Греческие буквы

Пример. Финансовый институт продает за 300 000$ опцион call на поставку 100 000 бездивидентных акций. Предположим что:

S = 49$ , X=50, r=0.05, s = 0.2 , m = 0.13 и T=0.3846 это 20 недель

Теоретическая цена такого опциона по формуле Блэка Шольца составляет 240 000$. Однако финансовый институ продал его на 60 000 больше чем теоретическая цена. Это приводит его к необзодимости хеджирования.

Голая и покрытая позиция.

Это наиболее простые стратегии хеджирования.

Первая из них состоит в том, что делать ничего и не надо. Это действительно хорошо сработает, если цена акции через 20 недель окажется ниже 50$. Опцион не будет реализован и инсититут  как получил свои 300 000 так и с ними и останется. Однако, если цена акции в момент окончания опциона станет выше, например 60$, то голая стратегия приведет к потерям. Так как опцион станет стоить 1 000 000 = 60*100 000 – 50 * 100 000, что значительно привосходит полученный вначале 300 000.

В качестве альтернативы рассмотрим стратегию покрытой позиции. Она состоит в покупке 100 000 акций в при продажи опциона. Если опцион реализуют, то эта стратегия действительно хороша. Однако, если цена акции упадет скажем до 40, то финансовый институт теряет в конце 900 000 = 100 000 * 49 – 100 00 * 40, что также больше, чем 300 000, полученные сначала.

Однако, все-таки голая и покрытая позиции обеспечивают удовлетворительное хеджирование. Если предположения сделанные при выводе формулы Блэка Шольца верны,  то именно 240 000 является средней ценой по которой надо было совершать сделку. Именно для этой цены стандартное отклонение стоимости опциона и хеджа  равно нулю.

Stop&Loss  стратегия.

Основная идея такой стратегии заключается в том, что финансовый институт выписывая опцион на акцию со страйком X покупает акций на размер опциона. Схема хеджа такова:

Покупка акций как только цена акций начнет превышать X и продажа, как только цены станут ниже Х. То есть последовательное чередование голой и покрытой стратегий. В начальный момент времени цена акции равна S(0) ит размер хеджа будет S(0), если S(0) > X и 0 иначе.

Таким образом общая стоимость выписки опциона и хеджирования будет составлять

Q = max[S(0) – X,0]

И если все корректно, то такая схема будет работать хорошо, вне зависимости то того как меняется цена акций. Более того стоимость хеджирования всегда меньше, чем цена Блэка-Шольца. (см. оценки для цен опционов). Однако, существуют два недостатка такого хеджирования. Во-первых выплаты осуществляются в разное время и должны дисконтироваться к началу. Во-вторых сделки по хеджированию не могут быть точно проходить по цене X.

Дельта хеджирование.

Последнее время многие трейдеры используют более продвинутые схемы страхования заключающиеся в вычислении мер D,Q и Vega

Определение.

D опциона определяется как скорость изменения цены опциона относительно изменения цены базового актива

Другими словами

D = dc/dS

Например если D=0.6 то это означает, что если цена актива изменяется на небольшое значение, то цена опциона изменится на 60% от этой величины.

Пусть цена акции 100$ и цена опциона 10$ Представим, что инвестор, который              продал 20 опционов, т.е.опционов на покупку 2000 акций. Тогда позицию инвсетора следует застраховать покупкой 0.6 * 2000 = 1200 акций. Доходы(потери) по опциону будут стремиться к компенсации потерями (доходами) от акций.

График зависимости

Итак стратегия D хеджирования

-1 производная

D единиц акций.

Для европейского call option короткая позиция в call  требует длинной позиции акциях и, наоборот, длинная позиция с call  требует короткой позиции в акциях в размере N(d1)

Европейский пут.

D = dc/dS =  N(d1) – 1 < 0;

Для европейского put option длинная  позиция в put  требует длинной позиции в акциях, и наоборот, короткая  позиция в put   требует короткой позиции в акциях.

График зависимости  D call от S

График зависимости  D put от S

График зависимости  D put от Матерости

D Портфеля опционов на товар с ценой S  равен сумме D каждого опциона умноженного на количество опционов каждого типа

dП/dS = Sw(i)D (i)

Тета опциона.

Тета опциона или портфеля называется скорость изменения величины портфеля относительно времени, при условии, что все остальное не измнияется.

