2.1. Динамические уравнения и фазовые портреты нелинейных систем:

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17

В этом разделе мы приведем основные сведения и поясним понятия теории динамических систем (или, что то же , качественной теории дифференциальных уравнений). Полное изложение можно найти в соответствующих математических учебниках [1-5]. Популярное изложение содержится в книгах [6 - 9]

Теория динамических систем, основана на дифференциальных уравнениях вида:

dui/dt = (1/ti) Fi(u1 , u2, ...un) , (2.1)

где ui - динамические переменные, например, концентрации реагирующих веществ, Fi(ui) - нелинейные функции, описывающие их взаимодействие. ti - характерные времена изменения переменных ui , i = 1, 2, ... n.

Уравнения (2.1) являются динамическими, то есть при задании конкретного вида функции Fi их решения, вообще говоря, однозначно определяются начальными условиями Казалось бы в такой ситуации ничего неожиданного быть не должно. Тем не менее характерные для синергетики неожиданности здесь возникают, когда решения динамических уравнений теряют устойчивость.

Анализ устойчивости уравнений движения (изменения), а также устойчивости стационарных состояний основан на исследовании поведения малых отклонений от соответствующего решения . Покажем это на примере стационарных состояний системы частиц (точек).

Стационарными называются состояния, соответствующие таким значениям переменных u1 , u2, ...un , при которых все функции Fi(u1 , u2, ... un) равны нулю. При этом значения ui не меняются со временем, так как все производные (см. 2.1) также равны нулю. Однако малые отклонения от стационарных значений dui изменяются со временем, и их изменение можно описать системой линейных дифференциальных уравнений:

(2.2)

где: при uj = `uj , `uj - стационарные значения переменных.

Решения системы (2.2) имеют вид:

(2.3)

Здесь коэффициенты ei i определяются из условий:

(2.4)

Откуда следует, что они пропорциональные начальным отклонениям, (e ~ du(0)) и малы в меру малости последних. Величины li - числа, которые являются решениями алгебраического уравнения: det| ai,j - dij li| = 0, где dij - символ Кронекера такой, что dij = 0 , если i № j и dij = 1 при i = j. Величины li играют важную роль в теории устойчивости, их называют числами Ляпунова.

Если числа Ляпунова отрицательны, то все dui(t) убывают со временем, поэтому состояние устойчиво. В этом случае система стремится обратно к стационарному состоянию, даже, если ее немного отклонить от него. Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, то состояние неустойчиво.

В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется тогда знаком действительной части. Если среди чисел Ляпунова имеются равные нулю или чисто мнимые, то стационарное состояние называется нейтральным; при отклонении от него не появляются ни возвращающие, ни отклоняющие силы.

Анализ неустойчивых движений основан на том же принципе: определяется временнaя зависимость малых отклонений от заданной траектории. Используются линейные по отклонениям уравнения (высшими степенями dui(t) пренебрегают), решения которых имеют вид:

(2.5)

Числа Ляпунова при этом уже не постоянны, а зависят от времени. Траектория является неустойчивой, если среди чисел li(t) имеются такие, вещественные части которых положительны в достаточно большом интервале времени Dt, таком. что Dt l(t) >> 1.

Подчеркнем важное свойство: числа Ляпунова являются характеристическими (или собственными) числами системы; они не зависят от начальных условий. Таким образом, устойчивость (или неустойчивость) - внутреннее свойство исследуемой системы, а не результат внешнего воздействия. Особенность его в том, что проявляется оно только при наличии малых внешних воздействий.

Эта особенность привела к важным методологическим последствиям. Сейчас приходится пересматривать и подвергать ревизии некоторые, казалось бы установившиеся в физике понятия. Обсудим три примера.

