2. Короткая продажа.

Это стратегия торговли, которая обеспечивает доход, когда цена актива падает и наоборот ведет к потерям, когда цена актива увеличивается. Для понимания механизма короткой продажи обратимся к такому примеру.

Предположим, что инвестор связывается со своим брокером с приказом по короткой продаже 500 акций. Брокер немедленно занимает 500 акций у другого клиента и продает их при открытии рынка обычным путем и оставляет средства от продажи на счету инвестора. Инвестор может попросить держать продажу до тех пор пока возможно. Естественно, что если цены на актив падают, то инвестор выигрывает и наоборот. В случае повышения цен инвестор обязан возместить разницу в ценах по которым была произведена сделка и настоящей ценой актива.

Обозначения

T             – время окончания форвардного контракта ( в годах);

t               –текущее время (в годах);

S              – цена базового актива в момент времени t;

S(T)        - цена базового актива в момент времени T неизвестная в момент времени t;

K             – цена открытия форвадного контракта;

f               – стоимость (величина) длинного форвардного контракта в момент времени t;

F              – форвардная цена в момент времени t;

r               – безрисковая доходность выраженная в годовых в момент времени t c непрерывным начислением при инвестировании на срок до времени T.

Отметим, что f и F это различные величины. В момент заключения контракта f = 0, а F = K. По ходу времени обе величины меняются.

Форвардный контракт на актив,  не обещающий владельцу доход.

Проще всего величину форварда получить в случае, когда  он выписан на актив, не обещающий гарантированный доход. Например, это без-дивидентная акция или без-купонная облигация.

При отсутствии возможности арбитража, соотношение между ценой форварда F и ценой спота S,  выражается следующей формулой:

F = S* exp(r(T-t))

Действительно, чтобы показать это, допустим, что F > S* exp(r(T-t)). В этом случае инвестор занимает S долларов на время T-t  под без рисковый рейт r , покупает на них базовый актив и занимает короткую позицию в форвардном контракте.  В момент времени T он получит чистый доход в размере F - S* exp(r(T-t)), что противоречит отсутствию арбитражной возможности.

Обратно. Пусть F < S* exp(r(T-t)), тогда инвестор может продать актив коротко, инвестировать деньги под без рисковый процент r и занять длинную позицию в форвардном  контракте. В момент времени T он получит актив по цене F, закроет им короткую продажу и получит чистый доход в размере  S* exp(r(T-t)) – F.

Пример. Рассмотрим форвардный контракт на бездивидентную акцию сроком на три месяца. Пусть сейчас она стоит 40$ и безрисковая доходность r составляет 5% годовых. Итак, T-t = 0.25,

r = 0.05 и S = 40. Поэтому

F = 40*exp(0.05*0.25) = 40.50

Для того, чтобы выражать наши аргументы более кратко и формально следует привыкать к доказательствам следующего вида.

Рассмотрим два портфеля:

Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))

Портфель Б: одна единица базового актива.

В портфеле А деньги в размере Kexp(-r(T-t)) означают, что они вложены под безрисковый процент так, что к моменту времени T их там будет K и они будут использованы для покупки базового актива в момент T. Таким образом оба портфеля в момент T состоят из единицы базового актива, а следовательно они равны. Из этого следует, что они должны быть равны и в любой другой момент времени t. Если бы это было не так, то был бы возможен арбитраж. Отсюда следует, что

f + Kexp(-r(T-t)) = S

или

f = S - Kexp(-r(T-t))

В момент заключения контракта форвардная цена равна цене открытия и выбирается так, чтобы величина контракта равнялась 0. Форвардная цена F, при которой величина f = 0 равна K.

Поэтому

F = Sexp(r(T-t)).

Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу заранее известный доход.

Примером таких активов могут быть акции с известным размером дивидента или купонная облигация с определенным размером купона.

Обозначим за I тот фиксированный доход, который будет получен за время действия контракта

Докажем, что тогда при отсутствии арбитража

F =(S – I)* exp(r(T-t))            (1)

Для доказательства чуть изменим портфель B из предыдущего рассмотрения, а портфель А оставим без изменения.