Q = dП/dt

Для европейского call

Q =S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(d2)

Для европейского put

Q =-S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(-d2)

Тета обычно отрицательна. Это вследствии того, по мере уменьшения времени опцион становится все меньше

График зависимости тета от цены опциона имееет такой вид

График зависимости тета по мере уменьшения матерости

Гамма портфеля

Определение. Гамма портфеля называется вторая производная по цене

Г = d^2/dS^2

Если Гамма маленькая то дельта меняется медленно, что позволяет поддерживать дельта нейтральный портфель довольно спокойно.

Гамма портфеля довольно чувствительна к изменению цены базового актива.

Пусть DS – изменение цены акции за интервал времени Dt. И DП изменение портфеля, тогда

Для дельта нейтрального порфеля

DП = QDt + 0.5 Г DS^2

Гамма нейтральный портфель

Гамма нейтральный портфеля обеспечивает защиту от больших движений в цене базового актива.

Для европейского call и put

Г =N’(d1)/(Sssqrt(T))

График зависимости гамма от S

Графики зависимости гамма от матерости

Гамма тета и дельта портфеля связаны между собой

Подставляя вместо призводных значения букв получим

Q + rSD + 0.5s^2S^2Г = rП

для дельта нейтрального портфеля

+ 0.5s^2S^2Г = rП

Отсюда видно, что при увеличении положительного тета Гамма уменьшается и отрицательно

Vega

Мы ранее предполагали, что волатильность постоянна, понятно, что это конечно не так

Определение. Вега портфеля это скорость изменения величины портфеля относительно изменения волатильности

Vega = dD/ds

Если вега большая по абсолютной величине, то портфель очень чуствителен к изменения волатильности

Позиция в опционе в размере –V/Vo, где Vo – Vega опциона делает портфель vega нейтральным

Для европейского call и put

V =S * sqrt(T) * N’(d1)

График зависимост vegi от цены опциона

Rho портфеля

Некоторые трейдеры вычисляют еще и Rho портфеля

Rho = dП/dr

Это показывает чуствительность портфеля по отнрошению к изменению r

Для европейского call

rho = X T exp(-rT) N(d2)

Для европейского put

rho = -X T exp(-rT) N(-d2)

Итоговая таблица значений греческих букв для Европеских call и put опционов

в модели Блэка-Шольца

Пример. Финансовый институт продает за 300 000$ опцион call на поставку 100 000 бездивидентных акций. Предположим что:

S = 49$ , X=50, r=0.05, s = 0.2 , m = 0.13 и T=0.3846 это 20 недель

Теоретическая цена такого опциона по формуле Блэка Шольца составляет 240 000$. Однако финансовый институ продал его на 60 000 больше чем теоретическая цена. Это приводит его к необзодимости хеджирования.

Голая и покрытая позиция.

Это наиболее простые стратегии хеджирования.

Первая из них состоит в том, что делать ничего и не надо. Это действительно хорошо сработает, если цена акции через 20 недель окажется ниже 50$. Опцион не будет реализован и инсититут  как получил свои 300 000 так и с ними и останется. Однако, если цена акции в момент окончания опциона станет выше, например 60$, то голая стратегия приведет к потерям. Так как опцион станет стоить 1 000 000 = 60*100 000 – 50 * 100 000, что значительно привосходит полученный вначале 300 000.

В качестве альтернативы рассмотрим стратегию покрытой позиции. Она состоит в покупке 100 000 акций в при продажи опциона. Если опцион реализуют, то эта стратегия действительно хороша. Однако, если цена акции упадет скажем до 40, то финансовый институт теряет в конце 900 000 = 100 000 * 49 – 100 00 * 40, что также больше, чем 300 000, полученные сначала.

Однако, все-таки голая и покрытая позиции обеспечивают удовлетворительное хеджирование. Если предположения сделанные при выводе формулы Блэка Шольца верны,  то именно 240 000 является средней ценой по которой надо было совершать сделку. Именно для этой цены стандартное отклонение стоимости опциона и хеджа  равно нулю.

Stop&Loss  стратегия.

Основная идея такой стратегии заключается в том, что финансовый институт выписывая опцион на акцию со страйком X покупает акций на размер опциона. Схема хеджа такова:

Покупка акций как только цена акций начнет превышать X и продажа, как только цены станут ниже Х. То есть последовательное чередование голой и покрытой стратегий. В начальный момент времени цена акции равна S(0) ит размер хеджа будет S(0), если S(0) > X и 0 иначе.

