4.4 Графическое представление теории.
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Чтобы посмотреть каким образом корреляция между матожиданиями прибылей влияет на формирование портфеля рассмотрим опять же случай с двумя инструментами х и у, весовые доли которых в рассматриваемом портфеле равны a и b соответственно. Вспомните, что коэффициент корреляции может быть не более единицы и не менее минус единицы. Если коэффициент корреляции равен единице, то дисперсия ожидаемой прибыли портфеля будет описываться простым квадратным уравнением:
 |
В таком случае стандартное отклонение ожидаемых прибылей равное квадратному корню дисперсии будет простым линейным уравнением σp=aσx+bσy и график будет соответственно линейным.
Если коэффициент корреляции ожидаемых прибылей равен минус единице, то аналогично, дисперсия ожидаемых прибылей портфеля будет также описываться простым квадратом, но уже не суммы, а разницы взвешенных стандартных отклонений, а стандартное отклонение ожидаемой прибыли на портфель будет соответственно σp=aσx-bσy, но обратите внимание на то, что в обоих случаях все переменные являются как минимум не отрицательными. В этом случае, коэффициент корреляции равен –1, оказывается возможно создать совершенный хэдж или принять совершенную хэджевую позицию.
Для значений коэффициента корреляции в интервале (-1;1) график будет иметь параболический вид как показано на рисунке 2.1: чем больше будет коэффициент корреляции, тем ближе будет парабола к прямой АВ, а чем меньше – тем ближе к ломаной АСВ.
E(Rp) Рисунок
4.1
E(Rx)
А Теория портфеля
ρx,y=-1
С
ρx,y=0.3
ρx,y=1
В
E(Ry)
σу σх σp
Здесь в точке С достигается совершенный хедж: положительная ожидаемая прибыль при нулевом риске – совершенная беспроигрышная ситуация для инвестора. Существование такой ситуации (зачастую означающей существование арбитража) практически невозможно в реалии. Во-первых потому, что практически невозможно найти два инструмента с коэффициентами корреляции ожидаемых прибылей равной точно минус единице, а во-вторых даже если получится найти, то такая беспроигрышная ситуация крайне скоротечна.
4.5 Портфель из множества инструментов.
 |
Для упрощения мы рассматривали портфель из двух инструментов. В реалии же инвестиционные портфели состоят из более чем двух инструментов. В общем случае ожидаемая прибыль для портфелей состоящих из n инструментов будет следующей:
Где wi – это вес индивидуального инструмента в портфеле, E(Ri) – матожидание прибыли по индивидуальному инструменту. Величина дисперсии, характеризующая уровень риска всего портфеля будет следующей:
 |
Хотя выражение риска портфеля, состоящего из n инструментов выглядит немного страшновато не надо бояться, поскольку есть довольно простой метод её иллюстрации: так называемый метод ковариационной матрицы. Нарисуем следующую таблицу состоящую из n2 клеток:
Таблица 4.1
|
|
1 |
2 |
… |
N |
|
1 |
w1w1COV(R1,R1) |
w1w2COV(R1,R2) |
… |
w1wnCOV(R1,Rn) |
|
2 |
w2w1COV(R2,R1) |
w2w2COV(R2,R2) |
… |
w2wnCOV(R2,Rn) |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
n |
wnw1COV(Rn,R1) |
wnw2COV(Rn,R2) |
… |
wnwnCOV(Rn,Rn) |
Эту же таблицу можно представить следующим образом:
Таблица 4.2
|
|
1 |
2 |
… |
N |
|
1 |
(w1σ1)2 |
w1w2σ1σ2ρ1,2 |
… |
w1wnσ1σnρ1,n |
|
2 |
w2w1σ2σ1ρ2,1 |
(w2σ2)2 |
… |
w2wnσ2σnρ2,n |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
n |
wnw1σnσ1ρn,1 |
wnw2σnσ2ρn,2 |
… |
(wnσn)2 |
Таким образом, сумма значений всех n2 клеток даст Вам значение риска всего портфеля, состоящего из n инструментов. Используя общедоступные программные обеспечения типа MS Excel Вы без особых затруднений сможете решить проблему выбора портфеля практически для любого инвестора. Для этого необходимо будет только знать дисперсии или стандартные отклонения по каждому инструменту (для минимизации риска), а также матожидания прибылей по каждому инструменту (для максимизации прибыли) и значения парных корреляций ожидаемых прибылей.