Рассмотрим два портфеля:

Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))

Портфель Б: одна единица базового актива плюс занято денег в размере I под безрисковый процент r.

Доход, полученный от актива будет использован для выплат по займу. И к моменту T оба портфеля опять будут равны. Но из-за условий отсутсвия арбитража они должны совпадать и в любой другой момент времени t. Таким образом

f + Kexp(-r(T-t)) = S - I

или

f = S - I - Kexp(-r(T-t));

Форвардная цена F это та цена, которая делает f  равным нулю, отсюда и получим  (1)

Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность.

Примером могут служить акции размер дивидентов которых есть некоторый известный процент  q от цены акции.

В этом случае в качестве портфеля Б следует взять портфель вида:

Портфель Б: exp(-q(T-t) от единицы актива , доход от которого реинвестируется в актив.

Актив портфеля Б растет в результате выплачиваемых дивидентов и к моменту T станет в точности единицей актива, так же как и портфель A. Приравнивая их для произвольного момента времени, получаем:

f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-q(T-t))

или

f = S exp(-q(T-t))  - Kexp(-r(T-t));

Форвардная цена F это та цена, которая делает f  равным нулю, отсюда и получим:

F =S exp((r-q)(T-t))            (2)

Правда следует отметить, что дивидентная доходность q  может изменяться в ходе жизни контракта. Поэтому, для корректности выражения (2) q следует понимать как среднюю дивидентную доходность .

Коротко остановимся на других возможных  контрактах.

Фьючерсы на индекс.

Индекс Акций показывает движение цен гипотетического портфеля акций. Веса с которыми акции входят в портфель  могут быть одинаковыми, могут вычисляться по какому-либо правилу. Обычно предполагается, что индекс не учитывает дивиденты по акциям входящих в портфель.

Приведем наиболее известные мировые индексы.

Standard & Poor’s 500 (S&P500). Торгуется на CME (Chicago Mercantile Exchange) и основан на портфеле 500 различных акций: 400 индустриальных компаний, 20 транспортных 40 финансовых и 40 компаний служб сервиса (вывоз мусора, водопровод, и т.п.) Веса при вхождении в портфель вычисляются как отношение капитализации этой компании к общей капитализации. Листинг охватывает 80% всех компаний торгуемых на бирже Нью-Йорка. Размер одного фьючерсного контракта равен 500 * индекс.

Nikkei 225. Основан на портфеле 225 акций крупнейших компаний торгуемых на Tokyo Stock Exchange. Веса определяются в соответствии с ценами конкретной акции. Один фьючерсный контракт равен 5 * значение индекса.

New York Stock Exchange Composite Index. Оценивается на основе всех акций торгуемых на этой бирже. Веса берутся по капитализации.

The Major Market Index (MMI) основывается на портфеле 20 голубых фишек, торгуемых на     NYSE. Этот индекс сильно коррелирует с Dow Jones Industrial Average, который также основывается на относительно небольшом количестве акций. Один фьючерсный контракт равен 500*индекс и торгуется на Chicago Board of Trade.

Индекс РТС. Индекс РТС является единственным официальным индикатором Российской Торговой Системы. Индекс рассчитывается один раз в 30 минут в течение всей торговой сессии, начиная с 12:00 и заканчивая в 18:00. Значение индекса на 12:00 является значением открытия, на 18:00 –значением закрытия. Индекс рассчитывается в двух значениях - валютном и рублевом. Рублевые значения являются вспомогательными и рассчитываются на основе валютных значений. Индекс (валютное значение) на расчетное время (In) рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций (MCn), включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих же акций на начальную дату (MC1), умноженное на значение индекса на начальную дату (I1):

В качестве поставляемого товара при истечении срока фьючерсного контракта на индекс являются деньги в размере суммы контракта, а не портфель входящих в индекс акций.

Если в портфель индекса входят акции, выплачивающие дивиденты, то при оценке цены фьючерсного контракта это следует учесть так же, как это мы делали в случае форвардных контрактов на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность q. 

