7.3. Свойства индексов инфляции

                Таблицы типа приведенных выше табл.2 и 3 могут быть составлены любым студентом или иным заинтересованным гражданином, любой профсоюзной организацией, любым менеджером, любой фирмой с целью изучения динамики своего реального экономического положения.

Значения  индексов инфляции. Как вытекает из табл.3, индекс инфляции  (роста  цен)  по продуктам  питания    исходя  из  минимальной  потребительской корзины ИВСТЭ, составленной по  физиологическим  нормам  потребления продуктов питания для  города  Москвы  (согласно разработкам Института питания РАМН и Министерства труда РФ), за три  года (14.03.91 - 14.03.94) составил

 (520116-00) / (325-30)= 1598,88 или 159788 %

7              Есть два основных способа записи индекса инфляции - в "разах" и в "процентах". В "разах" - это именно тот способ, что использовался до настоящего момента. Однако часто мы слышим или читаем: инфляция за месяц составила 5%. Что это значит? Имеется в виду, что индекс инфляции за месяц составил 1,05. Следовательно, связь между двумя "ликами" индекса инфляции задается соотношениями

Итак, чтобы перейти к выражению индекса инфляции в процентах, надо значение "в разах" уменьшить на 1 и результат умножить на 100, как это и сделано выше.

Среднемесячная инфляция, как и средний темп роста для любого временного ряда, рассчитывается в предположении, что ежемесячный рост цен не меняется от месяца к месяцу. Она равна

 (1598,88) 1/36 = 1,227424776 или 22,74 %.

Другими словами, цены каждый месяц увеличивались в среднем на 22,74% .

                Приведем некоторые данные о стоимости потребительской корзины ИВСТЭ и индексах инфляции в различных административных округах Москвы и подмосковных городах (табл.4).

Табл. 4. Стоимости потребительской корзины и индексы инфляции

  за различные периоды в течение 1991-1994 гг.

     Замечание.  В  табл.4  и  дальнейших  таблицах стоимости потребительской корзины ИВСТЭ приведены по 10 группам (т.е. без умножения на 1.06). 

                По  данным  табл.4 можно рассчитать индексы и за иные интервалы времени. Так, например, поскольку на 15.08.93 стоимость потребительской корзины равна 17691 руб., то  индекс  инфляции за период 15.03.91 - 15.08.93 равен I(15.03.91; 15.08.93)= S(15.08.93)/S(15.03.91)= 17691/26,85 = 659.

                Сопоставим инфляцию со средней заработной платой. В марте 1991 г. она равнялась приблизительно 300 руб. в месяц, т.е. минимальная продуктовая корзина ИВСТЭ составляла около  8,9 % от средней заработной  платы. В марте 1994 г. среднемесячная зарплата в Москве составила 206076 руб. (данные Московского городского статистического комитета), следовательно, стоимость корзины ИВСТЭ составляла 4349900 / 206076 %=21,11% от нее. Если судить по ценам на продукты, за три года уровень жизни основной массы населения понизился в 21,1/11,4  = 1,85 раз. 

При  этом надо иметь в виду, что типичное распределение доходов таково, что мода величин доходов весьма меньше медианы, которая в свою  очередь существенно меньше среднего арифметического (центральная часть распределения доходов - за исключением больших доходов - хорошо приближается логарифмически нормальным распределением). Дифференциация доходов в России быстро нарастала вплоть до второй половины 1990-х годов и сильно превзошла уровень всех т.н. промышленно развитых стран. Правда, уровень Бразилии и Кении пока не достигнут, но и климат в этих странах существенно иной, так что минимальное жизнеобеспечение требует существенно меньших затрат.

                В октябре 1995 г. в Москве средняя заработная плата - 520 тыс. руб., а стоимость потребительской корзины ИВСТЭ - 196,6 тыс. руб., т.е. 37,8% от средней зарплаты, падение уровня жизни - в 4,2 раза.

                Нет необходимости связывать индекс инфляции с каким-либо определенным интервалом времени и даже с определенным социально-экономическим строем. Можно формально вычислить индексы инфляции и за  весьма длительные промежутки времени. Так,  например, рост цен на основные продукты питания с 1913 г. по апрель 1994 г. представлен в табл.5.

Табл. 5. Цены в 1913 г. и в апреле 1994 г.

Используя объемы потребления из потребительской корзины ИВСТЭ, получаем, что индекс инфляции за 1913-1994 гг.  составил 1129600,6 %.

