II Предположения и обозначения.

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Перед тем как получить соотношения между ценами опционов, сделаем необходимые предположения. Причем относительно вероятностного поведения пока предположений никаких делать не будем.

Транзакции проводятся бесплатно.

Все торговый доходы и потери имеют один и тот же рэйт.

Свободно возможен заем и наоборот кредитование под безрисковую доходность.

Участники рынка отслеживают и при первой возможности реализуют арбитражные операции.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:

S – Текущая цена акции

X – страйк

T – время окончания (expiration date)

t – текущее время

S(T) - цена акции в момент окончания контракта

r – безрисковая доходность

С – цена Американского call опциона

P – цена Американского put опциона

с – цена Европейского call опциона

p – цена Европейского put опциона

Пусть также r > 0

III. Верхняя и нижняя оценка стоимости опциона.

Верхняя граница.

Так как Американский и Европейский call опцион дает право купить акцию по фиксированной цене, то естественно

C <= S и с <= S

Если это не так, то арбитражеры моментально бы этим воспользовались, покупая акции и продавая call опционы.

Аналогично Американский и Европейский put опцион дает право продать акцию по фиксированной цене, следовательно:

P <= X и p <= X

Для Европейского опциона последнее выражение можно усилить, а именно

P <= X exp(-r(T-t))

Нижние границы для call опионов на бездивидентную акцию

S - X exp(-r(T-t)) <= c,C

Поясним почему это имеет место сначала на числовом примере, а потом дадим доказательство.

Пусть S = 20$, X=18$, r=10%, T-t = 1 year. Тогда предположим, что с = 3$, что меньше, чем дает последняя оценка. Арбитражер, заметив это, мгновенно коротко продаст акцию и купит call опцион. Это ему обеспечит доход 20$ - 3$ = 17$ и положит эти деньги под безрисковый доход сроком на год. Через год он получит 17*exp(0.1) = 18.79$, Если акции будут стоить больше 18$ то он реализует свое право, купит акцию по 18$ и получит окончательно доход 18.79 – 18 = 0.79$. Если же акции через год будут стоить меньше 18, например 17, то он не будет реализовывать опцион и все равно получит доход 18.79 – 17 = 1.79

Формальное док-во

Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))

Портфель B Одна акция.

Портфель А. В момент времени Т, если S(T) > X, тогда цена портфеля будет S(T). Если же S(T)<X, то опцион не реализуется и мы имеем X денег. В любом случае в момент времени Т мы будем иметь маx(S(T),X)

Портфель B. Стоит S(T) в момент времени T.

Следовательно для момента времени Т портфель А будет не дешевле, чем портфель В.

Отсюда (из-за невозможности арбитража) следует, что это должно быть справедливо и для произвольного момента времени. Последнее означает, что

c + X exp(-r(T-t)) >= S

или

c > S - X exp(-r(T-t))

или

c >max (S - X exp(-r(T-t),0)

Что и требовалось доказать.

Нижние границы для put опионов на бездивидентную акцию

X exp(-r(T-t)) - S <= p

Пример.

Пусть S = 37$, X=40$, r=5%, T-t = 0.5 year и пусть p = 1.0$

Тогда

X exp(-r(T-t)) - S = 40*exp(-0.05*0.5) - 37 = 2.01$

Арбитражер занимает 38$ на 6 месяцев, покупает на них акцию и put опцион. Через 6 месяцев он должен вернуть денег 38*exp(0.05*0.5) = 38.96. Если акция стоит меньше 40, то он реализует опцион и продает свою акцию по 40$. В результате его доход составит

40 - 38.96 = 1.04

Если же акции стоят больше 40, например 42, то он не реализует опцион, а продает акцию и получает 42 - 38.96 = 3.04

Формальное док-во

Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция

Портфель D. Деньги в размере X exp(-r(T-t)).

Первый портфель.Если S(T) < X, то портфель стоит X. Если же S(T) > X, то портфель стоит S(T)

В любом случае он стоит маx(S(T),X).

Второй портфель в момент T стоит X

Следовательно для произвольного момента времени t имеем

p + S > X exp(-r(T-t))

или

p > X exp(-r(T-t)) – S

или

p > max (X exp(-r(T-t)) – S,0)

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

Если инвестор обладает Американским call на на бездивидентную акцию, то преждевременное исполнение не всегда является наиболее оптмальной стратегией.

Пример. Пусть в какой-то момент времени S = 50 при X = 40. Тогда возникает желание реализовать опцион и получить доход. Однако это не всегда правильное решение. Предположим инвестору нужна еще и акция, которую он собирается держать больше чем 1 месяц. В этом

случае лучшей является стратегия держать опцион до конца.