Рассмотрим понятие абсолютно изолированной системы. Сейчас ясно, что его можно (и то не всегда) ввести лишь как предел неизолированной системы при стремлении к нулю величины внешнего воздействия. Для устойчивых систем такой предел существует и, следовательно, понятие остается в силе. В неустойчивых системах такой предел, вообще говоря, не существует. Действительно, предел величины du(t) = eЧ еlt (где l > 0) при e ® 0 и t ® µ зависит от порядка стремления аргументов к своим пределам. Формально величину e (которая отражает меру внешних воздействий) и время t можно считать независимыми. Однако, как мы убедились на конкретном примере, уже при сравнительно небольших временах фактор еlt возрастает столь сильно, что компенсировать его уменьшением e - задача абсурдная. Суть дела здесь в том, что экспоненциальная зависимость (explt) очень сильна, конкурировать с ней практически невозможно. Поэтому для неустойчивых систем понятие "абсолютно изолированная система" теряет смысл; можно говорить об относительно изолированной системе.

В связи с явлением неустойчивости возникает необходимость пересмотреть такие понятия как "бесконечно малое" и "бесконечно большое". Ясно, что при небольших временах (таких, что t"1/Rel ) и Dx<<1, то есть отклонения малы, и возмущением можно пренебречь. При этом динамическим расчетам можно доверять даже в случае их неустойчивости. Время t"1/Rel называется интервалом предсказуемости (или горизонтом прогнозирования).

Ясно также, что при больших временах (таких, что Rel·t =100 - 1000) отклонение Dx(t) станет большим при любых реальных возмущениях Действительно, для того, чтобы пренебречь возмущениями в этом случае необходимо изолировать систему с точностью до , что невозможно.

Здесь не обсуждалось, какую размерность имеют величины Dx(t) и Dx0 и в каких единицах они измерены. В данном случае это и не важно. Дело в том, что любые физические величины (длины, массы, временные интервалы, числа частиц и т. д.) в нашем мире ограничены, то есть выражаются числами в интервале от 10-100 до 10+100 . Большие (или меньшие) числа могут появиться лишь как результат расчета, в котором фигурирует экспоненциальная (или более мощная ) функция. В связи с этим Эдваром Каснером было введено новое понятие "гугол" - столь большое число (больше 10+100 ), которое не может соответствовать никакой физической величине (см. [10])

Возмущение является физической величиной. Отсюда следует, что начальное отклонение не может быть меньше 10-100 , в то время как величина Rel·t вполне может стать больше 100. Обратный "гугол" , хотя формально является конечной величиной, реально должна рассматриваться как бесконечно малая. В частности, вопрос: как ведет себя функция внутри интервала порядка обратный гугол, лишен смысла. Функцию на таком интервале следует заменить числом (средним по интервалу), поскольку более детальное её поведение принципиально не наблюдаемо. Это утверждение. хотя и негативно, играет важную практическую роль. что мы продемонстрируем позже.

Требует ревизии и понятие "причины" [11,12]. Обычно под причиной понимают начальные условия (или импульсные внешние воздействия), которые в соответствии с динамикой системы приводят к определенному результату, т.е. - следствию. На этом языке слово "вскрыть причинно-следственные связи" означают "понять динамику промежуточных процессов". При этом негласно предполагают, что причины и следствия соизмеримы. Для устойчивых (или нейтральных) процессов это всегда имеет место. В неустойчивых процессах ситуация иная: очень малая величина приводит к следствию, которое по масштабам с причиной не соизмеримо. Обычно в таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие. При этом, однако, происходит весьма существенный сдвиг понятий: в качестве причины фигурирует внутреннее свойство системы, а не внешнее воздействие.

Поясним сказанное на житейском примере. Рассмотрим два случая. В первом хрустальная ваза стоит на середине стола (состояние устойчиво). Прошел некто и неловким движением столкнул вазу со стола - она разбилась. В чем причина столь печального события, или, другими словами, кто виноват? Ясно, что виноват "некто" а причина - его неловкое движение.

Рассмотрим другой случай: ваза стоит на краю стола так, что чуть не падает (состояние, близкое к неустойчивому). Пролетела муха - ваза разбилась. В этом случае муху не обвиняют, а говорят, что причина события в неустойчивом положении вазы. Виноват тот, кто ее поставил (так, чтобы никто не был виноват, в жизни обычно не бывает). Забегая несколько вперед, отметим, что в основе утверждения "событие произошло случайно" (то есть без видимой причины) также лежит неустойчивость динамических процессов.

