2.4.2. Диссипативные структуры.

Образование диссипативных структур было замечено уже давно на примере так называемых ячеек Бенара [34]. Оно заключается в следующем. На плоской сковороде подогревается масло. Казалось бы все условия постоянны и слой масла должен нагреваться равномерно. Однако, при достаточно интенсивном подогреве в масле появляется пространственная структура из чередующихся потоков, направленных врех и вниз.

Аналогичное явление наблюдается в биологии при морфогенезе. В среде, изначально равномерной, "вдруг" возникает периодические структуры. Они играют очень важную роль, дают разметку пространственного расположения будущих органов. В простейшем, но не самом важном, примере диссипативные структуры различают положение полос на теле зебры и тигра.

Суть процесса была выяснена в работе Тюринга в 1952 г. [35]. Там же была предложена математическая модель, ставшая базовой для последующих исследований.

Темин - диссипативные структуры - был предложен Пригожиным [36], который использовал модификацию модели Тюринга, известную сейчас как "Брюсселятор" [36]. Модель имеет вид:

                                 (2.72)

Соответствующая "Брюсселятору" точечная (не распределительная) система имеет вид:

                                                             (2.73)

Уравнения (2.73) соответствуют некоторой гипотетической химической реакции. Компонента u1 образуется за счет автокатализа (член ) и способствует образованию u2 (член Bu1). Компонента u2 подавляет образование как u1 (член - (В+1) u1) так и само себя (член - u12 u2), она называется ингибитор.

Диссипативные структуры образуются в случае если длина диффузия ингибитера больше чем активатора, то есть при D2>D1.

Фазовый портрет системы (2.73) приведен на рисунке (2.9).

Видно, что имеется единственное стационарное состояние при u1=А и u2 = В/А. При В >А. это состояние - устойчивый фокус. Как увидим ниже, это свойство точечной системы (2.73) является необходимым условием (вместе с условием D2 >D1 ) образования диссипативных структур в распределенной системе (2.82).

Рассмотрим поведение системы (2.72) на конечном отрезке длины L. Примем, что границы отрезка не проницаемы, чему соответствуют граничные условия вида:

                             ; при x=0 и x=L     (2.74)

(что соответствует постановке задачи Дирихле). Начальные условия, то есть функции u1(x,t=0) и u2 (x,t=0) будем считать произвольными.

Метод автомодельной переменной в данном случае не эффективен, поскольку пространство ограничено.

Здесь используется другой метод -разложение переменных u1 и u2 по пространственным гармоникам. Продемонстрируем его на примере, когда функции u1 и u2 мало отличаются от стационарных значений.

Обозначим:

x= u1(x,t)-A; h= u2 (x,t)- A/B ; x,h<<1.

В линейном по x и h приближении (2.72) имеет вид:

                          (2.75)

Решения x(х1t), h(x1t) будем искать в виде, удовлетворяющем граничным условиям (2.74):

         (2.76)

, где (n=0,1,2 ...) волновое число, оно связано с длиной стоячей волны n -ой гармоники: lт соотношением: . Целочисленность n означает, что на отрезке L укладывается целое число полуволн.

Функции xn(t) и hn(t) (так называемые гармоники) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

                          (2.77)

Эти уравнения уже не содержат производных по пространственныой координате x и по форме являются точечными.

Исследование их на устойчивость можно провести стандартными методами и найти числа Ляпунова lт , которые зависят от параметров А, В, D1, D2 и волнового числа kn2. На рисунке 2.10 представлена зависимость вещественной части чисел Ляпунова от kn2. Эта зависимость называется дисперсионной диаграммой. При k2=0 числа Ляпунова l0 совпадают с таковыми для точечонй системы (2.73). Как упоминалось, стационарное состояние это системы - устойчива фокус. Это значит, что числа Ляпунова комплексны и сопряжены, то есть реальные части их одинаковы и отрицательны, что и представлено на рисунке 2.10. С увеличением kn2 фокус переходит в устойчивый узел, при этом числа Ляпунова становятся вещественными и отрицательными.