Портфель E. один Американский call и деньги X exp(-r(T-t))

Портфель F. Одна акция

В момент T денег станет X, а в момент tau < T их будет X exp(-r(T-tau)). Если в момент времени tau реализовать опцион то портфель E будет стоить

S – X + X exp(-r(T-tau))

И это естественно всегда меньше, чем S

Если же дождаться окончания опциона, то стоить портфель E будет

маx(S(T),X) , что уже не меньше чем цена портфеля F.

Величина портфеля F всегда равна S(T) И всегда имеется шанс, что S(T) < X . Поэтому обладание портфелем E всегда лучше, чем F.

Отсюда возникает гипотеза, что С = с

Действительно. Ранее было показано, что

c > S - X exp(-r(T-t))

отсюда. Так как с <= С

С > S - X exp(-r(T-t))

Так как r > 0, то

С > S - X

Если было бы оптимально реализовать опцион до момента окончания, то С должно = S – X, но

раньше времени не имеет смысла реализовывать.

Преждевременное исполнение put на бездивидентную акцию.

Такая стратегия может быть и оптимальной

Рассмотрим пример.

Пусть S = 0, X = 10. Тогда опцион имеет смысл реализовать, так как меньше 0 стоимость акции все равно уже не будет.

Портфель G. один Американский put и одна акция

Портфель H. деньги в размере X exp(-r(T-t))

Если реализовать опцион в момент tau < T, то стоимость портфеля G будет X, в то время как портфель H стоит только

X exp(-r(T-tau))

В момент T портфель G стоит

маx(S(T),X).

А портфель H стоит только X.

Put & Call Паритет

Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))

Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция

В момент Т оба портфеля стоят

маx(S(T),X).

Значит (в силу невозможности арбитража) они должны быть равны и в произвльный момент t. Итак

c + X exp(-r(T-t)) = p + S (1)

Соотношение между ценами American call & Put

Put & Call Паритет имеет место только для Европейских опционов, однако понятно, что

P > p это следует из (1) и

P > c + X exp(-r(T-t)) – S

Так как с = С, то

P > С + X exp(-r(T-t)) – S

Или

С - P < S - X exp(-r(T-t)) (2)

Связь между С и P

Портфель I. Один Eвропейский call и деньги в размере X

Портфель J. Один Американский put и одна акция

Инвестируем X из первого портфеля под безрисковый процент r. Ecли второй портфель не реализовать до момента времени T, то в момент Т он будет стоить

маx(S(T),X).

А первый портфель будет

маx(S(T),X) + Xexp(r(T-t)) – X

что заведомо больше, чем первый портфель. Пусть второй портфель реализован раньше, чем T Это означает, что он превосходил X в момент времени tau. А первый портфель в этот момент стоил

Xexp(r(tau - t)),

что также больше чем второй портфель

Итак

c + X > P + S

или ( с = С)

С + X > P + S

Или

С – P > S – X

Комбинируя с (2), получим

S – X < С – P < S - X exp(-r(T-t))

Эффект дивидентов

Изменим портфель А с учетом выплат дивидентов в размере D

Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере D +X exp(-r(T-t))

Портфель B Одна акция.

Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что

c > S – D - X exp(-r(T-t))

Теперь получим соответствующее неравенство для Европейского put опциона.

Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция

Портфель D Деньги в размере D + X exp(-r(T-t)).

Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что

p > D + X exp(-r(T-t)) – S

Call&Put Paritet

C + D + X exp(-r(T-t)) = p+S

Лекция 4. Модель поведения цен акций.

Винеровском процесс.

Случайный процесс

называется процессом с независимыми приращениями если для любых моментов времени

случайные величины

независимы.

Процесс называется Гауссовским , если все его конечномерные распределения нормальные.

Гауссовский однородный процесс с независимымы приращениями называется винеровским (или процессом Броуновского движения)

Модели поведения цен акций обычно выражают в терминах так называемого Винеровского процесса. Винеровский процесс – частный случай Марковких процессов. Поведение случайной переменной, следующей Винеровскому процессу можно представить как изменение ее величины за бесконечно маленький интервал времени. Пусть Dt – небольшой интервал времени. Определим Dz как изменение z за время Dt.

Существуют два основных свойства, которым должно удовлетворять Dz для процесса z , который является Винеровским.

1. Dz связано с Dt соотношением

Dz = e Ö(Dt)

где e - случайная величина со стандартным нормальным распределением

Величины Dz для двух различных интервалов времени стохастически независимы.

Из своства 1. Следует, что

E[Dz] = 0

D[Dz] = Dt;

Из свойства 2 вытекает, что процесс z – Марковский.

Рассмотрим измениние величины z за относительно продолжительный период времени T.

z(T) – z(0)

Из свойств винеровского процесса и бесграничной делимости нормального распределения следует, что оно может быть представлено как сумма изменений за N небольших интервалов длины Dt, где N = [T/Dt];

Итак

z(T) – z(0) = å e Ö(Dt).