В общем случае выход из неустойчивого состояния возможен в разные стороны. Так, шарик, движущийся по водоразделу, может свалиться как вправо, так и влево. Направление зависит от начального возмущения.

В отсутствии выделенного направления принимается, что малые возмущения равновероятны. Здесь мы впервые употребляем слово "вероятность". В устойчивых динамических системах оно не употребляется и, более того, не имеет смысла. В неустойчивых системах, напротив, достоверные предсказания не имеют смысла, и можно говорить лишь о вероятности того или иного результата. Таким образом, неустойчивость является тем свойством, которое позволяет ввести в динамическую теорию понятие "вероятность".

Из изложенного следует, что устойчивость (неустойчивость) - не просто одно из свойств динамической системы. Это свойство существенно расширяет и изменяет аксиоматику динамических систем и позволяет взглянуть на мир с иной точки зрения. Ярким следствием неустойчивости является "динамический хаос".

Вернемся к системе уравнений (2.1).

При исследовании открытых систем, способных к самоорганизации, в качестве динамических переменных ui выступают самые различные величины: потенциалы и токи в физике, концентрации различных веществ в химии, численности организмов разных видов в биологии и экологии. Число переменных в реальных системах достаточно велико. Исследовать свойства многомерных систем сложно.

На помощь приходят методы редукции, т. е. сведения системы уравнений, содержащих большое число дифференциальных уравнений (и, следовательно, переменных) к более простой системе из меньшего числа уравнений. Редуцированную систему уравнений называют базовой. От неё требуется:

Во-первых, чтобы она описывала основные черты рассматриваемого явления.

Во- вторых, чтобы она содержала минимальное число переменных и параметров.

В-третьих, чтобы она была "грубой" в смысле Андронова. Последнее означает, что при малом изменении параметров и слабом расширении базовой системы (то есть добавлении высших производных и/или новых членов с малыми коэфициентами), решения должны меняться мало.

В химической кинетике редукция кинетических уравнений использовалась давно и известна как метод стационарных концентраций. Он основан на временной иерархии процессов. Последнее означает, что характерные времена ti в (2.1) существенно различны и их можно разделить на три группы. К первой относятся процессы, времена которых совпадают с характерными временами интересующего нас явления. Ко второй относятся медленные (по сравнению с первыми) процессы и к третьей - быстрые.

Например, если нас интересуют изменения системы, происходящие за 1-10 минут, то процессы, протекающие за секунды и доли секунд считаются быстрыми, а процессы, для которых требуются часы и сутки - медленными. Иная градация возникает, если нас интересуют секундные изменения; тогда минутные процессы мы уже отнесем к медленным. Разбив реакции на такие группы, мы можем заметить следующее:

1. Все медленно и очень медленно изменяющиеся концентрации мы просто можем считать постоянными и равными их начальным значениям.

2. В быстрых и очень быстрых реакциях успевают установиться стационарные концентрации. Другими словами, между соответствующими концентрациями быстро установятся определенные соотношения и при изменении одной из них другие почти мгновенно к ней подстроятся. В этом случае часть дифференциальных уравнений можно заменить алгебраическими соотношениями и система упростится.

В результате останутся лишь процессы, имеющие примерно одинаковые скорости; их, как правило, не много. Замену дифференциальных уравнений алгебраическими называют иногда принципом стационарных концентраций.

Строгое математическое обоснование такой процедуры было дано А.Н.Тихоновым [13] . Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, ограничимся лишь примером.

Пусть среди n компонентов процесса имеется такой (концентрацию его обозначим u1), который очень быстро образуется, но очень быстро расходуется. Тогда уравнение для него можно записать в виде:

где А = 1/ t1 >>1 (2.6)

Учитывая, что за времена порядка t1 все концентрации, кроме u1, изменяются слабо и считая их постоянными, можно найти стационарную концентрацию `u1 из условия:

(2.7)

Используя (2.7) можно выразить `u1 через другие переменные и таким образом сократить число дифференциальных уравнений.