                Результаты расчетов по различным потребительским  корзинам дают, естественно, различные значения индексов инфляции, хотя эти различия, как представляется, не слишком значительны (табл.6). Близость различных индексов инфляции за  большой  промежуток  времени объясняется  тем, что цены растут   в целом достаточно согласованно, "аномалии" выправляются: если темп роста цены определенного продукта отстает от среднего роста цен, то имеются основания полагать, что его цена в ближайшее время сильно возрастет. Однако  на малых и средних промежутках времени проявляется различие роста цен на отдельные товары.

                Тем более интересно, что официально публикуемые индексы инфляции Госкомстата РФ при отсчете с 1990 г. (или с 14.03.91) дают по крайней мере вдвое меньшие значения, чем расчеты Института высоких статистических технологий и эконометрики (подробнее см. коллективную монографию [3]).

Табл. 6. Сравнение результатов подсчета индексов инфляции и стоимостей потребительских корзин по нормам Госкомстата РФ и ИВСТЭ

Примечание. В табл.6 верхние числа - стоимости потребительских корзин соответственно на первую указанную дату и через дробь - на вторую, нижнее число - индекс инфляции за данный период.

Соотношение индексов инфляции для трех моментов времени. Рассмотрим три момента времени t1, t2, t3 и соответствующие индексы инфляции

и . Из определения индекса инфляции как отношения стоимостей потребительской корзины в соответствующие моменты времени вытекает следующее утверждение.

                Теорема 3 (теорема умножения). Для любых трех моментов времени t1, t2, t3  справедливо равенство

Теорема умножения позволяет  переходить от индексов инфляции за отдельные недели к индексам инфляции за месяц (четыре недели), от помесячных индексов инфляции - к квартальным и годовым, от годовых - к индексам инфляции за несколько лет. Например, индекс инфляции за второй  квартал - с 01.04.94 по 01.07.94 - т.е. I(01.04.94, 01.07.94), выражается через индексы  инфляции за апрель I(01.04.94, 01.05.94), май I(01.05.94, 01.06.94) и июнь I(01.06.94, 01.07.94) соответственно как произведение этих индексов, т.е. находится по формуле

I(01.04.94, 01.07.94) = I(01.04.94,01.05.94) I(01.05.94,01.06.94) I(01.06.94,01.07.94).

Аналогично индекс инфляции за год равен произведению двенадцати индексов  инфляции: за январь, февраль, март и остальные девять месяцев.

                В приведенных выше рассуждениях индекс инфляции рассматривался как положительное число, как говорят, выражался "в разах". Распространено его выражение "в процентах". Напомним, что индексы инфляции "в разах" I(t1,t2) и "в процентах"  i(t1,t2)  связаны соотношениями

                i(t1,t2)  = (I(t1,t2) - 1) 100%,

                I(t1,t2) = 1 + i(t1,t2)  / 100.

Таким образом, выражения "индекс инфляции  за  месяц  составил 1,16" и "индекс  инфляции  за  месяц  составил  16%"  означают одно и то же.

                Поскольку для любых чисел x и y справедливо  тождество

(1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy,

то, как легко проверить, для индексов инфляции  "в  процентах" справедливо тождество

Если индексы инфляции "в процентах"  и  малы, т.е. индексы инфляции "в разах"  и  мало отличаются от единицы, то справедлива приближенная формула

Погрешность этой формулы, измеряемая в процентах, равна

Эта величина становится заметной, если сомножители - порядка десятков (процентов).Если формула применяется несколько раз, то погрешность накапливается.

                Рассмотрим пример. В известном учебнике экономической теории [4] рассмотрена связь между ежегодным увеличением цен и числом лет, необходимых для увеличения цен вдвое. Приведено правило, которое вначале выглядит совершенно непонятным:

(приблизительное количество лет, необходимое для удвоения удвоение цен) = 70 / (темп ежегодного увеличения уровня цен в % ).

Действительно, пусть n - количество  лет, необходимое для удвоения цен, а x- темп ежегодного увеличения уровня цен (в % - 100x %). При "подходе профана" рост за n лет составит 100nx, а потому срок удвоения цен должен находиться из условия

100nx =100,         n = 100 / (100x),

т.е. в числителе дроби должно стоять число 100, а не 70. В чем дело?

А дело в том, что рост описывается не линейной функцией, а экспоненциальной, надо не складывать, а возводить в степень. За n лет рост цен составит  Период удвоения находится из уравнения

Тогда

Воспользуемся приближенной формулой математического анализа

ln ( 1 + x ) = x  +  O ( х2 ),

тогда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка

n = 100 ln 2  / 100 x.

Остается заметить, что

100 ln 2 = 100 * 0,69314718,

т.е. с достаточной для подобных расчетов точностью 100 ln 2  = 70.

