Обратная связь и итерации

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113

Третье важное свойство нелинейных систем вытекает из частого возникновения в них процессов с усиливающей обратной связью. В линейных системах малые изменения производят малые эффекты, а значительные эффекты являются следствием либо больших изменений, либо суммы множества мелких изменений. В нелинейных системах, напротив, мелкие изменения могут вызвать драматический эффект, если они многократно усиливаются через обратную связь. Такие нелинейные процессы с обратной связью лежат в основе неустойчивости и внезапного появления новых форм порядка, столь характерных для самоорганизации.

Математически петля обратной связи соответствует особому типу нелинейного процесса, известному как итерация (латинское «повторение»); в этом процессе функция многократно применяется к себе самой. Например, если функция состоит в умножении переменной на 3, т. е. f(x) = Зх, то итерация заключается в многократном умножении. В математике это записывается так:

х → Зх

Зх → 9х

9х → 27х

и т. д.

Каждый из этих шагов называется отображением. Если мы представим себе переменную х в виде числовой оси, то операция х — > Зх отображает каждое число на другое число на этой же оси. В более общем случае отображение, состоящее в умножении х на постоянное число /с, записывается в виде:

х → kх .

Часто встречаемой в нелинейных системах итерацией, очень простой и в то же время производящей огромную сложность, является отображение:

х → kх(1 - х),

где переменная х ограничена значениями от 0 до 1. Это отображение, известное математикам как логистическое, имеет много важных приложений. Его, например, используют экологи для описания роста населения при противоположных тенденциях, и поэтому оно также известно как уравнение роста8.

Исследование итераций разнообразных логистических отображений представляет собой увлекательное упражнение, которое можно легко осуществить с помощью карманного калькулятора9. Чтобы понять существенную особенность этих итераций, снова выберем значение k=3:

х → Зх(1 - х).

Переменную х можно представить в виде участка оси от 0 до 1, тогда очень просто вычислить отображения для нескольких точек, например

→ 0(1 - 0) =00.2 → 0.6 (1 - 0.2) = 0.480.4 → 1.2 (1 - 0.4) = 0.720.6 → 1.8 (1-0.6) = 0.720.8 → 2.4 (1 - 0.8) = 0.48

→ 3(1-1) =0.

Отметив эти числа на двух участках оси, можно увидеть, что величины от 0 до 0,5 отображаются числами от 0 до 0,75. Таким образом, 0,2 превращается в 0,48, а 0,4 становится 0,72. Числа от 0,5 до 1 отображаются на том же участке, но в обратном порядке. Так, 0,6 превращается в 0,72, а 0,8 становится 0,48. Общий эффект показан на рис. 6-6. Отображение растягивает отрезок от 0 до 1,5, а затем снова сворачивает его так, что значения пробегают от 0 до 0,75 и обратно.

Итерация этого отображения выльется в повторяющееся растягивание и сворачивание операций подобно тому, как пекарь вновь и вновь месит тесто, сворачивая и растягивая его. Эту итерацию очень удачно назвали преобразованием пекаря. По мере того как происходит растягивание и сжимание, соседние точки на отрезке будут все дальше и дальше расходиться, и предсказать, где окажется определенная точка после множества итераций, становится невозможно.

Даже самые мощные компьютеры округляют свои вычисления, ограничивая количество цифр после точки; и после большого количества итераций даже мелкие погрешности округления складываются в значительную неопределенность, исключая любые предсказания. 11реобра-зование пекаря есть прототип нелинейных сверхсложных непредсказуемых процессов, обозначаемых специальным термином «хаос».

Пуанкаре и следы хаоса

Теория динамических систем — математическая теория, позволившая внести порядок в хаос, — была разработана совсем недавно, однако ее основы были заложены в начале XX века одним из величайших математиков нового времени Анри Пуанкаре. Среди математиков своего века Пуанкаре был последним великим эрудитом. Ученый внес весомый вклад фактически во все разделы математики. Собрание его сочинений исчисляется несколькими сотнями томов.

