3. Форварды и фьючерсы на валюты.

Пусть S – текущая цена в долларах единицы зареубежной валюты. Зарубежная валюта имеет свойство то, что ее держатель может ее положить в банк под безрисковый процент этой страны. Обозначим его  за rf, также будем считать, что это непрерывно начисляемая доходность.

Рассмотрим 2 портфеля

Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу валюты  плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))

Портфель Б: Деньги в иностранной валюте в размере exp(-rf(T-t))

К моменту T мы получим одно и тоже количество в иностранной валюте равное ее единице.

Опять считаем, что это выполняется и в любой момент времени, тогда

f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-rf(T-t))

или

f = S exp(-rf(T-t))  - Kexp(-r(T-t))

Форвардная цена F это то, что обращает последнее выражение  в ноль. Следовательно

F =S exp((r-rf)(T-t))            (3)

Заметим, что это одно и тоже, что и выражение (2) при замене rf на q.

Фьючерсы на товар. (золото, серебро, нефть)

В отличие от индексов и акций эти товары требуют вполне ощутимые средства на их хранение.

Без вывода приведем основные результаты.

Пусть U текущая стоимость хранения. Тогда

F =(S + U) exp(r(T-t))            (4)

Сравните это выражение с (1) .

Если затраты на хранение пропорциональны стоимости актива, то их можно выразить как отрицательную дивидентную доходность. Тогда

 F =S exp((r+u)(T-t))            (5)

Где u – стоимость хранения единицы товара за год. Сравните это выражение с (2) .

Цена фьючерса и ожидаемая цена спота

Часто задают вопрос. Является ли цена фьючерса на какой товар равной ожидаемой будущей ценой спота? Или другими словами можно ли считать цену фьючерса некоторым достаточно правдоподобным прогнозом цены спота?

Конечно, несомненен тот факт, что при приближении времени окончания контракта фьючерс стремится к споту. Но речь здесь идет о том, когда время окончания контракта еще далеко и фиксировано. Обсудим это чуть позднее, когда ознакомимся с типами возникающих рисков

Типы рисков. Исследователи законов ценообразования выделяют два основных типа возникающих здесь рисков: систематический и несистематический. Несистематический риск не очень интересен инвестору так как он может практически свести его на нет грамотной диверсификацией своего портфеля. Систематический риск не может быть устранен диверсификацией, так как он возникает из-за корреляционных  связей всего мирового рынка в целом.

В качестве примера рассмотрим спекулянта, имеющего длинную позицию в надежде, что цена актива в момент окончания контракта будет выше, чем цена фьючерса сейчас.

Таким образом в момент времени t он должен зарезервировать денег в размере

-F exp(-r(T-t)), а в момент T он получит +S(T).

Текущая цена такого инвестирования есть

-F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)],

где k ожидаемый предполагаемый инвестором от инвестирования выраженный в годовых доходностях. Предполагая, что арбитраж отсутствует получим:

-F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)] = 0

 или

F = E[S(T)exp(r-k)(T-t)]

Величина k зависит от систематического риска. Если S(T) некоррелирует с уровнем рынка акций, то инвестирование несет нулевой систематический риск. В этом случае k=r и следовательно F = E(S(T)). Если корреляция S(T) и рынка акций в целом положительна, то k>r и имеемся положительный риск и F < E(S(T)). Соответственно F > E(S(T)), при k<r и отрицательной корреляции.

Проверить , что же чаще всего бывает на самом деле можно только статистическим путем, проводя тщательный статистический анализ исторических данных. В частности по данным до 1999 года для S&P500 такой анализ показывает, что чаще всего имеет место ситуация

F < E(S(T)).

Таким образом в среднем цена фьючерсного контракти ниже чем ожидаемое значение стоимости актива в момент окончания. В данных 2000 – 2001 годов можно было наблюдать обратную картину.

Пусть S – текущая цена в долларах единицы зареубежной валюты. Зарубежная валюта имеет свойство то, что ее держатель может ее положить в банк под безрисковый процент этой страны. Обозначим его  за rf, также будем считать, что это непрерывно начисляемая доходность.

Рассмотрим 2 портфеля

Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу валюты  плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))

Портфель Б: Деньги в иностранной валюте в размере exp(-rf(T-t))

К моменту T мы получим одно и тоже количество в иностранной валюте равное ее единице.

Опять считаем, что это выполняется и в любой момент времени, тогда

f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-rf(T-t))

или

f = S exp(-rf(T-t))  - Kexp(-r(T-t))

Форвардная цена F это то, что обращает последнее выражение  в ноль. Следовательно

F =S exp((r-rf)(T-t))            (3)

Заметим, что это одно и тоже, что и выражение (2) при замене rf на q.

Фьючерсы на товар. (золото, серебро, нефть)

В отличие от индексов и акций эти товары требуют вполне ощутимые средства на их хранение.

Без вывода приведем основные результаты.

Пусть U текущая стоимость хранения. Тогда

F =(S + U) exp(r(T-t))            (4)

Сравните это выражение с (1) .

Если затраты на хранение пропорциональны стоимости актива, то их можно выразить как отрицательную дивидентную доходность. Тогда

 F =S exp((r+u)(T-t))            (5)

Где u – стоимость хранения единицы товара за год. Сравните это выражение с (2) .

Цена фьючерса и ожидаемая цена спота

Часто задают вопрос. Является ли цена фьючерса на какой товар равной ожидаемой будущей ценой спота? Или другими словами можно ли считать цену фьючерса некоторым достаточно правдоподобным прогнозом цены спота?

Конечно, несомненен тот факт, что при приближении времени окончания контракта фьючерс стремится к споту. Но речь здесь идет о том, когда время окончания контракта еще далеко и фиксировано. Обсудим это чуть позднее, когда ознакомимся с типами возникающих рисков

Типы рисков. Исследователи законов ценообразования выделяют два основных типа возникающих здесь рисков: систематический и несистематический. Несистематический риск не очень интересен инвестору так как он может практически свести его на нет грамотной диверсификацией своего портфеля. Систематический риск не может быть устранен диверсификацией, так как он возникает из-за корреляционных  связей всего мирового рынка в целом.

В качестве примера рассмотрим спекулянта, имеющего длинную позицию в надежде, что цена актива в момент окончания контракта будет выше, чем цена фьючерса сейчас.

Таким образом в момент времени t он должен зарезервировать денег в размере

-F exp(-r(T-t)), а в момент T он получит +S(T).

Текущая цена такого инвестирования есть

-F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)],

где k ожидаемый предполагаемый инвестором от инвестирования выраженный в годовых доходностях. Предполагая, что арбитраж отсутствует получим:

-F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)] = 0

 или

F = E[S(T)exp(r-k)(T-t)]

Величина k зависит от систематического риска. Если S(T) некоррелирует с уровнем рынка акций, то инвестирование несет нулевой систематический риск. В этом случае k=r и следовательно F = E(S(T)). Если корреляция S(T) и рынка акций в целом положительна, то k>r и имеемся положительный риск и F < E(S(T)). Соответственно F > E(S(T)), при k<r и отрицательной корреляции.

Проверить , что же чаще всего бывает на самом деле можно только статистическим путем, проводя тщательный статистический анализ исторических данных. В частности по данным до 1999 года для S&P500 такой анализ показывает, что чаще всего имеет место ситуация

F < E(S(T)).

Таким образом в среднем цена фьючерсного контракти ниже чем ожидаемое значение стоимости актива в момент окончания. В данных 2000 – 2001 годов можно было наблюдать обратную картину.