Здесь e - независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением.

E[z(T) – z(0)] = 0

D[z(T) – z(0)] = NDt = T

Винеровский процесс это предельный процесс при Dt -> 0, что будем записывать как

dz = e Ödt

Обобщенный Винеровский процесс.

Обобщенным Винеровским процессом для переменной x называется процесс определяемый как.

dx = a dt + b dz

a носит название коэффициента сноса, а b – диффузии.

Для лучшего понимания записей такого рода рассмотрим отдельно слагаемые правой части.

Без второго слагаемого получим обыкновенное дифференциальное уравнение

dx = a dt

или

dx/dt = a

решение которого

x = x0 + at

здесь x0- начальное значение процесса. Последнее соотношение означает, что за время T , x увеличится на величину aT.

Второй слагаемое это b раз Винеровский процесс. За промежуток времени Dt изменение x составит:

Dx = aDt + b e Ö(Dt).

Так как e - стандартная нормальная случайная величина, то Dx также имеет нормальное распределение со среднем

E[Dx ] = aDt

и дисперсией

D[Dx ] = b^2Dt

Процесс Ито.

Обобщенный Винеровский процесс у которого коэффициенты сноса и диффузии могут зависить от времени и состояния называются процессами Ито

dx = a(x,t) dt + b a(x,t) dz

Процесс для цен акций.

Предположим, что процесс цены акций следует обобщенному Винеровскому процессу, т.е. имеет постоянный снос и постоянную диффузию. Однако, это не совсем адекватное предположение. Действительно, пусть цена акции 10$ и инвестор ожидает роста 14%. Естественно ожидать 14% и если цена акции станет 50$. Ясно, что предположение о постоянном сносе требует изменения на то, что ожидаемый рост пропорционален цене акции - Sm где m некоторый постоянный параметр.

Приращение цены акции за небольшой промежуток времени составит mSDt. Если предположить, что поведение цены акций не случайно мы получим следующее соотношение

Или

откуда

где S0 – цена акции в момент времени 0

На практике поведение цены акций имеет случайность. И разумным предположением можно считать, что дисперсия составляет некоторый процент от текущей цены акции. Определим s^2 уровень пропорционального изменения цены акции. Это означает, что s^2S^2Dt – дисперсия изменения цены акции за интервал времени Dt. Итак мы приходим к уравнению

Или

Уравнение (1) это наиболее широко применяемая модель поведения цен акций. Эту модель часто называют геометрическим Броуновским движением.

Дискретная версия модели будет

Из (2) видно, что

- нормально распределенная случачайная величина

На этом основывается моделирование поведения цен акций методом Монте-Карло.

Предположим, что волатильность составляет 20% в год. И ожидаемый уровень роста составляет 14% в год. Пусть Dt = 0.01 Тогда

Траектория цены акции может быть смоделирована использованием датчика стандартного нормального распределения f(0,1), а именно если случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина h = 0.0014 + 0.02x также будет иметь нормальное распределение, но уже с параметрами

Предположим, что в настоящее время цена акции составляет 20$, тогда приращение цены акции за время Dt = 0.01 составит DS = 20 * h.

Биномиальная модель.

Довольно часто для оценки цен акций, или производных финансовых инструментов применяются так называемые Биномиальные модели.

Под Биномиальной моделью понимают следующее. Предположим, что в начальный момент времени цена акции составляет S. Тогда через время Dt она может оказаться в состоянии Su с вероятность p или в Sd с вероятность 1-p.

Еще через время Dt она может оказаться в состоянии Suu или Sud или Sdu или Sdd и так далее

Suu

S Sud

Sdu

Sdd

Переменные u,d и p выбираются такими, чтобы процент ожидаемого роста составил mDt и уровень изменения дисперсии s^2Dt. Одним из возможных путей сделать это – положить

Нетрудно убедиться, что при Dt->0 Биномиальная модель стремится к модели геометрического Броуновского движения.

Анализ Блэка-Шольца

В 1970 году Блэка и Шольц сделали важнейший прорыв в решении дифференциальных уравнений, описывающих поведение цены производного финансового инструмента от цены базового актива. Одним из основных математических инструментов, при этом явилась так называемая

Лемма Ито

Пусть случайный процесс x следует процессу Ито

dx = a(x,t) dt + b(x,t) dz

И пусть G(x,t) – функция от x и t

Тогда

Таким образом процесс для G (x,t) также Ито процесс со сносом

И коэффициентом диффузиии

Для описания поведения акции нами был предложен процесс (1)

Из леммы Ито мы получим, что для процесса G(S,t)

В частности для процесса изменения цен форвардного контракта

Будем иметь

В результате получим

Или

Применение к логарифму цены

Пусть теперь G(x,t) = lnS

Так как

Следовательно

Логнормальное свойство цен акций

Случайная величина имеет логнормальное распределение если логарифим сл. величины имеет нормальное распределение. Из формулы (2) следует, что изменение за время от t до T логарифма G имеют нормальное распределение с математическим ожиданием

И дисперсией

Или это можно записать так

Или

Отсюда следует, что само S(T) имеем логнормальное рапределение.