(См формула (2).

Это стратегия торговли, которая обеспечивает доход, когда цена актива падает и наоборот ведет к потерям, когда цена актива увеличивается. Для понимания механизма короткой продажи обратимся к такому примеру.

Предположим, что инвестор связывается со своим брокером с приказом по короткой продаже 500 акций. Брокер немедленно занимает 500 акций у другого клиента и продает их при открытии рынка обычным путем и оставляет средства от продажи на счету инвестора. Инвестор может попросить держать продажу до тех пор пока возможно. Естественно, что если цены на актив падают, то инвестор выигрывает и наоборот. В случае повышения цен инвестор обязан возместить разницу в ценах по которым была произведена сделка и настоящей ценой актива.

Обозначения

T             – время окончания форвардного контракта ( в годах);

t               –текущее время (в годах);

S              – цена базового актива в момент времени t;

S(T)        - цена базового актива в момент времени T неизвестная в момент времени t;

K             – цена открытия форвадного контракта;

f               – стоимость (величина) длинного форвардного контракта в момент времени t;

F              – форвардная цена в момент времени t;

r               – безрисковая доходность выраженная в годовых в момент времени t c непрерывным начислением при инвестировании на срок до времени T.

Отметим, что f и F это различные величины. В момент заключения контракта f = 0, а F = K. По ходу времени обе величины меняются.

Форвардный контракт на актив,  не обещающий владельцу доход.

Проще всего величину форварда получить в случае, когда  он выписан на актив, не обещающий гарантированный доход. Например, это без-дивидентная акция или без-купонная облигация.

При отсутствии возможности арбитража, соотношение между ценой форварда F и ценой спота S,  выражается следующей формулой:

F = S* exp(r(T-t))

Действительно, чтобы показать это, допустим, что F > S* exp(r(T-t)). В этом случае инвестор занимает S долларов на время T-t  под без рисковый рейт r , покупает на них базовый актив и занимает короткую позицию в форвардном контракте.  В момент времени T он получит чистый доход в размере F - S* exp(r(T-t)), что противоречит отсутствию арбитражной возможности.

Обратно. Пусть F < S* exp(r(T-t)), тогда инвестор может продать актив коротко, инвестировать деньги под без рисковый процент r и занять длинную позицию в форвардном  контракте. В момент времени T он получит актив по цене F, закроет им короткую продажу и получит чистый доход в размере  S* exp(r(T-t)) – F.

Пример. Рассмотрим форвардный контракт на бездивидентную акцию сроком на три месяца. Пусть сейчас она стоит 40$ и безрисковая доходность r составляет 5% годовых. Итак, T-t = 0.25,

r = 0.05 и S = 40. Поэтому

F = 40*exp(0.05*0.25) = 40.50

Для того, чтобы выражать наши аргументы более кратко и формально следует привыкать к доказательствам следующего вида.

Рассмотрим два портфеля:

Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))

Портфель Б: одна единица базового актива.

В портфеле А деньги в размере Kexp(-r(T-t)) означают, что они вложены под безрисковый процент так, что к моменту времени T их там будет K и они будут использованы для покупки базового актива в момент T. Таким образом оба портфеля в момент T состоят из единицы базового актива, а следовательно они равны. Из этого следует, что они должны быть равны и в любой другой момент времени t. Если бы это было не так, то был бы возможен арбитраж. Отсюда следует, что

f + Kexp(-r(T-t)) = S

или

f = S - Kexp(-r(T-t))

В момент заключения контракта форвардная цена равна цене открытия и выбирается так, чтобы величина контракта равнялась 0. Форвардная цена F, при которой величина f = 0 равна K.

Поэтому

F = Sexp(r(T-t)).

Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу заранее известный доход.

Примером таких активов могут быть акции с известным размером дивидента или купонная облигация с определенным размером купона.

Обозначим за I тот фиксированный доход, который будет получен за время действия контракта

Докажем, что тогда при отсутствии арбитража

F =(S – I)* exp(r(T-t))            (1)

Для доказательства чуть изменим портфель B из предыдущего рассмотрения, а портфель А оставим без изменения.