В конце XX века нам не трудно оценивать достижения Пуанкаре: важнейшее из них состояло в том, что он вернул в математику визуальные образы10. Начиная с XVII века, стиль европейской математики постепенно смещался от геометрии (математики визуальных форм) к алгебре (математике формул). Так, например, Лаплас, один из великих формализаторов, гордился тем, что в его «Аналитической механике» нет ни одного рисунка. Пуанкаре развернул тенденцию в обратном направлении, ослабляя засилье анализа и формул, становившееся все более гнетущим, и возвращаясь к визуальным паттернам.

Визуальная математика Пуанкаре, однако, не равнозначна геометрии Евклида. Это геометрия нового типа, математика паттернов и взаимоотношений, известная как топология. Топология — это геометрия, в которой все длины, углы и площади могут деформироваться как угодно. Так, треугольник может быть постепенно трансформирован в прямоугольник, прямоугольник — в квадрат, квадрат — в окружность. Точно так же куб может превратиться в цилиндр, цилиндр — в конус, конус — в сферу. Благодаря этим непрерывным преобразованиям топологию часто называют «резиновой геометрией». Все фигуры, которые могут быть преобразованы друг в друга посредством непрерывного сгибания, растягивания и кручения, называются топологически эквивалентными.

Тем не менее не все можно осуществить через топологическую трансформацию. Фактически топология занимается как раз теми свойствами геометрических фигур, которые не изменяются при их трансформации. Пересечения линий, например, остаются пересечениями, а отверстие в торе (бублике) нельзя трансформировать так, чтобы оно пропало. Таким образом, бублик может быть топологически трансформирован в кофейную чашечку (отверстие превратится в отверстие ручки), но никак не в блин. Тогда топология оказывается действительно математикой взаимоотношений, неизменяемых, или инвариантных, паттернов.

Пуанкаре использовал топологическую концепцию для анализа качественных особенностей сложных динамических проблем — и тем самым заложил основы математики сложных систем, которая сформировалась лишь столетие спустя. Среди проблем, проанализированных Пуанкаре, была знаменитая проблема трех тел в небесной механике (относительное движение трех тел под влиянием их взаимного гравитационного притяжения), которую прежде никому не удавалось решить1'. Применив свой топологический метод к слегка упрощенной проблеме трех тел, Пуанкаре смог определить общую форму их траекторий, и нашел, что она отличается устрашающей сложностью:

Когда пытаешься представить фигуру, образуемую этими двумя кривыми и бесконечными их пересечениями... обнаруживаешь некую сеть, паутину, или бесконечно густую решетку; ни одна из этих кривых никогда не может пересечь саму себя, но должна загибаться очень сложным образом, чтобы пересечь нити паутины бесконечно много раз. Поражает сложность этой фигуры, которую я даже не пытаюсь нарисовать12.

То, что Пуанкаре изображал в уме, теперь называется странным аттрактором. По словам Яна Стюарта, «Пуанкаре видел отпечатки ступней хаоса»12. Показав, что простые детерминированные уравнения движения могут порождать невообразимую сложность, не поддающуюся никаким попыткам предсказания, Пуанкаре бросил вызов самим основам ньютоновской механики. Однако по очередной причуде истории, ученые начала века не приняли этот вызов. Через несколько лет после того, как Пуанкаре опубликовал свою работу по проблеме трех тел, Макс Планк открыл энергетические кванты, а Альберт Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности14. В течение второй половины века физики и математики были зачарованы революционными открытиями в квантовой физике, теории относительности, а важнейшее открытие Пуанкаре отошло на задний план. Так продолжалось до 60-х годов, когда ученые вновь столкнулись со сложностями хаоса.

Траектории в абстрактных пространствах

Математический аппарат, позволивший ученым в течение трех последних десятилетий обнаружить упорядоченные паттерны в хаотических системах, основан на топологическом подходе Пуанкаре и тесно связан с развитием компьютеров. С помощью современных высокоскоростных компьютеров ученые могут решать нелинейные уравнения такими методами, которые ранее были недоступны; легко могут вычерчивать сложные траектории, которые Пуанкаре даже не пытался изобразить.

