ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

                Участника рынка интересует не только (а зачастую и не столько) направление движения рынка, но и скорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность того, что стоимость актива “перешагнет” за “критические” для участника значения. Показателем такой скорости выступает стандартное отклонение цены актива, или, как его еще называют, волатильность. Стандартное отклонение - это мера того, насколько широко разбросаны точки  данных относительно их среднего. Стандартное отклонение свидетельствует о вероятности, с которой цена примет то или иное значение и задает меру отклонения цены актива от некоторой средней величины, т.е. характеризует риск, связанный с данным активом. [Общепринято задавать стандартное отклонение как процент отклонения цены актива от ее средней величины в расчете на год.]

                При анализе ценового риска принято работать не с самой последовательностью цен, а с последовательностью порождаемых ценой доходов в относительных величинах (доходностей). Последовательность доходностей имеет ряд преимуществ по сравнению с последовательностью цен. Во-первых, преобразуя последовательность цен в последовательность доходностей, мы добиваемся большей сравнимости различных последовательностей цен (различных активов); во-вторых, последовательность доходностей отличается большей стабильностью в том смысле, что для нее среднее и дисперсия в большей степени являются стационарными, чем среднее и дисперсия последовательности “необработанных” цен (по крайней мере, так принято считать). Вследствие этого в финансовой деятельности стало общепринятым использовать термин “ожидаемая доходность”, понимая под этим средний процентный доход, связанный с некоторой позицией, и использовать термин “риск”, имея в виду при этом стандартное отклонение процентного дохода, связанного с позицией. Также общепринятым стало относить эти доходности к периоду в один год, независимо от фактической длины базового периода. После этого уже будет уместным интепретировать ожидаемую доходность как среднюю ставку дохода, а риск - как стандартное отклонение ставки дохода (что, вообще говоря, далеко не всегда удобно в случаях, когда инвестиционный горизонт длиннее или короче, чем 1 год).

                Наиболее часто для расчета волатильности используют два приема. Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению, т.е.

, где

- - цена актива в конце i-го периода.

                Второй метод заключается в том, что в качестве переменной величины принимают логарифм отношения последующей цены к цене предыдущей, а именно:

                Первый прием представляет собой не что иное, как начисление процента за базовый период времени, равный 1 (через определенные равные промежутки времени); второй -непрерывное начисление процента. Результаты, получаемые с использованием первого или второго способов, не сильно отличаются друг от друга. Но: в предположении, что стохастический процесс динамики цен является стационарным и что последовательные изменения цен взаимно независимы, цены активов, которыми торгуют на конкурентных рынках, должны подчиняться логнормальному распределению; поэтому относительный доход должен иметь логнормальное распределение, эффективная доходность за базовый период также должна иметь логнормальное распределение со сдвигом влево на единицу, а доходность за базовый период при непрерывном начислении процентов должна иметь нормальное распределение. Поскольку параметры логнормального распределения в силу его асимметричности сложно использовать для статистических оценок, мы в дальнейшем будем использовать непрерывное начисление процента (с целью использования для работы нормального распределения!), поэтому волатильность - это выборочное стандартное отклонение логарифма отношения последней цены к цене предыдущей, выраженное в процентах годовых (стандартное отклонение непрерывной ставки процента):

[% годовых]   Почему корень?

, где

 - m - количество периодов выбранного масштаба в рабочем году (260 для дневного масштаба, 52 - недельного, 12 - месячного, 6 240 - часового, 12 480 для тридцатиминутного и 187 200 для тикового);

- n - размер выборки (длина окна), принятой для расчета волатильности (10, 20, 40, 252 и т.д.).

                Отдельно необходимо поставить вопрос о понятии выборки.

                Из задачи “о блуждании случайной точки” известно, что среднее квадратическое отклонение длинного периода равно произведению среднего квадратического отклонения короткого периода на корень квадратный из числа блужданий. Тогда:

и, наконец, и ,

если под тиком понимать совершение сделки каждые две минуты. Полагая, чторавно текущему среднему спрэду, можно определить , или же по историческому среднему спрэду и исторической волатильности оценить количество совершенных за день сделок.