При некотрых, (бифуракционных) значениях параметров А, В, , D1, D2 верхняя ветвь параболы Rel(k2) касается абсциссы, и даже слегка выходит в верхнюю полуплоскость. При этом в интервале (kmin2, kmax2) одно из чисел Ляпунова становится положительным, а стационарное состояние - седлом.

Если в этот интервал попадает одно из дискретных, разрешенных граничными условиями значений kn2, амплитуда соответсвующей моды начинает расти со временем. Это явление называется неустойчивостью Тюринга (или бифуркацией Тюринга).

Подчеркнем особенности этой бифуркации.

Во-первых она имеет место только в распределенных в пространстве системах. При этом нарушается исходная однородность и сама собой возникает структура.

Во-вторых, образуется вполне определения структура (т.е. предопределено значение kn2 и, следовательно пространственный период. Последний зависит от параметров системы(включая размеры), но не зависит от начальных условий.

В-третьих, вблизи бифуркации Тюринга учет нелинейных членов приводит к стабилизации структуры. При этом структура остается плавной (гармонической), со вполне определенной амплитудой, зависящей от тех же параметров.

Таким образом, в системе имеется только одно устойчивое стационарное состояние (один аттрактор) свойства которого предопределены параметрами, но не начальными условиями.

Подчеркнем: выбор диссипативной структуры (либо случайный, либо за счет начальных условий) в системах типа (2.72) невозможен, поскольку она единственна.

Мы остановимся на этом столь детально, поскольку слова "диссипативные структуры" сейчас употребляются очень часто, как к месту так и всуе. В действительности область применимости гармоничных диссипативных структур ограничена. Так при D2>>D1 образуются так называемые контрастные структуры, которые иногда также называются диссипативными, хотя и условно, поскольку по свойствам и методам исследования они сильно отличаются от описанных выше.

В этом случае сперва исследуются стационарные распределения (при ). При этом (2.72) переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (по координате x), которое решается в рамках задачи Дирихле. Затем исследуется устойчивость найденных решений в рамках задачи Коши Свойства контрастных структур принципиально отличается от описанных выше.

Так могут образовываться ступенчатые и пичковые структуры и даже уединенные пички. Положение пичка уже не определяется параметрами, а зависит от начальных условий. Если последние задаются в виде малых случайных отклонений от однородных распределений, то выбор положения пичка происходит случайно. Если начальное возмущение не мало, то расположение пичков им и определяется. Так, например, если начальное возмущение локализовано на одном из концов отрезка, то возбуждается волна перестройки, которая оставляет за собой регулярную пичковую структуру [37].

Подробное описание этих явлений можно найти в [8].

Очень интересные явления происходят в системах с режимом обостренияни [38]. При этом в определенный точке сама собой собирается (кумулируется) почти вся энергия изначально распределенная в широком интервале пространства. Это явление уже никак не относится к диссипативным структурам.

Другой круг явлений тоже очень важных, связан с образованием автоволн в активной среде. Под автовненами понимается не только "волны" но и отдельные импульсы, которые распространяются без затухания (за счет подпитки из среды). К таковым относятся нервные импульсы. Они описываются распределенными моделями Хочкина-Хаксли, или более простой (базовой) моделью Физхью-Наумо [39].

В двумерной среде образуются спиральные волны. Из них наиболее исследованы нелинейные волны в реакторе Белаусова-Жаботиского [40].

Все упомянутые явления описываются моделями типа (2.65). Методы исследования их также сходны и совпадают с изложенными выше.. Разным явлениям соответствуют разные виды нелинейных функций Fi(u1,u2...) и разное число переменных ui (и уравнений). Впрочем, в большинстве случаев оказывается достаточным всего два базовых уравнения.

Перечисленные выше модели используются для описания широкого круга явлений в различных областях естествознания: биологии, физике, химии и смешанных науках. Можно сказать, что эти модели являются математической основой описания процессов самоорганизации в природе.

Это не значит, что другие математические методы (как то "игры автоматов" или "математические грамматики") не используются для тех же целей. Они используются и иногда с успехом. Однако, при этом оказывается, что они представляютс собой частые (предельные) случаи теории динамических систем.