Как большинство читателей помнят со школьной скамьи, уравнение решают посредством различных манипуляций с ним, пока не получают окончательную формулу — решение. Оно и называется «аналитическим» решением уравнения. Результатом всегда является формула. Большинство нелинейных уравнений, описывающих естественные явления, слишком сложны для того, чтобы их можно было решить аналитически. Однако есть еще один способ — так называемое «численное» решение уравнения. Оно включает в себя метод проб и ошибок. Вы пробуете разнообразные комбинации чисел для переменных, пока не найдете те, которые удовлетворяют уравнению. Была разработана специальная техника и специфические приемы для эффективного решения этой задачи, но для большинства уравнений подобный процесс оказывается слишком громоздким, занимает много времени и дает очень грубые, приблизительные решения.

Ситуация изменилась с появлением нового поколения компьютеров. Теперь у нас есть программы для исключительно быстрого и точного численного решения уравнений. Применяя новые методы, мы можем решать нелинейные уравнения с любой степенью точности. Тем не менее это решения совершенно иного плана. Результатом становится не формула, а огромное множество значений переменных, удовлетворяющих уравнению, и компьютер можно запрограммировать так, чтобы он графически вычерчивал решение в виде кривой или множества кривых. Такая технология позволила ученым решить сложные нелинейные уравнения, связанные с хаотическими феноменами, и обнаружить порядок в кажущемся хаосе.

Для того чтобы обнаружить эти упорядоченные паттерны, переменные сложной системы отображаются в абстрактном математическом пространстве — так называемом фазовом пространстве. Эта хорошо известная методика была разработана в термодинамике еще в начале века15. Каждой переменной в системе ставится в соответствие одна из координат абстрактного пространства. Проиллюстрируем это очень простым примером: шариком, раскачивающимся на маятнике. Чтобы полностью описать движение маятника, требуются две переменные: угол, который может быть положительным либо отрицательным, и скорость, которая также может быть положительной или отрицательной, в зависимости от направления отклонения маятника. С помощью этих двух переменных, угла и скорости, можно полностью описать состояние движения маятника в любой момент времени.

Рис. 6-7. Двухмерное фазовое пространство маятника

Если теперь мы начертим декартову систему координат, в которой одна ось соответствует углу, а другая — скорости (рис. 6-7), эта система координат представит двухмерное пространство, в котором каждая определенная точка соответствует возможному состоянию движения маятника. Посмотрим, где располагаются эти точки. В состоянии крайнего отклонения скорость равна нулю. Это дает нам две точки на горизонтальной оси. В центре, где угол равен нулю, скорость максимальна и либо положительна (когда маятник движется, например, вправо), либо отрицательна (когда маятник движется в противоположном направлении). Это дает нам две точки на вертикальной оси. Эти четыре точки в фазовом пространстве, которые мы обозначили на рис. 6-7, отражают крайние состояния маятника — максимальное отклонение и максимальную скорость. Точное расположение этих точек будет зависеть от выбранных нами единиц измерения.

Если мы продолжим наблюдения и отметим точки, соответствующие состояниям движения между крайними положениями, то обнаружим, что они лежат на замкнутой петле. Можно превратить петлю в окружность, должным образом выбрав единицы измерения, но, в общем случае, это будет нечто вроде эллипса (рис. 6-8).

Рис. 6-8. Траектория маятника в фазовом пространстве

Эта кривая называется траекторией маятника в фазовом пространстве и полностью описывает движение системы. Все переменные системы (в нашем простом случае — две) представлены единственной точкой, всегда расположенной где-то на этой кривой. С каждым полным циклом качания маятника точка в фазовом пространстве будет описывать петлю.

В любой момент мы можем измерить две координаты точки в фазовом пространстве и таким образом узнать точное состояние системы (угол и скорость). Заметим, что эта кривая никоим образом не является траекторией самого маятника. Это кривая, образованная двумя переменными системы в абстрактном математическом пространстве.

В этом и заключается методика фазового пространства. Переменные данной системы изображаются в абстрактном пространстве, причем одна точка описывает всю систему. По мере того как система изменяет свое состояние, точка вычерчивает в фазовом пространстве траекторию — в нашем случае замкнутую кривую. Когда система является не простым маятником, а гораздо более сложной структурой, у нее, соответственно, больше переменных, но метод остается прежним. Каждая переменная представлена координатой в отдельном измерении фазового пространства. Если в системе 16 переменных, мы получим 16-мерное пространство. Одна точка в этом пространстве будет полностью описывать состояние всей системы, поскольку эта точка имеет 16 координат, каждая из которых соответствует одной из 16 переменных системы.

