2.4. Распределенные динамические системы

В разделе 2.1 были изложены элементы теории так называемых "точечных" динамических систем, состоящих из обыкновенных дифференциальных уравнений типа (2.1). Они описывают развитие процессов во времена, но не в пространстве. Вместе с тем, в синергетике многие явления развиваются как во времени так и в пространстве. Речь идет о таких, популярных ныне, явлениях, как: образование диссипативных структур, границ между доменами, автоволнах и т.п. В этих процессах динамические переменные, будь то заряды, концентрации или численности живых организмов, могут перемещаться в пространстве за счет диффузии и миграции. Для описания их развиты специальные методы. Знакомство с ними полезно (и даже необходимо) для понимания сути явлений. В этом разделе мы изложим эти методы, по возможности просто и доступно. Иными словами, этот раздел (так же как и 2.1) адресуется людям. не имеющим специального математического образования, но владеющим элементами математики.

В простейшем, но достаточно общем случае поток (частиц, организмов и т.д.) j пропорционален градиенту переменных, а изменение их в данной точке пространства пропорционально дивергенции потока. Поэтому изменение DUi за интервал времени Dt за счет пространственных эффектов равно:

            (2. 65)

Уравнение (2.1) с учетом пространственных эффектов принимает вид

     (2.66)

Здесь величины Di называют коэффициентами диффузии, хотя (2.66) справедливо и в случае миграции и других процессов распространения в пространстве без выделенного направления. Величина - оператор Лапласа.

Уравнение (2.66) называется уравнением реакции с диффузией, поскольку впервые они появились в химической кинетике. В этом случае функции F1(u1, u2 ... un) описывают химические реакции в данной точке х, а переменные ui - концентрации веществ, участвующих в реакции, величины ti - характерные времена реакций.

В случае, когда реакция происходит в ограниченном пространстве размеров L, то кроме начальных условий необходимо задать граничные.

Если все компоненты быстро перемешиваются, концентрации ui(x,t) одинаковы внутри реактора, то есть не зависит от пространственных координат (x, y, z). Тогда Dui=0 и (2.66) переходит в (2.1). В этом случае говорят, что реакции в пространстве протекает так же как в любой течке, и системы типа (2.1) называют точечными или системами с полным перемешиванием. То же имеет место и в случае, когда коэффициенты диффузии велики, так что длины диффузии li больше или порядка размеров реактора L:

При этом перемешивание осуществляется автоматически.

В общем случая когда li<L системы (2.6) называются распределенными.

Уравнения (2.66) описывают многие важные явления самоорганизации: образование фронтов, бегущих импульсов (в частности нервных), спиральных волн (в частности в реакторах Белаусова -Жабатинского), диситативных структур и другие процессы в активных средах. Мы приведем два примера: образование фронта и дисипативных структур и на них поясним методы исследования распределенных систем типа (2.66).

В разделе 2.1 были изложены элементы теории так называемых "точечных" динамических систем, состоящих из обыкновенных дифференциальных уравнений типа (2.1). Они описывают развитие процессов во времена, но не в пространстве. Вместе с тем, в синергетике многие явления развиваются как во времени так и в пространстве. Речь идет о таких, популярных ныне, явлениях, как: образование диссипативных структур, границ между доменами, автоволнах и т.п. В этих процессах динамические переменные, будь то заряды, концентрации или численности живых организмов, могут перемещаться в пространстве за счет диффузии и миграции. Для описания их развиты специальные методы. Знакомство с ними полезно (и даже необходимо) для понимания сути явлений. В этом разделе мы изложим эти методы, по возможности просто и доступно. Иными словами, этот раздел (так же как и 2.1) адресуется людям. не имеющим специального математического образования, но владеющим элементами математики.

В простейшем, но достаточно общем случае поток (частиц, организмов и т.д.) j пропорционален градиенту переменных, а изменение их в данной точке пространства пропорционально дивергенции потока. Поэтому изменение DUi за интервал времени Dt за счет пространственных эффектов равно:

            (2. 65)

Уравнение (2.1) с учетом пространственных эффектов принимает вид

     (2.66)

Здесь величины Di называют коэффициентами диффузии, хотя (2.66) справедливо и в случае миграции и других процессов распространения в пространстве без выделенного направления. Величина - оператор Лапласа.

Уравнение (2.66) называется уравнением реакции с диффузией, поскольку впервые они появились в химической кинетике. В этом случае функции F1(u1, u2 ... un) описывают химические реакции в данной точке х, а переменные ui - концентрации веществ, участвующих в реакции, величины ti - характерные времена реакций.

В случае, когда реакция происходит в ограниченном пространстве размеров L, то кроме начальных условий необходимо задать граничные.

Если все компоненты быстро перемешиваются, концентрации ui(x,t) одинаковы внутри реактора, то есть не зависит от пространственных координат (x, y, z). Тогда Dui=0 и (2.66) переходит в (2.1). В этом случае говорят, что реакции в пространстве протекает так же как в любой течке, и системы типа (2.1) называют точечными или системами с полным перемешиванием. То же имеет место и в случае, когда коэффициенты диффузии велики, так что длины диффузии li больше или порядка размеров реактора L:

При этом перемешивание осуществляется автоматически.

В общем случая когда li<L системы (2.6) называются распределенными.

Уравнения (2.66) описывают многие важные явления самоорганизации: образование фронтов, бегущих импульсов (в частности нервных), спиральных волн (в частности в реакторах Белаусова -Жабатинского), диситативных структур и другие процессы в активных средах. Мы приведем два примера: образование фронта и дисипативных структур и на них поясним методы исследования распределенных систем типа (2.66).