На первый взгляд это может показаться парадоксальным. Действительно, приравнивая нулю функцию F(ui,) мы как бы считаем, что скорость изменения u1 равна нулю, хотя с другой стороны именно она пропорциональна большой величина А.

Не трудно убедиться, однако, что парадокса тут нет, если стационарное состояние уравнения (2.6) устойчиво. Последнее является необходимым условием теоремы Тихонова, если оно не соблюдается, то использовать метод стационарных концентраций нельзя.

Для демонстрации этого рассмотрим решение уравнения (2.6), в случае малых отклонений u1 от стационарного значения. В данном случае выражение (2.3) принимает вид:

где ; (2.8)

Устойчивость решения уравнения (2.6) означает, что частная производная в (2.8) отрицательна. Число Ляпунова при этом тоже отрицательно и очень велико (поскольку А>>1). Это обстоятельство обеспечивает быстрое установление стационарного значения концентрации u1 , что и является основным утверждением теоремы Тихонова.

При моделировании конкретных сложных систем (например, экологических) сначала исследуют базовую модель и затем её расширяют до полной, которая называется имитационной. Последняя дает те же результаты, что и базовая, но кроме того позволяет описать поведение "деталей", то есть тех быстрых переменных, которые в базовой модели не фигурируют.

Во многих и очень важных случаях базовая модель содержит всего два уравнения. Для исследования их используется наглядный метод построения так называемого фазового портрета.

Поясним его смысл на примере двух уравнений для переменных x и y.

(2.9)

P(x,y) и Q(x,y) известные и в общем случае нелинейные функции своих переменных.

На рисунке 2.1 приведена плоскость (x,y). Каждая точка на этой плоскости дает информацию о состоянии системы (2.9) и потому называется изображающей точкой.

Пусть в начальный момент t=0 переменные x и y равны x=x1 ; y=y1 . Вычислим их приращения за малый интервал времени Dt. Эти приращения отложены на рисунке (2.1). Там же приведен вектор смещения изображающей точки. Аналогично можно вычислить смещение в следующий интервал времени. Повторяя процедуру можно получить ломаную линию, которая при Dt®0 переходит в плавную кривую, именуемую траекторией системы. Движение изображающей точки по траектории дает представление о развитии процесса во времени, даже если точное решение системы (2.9) не известно или не может быть выражено в аналитической форме. Именно в этом заключается ценность фазового портрета.

Для упрощения расчетов удобно провести две линии P(x,y)=0 и Q(x,y)=0. На первой приращение Dx=0, то есть траектории на ней вертикальны. На второй приращения Dy =0, то есть траектории на ней горизонтальны. Эти линии называются главными изоклинами. Точки их пересечения соответствуют стационарны состояниям, поскольку при этом оба приращения равны нулю.

На этом примере удобно проиллюстрировать теорему Тихонова и прояснить некоторые математические тонкости. Последние заключаются в следующем:

i) Полная система уравнений содержит n переменных и требует задания стольких же начальных условий. В редуцированной системе число переменных и начальных условий меньше, то есть часть условий оказываются лишними.

ii) При редукции нарушаются аналитические свойства решения полной системы.

Поясним это на примере редукции системы (2.9) в случае когда tx >> ty . Cогласно теореме Тихонова систему (2.9) можно редуцировать до одного уравнения:

(2. 10)

где зависимость y(x) - решение алгебраического уравнения Q(x,y) =0.

На рисунке 2.1, б приведен фазовый портрет системы (2.9) при tx >> ty. Видно, что траектории во всех точках, кроме лежащих на изоклине горизонталей, практически вертикальны, поскольку Dy >> Dx. Поэтому изображающая точка очень быстро, за время ty, попадает на изоклину горизонталей и затем медленно движется к стационарному состоянию согласно (2.10). Формально траектория плавная, но на ней имеется очень крутой поворот в точке(x1 , y2). Уравнение (2.10) этот крутой поворот не описывает, с чем и связано нарушение аналитических свойств решения полной системы (2.9).

