Лекция 5. VAR (Value at Risk)

Перед этим мы ввели различные меры: гамма, тета, вега, дельта для описания различных аспектов  рисков портфеля из опционов. Финансовые институты вычисляют каждую из этих мер каждый день для всех рыночных переменных. Зачастую их сотни и тысячи, что затрудняет понимание картины возникающих рисков в целом. Var – это попытка обеспечить одним числом меру риска суммирующего в себе риск портфеля в целом.

Дневная волатильность.

При оценке Var обычно имеют дело с дневной волатильностью. Соотношение между дневной и годовой волатильностью следует из свойств нормального распределения вероятностей и предположения независимости изменений цен активов. А именно:

Пусть s(d) – дневная волатильность и  s(y) – годовая. Если предположить, что год состоит из 252 рабочих дня то соотношение между ними будет

s(y) = sqrt(252) * s(d).

Оценка Var  простейшем случае.

Рассмотрим портфель состоящий из акций IBM на 10 миллионов. Предположим, что дневная волатильность составляет 2%. Или 32 в год.  Пусть N = 10 дней и мы интересуемся 99% доверительным интервалом изменения нашего портфеля.

Тогда дневное стандартное отклонение портфеля составит 10 000 000 * 0.02 = 200 000 долларов.

Предполагая независимость изменений цен акций получим, что стандартное отклонеине за 10 дней составит 200 000 * sqrt(10) = 632 456 долларов. Предположим, что дневной рейт доходности акций пренебрежительно мал относительно дисперсии приращений. И приращения имеют нормальной распределение. Тогда квантиль стандартного нормально распределения уровня 0.01 = 1 – 0.99 составляет –2.33. Тогда Var 10 дневного портфеля составит

* 632 456 = 1 473 621

Оценка Var  для портфеля из двух активов

Предположим, что наш портфель состоит еще и из акций AT&T на 5 000 000. И предположим, что изменения акций имеют двумерное нормальное распределение с коефф. Коррелции = 0.7. Дневная волатильность акций AT&T составляет 1 процент в день тогда стандартное отклонение портфеля составит

s(y+x) = sqrt(s(x)^2 + s(y)^2 + 2 rho * s(y) * s(x))

Подставляя сюда s(x) = 632 456 и s(y) = 158 114 получим что это равно 751 665

И тогда Var = 751 665 * 2.33 = 1 751 379

Линейная модель

Предположения.

Портфель активов цена которого линейно зависит от входящих в него активов

Изменения величин активов имеют нормальное распределение.

Портфель состоит из P активов в количестве a(i) и D(i) изменение величины единица i актива за день, тогда для всего портфеля

DP = S a(i)* D(i)

Так как D(i) имеют многомерное нормальное распределение, то   DP имеет нормальное распределение. Для вычисления Var нам необходимо вычислить станодартное отклонение портфеля

s(P)^2 =  SSrho(i,j) a(i) a(j) s(i) s(j).

Это соотношение может быть переписано как

s(P)^2 = S a(i)^2 + 2SSrho(i,j) a(i) a(j) s(i) s(j)

где двойная сумма берется по i = 1...P, j < i

Var для активов зависящих от доходности

В прошлой лекции было введено понятие дюрации и было показано, что

DP = -DP  Dy ,

где P цена портфеля

D – дюрация портфеля

Dy – размер парраллельного сдвига временной структуры.

Тогда если дневная волатильность параллельных сдвигов составляет s, и стандартное отклонение для портфеля составит

s(P) = DPs

Область применимости линейных моделей.

Линейные модели применяют для портфелей из финансовых инструментов, у которых изменение величины линейно зависит от изменения величины базовых активов (акции, обменные курсы ,бонды)

Для опционов линейная модель является только приближением. В частности если в портфель cсостоит из опционов на на одну и ту же акцию, то  дельта для него

d= DP/DS

Напомним, что d показывает скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базовых активов

Определим

Dx = DS / S

Тогда

DP= S * d* Dx

Если портфель состоит из опционов на несколько различных акциий

DP = SS(i) d(i) Dx(i)

что можно переписать в такой же линейной форме как и раньше

DP = S a(i)* D(i)

где a(i) = S(i) d(i).