Некоторые ошибки при расчетах с индексами  инфляции. Информация об индексах инфляции и рассуждения, связанные  с ними, постоянно появляются на страницах печати и обсуждаются в иных средствах  массовой  информации. К  сожалению,   достаточно распространены  ошибки.

                Так, в одной из экономических (!) газет была помещена публикация, в которой основной исходный материал для обсуждения - следующие  индексы  инфляции  (по  отношению  к предыдущему месяцу):

январь   -   1,         февраль   - 1,23,     март   -  1,19,    апрель  - 1,25,

май      -     1,29,     июнь     -   1,3,      июль   -  1,23,   август    - 1,22,

сентябрь - 1,22,     октябрь -   1,19,    ноябрь - 1,23,   декабрь - 1,25.

                Автору публикации были нужны индексы инфляции за несколько месяцев. Рассчитывая их, он без каких-либо сомнений пользовался приближенной  формулой предыдущего подпункта (сложение приращений в процентах) вместо точной (перемножение индексов инфляции, выраженных "в разах"). В результате он получил  для  периода  январь-декабрь  значение индекса инфляции 3,60 (23% + 19% + 25% + 29% + 30%  +  23%  + 22% + 22% + 19% + 23% + 25% = 260%), в то время как на самом деле индекс инфляции, рассчитанный в результате перемножения индексов по месяцам, равен 10,23. Допущенная ошибка в 10,23/3,60 = 2,84 раза существенно исказила дальнейшие расчеты (фонда оплаты труда, средней зарплаты) в рассматриваемой публикации, названной в  специализированной  экономической  газете не как-нибудь, а "консультацией" !

В еженедельнике "Аргументы и факты" в апреле 1994 г. в рубрике "Прогноз" помещена беседа журналистки Татьяны  Коростиковой с первым  заместителем  министра  экономики  России  Яковом Уринсоном [5], в которой Я. Уринсон  прогнозирует:

   "...Мы предполагаем рост цен за 1994 г. в 5 раз... В  месяц- 7-8%..."

 Сказанное противоречиво. Если индекс инфляции за год  равен 5,0, то за месяц, очевидно,  рост цен равен в среднем

т.е. 14,35% в месяц, а не 7-8%. Если же  рост  цен  составляет 7-8% в месяц, то индекс инфляции за год лежит между

   и  

 т.е. по крайней мере в два раза меньше, чем названный в беседе достаточно реальный прогноз - рост в 5 раз. Остается  неясным, кто дезориентировал читателя многотиражного издания - чиновник или журналист. Наш запрос об этом в редакцию "Аргументов и фактов" остался без ответа.

                Приведенных примеров достаточно для констатации того, что к сообщениям в средствах массовой информации, посвященным  росту цен, следует относиться с известной осторожностью.

Потребительские корзины, включающие в себя  промтовары и услуги, и соответствующие индексы инфляции. В настоящее время, чтобы не только быть в  курсе  проблем,  касающихся инфляции  в  нашей  стране, но  и  хорошо   ориентироваться   в создавшейся ситуации, недостаточно отслеживать только изменение  цен на  продовольственные  товары.  Необходимо также фиксировать инфляцию и в сфере коммунальных, транспортных, медицинских, образовательных и других услуг, а также  анализировать  цены  на  промышленные  товары  широкого потребления. Рост цен в этих областях достаточно заметен (если раньше проезд в метро обходился в 5 коп., то  в ноябре 1995 г.  он стоил 1000 руб., а в феврале 1999 г. , после деноминации в 1000 раз - 4 рубля, в 2001 г. - разовая поездка обходилась в 5 руб.). Следует также отметить, что темпы роста цен  на те или иные промышленные товары и услуги не всегда совпадают с темпами ростом цен на продовольственные товары. Например, наблюдалось подорожание хлебобулочных товаров примерно в 2000 раз за три года (1991-1994), а цены на компьютерные товары выросла за это время в среднем только в 80 раз.

                При обсуждении проблем инфляции студенты часто обращают внимание на то, что в настоящее время заметная  часть доходов каждой семьи  идет  на  оплату  коммунальных  услуг  и покрытие расходов на транспорт и связь.  Необходимо  учитывать расходы на услуги прачечной, парикмахерской, на ремонт обуви и т.д.  Увеличиваются  расходы  на   удовлетворение   культурных потребностей из-за роста цен на книги, журналы, газеты, билеты в театры и кино, спортивный инвентарь и т.д. С течением времени подобные расходы могут и сокращаться из-за прекращения покупок книг, журналов, газет, прекращения походов в театры и т.д.