Начальное значение переменной y1 в уравнении (2.10) не фигурирует, важно лишь значение x1 . Любое другое значение y, лежащее на вертикали x=x1 приводит к тому же результату. Иными словами, редуцированная система забывает о начальном значении y.

Таким образом редуцированная система правильно описывает процесс на

ограниченном, но наиболее важном для данной задачи, временном интервале.

Информационные аспекты редукции (и теоремы Тихонова) в следующем. При редукции сложной системы количество информации сокращается, сохраняется только ценная информация, а не ценная забывается.

Мы остановились на этом примере столь детально, поскольку редукция сложных систем играет очень важную роль при описании и исследовании процессов самоорганизации.

Как упоминалось, редукция основана на временной иерархии. Возникает вопрос: в каких случаях она имеет место и почему. В неживой природе она имеет место далеко не всегда. Так, например, при горении водорода образуется много промежуточных продуктов и времена их взаимопревращений примерно одного порядка. В процессах самоорганизации в живой природе, напротив, временная организация наблюдается практически всегда. Тому есть причины. Дело в том, что задачи моделирования и самоуправления во многом сходны и временная иерархия необходима и для того и для другого.

Отсюда следует на первый взгляд парадоксальный вывод: построение математических моделей живых самоорганизующихся систем - задача более простая, чем моделирование процессов в неживой природе, хотя и последнее интересно и важно. Возможно, именно с этим связаны успехи синергетики в биологии, экологии и социальных науках.

Стационарные состояния динамической системы могут быть разного типа. Их классификацию удобно привести на примере системы (2.9),

1. Устойчивый узел - так называется стационарное состояние в случае, если траектории упираются в точку, то есть приближаются к ней апериодически. При этом в линейном приближении вблизи точки все числа Ляпунова вещественны и отрицательны.

2. Устойчивый фокус - в этом случае траектории имеют вид свертывающихся спиралей и изображающая точка приближается к стационару, совершая затухающие колебания. При этом числа Ляпунова комплексны; реальная часть их отрицательна, а мнимая равна частоте колебаний.

3. Центр - в этом случае траектория представляет собой замкнутые кривые. Числа Ляпунова при этом чисто мнимые. В системе происходят незатухающие колебания амплитуда которых зависит от начальных условий (но не от параметров системы). Частота (т.е. мнимая часть числа Ляпунова) напротив, определяется внутренними свойствами системы.

Состояние "центр" нейтрально, то есть ни устойчиво, ни неустойчиво.

4. Неустойчивый фокус - в этом случае траектории - раскручивающиеся спирали. Числа Ляпунова определенные в линейном приближении комплексны, и реальная часть их положительна.

В реальных системах, как правило, раскручивание спирали ограничивается нелинейными членами. Тогда раскручивающаяся спираль навивается на замкнутую траекторию изнутри. Другие траектории, стремящиеся к неустойчивому фокусу из одаленных областей фазового пространства, навиваются на замкнутую траекторию снаружи. Эта замкнутая траектория называется предельным циклом (или циклом Пуанкаре). Движение точки по предельному циклу описывает периодический процесс. В отличие от центра, в данном случае амплитуда и период определенный внутренними свойствами системы и не зависит от начальных условий.

5. Седло - неустойчивое состояние в котором, хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно. На фазовом портрете системы типа 2.2 через седло проходит только две особых линии. Одна из них такова, что изображающие точки движутся по ней к седлу и упираются в него. Эта линия называется сепаратрисой. Другая такова, что точки движутся от седла в разные стороны. Остальные траектории "обтекают" седло (в ту или иную сторону) и не попадают в него. Примером может служить движение шарика в потенциальном поле имеющем форму седла ( или перевала) - отсюда и происхождение названия - седло.

Точки типы "седла" с необходимостью возникают в бистабильных системах, где имеется два разных центра притяжения (типа устойчивого узла или фокуса). Линия, проходящая через седло разделяет области притяжения устойчивых точек - отсюда ясно и ее название - сепаритриса, то есть разделяющая.