И следовательно это позоволяет вычислить стандартное отклонение портфеля в целом по уже приведенной выше формулам для линейной модели.

Квадратичная модель

Итак линейная модель является только приближением, в случае если в портфель входят опционы. Однако мы вычисляли и вторую производную по цене, которую называли гамма.

Поэтому можно построить и квадратичную модель изменения цены портфеля

DP= DS * d + 0.5g(DS)^2

Опять, полагая

Dx = DS / S,

получим

DP= S * d*Dx + 0.5S^2g(Dx)^2

Однако в этом случае величина DP уже не будет иметь нормальное распределение.

Пусть Dx имеет нормальное распределение со средним 0 и стандартным отклонением s

Тогда первые три момента для DP будут

E(DP) = 0.5S^2gs^2

E(DP)^2 = S^2 d^2s^2 + 3/4S^4g^2s^4

E(DP)^3 =9/2 S^4 d^2s^4 +15/18 S^6g^3s^6

Первые два момента могут быть взяты для нормального распределения и получим одну аппроксимацию. А если использовать и третий момент, то это распределение Корниш-Фишера которое затабулировано и это будет другое приближение.

Монте-карло моделирование

Альтернативным способом оценки Var является моделирование по методу Монте-Карло, которое состоит в том, что моделируется достаточно большое количество приращений изменения стоимости портфеля DP (например N =10000 раз) по какой-то выбранной заранее модели.

Например нормальной для изменения стоимости базовых активов. При этом цены входящих в портфель инструментов вычисляются по полученным для них в этой модели точной формуле. Тогда Var уровня 0.99 будет равен значению смоделированных значений изменений портфеля с порядковым номером  N * (1-0.99) в упорядоченном ряде.

Историческое моделирование.

Предположим, что у нас имеются временные ряды изменений цен базовых активов и финансовых производных на них выраженные в единицах на один актив тогда, пересчитав их возможные изменения к количеству активов, которые имеются в наличие в данный момент, упорядочим их по возрастанию. Тогда, зная общую длину ряда = N, мы можем получить исторический Var нашего сегодняшнего портфеля.

Использование метода главных компонент.

Все рассмотренные выше методы оценки Var имели один важный недостаток – существенную многомерность модели. В последнее время все чаще для моделирования состояний портфеля используется факторный анализ наиболее популярным метолом которого является метод главных компонент.

Идея метода такова. Пусть у нас имеется P базовых активов и мы наблюдаем за ними в течении N дней. Таким образом у нас имеется матрица наблюдений X размера N*P.

Факторный анализ этот методы которые существенно могут пронизить размерность этого пространства. Канонической моделью факторного анализа является представление матрицы наблюдений X в виде

X = F * L + U   (1)

Где матрица F имеет размер Т*p , p << P  (факторы)

L - матрица  размер p* p (нагрузки)

U – матрица размера (N*P) матрица ошибок

В методе главных компонент в качестве матрицы L  берут первые p собственных векторов, отвечающие наибольшим собственным значением ковариационной матрицы S = E(XX’)

Можно показать, что такой выбор матрицы L минимизирует ошибку U в представлении (1)

среди всех возможных линейных ортогональных преобразований исходной матрицы  X

Таким образом

X ~ F * L.    (2)

При этом

F = XL’

Последнее следует из того, что LL’ = I

Таким образом необходимость моделирования изменений большого количества активов можно заменить моделированием небольшого количества факторов. Получая затем приближения изменения самих активов с помощью выражения (2).

Наличие сильных корреляционных связей между активами позволяет зачастую довольно сильно уменьшить размерность моделируемого пространства. В частности при моделировании изменений zero-coupon временной структуры в которой P составляет иногда до 20 при  этом p=3

И ошибка составляет не более 2%.

Литература.

Jhon C.Hull  Option,Futures, and other derivatives. Prentice Hall, 1997. 