Скорость

Рис. 6-9. Траектория маятника с трением в фазовом пространстве

Безусловно, мы не можем визуально воспринять фазовое пространство с 16 измерениями; потому его и называют абстрактным математическим пространством. Математики не испытывают никаких проблем с такими абстракциями. Они вполне комфортно чувствуют себя в пространствах, которые нельзя визуализировать. В любом случае, по мере изменения системы точка, определяющая ее состояние в фазовом пространстве, будет двигаться по этому пространству, вычерчивая некую траекторию. Различные начальные состояния системы соответствуют различным начальным точкам в фазовом пространстве, что, в общем случае, обусловливает различные траектории.

Странные аттракторы

Теперь вернемся к нашему маятнику и отметим, что это был идеализированный маятник без трения, раскачивающийся вправо-влево в бесконечном движении. Это типичный пример классической физики, где трением, как правило, пренебрегают. Реальный маятник всегда подвержен некоторому трению, замедляющему его ход, поэтому рано или поздно он остановится. В двухмерном фазовом пространстве это движение отображено кривой, закручивающейся к центру, как показано на рис. 6-9. Эта траектория называется аттрактором, поскольку математики говорят, что, в метафорическом смысле, фиксированная точка в центре системы координат притягивает (англ. «attract») эту траекторию. Метафору распространили и на замкнутые петли, подобные той, что представляет маятник без трения. Траектория в виде замкнутой петли получила название периодического аттрактора, в то время как траектория, закручивающаяся к центру, называется точечным аттрактором.

В течение последующих двадцати лет метод фазового пространства использовался для исследования множества сложных систем. Каждый раз ученые и математики составляют нелинейные уравнения, решают их численными методами, а компьютеры вычерчивают решения в виде траекторий в фазовом пространстве. К своему великому удивлению, исследователи обнаружили, что число различных аттракторов весьма ограничено. Их формы можно классифицировать топологически, а общие динамические свойства системы — вывести из формы ее аттрактора.

Существует три основных типа аттракторов: точечные, соответствующие системам, которые достигают устойчивого равновесия; периодические, соответствующие периодическим колебаниям; и так называемые странные аттракторы, соответствующие хаотическим системам. Типичный пример системы со странным аттрактором представляет собой «хаотический маятник», впервые исследованный японским математиком Йошисуке Уэда в конце 1970-х годов. Это нелинейная электронная схема с внешним питанием, относительно простая, но с исключительно сложным поведением16. Каждое колебание этого хаотического генератора колебаний уникально. Система никогда не повторяет себя, и каждый цикл открывает новую область фазового пространства. Тем не менее, несмотря на кажущуюся неустойчивость движения, точки в фазовом пространстве расположены отнюдь не беспорядочно. Вместе они формируют сложный высокоорганизованный паттерн — странный аттрактор, который теперь носит имя Уэда.

Рис. 6-10. Аттрактор Уэда. Из Ueda et al. (1993)

Аттрактор Уэда — это траектория в двухмерном фазовом пространстве, которая образует почти повторяющие друг друга паттерны. Это типичная особенность хаотических систем. Изображение на рис. 6-10 содержит более 1 000 000 точек. Ее можно представить в виде среза куска теста, который многократно растягивали и сворачивали. Это означает, что в основе аттрактора Уэда лежит математика преобразования пекаря.

Одно удивительное свойство странных аттракторов заключается в том, что они, как правило, ограничены малым числом измерений — даже в многомерном фазовом пространстве. Например, система может содержать 50 переменных, но ее движение при этом описывается трехмерным странным аттрактором — свернутой поверхностью в 50-мерном пространстве. Это, естественно, характеризует высокую степень порядка.

Таким образом, хаотичное поведение — в современном научном понимании этого термина — разительно отличается от беспорядочного, неустойчивого движения. С помощью странных аттракторов можно определить различие между обычной беспорядочностью, или шумом, и хаосом. Хаотичное поведение детерминировано и образует паттерны, а странные аттракторы позволяют преобразовывать на первый взгляд случайные данные в отчетливые визуальные формы.