Конкретные примеры таких систем мы приведем ниже. Отметим, что в гамильтоновых системах могут существовать только особые точки типа седла и центра. Другие стационарные состояния в них невозможны.

Продемонстрируем метод построения фазового портрета на ряде конкретных примеров.

Рассмотрим бистабильную колебательную систему вида:

(2.11)

Она описывает движение шарика массы m в потенциальном поле V(x) при наличии трения (коэфициент трения - g)

(2.12)

Первый член левой части (2.11) - сила инерции, второй - сила трения, пропорциональная скорости.

Потенциал V(x) представлен на рисунке 2.2.

Видно, что имеются две лунки, в которых может находиться шарик и барьер между ними. Если кинетическая энергия шарика достаточно велика, то он может колебаться между лунками.

Для построения фазового портрета системы (2.11) удобно её представить в виде двух уравнений для координаты x и импульса р.

(2.13)

где обозначено:

Фазовый портрет системы (2.13) приведен на рисунке 2.3.

Пересечение изоклин - стационарные состояния - расположены в точках: x=1 , x=-1 и x=0. Средняя из них - седловая. Таким образом, система бистабильна и выбор конечного состояния зависит от начального положения изображающей точки. Траектории - спирали. Сепаратрисы, будучи сами траекториями, тоже имеют спиральную форму, они изображены на рисунке жирными линиями. Слои между сепаратрисами - области притяжения устойчивых состояний. Толщина слоев зависит от коэффициента трения g, спирали сгущаются при уменьшении последнего.

Уравнение (2.11) качественно описывает игру в "орлянку", то есть вращение подброшенной в воздух монеты и последующее падение её. Два стационарных состояния соответствуют "орлу" или "решке". Трение монеты о воздух очень мало и сепаратрисы плотно заполняют фазовое пространство. Малое, но конечное изменение начального условия или малое внешнее воздействие может перебросить точку в соседний слой, что приводит к изменению выбора системой конечного состояния, то есть к генерации информации.

Физический смысл описанного прост: если шарик имеет вначале достаточно большую кинетическую энергию, то до остановки он совершит так много колебаний, что предугадать результат очень сложно. Если начальные условия заданы на сепаратрисе, то это вообще невозможно.

В отсутствии трения (g=0), спирали замыкаются и устойчивые фокусы превращаются в центры, то есть нейтральные состояния (числа Ляпунова при этом чисто мнимые). Уравнения (2.13) при этом описывают незатухающие колебаня. При малых амплитудах - колебания вокруг стационарной точки (либо x = +1, либо x=-1). При больших амплитудах - это колебания вокруг обеих точек.

Положение изображающей точки на плоскости (x,p) определяет как координату(x), так и импульс (р). Угол между линией, направленной из начала координат к изображающей точке, и абсциссой представляет собой фазу колебаний. Отсюда происходит название - фазовая плоскость.

В отсутствии трения (g=0) решение уравнения ((2.11) существенно упрощается. Тому есть причина, причем фундаментальная - закон сохранения энергии. Полная энергия, то есть сумма кинетической и потенциальной энерги

(2. 14)

не изменяется со временем. Величина Н называется гамильтонианом, а соответствуюшие системы - гамильтоновыми. Используется и другое название - консервативные системы. Этим подчеркивается, что некая величина, в данном случае энергия, сохраняется.

В общем случае, при наличии трения энергия (2.14) не сохраняется, точнее, она рассеивается, диссипирует, переходит в тепло. Такие системы называются диссипативными, происхождение термина очевидно.

При очень сильной диссипации ( ) в уравнении (2.11) можно пренебречь силой инерции и представить его в виде:

(2.15)

Оно описывает движение легкого шарика в потенциальном поле V(x) в очень вязкой жидкости. Оно же описывает простейшую запоминающую ячейку - триггерный элемент.

В настоящее время термин "диссипативные системы" очень популярен поэтому его уместно обсудить более детально.