Случайная величина, которая имеет логнормальное распределение, принимает значения от 0 до бесконечности. Из свойств нормального и логнормального распределения следует, что математическое ожидание случайной величины S(t) равно

И диспресия S(t) равна

Логнормальное свойство цен акций может быть использовано для получения информации о распределении непрерывно начисляемой доходности h акции.

Действительно, определим годовой начисляемый доход по акции равным h. Или

Отсюда

Так как ln(S(T)) – ln(S) = ln(S(T)/S), то из формул (3) и (4) следует,что h имеет нормальное распределение с параметрами

Оценивание волатильности из исторических данных.

Пусть n+1 Количество наблюдений

S(i) – цена акции в конце i-го интервала времени

t - длина интервала времени в годах.

Обозначим через u(i) = ln(S(i)/S(i-1))

Так как S(i) = S(i-1)exp(u(i)), то u(i) – можно рассматривать как непрерывно начисляемая доходность, но не привиденная к годовым, в единицу интервала между наблюдениями. В качестве оценки волатильности обычно используют следующую формулу

Но чуть ранее мы показали, что ln(S(T)/S имеет нормальное распределение с дисперсией s^2*(T-t), поэтому стандартное отклонение для u(i) будет равно s*sqrt(t). Отсюда следует, что само s может быть оцененно как

Стандартная ошибка оценки составляет

Пример. Рассмотрим последовательность цен на акции за 20 дней. Пусть Su(i) = 0.09531 и Su^2(i)= 0.00333. Тогда оценка стандартного отклонения (дневного) будет

Sqrt(0.00333/19 – 0.09531^2/380) = 0.0123

Предположим, что время измеряется в торговых днях, тогда в год 250 рабочих дней т.е. t=1/250. Отсюда оценка годовой волатильности будет

0.0123*sqrt(250) = 0.194 или 19.4 процента.

Стандартная ошибка составит 0.194/sqrt(2*20) =0.031 или 3.1 процента.

Вычисление цены опциона с помощью простой биномиальной модели.

Вычисление цены опициона рассмотрим на примере Европейского опициона. Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию. Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0.

Рассмотрим портфель состоящий из длинной позиции в a акций и короткой позиции из одного call опциона. Тогда стоимость портфеля составит 22a-1, если цена акции будет 22, и 18a если цена акции упадет до 18$. При a=0.25 эти две величины совпадают

18a = 22a-1 = 4.5. При таком a=0.25 наш портфель становится безрисоковым. В начальный момент времени величина портфеля равна

20*0.25-f = 5-f

Где f – цена опциона. Безрисоквый портфель должен быть и относительно безрисокового вложения в государтвенный ценный бумаги. Предположим, что величина безрисовой доходности составляет 1 процент в месяц, тогда

1.01(5-f)=4.5

отсюда

f = 5 – 4.5/1.01 = 0.5445

Это и есть текущая цена call опциона. Удивительно то, что при этом никак не использовались вероятности перехода в рассмотренный два состояния.

Дифференциальное уравнение Блэка-Шольца

Будем использовать следующие предположения при выводе и решении дифференциального уравнения Блэка-Шольца

- Цена акции меняется согласно случайного процесса

с постоянными m и s.

Разрешена короткая продажа.

Транзакции бесплатны.

Все инстументы в нужном количестве делимы.

Нет выплат дивидентов во время жизни опциона

Невозможен безрисковой арбитраж

Торговля происходит при непрервном времени

Безрисовая доходность r – постоянна для всех матеростей.

Позднее некоторый из сделанных предположений будут ослаблены. В частности m , s и r

могут быть известными функциями от времени.

Итак, пусть f – цена производного финансового инструмента на бозовый актив S. И пусть f – некоторая функция от S и t.

Тогда согласно леммы Ито

Соответственно дискретный версии для формул (1) и (2) будут

Согласно леммы Ито процесс Dz=e * sqrt(Dt) тот же самый. Это приводит к тому, изменением портфеля акции и производного инструмента можно добиться так, что Винеровский процесс сократится. Таким портфелем будет:

Портвель А 1 производный инструмент

Портфель B

акций.

Держатель такого портфеля имеет короткую позицию по финансовой производной и длинную позицию по акциям. Определим P - как стомость такого портфеля

Дискретное изменение его стоимости составит

Подставляя выражения (3) в выражение (4) получим

Обратим внимание на то, что Dz-сокращается. Таким образом изменения портфеля можно сделать безрисковым. Из сделанных выше предположений об отсутствии арбитража имеем

DP=rPDt.