                Дорогими сегодня являются и  промышленные  товары.  Но  при подсчете  индекса  инфляции  по  этим  товарам  возникает  ряд трудностей. Например, наблюдается  разброс  цен  по  магазинам или имеет место временное  отсутствие  в  магазинах  некоторых товаров. Кроме того, меняется мода, многие виды одежды выходят из употребления, вместо них появляются новые. То  же  самое,  в связи с развитием техники, происходит и с товарами длительного пользования   (когда-то   раньше  не было телевизоров, холодильников, стиральных машин, железных дорог и  самолетов). Кроме  того,  пока  еще  мы  можем  пользоваться   бесплатными услугами в области медицины и образования, но скоро, очевидно, и это будет платным, по крайней мере, частично.

                Для того, чтобы подсчитать индекс инфляции по достаточно обширной  потребительской корзине, включающей не только продовольственные товары, но и одежду, товары длительного пользования, услуги и т.п., необходимо иметь соответствующие нормы потребления. Определить их весьма трудно. (При нормативном подходе к экономическим явлениям - откуда взять нормы? При позитивном - как в нестабильной ситуации замерить потребительские  бюджеты?)  Поэтому в настоящей главе мы ограничились индексами инфляции, рассчитанными для продовольственной потребительской корзины. Индекс инфляции можно считать не только для Москвы в целом, но и для отдельных ее районов и даже для покупателей отдельных магазинов  -  достаточно  измерить  соответствующие  цены;  не только для населения в целом, но и для отдельных слоев и  даже отдельных семей - достаточно знать соответствующие потребительские корзины.

                Индекс  инфляции  целесообразно  сопоставлять со средним (средним арифметическим) доходом. Данные Московского городского статистического комитета приведены в табл.7. О реальной динамике благосостояния можно  судить  по временному ряду, составленному из частных от деления  среднего дохода на стоимость потребительской корзины.

Табл. 7

   Средняя (средняя арифметическая) зарплата в Москве

1993,   январь   - 15997,6                 1993,  сентябрь -  88621,0

                февраль  - 18966,7             октябрь  -  99621,0

                март     - 23939,7                ноябрь   - 111807,1

                июнь     - 48424,2                1994,   январь   - 177061,0

                июль     - 56568,9                февраль  - 179626,0

                август   -  62986,5              март        - 206076,0

                При проведении мониторинга за ценами на продукты питания обычно у нас есть некоторая компьютерная база данных, в которую заносятся сведения вида:

                1. НАЗВАНИЕ ПРОДУКТА ПИТАНИЯ

                2. ЦЕНА НА ПРОДУКТ

                3. ОБЪЕМ  ПОТРЕБЛЕНИЯ ПРОДУКТА

                4. ДАТА СНЯТИЯ ЦЕНЫ

                5. НАЗВАНИЕ ТОРГОВОЙ ТОЧКИ.

Кроме того, есть вполне понятная последовательность действий по вычислению индекса инфляции с момента  времени  t1  по  момент времени t2 :

                1. Вычислить сумму произведений  ЦЕНА*ОБЪЕМ ПОТРЕБЛЕНИЯ  для момента времени t1 ;

                2. Вычислить сумму произведений  ЦЕНА*ОБЪЕМ ПОТРЕБЛЕНИЯ для момента времени t2 ;

                3. Найти их отношение.

Для  нахождения  индекса  инфляции  по  группам  эти  действия выполняются для продуктов искомой группы.

                Для вычисления индекса инфляции по продуктам питания разработаны различные программные средства для IBM PC и для персональных компьютеров фирмы "Apple".

Табл.8. Индекс инфляции и стоимость потребительской корзины

Института высоких статистических технологий и эконометрики

Примечание 1. В таблице целая часть отделяется от дробной десятичной точкой, а запятая используется для деления числа по разрядам (на западный манер). Учитывается проведенная деноминация рубля. Если ее не учитывать, то за 10 лет (1991-2001) цены (в Москве) выросли примерно в 40 тысяч раз. Поскольку экономические связи между регионами ослабли, то темпы роста цен в регионах различаются, но, видимо, не более чем в 2 раза.

Примечание 2. Стоимости потребительской корзины ИВСТЭ на один и тот же момент времени, как мог заметить внимательный читатель, несколько отличаются. В этом нет ничего странного, так как исходные цены на продукты несколько отличались. Строго говоря, цены, стоимости потребительских корзин, индексы инфляции и многие другие экономические величины следовало бы считать нечисловыми данными (см. главу 8), например, интервальными или нечеткими.