Образование диссипативных структур было замечено уже давно на примере так называемых ячеек Бенара [34]. Оно заключается в следующем. На плоской сковороде подогревается масло. Казалось бы все условия постоянны и слой масла должен нагреваться равномерно. Однако, при достаточно интенсивном подогреве в масле появляется пространственная структура из чередующихся потоков, направленных врех и вниз.

Аналогичное явление наблюдается в биологии при морфогенезе. В среде, изначально равномерной, "вдруг" возникает периодические структуры. Они играют очень важную роль, дают разметку пространственного расположения будущих органов. В простейшем, но не самом важном, примере диссипативные структуры различают положение полос на теле зебры и тигра.

Суть процесса была выяснена в работе Тюринга в 1952 г. [35]. Там же была предложена математическая модель, ставшая базовой для последующих исследований.

Темин - диссипативные структуры - был предложен Пригожиным [36], который использовал модификацию модели Тюринга, известную сейчас как "Брюсселятор" [36]. Модель имеет вид:

                                 (2.72)

Соответствующая "Брюсселятору" точечная (не распределительная) система имеет вид:

                                                             (2.73)

Уравнения (2.73) соответствуют некоторой гипотетической химической реакции. Компонента u1 образуется за счет автокатализа (член ) и способствует образованию u2 (член Bu1). Компонента u2 подавляет образование как u1 (член - (В+1) u1) так и само себя (член - u12 u2), она называется ингибитор.

Диссипативные структуры образуются в случае если длина диффузия ингибитера больше чем активатора, то есть при D2>D1.

Фазовый портрет системы (2.73) приведен на рисунке (2.9).

Видно, что имеется единственное стационарное состояние при u1=А и u2 = В/А. При В >А. это состояние - устойчивый фокус. Как увидим ниже, это свойство точечной системы (2.73) является необходимым условием (вместе с условием D2 >D1 ) образования диссипативных структур в распределенной системе (2.82).

Рассмотрим поведение системы (2.72) на конечном отрезке длины L. Примем, что границы отрезка не проницаемы, чему соответствуют граничные условия вида:

                             ; при x=0 и x=L     (2.74)

(что соответствует постановке задачи Дирихле). Начальные условия, то есть функции u1(x,t=0) и u2 (x,t=0) будем считать произвольными.

Метод автомодельной переменной в данном случае не эффективен, поскольку пространство ограничено.

Здесь используется другой метод -разложение переменных u1 и u2 по пространственным гармоникам. Продемонстрируем его на примере, когда функции u1 и u2 мало отличаются от стационарных значений.

Обозначим:

x= u1(x,t)-A; h= u2 (x,t)- A/B ; x,h<<1.

В линейном по x и h приближении (2.72) имеет вид:

                          (2.75)

Решения x(х1t), h(x1t) будем искать в виде, удовлетворяющем граничным условиям (2.74):

         (2.76)

, где (n=0,1,2 ...) волновое число, оно связано с длиной стоячей волны n -ой гармоники: lт соотношением: . Целочисленность n означает, что на отрезке L укладывается целое число полуволн.

Функции xn(t) и hn(t) (так называемые гармоники) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

                          (2.77)

Эти уравнения уже не содержат производных по пространственныой координате x и по форме являются точечными.

Исследование их на устойчивость можно провести стандартными методами и найти числа Ляпунова lт , которые зависят от параметров А, В, D1, D2 и волнового числа kn2. На рисунке 2.10 представлена зависимость вещественной части чисел Ляпунова от kn2. Эта зависимость называется дисперсионной диаграммой. При k2=0 числа Ляпунова l0 совпадают с таковыми для точечонй системы (2.73). Как упоминалось, стационарное состояние это системы - устойчива фокус. Это значит, что числа Ляпунова комплексны и сопряжены, то есть реальные части их одинаковы и отрицательны, что и представлено на рисунке 2.10. С увеличением kn2 фокус переходит в устойчивый узел, при этом числа Ляпунова становятся вещественными и отрицательными.