Вычитая последнее выражение из формул (4) и (5) получим

Или

Полученное дифференициальное уравнение и есть уравнение Блэка-Шольца. Оно имеет много решений в соответствии различным производным инструментам на базовый актив S. Учет граничных условий позволяет найти частные решения. Например в случае Eвропейского call опциона эти граничные условия будут

f = max(S-X,0) при t=T

а для put опциона

f = max(X-S,0) при t=T

В качестве примера можно рассмотреть форвардный контракт на бездивидентную акцию. Мы уже знаем, что величина форфардного контракта

f = S – Kexp(-r(T-t))

где К – цена открытия форфардного контракта.

Тогда

¶f/¶t=-rKexp(-r(T-t))

¶f/¶S = 1

¶^2f/¶S^2 =0

Подстановка в левую часть (6) дает

-rKexp(-r(T-t)) +rS

и это должно быть равно rf, но это так и есть.

Риск-нейтральные вычисления

Риск-нейтральные вычисления без всякого сомнения являются наиболее важным средством для анализа финансовых производных. Это возникает из одного ключевого свойства дифференциального уравнения (6). Свойство это в том, что уравнение не включает в себя рисковую переменную. Переменные участвующие в уравнении это текущая цена акции, время, волатильность, безрисковая доходность. Все они не зависят от риска.

Уравнение Блэка-Шольца не было бы независимым от риска если бы оно включало в себя ожидаемую доходность по акции m, так как m может зависить от риска. Но к счастью m сократилось при выводе. Но если рисковые переменные не входят в уравнение, то они не влияют на его решение. Однако некоторое множество рисковых переменных может входить в f, однако можно сделать одно простое предположение,а имеено все инвесторы находятся в одинаковых условиях и все их инвестиции предполагаются риск-нейтральны. В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r и поэтому все текущие величины будущих выплат могут быть получены дисконтированием их ожидаемых значений (математического ожидания) на величину безрисковой доходности.

Для примера вернемся к биномиальной модели получения цены call опциона, которую мы рассматривали ранее.

Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию. Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0.

Напомним, что мы вычислии цену опциона 0.5445 без использования вероятностей перехода цены акции в 22$ и 18$.

Сейчас мы покажем как можно использовать предположения о риск-нейтральном мире для получения этой же цены.

В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r = 1% в месяц. Вероятность p, того что акция будет стоить 22$ должна удовлетворять соотношению

22p+18(1-p) = 20*0.01

отсюда p = 0.55

Математическое ожидание call опциона в риск нейтральном мире составит

0.55*1+0.45*0 = 0.55

Тогда дисконтирование к сегоднешнему времени приводит

0.55/1.01 = 0.5445

И это то же самое значение, что и было получено ранее

Применение к форвардному контракту

Мы также ранее получали величину форвардного контрата на бездивидентную акцию. Теперь мы ее получим заново, изпользуя понятие риск-нейтрального мира.

Пусть безрисковая доходность постоянна для всех матеростей и равна r. Рассмотрим длинный форвардный контракт на время T с ценой открытия K. Тогда выплаты в момент истечения составят

S(T) – K

C точки зрения риск нейтральности величина форвардного контракта в момент времени t есть математическое ожидание его величины в риск нейтральном мире дисконтированное к времени t. Таким образом

f = exp(-r(T-t)) E[S(T) – K]

Здесь символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире

f = exp(-r(T-t))( E[S(T)] – K)

Или

f = exp(-r(T-t)) E[S(T)] - exp(-r(T-t))K

Так как

E[S(T)] = Sexp(r(T-t))

То подстановка этого выражения нам дает

f =S-Kexp(-r(T-t))

что и требовалость доказать. Мы также показывали, что последнее выражение удовлетворяет уравнению Блэка-Шольца.

Решение дифференициального уравнения Блэка-Шольца для Европейских опционов.

Математическое ожидание выплат по call опциону в момент окончания составит

E[max(S(T)-K,0],

Где символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире

Из соображений риск нейтральности для цены c Европейского call опциона имеем

с=exp(-r(T-t)) E[max(S(T)-K,0]

В риск нейтральном мире вероятностное распределение ln(S(T)) – нормальное

ln(S(T))

это та же самая формула (3), что и вначале лекции, но заменой m на r.

Вычисляя математическое ожидание E[max(S(T)-K,0]

Получим

c = SN(d1)-Xexp(-r(T-t))N(d2)

Где

D1=[ln(S/X)+(r+s^2/2)(T-t)]/ s * sqrt(T-t)

D2=[ln(S/X)+(r-s^2/2)(T-t)]/ s * sqrt(T-t)=d1- s * sqrt(T-t)

Где N(x) – функция распределения стандартного нормального закона

Так как с=С это есть также цена и американского опциона

Цена европейского put можно получить из call-put pariteta

p = Xexp(-r(T-t))N(-d2)- SN(-d1)

К сожалению нет точной формулы для вычисления Американского put опциона

Имплайд волатильность.