Перед этим мы ввели различные меры: гамма, тета, вега, дельта для описания различных аспектов  рисков портфеля из опционов. Финансовые институты вычисляют каждую из этих мер каждый день для всех рыночных переменных. Зачастую их сотни и тысячи, что затрудняет понимание картины возникающих рисков в целом. Var – это попытка обеспечить одним числом меру риска суммирующего в себе риск портфеля в целом.

Дневная волатильность.

При оценке Var обычно имеют дело с дневной волатильностью. Соотношение между дневной и годовой волатильностью следует из свойств нормального распределения вероятностей и предположения независимости изменений цен активов. А именно:

Пусть s(d) – дневная волатильность и  s(y) – годовая. Если предположить, что год состоит из 252 рабочих дня то соотношение между ними будет

s(y) = sqrt(252) * s(d).

Оценка Var  простейшем случае.

Рассмотрим портфель состоящий из акций IBM на 10 миллионов. Предположим, что дневная волатильность составляет 2%. Или 32 в год.  Пусть N = 10 дней и мы интересуемся 99% доверительным интервалом изменения нашего портфеля.

Тогда дневное стандартное отклонение портфеля составит 10 000 000 * 0.02 = 200 000 долларов.

Предполагая независимость изменений цен акций получим, что стандартное отклонеине за 10 дней составит 200 000 * sqrt(10) = 632 456 долларов. Предположим, что дневной рейт доходности акций пренебрежительно мал относительно дисперсии приращений. И приращения имеют нормальной распределение. Тогда квантиль стандартного нормально распределения уровня 0.01 = 1 – 0.99 составляет –2.33. Тогда Var 10 дневного портфеля составит

* 632 456 = 1 473 621

Оценка Var  для портфеля из двух активов

Предположим, что наш портфель состоит еще и из акций AT&T на 5 000 000. И предположим, что изменения акций имеют двумерное нормальное распределение с коефф. Коррелции = 0.7. Дневная волатильность акций AT&T составляет 1 процент в день тогда стандартное отклонение портфеля составит

s(y+x) = sqrt(s(x)^2 + s(y)^2 + 2 rho * s(y) * s(x))

Подставляя сюда s(x) = 632 456 и s(y) = 158 114 получим что это равно 751 665

И тогда Var = 751 665 * 2.33 = 1 751 379

Линейная модель

Предположения.

Портфель активов цена которого линейно зависит от входящих в него активов

Изменения величин активов имеют нормальное распределение.

Портфель состоит из P активов в количестве a(i) и D(i) изменение величины единица i актива за день, тогда для всего портфеля

DP = S a(i)* D(i)

Так как D(i) имеют многомерное нормальное распределение, то   DP имеет нормальное распределение. Для вычисления Var нам необходимо вычислить станодартное отклонение портфеля

s(P)^2 =  SSrho(i,j) a(i) a(j) s(i) s(j).

Это соотношение может быть переписано как

s(P)^2 = S a(i)^2 + 2SSrho(i,j) a(i) a(j) s(i) s(j)

где двойная сумма берется по i = 1...P, j < i

Var для активов зависящих от доходности

В прошлой лекции было введено понятие дюрации и было показано, что

DP = -DP  Dy ,

где P цена портфеля

D – дюрация портфеля

Dy – размер парраллельного сдвига временной структуры.

Тогда если дневная волатильность параллельных сдвигов составляет s, и стандартное отклонение для портфеля составит

s(P) = DPs

Область применимости линейных моделей.

Линейные модели применяют для портфелей из финансовых инструментов, у которых изменение величины линейно зависит от изменения величины базовых активов (акции, обменные курсы ,бонды)

Для опционов линейная модель является только приближением. В частности если в портфель cсостоит из опционов на на одну и ту же акцию, то  дельта для него

d= DP/DS

Напомним, что d показывает скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базовых активов

Определим

Dx = DS / S

Тогда

DP= S * d* Dx

Если портфель состоит из опционов на несколько различных акциий

DP = SS(i) d(i) Dx(i)

что можно переписать в такой же линейной форме как и раньше

DP = S a(i)* D(i)

где a(i) = S(i) d(i).