                Таблицы типа приведенных выше табл.2 и 3 могут быть составлены любым студентом или иным заинтересованным гражданином, любой профсоюзной организацией, любым менеджером, любой фирмой с целью изучения динамики своего реального экономического положения.

Значения  индексов инфляции. Как вытекает из табл.3, индекс инфляции  (роста  цен)  по продуктам  питания    исходя  из  минимальной  потребительской корзины ИВСТЭ, составленной по  физиологическим  нормам  потребления продуктов питания для  города  Москвы  (согласно разработкам Института питания РАМН и Министерства труда РФ), за три  года (14.03.91 - 14.03.94) составил

 (520116-00) / (325-30)= 1598,88 или 159788 %

7              Есть два основных способа записи индекса инфляции - в "разах" и в "процентах". В "разах" - это именно тот способ, что использовался до настоящего момента. Однако часто мы слышим или читаем: инфляция за месяц составила 5%. Что это значит? Имеется в виду, что индекс инфляции за месяц составил 1,05. Следовательно, связь между двумя "ликами" индекса инфляции задается соотношениями

Итак, чтобы перейти к выражению индекса инфляции в процентах, надо значение "в разах" уменьшить на 1 и результат умножить на 100, как это и сделано выше.

Среднемесячная инфляция, как и средний темп роста для любого временного ряда, рассчитывается в предположении, что ежемесячный рост цен не меняется от месяца к месяцу. Она равна

 (1598,88) 1/36 = 1,227424776 или 22,74 %.

Другими словами, цены каждый месяц увеличивались в среднем на 22,74% .

                Приведем некоторые данные о стоимости потребительской корзины ИВСТЭ и индексах инфляции в различных административных округах Москвы и подмосковных городах (табл.4).

Табл. 4. Стоимости потребительской корзины и индексы инфляции

  за различные периоды в течение 1991-1994 гг.

     Замечание.  В  табл.4  и  дальнейших  таблицах стоимости потребительской корзины ИВСТЭ приведены по 10 группам (т.е. без умножения на 1.06). 

                По  данным  табл.4 можно рассчитать индексы и за иные интервалы времени. Так, например, поскольку на 15.08.93 стоимость потребительской корзины равна 17691 руб., то  индекс  инфляции за период 15.03.91 - 15.08.93 равен I(15.03.91; 15.08.93)= S(15.08.93)/S(15.03.91)= 17691/26,85 = 659.

                Сопоставим инфляцию со средней заработной платой. В марте 1991 г. она равнялась приблизительно 300 руб. в месяц, т.е. минимальная продуктовая корзина ИВСТЭ составляла около  8,9 % от средней заработной  платы. В марте 1994 г. среднемесячная зарплата в Москве составила 206076 руб. (данные Московского городского статистического комитета), следовательно, стоимость корзины ИВСТЭ составляла 4349900 / 206076 %=21,11% от нее. Если судить по ценам на продукты, за три года уровень жизни основной массы населения понизился в 21,1/11,4  = 1,85 раз. 

При  этом надо иметь в виду, что типичное распределение доходов таково, что мода величин доходов весьма меньше медианы, которая в свою  очередь существенно меньше среднего арифметического (центральная часть распределения доходов - за исключением больших доходов - хорошо приближается логарифмически нормальным распределением). Дифференциация доходов в России быстро нарастала вплоть до второй половины 1990-х годов и сильно превзошла уровень всех т.н. промышленно развитых стран. Правда, уровень Бразилии и Кении пока не достигнут, но и климат в этих странах существенно иной, так что минимальное жизнеобеспечение требует существенно меньших затрат.

                В октябре 1995 г. в Москве средняя заработная плата - 520 тыс. руб., а стоимость потребительской корзины ИВСТЭ - 196,6 тыс. руб., т.е. 37,8% от средней зарплаты, падение уровня жизни - в 4,2 раза.

                Нет необходимости связывать индекс инфляции с каким-либо определенным интервалом времени и даже с определенным социально-экономическим строем. Можно формально вычислить индексы инфляции и за  весьма длительные промежутки времени. Так,  например, рост цен на основные продукты питания с 1913 г. по апрель 1994 г. представлен в табл.5.

Табл. 5. Цены в 1913 г. и в апреле 1994 г.

Используя объемы потребления из потребительской корзины ИВСТЭ, получаем, что индекс инфляции за 1913-1994 гг.  составил 1129600,6 %.