                Участника рынка интересует не только (а зачастую и не столько) направление движения рынка, но и скорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность того, что стоимость актива “перешагнет” за “критические” для участника значения. Показателем такой скорости выступает стандартное отклонение цены актива, или, как его еще называют, волатильность. Стандартное отклонение - это мера того, насколько широко разбросаны точки  данных относительно их среднего. Стандартное отклонение свидетельствует о вероятности, с которой цена примет то или иное значение и задает меру отклонения цены актива от некоторой средней величины, т.е. характеризует риск, связанный с данным активом. [Общепринято задавать стандартное отклонение как процент отклонения цены актива от ее средней величины в расчете на год.]

                При анализе ценового риска принято работать не с самой последовательностью цен, а с последовательностью порождаемых ценой доходов в относительных величинах (доходностей). Последовательность доходностей имеет ряд преимуществ по сравнению с последовательностью цен. Во-первых, преобразуя последовательность цен в последовательность доходностей, мы добиваемся большей сравнимости различных последовательностей цен (различных активов); во-вторых, последовательность доходностей отличается большей стабильностью в том смысле, что для нее среднее и дисперсия в большей степени являются стационарными, чем среднее и дисперсия последовательности “необработанных” цен (по крайней мере, так принято считать). Вследствие этого в финансовой деятельности стало общепринятым использовать термин “ожидаемая доходность”, понимая под этим средний процентный доход, связанный с некоторой позицией, и использовать термин “риск”, имея в виду при этом стандартное отклонение процентного дохода, связанного с позицией. Также общепринятым стало относить эти доходности к периоду в один год, независимо от фактической длины базового периода. После этого уже будет уместным интепретировать ожидаемую доходность как среднюю ставку дохода, а риск - как стандартное отклонение ставки дохода (что, вообще говоря, далеко не всегда удобно в случаях, когда инвестиционный горизонт длиннее или короче, чем 1 год).

                Наиболее часто для расчета волатильности используют два приема. Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению, т.е.

, где

- - цена актива в конце i-го периода.

                Второй метод заключается в том, что в качестве переменной величины принимают логарифм отношения последующей цены к цене предыдущей, а именно:

                Первый прием представляет собой не что иное, как начисление процента за базовый период времени, равный 1 (через определенные равные промежутки времени); второй -непрерывное начисление процента. Результаты, получаемые с использованием первого или второго способов, не сильно отличаются друг от друга. Но: в предположении, что стохастический процесс динамики цен является стационарным и что последовательные изменения цен взаимно независимы, цены активов, которыми торгуют на конкурентных рынках, должны подчиняться логнормальному распределению; поэтому относительный доход должен иметь логнормальное распределение, эффективная доходность за базовый период также должна иметь логнормальное распределение со сдвигом влево на единицу, а доходность за базовый период при непрерывном начислении процентов должна иметь нормальное распределение. Поскольку параметры логнормального распределения в силу его асимметричности сложно использовать для статистических оценок, мы в дальнейшем будем использовать непрерывное начисление процента (с целью использования для работы нормального распределения!), поэтому волатильность - это выборочное стандартное отклонение логарифма отношения последней цены к цене предыдущей, выраженное в процентах годовых (стандартное отклонение непрерывной ставки процента):

[% годовых]   Почему корень?

, где

 - m - количество периодов выбранного масштаба в рабочем году (260 для дневного масштаба, 52 - недельного, 12 - месячного, 6 240 - часового, 12 480 для тридцатиминутного и 187 200 для тикового);

- n - размер выборки (длина окна), принятой для расчета волатильности (10, 20, 40, 252 и т.д.).

                Отдельно необходимо поставить вопрос о понятии выборки.

                Из задачи “о блуждании случайной точки” известно, что среднее квадратическое отклонение длинного периода равно произведению среднего квадратического отклонения короткого периода на корень квадратный из числа блужданий. Тогда:

и, наконец, и ,

если под тиком понимать совершение сделки каждые две минуты. Полагая, чторавно текущему среднему спрэду, можно определить , или же по историческому среднему спрэду и исторической волатильности оценить количество совершенных за день сделок.