Лекция 4. Intersest Rate Derivative Securities

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Это инструменты, выплаты по котором зависят от уровня доходности. В последнее время рынок таких финансовых производных развивается наиболее быстро.

Наиболее популярными являются опционы на Treasure Bond, Treasure Note фьючерсы и фьючерсы на Евродоллар. Очень популярными являются Swaptions ( опцион на своп)

Своп это соглашение между двумя компаниями по обмену выплатами в будущем согласно определенным правилам. Наиболее общим типом свопа является “play vanilla” своп на доходность.

В нем одна B сторона соглашается выплачивать другой стороне A выплаты в размере предопределенного фикированного рейта от номинала за несколько лет. В это же время другая сторона соглашается платить первой стороне плавающий рейт на тот же самый номинал и тот же период времени..

Свопцион дает держателю право вступления в определенный своп в некоторое определенное время в будущем.

Другим типом финансовых производных являются Кап (Caps) на рейт. Капы придуманы для того, чтобы застраховаться от того, что рейт превысит или упадет за определеннную границу (cap rate).

Механизм действия капа понятен из графика.

Предположим, что выплаты производятся в моменты времени t,2t, ...... Nt

Тогда продавцу каждом k интервале времени предстоят выплаты в размере

t * L max(R(k) – R,0)

где R(k) величина доходности базового актива

R – cape rate

L – principal

Традиционно оценка стоимости таких финансовых инструментов начинается с построения временных структур, которые в свою очередь опираются на модели стохастического процесса для r- мгновенного рейта. Важно подчеркнуть, что это не процесс для r в реальном мире. Как мы раньше уже отмечали цены бондов, опционы зависят только от r из риск нейтрального мира.

Несколько популярных моделей для временных структур развиты из предположения, что риск-нейтральный процесс для r имеет форму

dr = m(r)dt + s(r)dz (*)

Где снос m(r) и диффизия s(r) являются функциями от r.

У нас был ранее пример, где мы получили, что величина финансовой производной будет

E[exp(-r(T-t))f(T)], (1)

Где r – средняя величина r на интервале времени от t до T,

E – символ матемтического ожидания относительно риск-нейтрального мира.

Обозначим через P(t,T) цену в момент времени t дисконтного бонда, который в момент времени T выплатит 1$. Тогда из формулы (1)

P(t,T) = E[exp(-r(T-t))], (2)

Если R(t,T) непрерывно начислямая доходность в момент времени t по бонду с матеростью T-t, то

P(t,T) = exp(-R(t,T)(T-t))], (3)

И следовательно

R(t,T) = -1/(T-t) ln(P(t,T) (4)

Подставляя сюда формулу (2) получим

R(t,T) = -1/(T-t) ln(E[exp(-r(T-t))] ) (5)

Последняя формула и позволит получать временную структуру для доходностей из риск-нейтрального процесса для r (формула (*))

Рассмотрим несколько конкретных моделей.

Модель Рендлемана-Барттера

Рендлеман и Барттер предложили наиболее простую модель изменения m(r) и s(r) в (*)/

Пусть

m(r) = M*r;

s(r) = S*r

Это означает, что r cледует процессу геометрического Броуновского движения с постоянным уровнем роста M , и постоянной волатильностью S.

Модель Васичека.

В ней

m(r) = а(b-r);

s(r) = s;

Риск нейтральный процесс для r в этой модели выглядит таким образом

dr = а(b-r)dt + sdz (6)/

Васичек решил уравнение (2) и получил аналитическое выражение для P(t,T)

P(t,T) = A(t,T)exp(-B(t,T)r)

Где

B(t,T) =[ 1-exp(-a(T-t))]/a

(B(t,T) – T +t )(a^2b- s^2/2) s^2 B(t,T)^2

A(t,T) = exp[-------------------------------------- - -----------------------

a^2 4 a

Модель Кокса, Ингерсолла и Росса

Одним из недостатков модели Васичека являтся тот факт, что r может стать отрицательным. Этот момент был устранен в модели Кокса, Ингерсолла и Росса. В ней процесс для r выглядит следующим образом

dr = а(b-r)dt + sSqrt(r)dz

Как видно из этого выражения стандартное отклонение пропорционально sqrt(r)

Вид выражения для цены бонда такой же как и в модели Васичека

P(t,T) = A(t,T)exp(-B(t,T)r

)

Однако, выражения для B(t,T) и А(t,T) имеют несколько более сложный тип чем в модели Васичека.