                Результаты расчетов по различным потребительским  корзинам дают, естественно, различные значения индексов инфляции, хотя эти различия, как представляется, не слишком значительны (табл.6). Близость различных индексов инфляции за  большой  промежуток  времени объясняется  тем, что цены растут   в целом достаточно согласованно, "аномалии" выправляются: если темп роста цены определенного продукта отстает от среднего роста цен, то имеются основания полагать, что его цена в ближайшее время сильно возрастет. Однако  на малых и средних промежутках времени проявляется различие роста цен на отдельные товары.

                Тем более интересно, что официально публикуемые индексы инфляции Госкомстата РФ при отсчете с 1990 г. (или с 14.03.91) дают по крайней мере вдвое меньшие значения, чем расчеты Института высоких статистических технологий и эконометрики (подробнее см. коллективную монографию [3]).

Табл. 6. Сравнение результатов подсчета индексов инфляции и стоимостей потребительских корзин по нормам Госкомстата РФ и ИВСТЭ

Примечание. В табл.6 верхние числа - стоимости потребительских корзин соответственно на первую указанную дату и через дробь - на вторую, нижнее число - индекс инфляции за данный период.

Соотношение индексов инфляции для трех моментов времени. Рассмотрим три момента времени t1, t2, t3 и соответствующие индексы инфляции

и . Из определения индекса инфляции как отношения стоимостей потребительской корзины в соответствующие моменты времени вытекает следующее утверждение.

                Теорема 3 (теорема умножения). Для любых трех моментов времени t1, t2, t3  справедливо равенство

Теорема умножения позволяет  переходить от индексов инфляции за отдельные недели к индексам инфляции за месяц (четыре недели), от помесячных индексов инфляции - к квартальным и годовым, от годовых - к индексам инфляции за несколько лет. Например, индекс инфляции за второй  квартал - с 01.04.94 по 01.07.94 - т.е. I(01.04.94, 01.07.94), выражается через индексы  инфляции за апрель I(01.04.94, 01.05.94), май I(01.05.94, 01.06.94) и июнь I(01.06.94, 01.07.94) соответственно как произведение этих индексов, т.е. находится по формуле

I(01.04.94, 01.07.94) = I(01.04.94,01.05.94) I(01.05.94,01.06.94) I(01.06.94,01.07.94).

Аналогично индекс инфляции за год равен произведению двенадцати индексов  инфляции: за январь, февраль, март и остальные девять месяцев.

                В приведенных выше рассуждениях индекс инфляции рассматривался как положительное число, как говорят, выражался "в разах". Распространено его выражение "в процентах". Напомним, что индексы инфляции "в разах" I(t1,t2) и "в процентах"  i(t1,t2)  связаны соотношениями

                i(t1,t2)  = (I(t1,t2) - 1) 100%,

                I(t1,t2) = 1 + i(t1,t2)  / 100.

Таким образом, выражения "индекс инфляции  за  месяц  составил 1,16" и "индекс  инфляции  за  месяц  составил  16%"  означают одно и то же.

                Поскольку для любых чисел x и y справедливо  тождество

(1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy,

то, как легко проверить, для индексов инфляции  "в  процентах" справедливо тождество

Если индексы инфляции "в процентах"  и  малы, т.е. индексы инфляции "в разах"  и  мало отличаются от единицы, то справедлива приближенная формула

Погрешность этой формулы, измеряемая в процентах, равна

Эта величина становится заметной, если сомножители - порядка десятков (процентов).Если формула применяется несколько раз, то погрешность накапливается.

                Рассмотрим пример. В известном учебнике экономической теории [4] рассмотрена связь между ежегодным увеличением цен и числом лет, необходимых для увеличения цен вдвое. Приведено правило, которое вначале выглядит совершенно непонятным:

(приблизительное количество лет, необходимое для удвоения удвоение цен) = 70 / (темп ежегодного увеличения уровня цен в % ).

Действительно, пусть n - количество  лет, необходимое для удвоения цен, а x- темп ежегодного увеличения уровня цен (в % - 100x %). При "подходе профана" рост за n лет составит 100nx, а потому срок удвоения цен должен находиться из условия

100nx =100,         n = 100 / (100x),

т.е. в числителе дроби должно стоять число 100, а не 70. В чем дело?

А дело в том, что рост описывается не линейной функцией, а экспоненциальной, надо не складывать, а возводить в степень. За n лет рост цен составит  Период удвоения находится из уравнения

Тогда

Воспользуемся приближенной формулой математического анализа

ln ( 1 + x ) = x  +  O ( х2 ),

тогда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка

n = 100 ln 2  / 100 x.

Остается заметить, что

100 ln 2 = 100 * 0,69314718,

т.е. с достаточной для подобных расчетов точностью 100 ln 2  = 70.

