2.4.1. Образование фронта:

Рассмотрим уравнение, в которых нелинейный член соответствует бистабильной системе (2.15); а все состояния развиваются в одном направлении x (т.е. )

                                                (2.67)

Здесь уже выбраны соответствующие масштабы u и x, при которых коэффициенты и D=1. Уравнение (2.67) исследовалось в работе Колмлглрова и Пискунова еще в 1937г. [33] и считается одним из первых примеров пространственно временной самоорганизации. Оно описывает распространение пожара в степени, горения бикфордова шнура, волны возбуждения в активной среде, волны перекристаллизации, а также образование границ между двумя фазами..

Введем атомодельную переменную:

h= x ± Vt

где V - скорость движения фронта.

Тогда (2.67) можно представить в форме:

                                               (2.68)

По форме (2.68) совпадает с (2.15), если положить hєt и считать V=g коэффициентом трения, который в данном случае может принимать как положительные значения (нормальное трение, ведущее к затуханию), так и отрицательные ("трение", ведущее к раскачке).

Однако формальное сходство не позволяет автоматически перенести результаты параграфа (2.1) на данный случай.

Имеется принципиальные различия, смысл которых сводится к формулировке начальных и граничных условий. Так, если переменную h отождествить со временем t (h=t), то уравнение (2.68) можно записать в виде

                                      (2.69)

По виду (2.69) аналогично системе (2.13), но отличается от нее знаком правой части. В системе (2.69) имеется три стационарных точки: Фокус при u=V , p=0, (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака V). Два седла при р=0 и u=±1.

При V=0 фокус превращается в центр, а сепаратрисы седел замыкаются: выходящая из точки u=-1 входит в точку u=+1 и наоборот. Такие сепаратрисы называются гетероклиническими траекториями. Этот случай представлен на фазовом портрете рисунка 2.8.

Для выбора траектории необходимо задать начальные условия, то есть значения u(t=0) и р(t=0). В частности можно выбрать условия, лежащие на гетероклинике.

Такая постановка называется задачей Коши.

С другой стороны, если h отождествить с пространственной переменной x (что имеет место при V =0), то необходимо поставить два граничных условия при x=+Ґ и x=-Ґ. Такая постановка называется задачей Дирихле. В реальных приложениях эти условия соответствуют разным стационарным значениям на разных сторонах пространства, например: U(x®-Ґ)=-1, U(x®+Ґ)=+1. Именно при таких условиях образуется фронт.

При V=0 уравнение:

                                                          (2.70)

решается точно и решение имеет вид:

                                                                                 (2.71)

Выражение (2.71) описывает переходную область, т. е. профиль фронта. Так, при переменная U практически постоянна и равна u =1 при и u=+1 при . Это решение соответствует гетероклинической траектории (т.е. сепаратрисе) на фазовом портрете 2.8.

На этом примере видно принципиальное отличие задачи Коши от задачи Дирихле.

Основная цель задачи Коши - предсказать будущее, если известно настоящее (т.е. начальное условие). Именно поэтому аргументом в задачах Коши является время t, поскольку в противном случае понятие "будущее" и "настоящее" теряет смысл.

Понятие устойчивости также имеет смысл только в задачах Коши, но не Дирихле. Движение по неустойчивым траекториям (в частности по сепартрисе, т.е. гетероклинике) в задачах Коши не реализуется.

В задачах Дирихле аргументом является пространственная переменная и это тоже принципиально. Основная цель задач Дирихле не предсказать будущее, а вичислить распределение переменных ui в пространстве, если известно, что на границах эти переменные (или их пространственные производные) зафиксированы и не зависят от времени. Иными словами, задача Дирихле - вычислить стационарное распределение в пространстве. Анализ устойчивости этого распределения выходит за рамки задач Дирихле. Само понятие устойчивости в задачах Дирихле теряет смысл, поскольку оба направления в пространстве (х®-Ґ и х®+Ґ) равноправны. Неустойчивые (с точки зрения Коши) траектории, в задаче Дирихле соответствуют вполне реальному распределению, как это и имеет место в нашем случае.

Для пояснения посмотрим на задачу Дирихле с точки зрения задачи Коши (т.е. заменим х®t, но условия оставим в виде U(t®-Ґ)=-1; U(t®+Ґ). Первое значит, что когда-то давным давно величина U была равна минус единице. Второе значит, что в отдаленном будущем мы твердо знаем, и абсолютно уверены, что U будет равно единице. Это условие носит теленомический характер, поскольку опирается на точное знание будущего. При такой постановке мы можем смело двигаться по траектории, удовлетворяющей этим условиям, не заботясь о том устойчива ли она.

В распределенных системах (2.65) мы имеем дело со смешанной постановкой, где участвуют и условия типа Коши, и условия типа Дирихле. Как они сочетаются мы покажем на втором примере.