Рассмотрим два портфеля:

Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))

Портфель Б: одна единица базового актива плюс занято денег в размере I под безрисковый процент r.

Доход, полученный от актива будет использован для выплат по займу. И к моменту T оба портфеля опять будут равны. Но из-за условий отсутсвия арбитража они должны совпадать и в любой другой момент времени t. Таким образом

f + Kexp(-r(T-t)) = S - I

или

f = S - I - Kexp(-r(T-t));

Форвардная цена F это та цена, которая делает f  равным нулю, отсюда и получим  (1)

Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность.

Примером могут служить акции размер дивидентов которых есть некоторый известный процент  q от цены акции.

В этом случае в качестве портфеля Б следует взять портфель вида:

Портфель Б: exp(-q(T-t) от единицы актива , доход от которого реинвестируется в актив.

Актив портфеля Б растет в результате выплачиваемых дивидентов и к моменту T станет в точности единицей актива, так же как и портфель A. Приравнивая их для произвольного момента времени, получаем:

f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-q(T-t))

или

f = S exp(-q(T-t))  - Kexp(-r(T-t));

Форвардная цена F это та цена, которая делает f  равным нулю, отсюда и получим:

F =S exp((r-q)(T-t))            (2)

Правда следует отметить, что дивидентная доходность q  может изменяться в ходе жизни контракта. Поэтому, для корректности выражения (2) q следует понимать как среднюю дивидентную доходность .

Коротко остановимся на других возможных  контрактах.

Фьючерсы на индекс.

Индекс Акций показывает движение цен гипотетического портфеля акций. Веса с которыми акции входят в портфель  могут быть одинаковыми, могут вычисляться по какому-либо правилу. Обычно предполагается, что индекс не учитывает дивиденты по акциям входящих в портфель.

Приведем наиболее известные мировые индексы.

Standard & Poor’s 500 (S&P500). Торгуется на CME (Chicago Mercantile Exchange) и основан на портфеле 500 различных акций: 400 индустриальных компаний, 20 транспортных 40 финансовых и 40 компаний служб сервиса (вывоз мусора, водопровод, и т.п.) Веса при вхождении в портфель вычисляются как отношение капитализации этой компании к общей капитализации. Листинг охватывает 80% всех компаний торгуемых на бирже Нью-Йорка. Размер одного фьючерсного контракта равен 500 * индекс.

Nikkei 225. Основан на портфеле 225 акций крупнейших компаний торгуемых на Tokyo Stock Exchange. Веса определяются в соответствии с ценами конкретной акции. Один фьючерсный контракт равен 5 * значение индекса.

New York Stock Exchange Composite Index. Оценивается на основе всех акций торгуемых на этой бирже. Веса берутся по капитализации.

The Major Market Index (MMI) основывается на портфеле 20 голубых фишек, торгуемых на     NYSE. Этот индекс сильно коррелирует с Dow Jones Industrial Average, который также основывается на относительно небольшом количестве акций. Один фьючерсный контракт равен 500*индекс и торгуется на Chicago Board of Trade.

Индекс РТС. Индекс РТС является единственным официальным индикатором Российской Торговой Системы. Индекс рассчитывается один раз в 30 минут в течение всей торговой сессии, начиная с 12:00 и заканчивая в 18:00. Значение индекса на 12:00 является значением открытия, на 18:00 –значением закрытия. Индекс рассчитывается в двух значениях - валютном и рублевом. Рублевые значения являются вспомогательными и рассчитываются на основе валютных значений. Индекс (валютное значение) на расчетное время (In) рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций (MCn), включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих же акций на начальную дату (MC1), умноженное на значение индекса на начальную дату (I1):

В качестве поставляемого товара при истечении срока фьючерсного контракта на индекс являются деньги в размере суммы контракта, а не портфель входящих в индекс акций.

Если в портфель индекса входят акции, выплачивающие дивиденты, то при оценке цены фьючерсного контракта это следует учесть так же, как это мы делали в случае форвардных контрактов на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность q. 

(См формула (2).