Чтобы посмотреть каким образом корреляция между матожиданиями прибылей влияет на формирование портфеля рассмотрим опять же случай с двумя инструментами х и у, весовые доли которых в рассматриваемом портфеле равны a и b соответственно. Вспомните, что коэффициент корреляции может быть не более единицы и не менее минус единицы. Если коэффициент корреляции равен единице, то дисперсия ожидаемой прибыли портфеля будет описываться простым квадратным уравнением:
 |
В таком случае стандартное отклонение ожидаемых прибылей равное квадратному корню дисперсии будет простым линейным уравнением σp=aσx+bσy и график будет соответственно линейным.
Если коэффициент корреляции ожидаемых прибылей равен минус единице, то аналогично, дисперсия ожидаемых прибылей портфеля будет также описываться простым квадратом, но уже не суммы, а разницы взвешенных стандартных отклонений, а стандартное отклонение ожидаемой прибыли на портфель будет соответственно σp=aσx-bσy, но обратите внимание на то, что в обоих случаях все переменные являются как минимум не отрицательными. В этом случае, коэффициент корреляции равен –1, оказывается возможно создать совершенный хэдж или принять совершенную хэджевую позицию.
Для значений коэффициента корреляции в интервале (-1;1) график будет иметь параболический вид как показано на рисунке 2.1: чем больше будет коэффициент корреляции, тем ближе будет парабола к прямой АВ, а чем меньше – тем ближе к ломаной АСВ.
E(Rp) Рисунок
4.1
E(Rx)
А Теория портфеля
ρx,y=-1
С
ρx,y=0.3
ρx,y=1
В
E(Ry)
σу σх σp
Здесь в точке С достигается совершенный хедж: положительная ожидаемая прибыль при нулевом риске – совершенная беспроигрышная ситуация для инвестора. Существование такой ситуации (зачастую означающей существование арбитража) практически невозможно в реалии. Во-первых потому, что практически невозможно найти два инструмента с коэффициентами корреляции ожидаемых прибылей равной точно минус единице, а во-вторых даже если получится найти, то такая беспроигрышная ситуация крайне скоротечна.
4.5 Портфель из множества инструментов.
 |
Для упрощения мы рассматривали портфель из двух инструментов. В реалии же инвестиционные портфели состоят из более чем двух инструментов. В общем случае ожидаемая прибыль для портфелей состоящих из n инструментов будет следующей:
Где wi – это вес индивидуального инструмента в портфеле, E(Ri) – матожидание прибыли по индивидуальному инструменту. Величина дисперсии, характеризующая уровень риска всего портфеля будет следующей:
 |
Хотя выражение риска портфеля, состоящего из n инструментов выглядит немного страшновато не надо бояться, поскольку есть довольно простой метод её иллюстрации: так называемый метод ковариационной матрицы. Нарисуем следующую таблицу состоящую из n2 клеток:
Таблица 4.1
|
|
1 |
2 |
… |
N |
|
1 |
w1w1COV(R1,R1) |
w1w2COV(R1,R2) |
… |
w1wnCOV(R1,Rn) |
|
2 |
w2w1COV(R2,R1) |
w2w2COV(R2,R2) |
… |
w2wnCOV(R2,Rn) |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
n |
wnw1COV(Rn,R1) |
wnw2COV(Rn,R2) |
… |
wnwnCOV(Rn,Rn) |
Эту же таблицу можно представить следующим образом:
Таблица 4.2
|
|
1 |
2 |
… |
N |
|
1 |
(w1σ1)2 |
w1w2σ1σ2ρ1,2 |
… |
w1wnσ1σnρ1,n |
|
2 |
w2w1σ2σ1ρ2,1 |
(w2σ2)2 |
… |
w2wnσ2σnρ2,n |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
n |
wnw1σnσ1ρn,1 |
wnw2σnσ2ρn,2 |
… |
(wnσn)2 |
Таким образом, сумма значений всех n2 клеток даст Вам значение риска всего портфеля, состоящего из n инструментов. Используя общедоступные программные обеспечения типа MS Excel Вы без особых затруднений сможете решить проблему выбора портфеля практически для любого инвестора. Для этого необходимо будет только знать дисперсии или стандартные отклонения по каждому инструменту (для минимизации риска), а также матожидания прибылей по каждому инструменту (для максимизации прибыли) и значения парных корреляций ожидаемых прибылей.