Один из параметров формулы цены опциона не является наблюдаемым. Это параметр волатильности. Ранее мы получали оценку волатильности по историческим данным. Однако, так как цены опционов присутствуют на рынке (торги то идут) , то можно получить оценку волатильности непосрдственно из формулы цены опциона, обращая ее. Полученная волатильность носит название Имплайд волатильности. Она может быть в частности использована для получения цен опционов, которые на рынке не представлены

Лекция 7 Греческие буквы

Финансовые институты продавая опционы клиентам сталкиваются с необходимостью управления возможными рисками. Если, например, опцион на обменный курс, то финансовый институт может нейтрализовать этот риск покупкой валюты. Однако это не всегда возможно, так как опцион может выписан на товар не присутствующий непосредственно на бирже. В этом случае хеджирование может быть затруднено. В этой лекции мы рассмотрим несколько альтернативных способ страхования. Один из них носит название Греческие буква или просто

Транзакции проводятся бесплатно.

Все торговый доходы и потери имеют один и тот же рэйт.

Свободно возможен заем и наоборот кредитование под безрисковую доходность.

Участники рынка отслеживают и при первой возможности реализуют арбитражные операции.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:

S – Текущая цена акции

X – страйк

T – время окончания (expiration date)

t – текущее время

S(T) - цена акции в момент окончания контракта

r – безрисковая доходность

С – цена Американского call опциона

P – цена Американского put опциона

с – цена Европейского call опциона

p – цена Европейского put опциона

Пусть также r > 0

III. Верхняя и нижняя оценка стоимости опциона.

Верхняя граница.

Так как Американский и Европейский call опцион дает право купить акцию по фиксированной цене, то естественно

C <= S и с <= S

Если это не так, то арбитражеры моментально бы этим воспользовались, покупая акции и продавая call опционы.

P <= X и p <= X

Для Европейского опциона последнее выражение можно усилить, а именно

P <= X exp(-r(T-t))

Нижние границы для call опионов на бездивидентную акцию

S - X exp(-r(T-t)) <= c,C

Поясним почему это имеет место сначала на числовом примере, а потом дадим доказательство.

Формальное док-во

Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))

Портфель B Одна акция.

Портфель B. Стоит S(T) в момент времени T.

Следовательно для момента времени Т портфель А будет не дешевле, чем портфель В.

c + X exp(-r(T-t)) >= S

или

c > S - X exp(-r(T-t))

или

c >max (S - X exp(-r(T-t),0)

Что и требовалось доказать.

Нижние границы для put опионов на бездивидентную акцию

X exp(-r(T-t)) - S <= p

Пример.

Пусть S = 37$, X=40$, r=5%, T-t = 0.5 year и пусть p = 1.0$

Тогда

X exp(-r(T-t)) - S = 40*exp(-0.05*0.5) - 37 = 2.01$

40 - 38.96 = 1.04

Если же акции стоят больше 40, например 42, то он не реализует опцион, а продает акцию и получает 42 - 38.96 = 3.04

Формальное док-во

Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция

Портфель D. Деньги в размере X exp(-r(T-t)).

Первый портфель.Если S(T) < X, то портфель стоит X. Если же S(T) > X, то портфель стоит S(T)

В любом случае он стоит маx(S(T),X).

Второй портфель в момент T стоит X

Следовательно для произвольного момента времени t имеем

p + S > X exp(-r(T-t))

или

p > X exp(-r(T-t)) – S

или

p > max (X exp(-r(T-t)) – S,0)

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

случае лучшей является стратегия держать опцион до конца.

Портфель E. один Американский call и деньги X exp(-r(T-t))

Портфель F. Одна акция

S – X + X exp(-r(T-tau))

И это естественно всегда меньше, чем S

Если же дождаться окончания опциона, то стоить портфель E будет

маx(S(T),X) , что уже не меньше чем цена портфеля F.

Отсюда возникает гипотеза, что С = с

Действительно. Ранее было показано, что

c > S - X exp(-r(T-t))

отсюда. Так как с <= С

С > S - X exp(-r(T-t))

Так как r > 0, то

С > S - X

Если было бы оптимально реализовать опцион до момента окончания, то С должно = S – X, но

раньше времени не имеет смысла реализовывать.

Преждевременное исполнение put на бездивидентную акцию.

Такая стратегия может быть и оптимальной

Рассмотрим пример.

Пусть S = 0, X = 10. Тогда опцион имеет смысл реализовать, так как меньше 0 стоимость акции все равно уже не будет.