Эти же авторы нашли выражения и для цен Европейских опционов в этой модели.

Без-арбитражные модели

Важным недостатком моделей представленных ранее является тот факт, что в них автоматически не происходит подгонка сегодняшней временной структуры. И они не достаточно точно описывают ее. Причем ошибка может быть достаточно большой. Многие трейдеры поэтому считают эти модели неудовлетворительными. Поэтому были разработаны специальные модели, которые достаточно точно аппроксимируют текущую временную структуру. Эти модели носят название безарбитражных.

Основные обозначения.

P(t,T) – Цена дисконтного бонда в момент времени t, обещающего в момент времени Т вернуть 1$.

V(t,T) – волатильность P(t,T)

F(t,T1,T2) – форвардный рейт в момент времени t, при инвестиции между T1 и Т2

F(t,T) – непрерывный форвардный рейт в момент времени t;

R(t) – мгновенная безрисковая доходность,

dz(t) – Винеровский процесс.

По определению

F(t,T) = lim F(t,T1,T1+d) при d -> 0

В качестве риск-нейтрального процесса для P(t,T) рассмотрим процесс

dP(t,T) = r(t) P(t,T)dt + v(t,T) P(t,T)dz(t) (1)

Форвардный рейт относительно дискаунт цены бонда равен

f(t,T1,T2) = [ln(P(t,T1))-ln(P(t,T2)] / (T2-T1) (2)

Из (1) следует, что

ln(P(t,T1) = [r(t) – v(t,T1)^2/2] dt + v(t,T1) dz(t)

ln(P(t,T2) = [r(t) – v(t,T2)^2/2] dt + v(t,T2) dz(t)

поэтому

v(t,T2)^2 – v(t,T1)^2 v(t,T2) – v(t,T1)

df(t,T1,T2) = -------------------------------- dt + ------------------------------------ dz(t) (3)

2(T2-T1) T2 – T1

Из последнего выражения (3) следует, что риск нейтральный процесс для f зависит только от волатильности v(t,T)

Положим T1 = T и T2 = T1+DT и, переходя в (3) к пределу при D->0, получим,

что f(t,T1,T2) перейдет в F(t,T), коэффициент при dz(t) перейдет к пределу, который обозначим за vT(t,T)

и коэффициент при dt станет

0.5 d[v(t,T)^2] / dT = v(t,T)vT(t,T)

где vT обозначает частную производную по T.

Таким образом

DF(t,T) = v(t,T)vT(t,T) dt + vT(t,T)dz(t) (4)

Так как v(t,T) заданная функция то из последнего выражения и определяется F(t,T).

Также последнее выражение показывает, что существует тесная связь между сносом и стандартным отклонением для непрервных форвардных рейтов. Heat,Jarrow and Morton были первыми, кто это заметил. Интегрируя vT(t,T) от t до T они получили

И так как v(t,t) = 0, то

Если m(t,T) и s(t,T) непрервный снос и стандартное отклонение для F(t,T), то из (4) следует, что

Последнее выражение и показывает связь между сносом и стандартным отклонением.

Модель Хо и Ли (Ho &Lee Model)

Хо и Ли первыми предложили безарбтражную модель временных структур в 1986 году. Модель выглядит следующим образом

Где q(t) – некоторая функция от времени выбранная так, что она хорошо описывает начальную временную структуру.

Уравнение для q(t) выглядит так

В модели Хо и Ли выражение для цены дискаунт бонда будет

Где

Также ими были получены и величины Европейских опционов на дискаунт бонд.

Модель Hull-White

Была предложена в 1990 году как расширение модели Васичека с учетом того, для определения q(t) подгоняется начальная временная структура.

Модель Hull-White и ее модификации в настоящее время является наиболее популярной одномерной моделью временных структур.