент занимает ему предназначенное место, слева от него младшие элементы, а справа - старшие.

Далее подобную процедуру можно применить к левой и правой частям массива и т.д. Очевидно, что характер алгоритма рекурсивный. Для запоминания ведущих левого и правого элементов в программе необходимо использовать стек.

Программа 51

program sortirovka_8;

(*улучшенная сортировка разделением - быстрая сортировка с рекурсией*) const N=8;

type item= integer;

var a: array(l..n] of item; i: integer;

procedure sort(L,R: integer);

var i, j :• integer; x, y: item;

begin

i:=L; j:=R; x:=a[(L+R) div 2];

repeat

while a[i]<x do i:=i+l; while x<a[j] do j:=j-l;

if i<=j then begin y:=a[i]; a[i]:=a[j];

a[j]:=y; i:=i+l; j:=j-1;

end;

until i>j ;

if L<j then SORT(L,j); if i<R then SORT(i.R); ' end;

begin , . (*задание искомого массива*) for i:=l to N do begin write("Bвeди элемент a[',i, ']=');

readln(a[i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i],' ');

end;

writeln;

(*алгоритм быстрой сортировки*) SORT(l,n); (*рекурсивная процедура*) (*вывод отсортированного массива*) for i:=l to N do begin write(a[i],' ');

end;

readln;

end.

Сортировка файлов. Главная особенность методов сортировки последовательных файлов в том, что при их обработке в каждый момент непосредственно доступна одна компонента (на которую оказывает указатель). Чаще процесс сортировки протекает не в оперативной памяти, как в случае с массивами, а с элементами на внешних носителях («винчестере», дискете и т.п).

Понять особенности сортировки последовательных файлов на внешних носителях позволит следующий пример.

Предположим, что нам необходимо упорядочить содержимое файла с последовательным доступом по какому-либо ключу. Для простоты изучения и анализа сортировки условимся, что файл формируем мы сами, используя как и в предыдущем разделе некоторый массив данных. Его же будем использовать и для просмотра содержимого файла после сортировки. В предлагаемом ниже алгоритме необходимо сформировать вспомогательный файл, который позволит осуществить следующую процедуру сортировки. Сначала выбираем из исходного файла первый элемент в качестве ведущего, затем извлекаем второй и сравниваем с ведущим. Если он оказался меньше, чем ведущий, то помещаем его во вспомогательный файл, в противном сл\чае во вспомогательный файл помещается ведущий элемент, а его замещает второй элемент исходного файла. Первый проход заканчивается, когда аналигичная процедура коснется всех последовательных элементов исходного файла. Ведущий элемент заносится во вспомогательный файл последним. Теперь необходимо поменять местами исходный и вспомогательный файлы. После nil проходов в исходном файле данные будут размещены в упорядоченном виде.

Программа 52

program sortirovka_faila_l;

(сортировка последовательного файла) const N=8;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i,k: integer; x,y: item;

fl,f2: text; (file of item);

begin

(задание искомого массива} for i:=l to N do begin write('введи элемент а[ ',i,']=');

readin(a[i]);

end;

writein; assign(fl, 'datl.dat'); rewrite(fl);

assign(f2, 'dat2.dat'); rewrite(f2);

(формирование последовательного файла) for i:=l to N do begin writein(fl,a[i]);

end;

(алгоритм сортировки с использованием вспомогательного файла) for k:=l to (n div 2) do

begin (извлечение из исходного файла и запись во вспомогательный) reset(fl); readin(fl,x);

for i:=2 to n do begin readln(fl,y);

if x>y then writein(f2,y) else begin writein(f2,x); x:=y;

end;

writein(f2,x) ;

(извлечение из вспомогательного файла и запись в исходный) rewrite(fl); reset(f2); readin(f2,x);

for i:=2 to n do begin readin(f2,у);

if x>y then writein(fl,y) else begin writein(f1,x); x:=y;

end;

writeln(fl,x); rewrite(f2);

end;

(вывод результата} reset(fl);

for i:=l to N do readin(f1,a[i]);

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

close(fl); close(f2); readin;

end.