Портфель G. один Американский put и одна акция

Портфель H. деньги в размере X exp(-r(T-t))

Если реализовать опцион в момент tau < T, то стоимость портфеля G будет X, в то время как портфель H стоит только

X exp(-r(T-tau))

В момент T портфель G стоит

маx(S(T),X).

А портфель H стоит только X.

Put & Call Паритет

Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))

Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция

В момент Т оба портфеля стоят

маx(S(T),X).

Значит (в силу невозможности арбитража) они должны быть равны и в произвльный момент t. Итак

c + X exp(-r(T-t)) = p + S (1)

Соотношение между ценами American call & Put

Put & Call Паритет имеет место только для Европейских опционов, однако понятно, что

P > p это следует из (1) и

P > c + X exp(-r(T-t)) – S

Так как с = С, то

P > С + X exp(-r(T-t)) – S

Или

С - P < S - X exp(-r(T-t)) (2)

Связь между С и P

Портфель I. Один Eвропейский call и деньги в размере X

Портфель J. Один Американский put и одна акция

маx(S(T),X).

А первый портфель будет

маx(S(T),X) + Xexp(r(T-t)) – X

Xexp(r(tau - t)),

что также больше чем второй портфель

Итак

c + X > P + S

или ( с = С)

С + X > P + S

Или

С – P > S – X

Комбинируя с (2), получим

S – X < С – P < S - X exp(-r(T-t))

Эффект дивидентов

Изменим портфель А с учетом выплат дивидентов в размере D

Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере D +X exp(-r(T-t))

Портфель B Одна акция.

Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что

c > S – D - X exp(-r(T-t))

Теперь получим соответствующее неравенство для Европейского put опциона.

Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция

Портфель D Деньги в размере D + X exp(-r(T-t)).

Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что

p > D + X exp(-r(T-t)) – S

Call&Put Paritet

C + D + X exp(-r(T-t)) = p+S

Лекция 4. Модель поведения цен акций.

Винеровском процесс.

Случайный процесс

называется процессом с независимыми приращениями если для любых моментов времени

случайные величины

независимы.

Процесс называется Гауссовским , если все его конечномерные распределения нормальные.

1. Dz связано с Dt соотношением

Dz = e Ö(Dt)

где e - случайная величина со стандартным нормальным распределением

Величины Dz для двух различных интервалов времени стохастически независимы.

Из своства 1. Следует, что

E[Dz] = 0

D[Dz] = Dt;

Из свойства 2 вытекает, что процесс z – Марковский.

Рассмотрим измениние величины z за относительно продолжительный период времени T.

z(T) – z(0)

Итак

z(T) – z(0) = å e Ö(Dt).

Здесь e - независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением.

E[z(T) – z(0)] = 0

D[z(T) – z(0)] = NDt = T

Винеровский процесс это предельный процесс при Dt -> 0, что будем записывать как

dz = e Ödt

Обобщенный Винеровский процесс.

Обобщенным Винеровским процессом для переменной x называется процесс определяемый как.

dx = a dt + b dz

a носит название коэффициента сноса, а b – диффузии.

Для лучшего понимания записей такого рода рассмотрим отдельно слагаемые правой части.

Без второго слагаемого получим обыкновенное дифференциальное уравнение

dx = a dt

или

dx/dt = a

решение которого

x = x0 + at

Второй слагаемое это b раз Винеровский процесс. За промежуток времени Dt изменение x составит:

Dx = aDt + b e Ö(Dt).

Так как e - стандартная нормальная случайная величина, то Dx также имеет нормальное распределение со среднем

E[Dx ] = aDt

и дисперсией

D[Dx ] = b^2Dt

Процесс Ито.

dx = a(x,t) dt + b a(x,t) dz

Процесс для цен акций.

Или

откуда

где S0 – цена акции в момент времени 0

Или

Дискретная версия модели будет

Из (2) видно, что

- нормально распределенная случачайная величина

На этом основывается моделирование поведения цен акций методом Монте-Карло.

Биномиальная модель.

Еще через время Dt она может оказаться в состоянии Suu или Sud или Sdu или Sdd и так далее

Suu

S Sud

Sdu

Sdd

Анализ Блэка-Шольца

Лемма Ито

Пусть случайный процесс x следует процессу Ито

dx = a(x,t) dt + b(x,t) dz

И пусть G(x,t) – функция от x и t

Тогда

Таким образом процесс для G (x,t) также Ито процесс со сносом

И коэффициентом диффузиии

Для описания поведения акции нами был предложен процесс (1)

Из леммы Ито мы получим, что для процесса G(S,t)

В частности для процесса изменения цен форвардного контракта

Будем иметь

В результате получим

Или

Применение к логарифму цены

Пусть теперь G(x,t) = lnS

Так как

Следовательно

Логнормальное свойство цен акций

И дисперсией

Или это можно записать так

Или

Отсюда следует, что само S(T) имеем логнормальное рапределение.