Рассмотрим уравнение, в которых нелинейный член соответствует бистабильной системе (2.15); а все состояния развиваются в одном направлении x (т.е. )

                                                (2.67)

Здесь уже выбраны соответствующие масштабы u и x, при которых коэффициенты и D=1. Уравнение (2.67) исследовалось в работе Колмлглрова и Пискунова еще в 1937г. [33] и считается одним из первых примеров пространственно временной самоорганизации. Оно описывает распространение пожара в степени, горения бикфордова шнура, волны возбуждения в активной среде, волны перекристаллизации, а также образование границ между двумя фазами..

Введем атомодельную переменную:

h= x ± Vt

где V - скорость движения фронта.

Тогда (2.67) можно представить в форме:

                                               (2.68)

По форме (2.68) совпадает с (2.15), если положить hєt и считать V=g коэффициентом трения, который в данном случае может принимать как положительные значения (нормальное трение, ведущее к затуханию), так и отрицательные ("трение", ведущее к раскачке).

Однако формальное сходство не позволяет автоматически перенести результаты параграфа (2.1) на данный случай.

Имеется принципиальные различия, смысл которых сводится к формулировке начальных и граничных условий. Так, если переменную h отождествить со временем t (h=t), то уравнение (2.68) можно записать в виде

                                      (2.69)

По виду (2.69) аналогично системе (2.13), но отличается от нее знаком правой части. В системе (2.69) имеется три стационарных точки: Фокус при u=V , p=0, (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака V). Два седла при р=0 и u=±1.

При V=0 фокус превращается в центр, а сепаратрисы седел замыкаются: выходящая из точки u=-1 входит в точку u=+1 и наоборот. Такие сепаратрисы называются гетероклиническими траекториями. Этот случай представлен на фазовом портрете рисунка 2.8.

Для выбора траектории необходимо задать начальные условия, то есть значения u(t=0) и р(t=0). В частности можно выбрать условия, лежащие на гетероклинике.

Такая постановка называется задачей Коши.

С другой стороны, если h отождествить с пространственной переменной x (что имеет место при V =0), то необходимо поставить два граничных условия при x=+Ґ и x=-Ґ. Такая постановка называется задачей Дирихле. В реальных приложениях эти условия соответствуют разным стационарным значениям на разных сторонах пространства, например: U(x®-Ґ)=-1, U(x®+Ґ)=+1. Именно при таких условиях образуется фронт.

При V=0 уравнение:

                                                          (2.70)

решается точно и решение имеет вид:

                                                                                 (2.71)

Выражение (2.71) описывает переходную область, т. е. профиль фронта. Так, при переменная U практически постоянна и равна u =1 при и u=+1 при . Это решение соответствует гетероклинической траектории (т.е. сепаратрисе) на фазовом портрете 2.8.

На этом примере видно принципиальное отличие задачи Коши от задачи Дирихле.

Основная цель задачи Коши - предсказать будущее, если известно настоящее (т.е. начальное условие). Именно поэтому аргументом в задачах Коши является время t, поскольку в противном случае понятие "будущее" и "настоящее" теряет смысл.

Понятие устойчивости также имеет смысл только в задачах Коши, но не Дирихле. Движение по неустойчивым траекториям (в частности по сепартрисе, т.е. гетероклинике) в задачах Коши не реализуется.

В задачах Дирихле аргументом является пространственная переменная и это тоже принципиально. Основная цель задач Дирихле не предсказать будущее, а вичислить распределение переменных ui в пространстве, если известно, что на границах эти переменные (или их пространственные производные) зафиксированы и не зависят от времени. Иными словами, задача Дирихле - вычислить стационарное распределение в пространстве. Анализ устойчивости этого распределения выходит за рамки задач Дирихле. Само понятие устойчивости в задачах Дирихле теряет смысл, поскольку оба направления в пространстве (х®-Ґ и х®+Ґ) равноправны. Неустойчивые (с точки зрения Коши) траектории, в задаче Дирихле соответствуют вполне реальному распределению, как это и имеет место в нашем случае.

Для пояснения посмотрим на задачу Дирихле с точки зрения задачи Коши (т.е. заменим х®t, но условия оставим в виде U(t®-Ґ)=-1; U(t®+Ґ). Первое значит, что когда-то давным давно величина U была равна минус единице. Второе значит, что в отдаленном будущем мы твердо знаем, и абсолютно уверены, что U будет равно единице. Это условие носит теленомический характер, поскольку опирается на точное знание будущего. При такой постановке мы можем смело двигаться по траектории, удовлетворяющей этим условиям, не заботясь о том устойчива ли она.

В распределенных системах (2.65) мы имеем дело со смешанной постановкой, где участвуют и условия типа Коши, и условия типа Дирихле. Как они сочетаются мы покажем на втором примере.