По сути можно в программе обойтись без массива а[1..п]. В качестве упражнения попытайтесь создать программу, в которой не используются массивы.

Многие методы сортировки последовательных файлов основаны на процедуре слияния, означающей объединение двух (или более) последовательностей в одну, упорядоченную с помощью повторяющегося выбора элементов (доступных в данный момент). В дальнейшем (чтобы не осуществлять многократного обращения к внешней памяти), будем рассматривать вместо файла массив данных, обращение к которому можно осуществлять строго последовательно. В этом смысле массив представляется как последовательность элементов, имеющая два конца, с которых можно считывать данные. При слиянии можно брать элементы с двух концов массива, что эквивалентно считыванию элементов из двух входных файлов.

Идея слияния заключается в том, что исходная последовательность разбивается на две половины, которые сливаются вновь в одну упорядоченными парами, образованными двумя элементами последовательно извлекаемых из этих двух подпоследовательностей. Вновь повторяем деление и слияние, но упорядочивая пары, затем четверки и т.д. Для реализации подобного алгоритма необходимы два массива, которые поочередно (как и в предыдущем примере) меняются ролями в' качестве исходного и вспомогательного.

Если объединить эти два массива в один, разумеется двойного размера, то программа упрощается. Пусть индексы i и j фиксируют два входных элемента с концов исходного массива, k и L - два выходных, соответствующих концам вспомогательного массива. Направлением пересылки (сменой ролей массивов) удобно управлять с помощью булевской переменной, которая меняет свое значение после каждого прохода, когда элементы а\, ..., а„ движутся на место Оп+ь ..., а^ и наоборот. Необходимо еще учесть изменяющийся на каждом проходе размер объединяемых упорядоченных групп элементов. Перед каждым последующим проходом размер удваивается. Если считать, что количество элементов в исходной последовательности не является степенью двойки (для процедуры разделения это существенно), то необходимо придумать стратегию разбиения на группы, размеры которых q и г могут не совпадать с ведущим размером очередного прохода. В окончательном виде алгоритм сортировки слиянием представлен ниже.

Программа 53

program sortirovka_faila_2;

(сортировка последовательного файла слиянием} const N=8;

type item= integer; var a: arrayd. ,2*n] of item;

i, j, k, L, t, h, m, p, q,^r: integer; f: boolean;

begin

(задание искомого массива}

for i:=l to N do begin write( 'введи элемент а[ ',i,']='}!

readln(a[i]) ;

end;

writein;

(сортировка слиянием) f:=true; p:=l;

repeat

h:=l; т^п; if f then begin

i:=l; j:-n;k:=n+l; L:=2*n end else begin k:=l; L:=n;i:=n+l; j:-2*n

end; . repeat

if m>=p then q:=p else q:»m; m:=m-q;

if m>=p then r:=p else r:=m; m:=in-r;

while (q<>0) and (r00) do begin

if a[i]<a(j] then begin a[k]:=a(i]; k:=k+h; i:=i+l;q:=q-l

end else

begin a[k]:=a[j]; k:=k+h; j:=j-l;r:=r-l end;

end;

while r>0 do begin a[k]:=atj]; k:°k+h; j:=j-l; r:»r-l;

end;

while q>0 do begin

a[k]:=a[i]; k:°k+h; i:=i+l; q:=q-l;

end;

h:=-h; t:=k;k:=L; L:=t;

until m=0;

f:=not(f); p:°2*p;

until p>=n;

if not(f) then for i:=l to n do a[i]:=a[i+n] ;

(вывод результата} . for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readin;

end.

Рассмотренные два предыдущих примера иллюстрируют большие проблемы сортировки внешних файлов, если в них часты изменения элементов, например, удаления, добавления, корректировки существующих.