При некотрых, (бифуракционных) значениях параметров А, В, , D1, D2 верхняя ветвь параболы Rel(k2) касается абсциссы, и даже слегка выходит в верхнюю полуплоскость. При этом в интервале (kmin2, kmax2) одно из чисел Ляпунова становится положительным, а стационарное состояние - седлом.

Если в этот интервал попадает одно из дискретных, разрешенных граничными условиями значений kn2, амплитуда соответсвующей моды начинает расти со временем. Это явление называется неустойчивостью Тюринга (или бифуркацией Тюринга).

Подчеркнем особенности этой бифуркации.

Во-первых она имеет место только в распределенных в пространстве системах. При этом нарушается исходная однородность и сама собой возникает структура.

Во-вторых, образуется вполне определения структура (т.е. предопределено значение kn2 и, следовательно пространственный период. Последний зависит от параметров системы(включая размеры), но не зависит от начальных условий.

В-третьих, вблизи бифуркации Тюринга учет нелинейных членов приводит к стабилизации структуры. При этом структура остается плавной (гармонической), со вполне определенной амплитудой, зависящей от тех же параметров.

Таким образом, в системе имеется только одно устойчивое стационарное состояние (один аттрактор) свойства которого предопределены параметрами, но не начальными условиями.

Подчеркнем: выбор диссипативной структуры (либо случайный, либо за счет начальных условий) в системах типа (2.72) невозможен, поскольку она единственна.

Мы остановимся на этом столь детально, поскольку слова "диссипативные структуры" сейчас употребляются очень часто, как к месту так и всуе. В действительности область применимости гармоничных диссипативных структур ограничена. Так при D2>>D1 образуются так называемые контрастные структуры, которые иногда также называются диссипативными, хотя и условно, поскольку по свойствам и методам исследования они сильно отличаются от описанных выше.

В этом случае сперва исследуются стационарные распределения (при ). При этом (2.72) переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (по координате x), которое решается в рамках задачи Дирихле. Затем исследуется устойчивость найденных решений в рамках задачи Коши Свойства контрастных структур принципиально отличается от описанных выше.

Так могут образовываться ступенчатые и пичковые структуры и даже уединенные пички. Положение пичка уже не определяется параметрами, а зависит от начальных условий. Если последние задаются в виде малых случайных отклонений от однородных распределений, то выбор положения пичка происходит случайно. Если начальное возмущение не мало, то расположение пичков им и определяется. Так, например, если начальное возмущение локализовано на одном из концов отрезка, то возбуждается волна перестройки, которая оставляет за собой регулярную пичковую структуру [37].

Подробное описание этих явлений можно найти в [8].

Очень интересные явления происходят в системах с режимом обостренияни [38]. При этом в определенный точке сама собой собирается (кумулируется) почти вся энергия изначально распределенная в широком интервале пространства. Это явление уже никак не относится к диссипативным структурам.

Другой круг явлений тоже очень важных, связан с образованием автоволн в активной среде. Под автовненами понимается не только "волны" но и отдельные импульсы, которые распространяются без затухания (за счет подпитки из среды). К таковым относятся нервные импульсы. Они описываются распределенными моделями Хочкина-Хаксли, или более простой (базовой) моделью Физхью-Наумо [39].

В двумерной среде образуются спиральные волны. Из них наиболее исследованы нелинейные волны в реакторе Белаусова-Жаботиского [40].

Все упомянутые явления описываются моделями типа (2.65). Методы исследования их также сходны и совпадают с изложенными выше.. Разным явлениям соответствуют разные виды нелинейных функций Fi(u1,u2...) и разное число переменных ui (и уравнений). Впрочем, в большинстве случаев оказывается достаточным всего два базовых уравнения.

Перечисленные выше модели используются для описания широкого круга явлений в различных областях естествознания: биологии, физике, химии и смешанных науках. Можно сказать, что эти модели являются математической основой описания процессов самоорганизации в природе.

Это не значит, что другие математические методы (как то "игры автоматов" или "математические грамматики") не используются для тех же целей. Они используются и иногда с успехом. Однако, при этом оказывается, что они представляютс собой частые (предельные) случаи теории динамических систем.