Некоторые ошибки при расчетах с индексами  инфляции. Информация об индексах инфляции и рассуждения, связанные  с ними, постоянно появляются на страницах печати и обсуждаются в иных средствах  массовой  информации. К  сожалению,   достаточно распространены  ошибки.

                Так, в одной из экономических (!) газет была помещена публикация, в которой основной исходный материал для обсуждения - следующие  индексы  инфляции  (по  отношению  к предыдущему месяцу):

январь   -   1,         февраль   - 1,23,     март   -  1,19,    апрель  - 1,25,

май      -     1,29,     июнь     -   1,3,      июль   -  1,23,   август    - 1,22,

сентябрь - 1,22,     октябрь -   1,19,    ноябрь - 1,23,   декабрь - 1,25.

                Автору публикации были нужны индексы инфляции за несколько месяцев. Рассчитывая их, он без каких-либо сомнений пользовался приближенной  формулой предыдущего подпункта (сложение приращений в процентах) вместо точной (перемножение индексов инфляции, выраженных "в разах"). В результате он получил  для  периода  январь-декабрь  значение индекса инфляции 3,60 (23% + 19% + 25% + 29% + 30%  +  23%  + 22% + 22% + 19% + 23% + 25% = 260%), в то время как на самом деле индекс инфляции, рассчитанный в результате перемножения индексов по месяцам, равен 10,23. Допущенная ошибка в 10,23/3,60 = 2,84 раза существенно исказила дальнейшие расчеты (фонда оплаты труда, средней зарплаты) в рассматриваемой публикации, названной в  специализированной  экономической  газете не как-нибудь, а "консультацией" !

В еженедельнике "Аргументы и факты" в апреле 1994 г. в рубрике "Прогноз" помещена беседа журналистки Татьяны  Коростиковой с первым  заместителем  министра  экономики  России  Яковом Уринсоном [5], в которой Я. Уринсон  прогнозирует:

   "...Мы предполагаем рост цен за 1994 г. в 5 раз... В  месяц- 7-8%..."

 Сказанное противоречиво. Если индекс инфляции за год  равен 5,0, то за месяц, очевидно,  рост цен равен в среднем

т.е. 14,35% в месяц, а не 7-8%. Если же  рост  цен  составляет 7-8% в месяц, то индекс инфляции за год лежит между

   и  

 т.е. по крайней мере в два раза меньше, чем названный в беседе достаточно реальный прогноз - рост в 5 раз. Остается  неясным, кто дезориентировал читателя многотиражного издания - чиновник или журналист. Наш запрос об этом в редакцию "Аргументов и фактов" остался без ответа.

                Приведенных примеров достаточно для констатации того, что к сообщениям в средствах массовой информации, посвященным  росту цен, следует относиться с известной осторожностью.

Потребительские корзины, включающие в себя  промтовары и услуги, и соответствующие индексы инфляции. В настоящее время, чтобы не только быть в  курсе  проблем,  касающихся инфляции  в  нашей  стране, но  и  хорошо   ориентироваться   в создавшейся ситуации, недостаточно отслеживать только изменение  цен на  продовольственные  товары.  Необходимо также фиксировать инфляцию и в сфере коммунальных, транспортных, медицинских, образовательных и других услуг, а также  анализировать  цены  на  промышленные  товары  широкого потребления. Рост цен в этих областях достаточно заметен (если раньше проезд в метро обходился в 5 коп., то  в ноябре 1995 г.  он стоил 1000 руб., а в феврале 1999 г. , после деноминации в 1000 раз - 4 рубля, в 2001 г. - разовая поездка обходилась в 5 руб.). Следует также отметить, что темпы роста цен  на те или иные промышленные товары и услуги не всегда совпадают с темпами ростом цен на продовольственные товары. Например, наблюдалось подорожание хлебобулочных товаров примерно в 2000 раз за три года (1991-1994), а цены на компьютерные товары выросла за это время в среднем только в 80 раз.

                При обсуждении проблем инфляции студенты часто обращают внимание на то, что в настоящее время заметная  часть доходов каждой семьи  идет  на  оплату  коммунальных  услуг  и покрытие расходов на транспорт и связь.  Необходимо  учитывать расходы на услуги прачечной, парикмахерской, на ремонт обуви и т.д.  Увеличиваются  расходы  на   удовлетворение   культурных потребностей из-за роста цен на книги, журналы, газеты, билеты в театры и кино, спортивный инвентарь и т.д. С течением времени подобные расходы могут и сокращаться из-за прекращения покупок книг, журналов, газет, прекращения походов в театры и т.д.