И следовательно это позоволяет вычислить стандартное отклонение портфеля в целом по уже приведенной выше формулам для линейной модели.

Квадратичная модель

Итак линейная модель является только приближением, в случае если в портфель входят опционы. Однако мы вычисляли и вторую производную по цене, которую называли гамма.

Поэтому можно построить и квадратичную модель изменения цены портфеля

DP= DS * d + 0.5g(DS)^2

Опять, полагая

Dx = DS / S,

получим

DP= S * d*Dx + 0.5S^2g(Dx)^2

Однако в этом случае величина DP уже не будет иметь нормальное распределение.

Пусть Dx имеет нормальное распределение со средним 0 и стандартным отклонением s

Тогда первые три момента для DP будут

E(DP) = 0.5S^2gs^2

E(DP)^2 = S^2 d^2s^2 + 3/4S^4g^2s^4

E(DP)^3 =9/2 S^4 d^2s^4 +15/18 S^6g^3s^6

Первые два момента могут быть взяты для нормального распределения и получим одну аппроксимацию. А если использовать и третий момент, то это распределение Корниш-Фишера которое затабулировано и это будет другое приближение.

Монте-карло моделирование

Альтернативным способом оценки Var является моделирование по методу Монте-Карло, которое состоит в том, что моделируется достаточно большое количество приращений изменения стоимости портфеля DP (например N =10000 раз) по какой-то выбранной заранее модели.

Например нормальной для изменения стоимости базовых активов. При этом цены входящих в портфель инструментов вычисляются по полученным для них в этой модели точной формуле. Тогда Var уровня 0.99 будет равен значению смоделированных значений изменений портфеля с порядковым номером  N * (1-0.99) в упорядоченном ряде.

Историческое моделирование.

Предположим, что у нас имеются временные ряды изменений цен базовых активов и финансовых производных на них выраженные в единицах на один актив тогда, пересчитав их возможные изменения к количеству активов, которые имеются в наличие в данный момент, упорядочим их по возрастанию. Тогда, зная общую длину ряда = N, мы можем получить исторический Var нашего сегодняшнего портфеля.

Использование метода главных компонент.

Все рассмотренные выше методы оценки Var имели один важный недостаток – существенную многомерность модели. В последнее время все чаще для моделирования состояний портфеля используется факторный анализ наиболее популярным метолом которого является метод главных компонент.

Идея метода такова. Пусть у нас имеется P базовых активов и мы наблюдаем за ними в течении N дней. Таким образом у нас имеется матрица наблюдений X размера N*P.

Факторный анализ этот методы которые существенно могут пронизить размерность этого пространства. Канонической моделью факторного анализа является представление матрицы наблюдений X в виде

X = F * L + U   (1)

Где матрица F имеет размер Т*p , p << P  (факторы)

L - матрица  размер p* p (нагрузки)

U – матрица размера (N*P) матрица ошибок

В методе главных компонент в качестве матрицы L  берут первые p собственных векторов, отвечающие наибольшим собственным значением ковариационной матрицы S = E(XX’)

Можно показать, что такой выбор матрицы L минимизирует ошибку U в представлении (1)

среди всех возможных линейных ортогональных преобразований исходной матрицы  X

Таким образом

X ~ F * L.    (2)

При этом

F = XL’

Последнее следует из того, что LL’ = I

Таким образом необходимость моделирования изменений большого количества активов можно заменить моделированием небольшого количества факторов. Получая затем приближения изменения самих активов с помощью выражения (2).

Наличие сильных корреляционных связей между активами позволяет зачастую довольно сильно уменьшить размерность моделируемого пространства. В частности при моделировании изменений zero-coupon временной структуры в которой P составляет иногда до 20 при  этом p=3

И ошибка составляет не более 2%.

Литература.

Jhon C.Hull  Option,Futures, and other derivatives. Prentice Hall, 1997.