В подобных ситуациях эффективными становятся алгоритмы, в которых обрабатываемые элементы представляются в виде структур данных, удобных для поиска и сортировки. В качестве структур данных можно отметить, в частности, линейные списки, очереди, стеки, деревья и т.п. О них было рассказано в предыдущем разделе.

Контрольные вопросы и задания

1. Как в общем случае формулируется задача поиска? сортировки?

2. Почему внутренняя и внешняя сортировки реализуются разными методами?

3. В чем состоят принципы линейного поиска? поиска делением пополам?

4. Какие вы знаете методы внутренней сортировки?

5. Как соотносятся эффективности различных методов сортировки массивов?

6. В чем состоит принцип метода слияния упорядоченных файлов?

7. Разработайте программу упорядочивания списка группы студентов:

а) методом прямого включения;

б) методом выбора;

в) методом обмена.

• числа сортируемых элементов;

• степени начальной отсортированности (диапазона и распределения значений сортируемых элементов);

• необходимости исключения или добавления элементов;

• доступа к сортируемым элементам (прямого или последовательного).

a1, а2… аn → ak1, ak2…akn

F(ak1) < F(ak2) < F(akn)

где знак неравенства понимается в смысле того порядка, который установлен в сортируемом множестве.

Поиск. Для определенности примем, что множество, в котором осуществляется поиск, задано как массив

var a:array[0..N] of item;

Результатом поиска, как правило, служит элемент массива, равный эталону, или отсутствие такового.

i:=0;

while (i<=N)and(a[i]<>X) do i:=i+1 end.

a[N+l]:=X;i:=0;

while a[i]<>X do i:=i+l end.

Равенство i = N + 1 означает, что совпадений не было, т.е. что эталонный элемент отсутствует.

Программа 42

program poiskl; (*линейный поиск*) const N=8;

type item= integer;

var a : array[0..n] of item; i :integer; x : item;

begin

(*задание искомого массива*) for i:=0 to N do

begin writet'Bвeди элемент a[ ',i, ']= '); readln(a[i]);

end;

writeln; write('введи эталон x= '); readln(x);

(* линейный поиск*)

i:=0; while (i<=N)and(a[i]<>X) do begin i:=i+l end;

(*вывод результата*)

if i<=N then write( 'найден элемент на ',i, ' месте ') else write( 'такого элемента в массиве нет ') ;

readin

end.

L:=0; R:=N; while L<R do

begin

m:=(L+R) div 2;

if a[m]<X then L:=m+l else R:=m;

end;.

Например, пусть эталонный ключ х=13, а в массиве имеются следующие элементы:

а[0]=1; а[1]=3; а[2]=4; а[3]=7; а[4]=8; а[5]=9; а[6]=13; а[7]=20; а[8]=23.

Бинарный процесс поиска показан ниже:

1 3 4 7 8 9 13 20 23 - элементы массива

0 1 2 3 4 5 6 7 8- порядковые номера элементов

L m R

a[m]=x =>поиск закончен и m = 6

Программа поиска представлена ниже.

Программа 43

program poisk2; (*поиск делением пополам*)

const N=8;

type item= integer;

var a: array[0..n] of item; i, L, R, m:integer; x: item; f:

boolean;

begin

(*задание искомого массива*)

for i:=0 to N do

begin write( 'введи элемент a[',i, '1= '); readln(a[i])

end;

writeln; write( 'введи эталон х= '); readln(x);

(*бинарный поиск*)

L:=0; R:=N; f:=false;

repeat m:=(L+R) div 2; if a[m]=X then f:=true;

if a[m]<X then L:=m+l

else R:=m;

writeln(m,L,R);

until (L>=R)or(f);

(*вывод результата*)

if f then write('найден элемент на ',m, ' месте') else write('такого элемента в массиве нет ');

readln

end.