Таким образом общая стоимость выписки опциона и хеджирования будет составлять

Q = max[S(0) – X,0]

И если все корректно, то такая схема будет работать хорошо, вне зависимости то того как меняется цена акций. Более того стоимость хеджирования всегда меньше, чем цена Блэка-Шольца. (см. оценки для цен опционов). Однако, существуют два недостатка такого хеджирования. Во-первых выплаты осуществляются в разное время и должны дисконтироваться к началу. Во-вторых сделки по хеджированию не могут быть точно проходить по цене X.

Дельта хеджирование.

Последнее время многие трейдеры используют более продвинутые схемы страхования заключающиеся в вычислении мер D,Q и Vega

Определение.

D опциона определяется как скорость изменения цены опциона относительно изменения цены базового актива

Другими словами

D = dc/dS

Например если D=0.6 то это означает, что если цена актива изменяется на небольшое значение, то цена опциона изменится на 60% от этой величины.

Пусть цена акции 100$ и цена опциона 10$ Представим, что инвестор, который              продал 20 опционов, т.е.опционов на покупку 2000 акций. Тогда позицию инвсетора следует застраховать покупкой 0.6 * 2000 = 1200 акций. Доходы(потери) по опциону будут стремиться к компенсации потерями (доходами) от акций.

График зависимости

Итак стратегия D хеджирования

-1 производная

D единиц акций.

Для европейского call option короткая позиция в call  требует длинной позиции акциях и, наоборот, длинная позиция с call  требует короткой позиции в акциях в размере N(d1)

Европейский пут.

D = dc/dS =  N(d1) – 1 < 0;

Для европейского put option длинная  позиция в put  требует длинной позиции в акциях, и наоборот, короткая  позиция в put   требует короткой позиции в акциях.

График зависимости  D call от S

График зависимости  D put от S

График зависимости  D put от Матерости

D Портфеля опционов на товар с ценой S  равен сумме D каждого опциона умноженного на количество опционов каждого типа

dП/dS = Sw(i)D (i)

Тета опциона.

Тета опциона или портфеля называется скорость изменения величины портфеля относительно времени, при условии, что все остальное не измнияется.

Q = dП/dt

Для европейского call

Q =S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(d2)

Для европейского put

Q =-S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(-d2)

Тета обычно отрицательна. Это вследствии того, по мере уменьшения времени опцион становится все меньше

График зависимости тета от цены опциона имееет такой вид

График зависимости тета по мере уменьшения матерости

Гамма портфеля

Определение. Гамма портфеля называется вторая производная по цене

Г = d^2/dS^2

Если Гамма маленькая то дельта меняется медленно, что позволяет поддерживать дельта нейтральный портфель довольно спокойно.

Гамма портфеля довольно чувствительна к изменению цены базового актива.

Пусть DS – изменение цены акции за интервал времени Dt. И DП изменение портфеля, тогда

Для дельта нейтрального порфеля

DП = QDt + 0.5 Г DS^2

Гамма нейтральный портфель

Гамма нейтральный портфеля обеспечивает защиту от больших движений в цене базового актива.

Для европейского call и put

Г =N’(d1)/(Sssqrt(T))

График зависимости гамма от S

Графики зависимости гамма от матерости

Гамма тета и дельта портфеля связаны между собой

Подставляя вместо призводных значения букв получим

Q + rSD + 0.5s^2S^2Г = rП

для дельта нейтрального портфеля

+ 0.5s^2S^2Г = rП

Отсюда видно, что при увеличении положительного тета Гамма уменьшается и отрицательно

Vega

Мы ранее предполагали, что волатильность постоянна, понятно, что это конечно не так

Определение. Вега портфеля это скорость изменения величины портфеля относительно изменения волатильности

Vega = dD/ds

Если вега большая по абсолютной величине, то портфель очень чуствителен к изменения волатильности

Позиция в опционе в размере –V/Vo, где Vo – Vega опциона делает портфель vega нейтральным

Для европейского call и put

V =S * sqrt(T) * N’(d1)

График зависимост vegi от цены опциона

Rho портфеля

Некоторые трейдеры вычисляют еще и Rho портфеля

Rho = dП/dr

Это показывает чуствительность портфеля по отнрошению к изменению r

Для европейского call

rho = X T exp(-rT) N(d2)

Для европейского put

rho = -X T exp(-rT) N(-d2)

Итоговая таблица значений греческих букв для Европеских call и put опционов

в модели Блэка-Шольца