И диспресия S(t) равна

Действительно, определим годовой начисляемый доход по акции равным h. Или

Отсюда

Так как ln(S(T)) – ln(S) = ln(S(T)/S), то из формул (3) и (4) следует,что h имеет нормальное распределение с параметрами

Оценивание волатильности из исторических данных.

Пусть n+1 Количество наблюдений

S(i) – цена акции в конце i-го интервала времени

t - длина интервала времени в годах.

Обозначим через u(i) = ln(S(i)/S(i-1))

Стандартная ошибка оценки составляет

Sqrt(0.00333/19 – 0.09531^2/380) = 0.0123

0.0123*sqrt(250) = 0.194 или 19.4 процента.

Стандартная ошибка составит 0.194/sqrt(2*20) =0.031 или 3.1 процента.

Вычисление цены опциона с помощью простой биномиальной модели.

20*0.25-f = 5-f

1.01(5-f)=4.5

отсюда

f = 5 – 4.5/1.01 = 0.5445

Дифференциальное уравнение Блэка-Шольца

Будем использовать следующие предположения при выводе и решении дифференциального уравнения Блэка-Шольца

- Цена акции меняется согласно случайного процесса

с постоянными m и s.

Разрешена короткая продажа.

Транзакции бесплатны.

Все инстументы в нужном количестве делимы.

Нет выплат дивидентов во время жизни опциона

Невозможен безрисковой арбитраж

Торговля происходит при непрервном времени

Безрисовая доходность r – постоянна для всех матеростей.

Позднее некоторый из сделанных предположений будут ослаблены. В частности m , s и r

могут быть известными функциями от времени.

Тогда согласно леммы Ито

Соответственно дискретный версии для формул (1) и (2) будут

Портвель А 1 производный инструмент

Портфель B

акций.

Дискретное изменение его стоимости составит

Подставляя выражения (3) в выражение (4) получим

DP=rPDt.

Вычитая последнее выражение из формул (4) и (5) получим

Или

f = max(S-X,0) при t=T

а для put опциона

f = max(X-S,0) при t=T

f = S – Kexp(-r(T-t))

где К – цена открытия форфардного контракта.

Тогда

¶f/¶t=-rKexp(-r(T-t))

¶f/¶S = 1

¶^2f/¶S^2 =0

Подстановка в левую часть (6) дает

-rKexp(-r(T-t)) +rS

и это должно быть равно rf, но это так и есть.

Риск-нейтральные вычисления

Для примера вернемся к биномиальной модели получения цены call опциона, которую мы рассматривали ранее.

Напомним, что мы вычислии цену опциона 0.5445 без использования вероятностей перехода цены акции в 22$ и 18$.

Сейчас мы покажем как можно использовать предположения о риск-нейтральном мире для получения этой же цены.

22p+18(1-p) = 20*0.01

отсюда p = 0.55

Математическое ожидание call опциона в риск нейтральном мире составит

0.55*1+0.45*0 = 0.55

Тогда дисконтирование к сегоднешнему времени приводит

0.55/1.01 = 0.5445

И это то же самое значение, что и было получено ранее

Применение к форвардному контракту

S(T) – K

f = exp(-r(T-t)) E[S(T) – K]

Здесь символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире

f = exp(-r(T-t))( E[S(T)] – K)

Или

f = exp(-r(T-t)) E[S(T)] - exp(-r(T-t))K

Так как

E[S(T)] = Sexp(r(T-t))

То подстановка этого выражения нам дает

f =S-Kexp(-r(T-t))

Решение дифференициального уравнения Блэка-Шольца для Европейских опционов.

Математическое ожидание выплат по call опциону в момент окончания составит

E[max(S(T)-K,0],

Где символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире

Из соображений риск нейтральности для цены c Европейского call опциона имеем

с=exp(-r(T-t)) E[max(S(T)-K,0]

В риск нейтральном мире вероятностное распределение ln(S(T)) – нормальное

ln(S(T))

это та же самая формула (3), что и вначале лекции, но заменой m на r.

Вычисляя математическое ожидание E[max(S(T)-K,0]

Получим

c = SN(d1)-Xexp(-r(T-t))N(d2)

Где

D1=[ln(S/X)+(r+s^2/2)(T-t)]/ s * sqrt(T-t)

D2=[ln(S/X)+(r-s^2/2)(T-t)]/ s * sqrt(T-t)=d1- s * sqrt(T-t)

Где N(x) – функция распределения стандартного нормального закона

Так как с=С это есть также цена и американского опциона

Цена европейского put можно получить из call-put pariteta

p = Xexp(-r(T-t))N(-d2)- SN(-d1)

К сожалению нет точной формулы для вычисления Американского put опциона

Имплайд волатильность.

Лекция 7 Греческие буквы

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

II Предположения и обозначения.