Сортировка массивов. Как и в случае поиска определим массив данных:

var a: array [0.. N] of item

for i:=2 to N do begin

x:=a[i];

<включение х на соответствующее место готовой последовательности a[l],...,a[i]>

end

Исходные элементы

i=2

i=3

i=4

i=5

Программа 44

program sortirov)ca_l;

(*сортировка включением по линейному поиску*) const N=5;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i, j: integer; х: item;

begin (*задание искомого массива*)

for i:=l to N do begin write('введи элемент a[',i,']=');

readln(a[i]) end;

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ' );

end;

writeln;

(*алгоритм сортировки включением*) .for i:=2 to n do begin

x:=a[i]; j:=i; a[0]:=x; (*барьер*)

while x<a[j-l] do

begin

a[j]:=a[j-l); j:=j-l;

end;

a[j]:=x; .

(for k:=l to n do write(a[k.l, ' ') end; writeln;) end;

(*вывод отсортированного массива*) for i:=l to N do begin .

write(a[i], ' ') ;

end;

readln;

end.

Программа 45

program sortirovka_2;

(*сортировка двоичным включением*) const N=5;

type item= integer;

var a: array(l..n] of item; i, j, m, L, R: integer; x: item;

begin

(*задание элементов массива*) for i:=l to N do

begin write('Bведи элемент a[',i,']= '-); readln(a[i]) ;

end;

for i:=l to N do

begin write (a[i], ' ');

end;

writeln;

(*алгоритм сортировки двоичным включением*)

for i:=2 to n do begin

x:=a(i]; L:=l; R:=i;

while L<R do begin

m:=(L+R) div 2; if a[m]<=x then L:=m+l else R:=m;

end;

for j:=i downto R+l do a(j]:=a[j-1];

a[R]:-x;

end;

(* вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do

begin write(a[i], ' ');

end; , readln;

end.

Исходные элементы

Четвертная сортировка

Двойная сортировка

Одинарная сортировка

i=2, min= 11

i=3.min=12

i=4, min=13

i=5,min=15.

Программа 46

program sortirovka_3;

(*улучшенная сортировка включением - сортировка Шелла*)

const N=8; t=4;

type item= integer;

var a: array[-9..n] of item; i, j, k, s :integer; x: item;

m: l..t; h :array [l..t] of integer;

begin

(*задание искомого массива*)

for i:=l to N do

begin write('введи элемент a[',i,']=') readln(a[i])

end;

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

writeln;

(*алгоритм Шелла*)

h[l]:=9; h[2]:=5; h[3]:=3; h[4]:=1;

for m:=l to t do

begin k:=h[m]; s:=-k; (*барьеры для каждого шага*)

for i:=k+l to n do

begin x:=a[i], j:=i—k; if s=0 then s:=-k;- s:=s+l;

a[s]:=x; while x<a[j] do begin a[j+k]:=a(j]; j:=j-k;

end;

a[j+k]:=x

end;

(*вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readln;

end.

Программа 47

program sortirovka 4;

(*сортировка прямым выбором*)

const N=5;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i, j, k: integer; x: item;

begin

(*задание искомого массива*)

for i: =1 to N do

begin write('введи элемент a[', i, ']='); readln(a[i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i],' ');

end;

writeln;

(*алгоритм прямого выбора*)

for i:=l to n-1 do

begin k:=i; x:=a[i]; (*поиск наименьшего элемента*)

for j:=i+l to n do (*и его индекса из a[i]...a{n]*)

if a[j]<x then begin k:=j; x:=a[k)

end;

a(k]:=a[i]; a[i]:=x;

end;

(*вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readln;

end.

hi<=h2i и hi<=h2i+l, для i=L,...,R/2.

• каждая конечная вершина имеет высоту h или h-1;

• каждая конечная вершина высоты h находится слева от любой конечной вершины высоты h-1;

27 9 14 8 5 11 7 2 3.