                Дорогими сегодня являются и  промышленные  товары.  Но  при подсчете  индекса  инфляции  по  этим  товарам  возникает  ряд трудностей. Например, наблюдается  разброс  цен  по  магазинам или имеет место временное  отсутствие  в  магазинах  некоторых товаров. Кроме того, меняется мода, многие виды одежды выходят из употребления, вместо них появляются новые. То  же  самое,  в связи с развитием техники, происходит и с товарами длительного пользования   (когда-то   раньше  не было телевизоров, холодильников, стиральных машин, железных дорог и  самолетов). Кроме  того,  пока  еще  мы  можем  пользоваться   бесплатными услугами в области медицины и образования, но скоро, очевидно, и это будет платным, по крайней мере, частично.

                Для того, чтобы подсчитать индекс инфляции по достаточно обширной  потребительской корзине, включающей не только продовольственные товары, но и одежду, товары длительного пользования, услуги и т.п., необходимо иметь соответствующие нормы потребления. Определить их весьма трудно. (При нормативном подходе к экономическим явлениям - откуда взять нормы? При позитивном - как в нестабильной ситуации замерить потребительские  бюджеты?)  Поэтому в настоящей главе мы ограничились индексами инфляции, рассчитанными для продовольственной потребительской корзины. Индекс инфляции можно считать не только для Москвы в целом, но и для отдельных ее районов и даже для покупателей отдельных магазинов  -  достаточно  измерить  соответствующие  цены;  не только для населения в целом, но и для отдельных слоев и  даже отдельных семей - достаточно знать соответствующие потребительские корзины.

                Индекс  инфляции  целесообразно  сопоставлять со средним (средним арифметическим) доходом. Данные Московского городского статистического комитета приведены в табл.7. О реальной динамике благосостояния можно  судить  по временному ряду, составленному из частных от деления  среднего дохода на стоимость потребительской корзины.

Табл. 7

   Средняя (средняя арифметическая) зарплата в Москве

1993,   январь   - 15997,6                 1993,  сентябрь -  88621,0

                февраль  - 18966,7             октябрь  -  99621,0

                март     - 23939,7                ноябрь   - 111807,1

                июнь     - 48424,2                1994,   январь   - 177061,0

                июль     - 56568,9                февраль  - 179626,0

                август   -  62986,5              март        - 206076,0

                При проведении мониторинга за ценами на продукты питания обычно у нас есть некоторая компьютерная база данных, в которую заносятся сведения вида:

                1. НАЗВАНИЕ ПРОДУКТА ПИТАНИЯ

                2. ЦЕНА НА ПРОДУКТ

                3. ОБЪЕМ  ПОТРЕБЛЕНИЯ ПРОДУКТА

                4. ДАТА СНЯТИЯ ЦЕНЫ

                5. НАЗВАНИЕ ТОРГОВОЙ ТОЧКИ.

Кроме того, есть вполне понятная последовательность действий по вычислению индекса инфляции с момента  времени  t1  по  момент времени t2 :

                1. Вычислить сумму произведений  ЦЕНА*ОБЪЕМ ПОТРЕБЛЕНИЯ  для момента времени t1 ;

                2. Вычислить сумму произведений  ЦЕНА*ОБЪЕМ ПОТРЕБЛЕНИЯ для момента времени t2 ;

                3. Найти их отношение.

Для  нахождения  индекса  инфляции  по  группам  эти  действия выполняются для продуктов искомой группы.

                Для вычисления индекса инфляции по продуктам питания разработаны различные программные средства для IBM PC и для персональных компьютеров фирмы "Apple".

Табл.8. Индекс инфляции и стоимость потребительской корзины

Института высоких статистических технологий и эконометрики

Примечание 1. В таблице целая часть отделяется от дробной десятичной точкой, а запятая используется для деления числа по разрядам (на западный манер). Учитывается проведенная деноминация рубля. Если ее не учитывать, то за 10 лет (1991-2001) цены (в Москве) выросли примерно в 40 тысяч раз. Поскольку экономические связи между регионами ослабли, то темпы роста цен в регионах различаются, но, видимо, не более чем в 2 раза.

Примечание 2. Стоимости потребительской корзины ИВСТЭ на один и тот же момент времени, как мог заметить внимательный читатель, несколько отличаются. В этом нет ничего странного, так как исходные цены на продукты несколько отличались. Строго говоря, цены, стоимости потребительских корзин, индексы инфляции и многие другие экономические величины следовало бы считать нечисловыми данными (см. главу 8), например, интервальными или нечеткими.