Рис. 3.14. Пирамида

Процесс построения пирамиды для заданного массива можно разбить на четыре этапа:

1) меняя местами а[1] и а[п], получаем 3 9 14 8 5 11 7 2 27;

2) уменьшаем n на 1, т. е. n=n-l, что эквивалентно удалению вершины 27 из дерева;

4) повторяем шаги 1, 2, 3 до тех пор, пока не получим n= I.

Полный текст программы приведен ниже.

Программа 48

program sortirovka_5;

(*улучшенная сортировка выбором - сортировка с помощью дерева*) const N=8;

type item= integer;

var a : array(l..n] of item; k, L, R: integer; x: item;

procedure sift(L,R:integer);

var i, j: integer; x,y: item;

begin i:=L; j:=2*L; x:=a[L]; if (j<R) and (a[j]<a[j+1]) then j:=j+l;

while (j<=R)and(x<a[j]) do begin y:=a[i]; a[i]:=a[j];

а[j]:=y a[i]:=a[j]; i:=j; j:=2*j;

if (j<R)and(a[j]<a(j+l]) thenj:=j+l;

end;

begin

(*задание искомого массива*) for k:=l to N do begin write('введи элемент a[',k,']=');

readln(a[k]) ;

end;

for k:=l to N do begin write(a[k], ' ');

end;

writeln;

(*алгоритм сортировки с помощью дерева*) (*построение пирамиды*) L:=(n div 2) +1; R:=n; while L>1 do begin L:=L-1; SIFT(L,R);

end;

(*сортировка*) while R>1 do begin x:=a[l]; a[l]:=a[R]; a(R]:=x;

R:=R-1; SIET(1,R);

end;

(*вывод отсортированного массива*) for k:=l to N do begin write(a[k],' ');

end;

readin;

end.

Программа 49

program 5ortirovka_6;

(*сортировка прямым обменом - пузырьковая сортировка*)

const N=5;

type item= integer; var a: array(l,.n] of item; i, j: integer;

x: item;

begin (*задание искомого массива*)

for i:=l to N do begin write('введи элемент a[',i,']= ');

readln(a(i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i], ' '); „

end;

writeln;

(*алгоритм пузырьковой сортировки*) for i:=2 to n do for j:=n downto i do begin

if a[j-l]>a[j] then begin x:=a [j-1] ;a [j-1] :=a[j]; a[j]:=x;

1 end;

end;

(*вывод отсортированного массива*) for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readln;

end.

Программа 50

program sortirovka_7;

(*сортировка прямым обменом - шейкерная сортировка*) const N=5;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i, j, k, L, R: integer; x: item;

begin (*задание искомого массива*)

for i:=l to N do begin write('введи элемент a(',i,']=');

readln(a[i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i],' end;

writeln;

(*алгоритм шейкерной сортировки*) L:=2; R:=n; k:=n;

repeat

for j:=R downto L do begin

if a[j-l]>a[j] then begin x:=a[j-l];a[j-l]:=a[j];

a(j]:=x; k:=j

end;

L:=k+l;

for j:=L to R do begin

if a[j-l]>a[j] then begin x:=a(j-l];

a[j-l]:=a[j]; a[j]:=x; k:=j end;

end;

R:=k-l;

until L>R;

(*вывод отсортированного массива*)

for i:=l to N do

begin write(a[i],' ');

end; readln;

end.

Программа 51

program sortirovka_8;

(*улучшенная сортировка разделением - быстрая сортировка с рекурсией*) const N=8;

type item= integer;

var a: array(l..n] of item; i: integer;

procedure sort(L,R: integer);

var i, j :• integer; x, y: item;

begin

i:=L; j:=R; x:=a[(L+R) div 2];

repeat

while a[i]<x do i:=i+l; while x<a[j] do j:=j-l;

if i<=j then begin y:=a[i]; a[i]:=a[j];

a[j]:=y; i:=i+l; j:=j-1;

end;

until i>j ;

if L<j then SORT(L,j); if i<R then SORT(i.R); ' end;

begin , . (*задание искомого массива*) for i:=l to N do begin write("Bвeди элемент a[',i, ']=');

readln(a[i]);

end;

for i:=l to N do begin write(a[i],' ');

end;

writeln;

end;

readln;

end.

Понять особенности сортировки последовательных файлов на внешних носителях позволит следующий пример.

Программа 52

program sortirovka_faila_l;

(сортировка последовательного файла) const N=8;

type item= integer;

var a: array[l..n] of item; i,k: integer; x,y: item;

fl,f2: text; (file of item);

begin

(задание искомого массива} for i:=l to N do begin write('введи элемент а[ ',i,']=');

readin(a[i]);

end;

writein; assign(fl, 'datl.dat'); rewrite(fl);

assign(f2, 'dat2.dat'); rewrite(f2);

(формирование последовательного файла) for i:=l to N do begin writein(fl,a[i]);

end;

(алгоритм сортировки с использованием вспомогательного файла) for k:=l to (n div 2) do

begin (извлечение из исходного файла и запись во вспомогательный) reset(fl); readin(fl,x);

for i:=2 to n do begin readln(fl,y);

if x>y then writein(f2,y) else begin writein(f2,x); x:=y;

end;

writein(f2,x) ;

(извлечение из вспомогательного файла и запись в исходный) rewrite(fl); reset(f2); readin(f2,x);

for i:=2 to n do begin readin(f2,у);

if x>y then writein(fl,y) else begin writein(f1,x); x:=y;

end;

writeln(fl,x); rewrite(f2);

end;

(вывод результата} reset(fl);

for i:=l to N do readin(f1,a[i]);

for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

close(fl); close(f2); readin;

end.

Программа 53

program sortirovka_faila_2;

(сортировка последовательного файла слиянием} const N=8;

type item= integer; var a: arrayd. ,2*n] of item;

i, j, k, L, t, h, m, p, q,^r: integer; f: boolean;

begin

(задание искомого массива}

for i:=l to N do begin write( 'введи элемент а[ ',i,']='}!

readln(a[i]) ;

end;

writein;

(сортировка слиянием) f:=true; p:=l;

repeat

h:=l; т^п; if f then begin

i:=l; j:-n;k:=n+l; L:=2*n end else begin k:=l; L:=n;i:=n+l; j:-2*n

end; . repeat

if m>=p then q:=p else q:»m; m:=m-q;

if m>=p then r:=p else r:=m; m:=in-r;

while (q<>0) and (r00) do begin

if a[i]<a(j] then begin a[k]:=a(i]; k:=k+h; i:=i+l;q:=q-l

end else

begin a[k]:=a[j]; k:=k+h; j:=j-l;r:=r-l end;

end;

while r>0 do begin a[k]:=atj]; k:°k+h; j:=j-l; r:»r-l;

end;

while q>0 do begin

a[k]:=a[i]; k:°k+h; i:=i+l; q:=q-l;

end;

h:=-h; t:=k;k:=L; L:=t;

until m=0;

f:=not(f); p:°2*p;

until p>=n;

if not(f) then for i:=l to n do a[i]:=a[i+n] ;

(вывод результата} . for i:=l to N do begin write(a[i], ' ');

end;

readin;

end.

Контрольные вопросы и задания

1. Как в общем случае формулируется задача поиска? сортировки?

2. Почему внутренняя и внешняя сортировки реализуются разными методами?

3. В чем состоят принципы линейного поиска? поиска делением пополам?

4. Какие вы знаете методы внутренней сортировки?

5. Как соотносятся эффективности различных методов сортировки массивов?

6. В чем состоит принцип метода слияния упорядоченных файлов?

7. Разработайте программу упорядочивания списка группы студентов:

а) методом прямого включения;

б) методом выбора;

в) методом обмена.

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

4.5. ВАЖНЕЙШИЕ НЕВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ (ПОИСК И СОРТИРОВКА)