Существующая в теории динамических систем терминология заимствована из механики, где такие понятия как энергия, импульс, диссипация имеют четкий смысл. Там же, в механике, квантовой механике, теории поля и т. п. ( то есть в "фундаментальных" науках) рассматриваются преимущественно гамильтоновы системы. Тому есть причины:

Во-первых, закон сохранения энергии действительно фундаментальный. Он действительно соблюдается в каждом отдельном акте взаимодействия элементарных частиц и физических полей. В более сложных процессах происходит диссипация энергии и эту проблему мы рассмотрим позже.

Во-вторых, методы исследования гамильтоновых систем детально разработаны.

В реальной жизни, и в частности, в процессах, связанных с информацией, приходится иметь дело с диссипативными системами. Таким образом, область применимости гамильтоновых систем в реальной жизни крайне узка.

Мы остановились на этом вопросе, поскольку до сих пор не прекращаются попытки построить "фундаментальную биологию" или "фундаментальную информатику" по образу и подобию гамильтоновой механики. Из изложенного следует, что попытки уложить реальную жизнь в прокрустово ложе гамильтоновых систем обречены на неудачу.

Рассмотрим фазовый портрет еще одной системы, имеющей отношение к информации и, в частности, к процессу генерации информации в биологических системах (возникновению единого генетического кода) [7,8,14]. Система состоит из двух уравнений

du1 /dt = u1 - u1 u2 - а1 u12 du2 /dt = u2 - u1 u2 - а2 u22 (2.16)

Обсудим сперва свойства системы (2.16) в симметричном случае. когда а1 =а2=а. Фазовый портрет её представлен на рисунке 2.4.

Изоклины вертикалей (Du1 = 0) определяются из условия F1( u1, u2 ) = u1 - u1 u2 - а u12 = 0 и соответствуют линиям u1 = 0 и u2 = 1 - а u1 . Изоклины горизонталей (Du2 = 0) определяются из условия u2 - u1 u2 - а u22 = 0 и соответствуют линиям u2 = 0 и u1= 1 - аu2.

(см.рис.2.4). Система имеет четыре стационарных состояния. Первое расположено при u1 = u2 = 0 и неустойчиво. Оба числа Ляпунова положительны и равны l1,2 =+1. Такая точка называется неустойчивым узлом.

Второе расположено на биссектрисе u1 = u2 = (1 + а)-1 и тоже неустойчиво (типа седла). Имеются два устойчивых состояния (типа узла): при u1 = 1/а (u2 = 0) и при u2 = 1/а ( u1 =0); в них оба числа Ляпунова отрицательны. Вся плоскость разделяется сепаратрисой на две области; в каждой из них траектории стремятся к соответствующему устойчивому состоянию. В нашем случае в силу симметрии системы она совпадает с биссектрисой.

Эта модель позволяет проследить процесс рецепции информации и возникновение (генерацию) ее. Так, если в силу внешних причин начальные условия не симметричны, то система приходит к определенному стационарному состоянию - это рецепция информации.

Если заранее выбор не предопределен, то есть начальные условия симметричны и заданы на сепаратрисе, то система сама, по воле случая, выбирает одно из стационарных состояний - это генерация информации. Ниже мы вернемся к этой системе и обсудим ее более детально.

В случае, когда коэффициенты а1 и а2 не одинаковы (например, 1> а2 >а1 ) симметрия нарушается, но качественные свойства системы сохраняются: имеются две области притяжения, они различны, но сопоставимы. Фазовый портрет представлен на рисунке 2.5.

2.2. Хаотические состояния, необратимость и рост энтропии.

Мы уже обсуждали вопрос о связи информации и необратимости, имеющий принципиальное значение. В идеально обратимом мире информация не может возникнуть, поскольку любой выбор не может быть запомнен, ( запоминание возможно лишь в диссипативных системах). Поэтому необратимость в нашем мире играет существенную конструктивную роль. Однако, в фундаментальных законах классической и квантовой физики время входит обратимо, так, что замена скоростей частиц на обратные эквивалентна повороту стрелы времени (т.е. замене t ® - t). Иными словами, в гамильтоновых системах явление необратимости не может иметь места.

В науке этот вопрос возник в очень острой форме на рубеже XIX и XX столетий. История вопроса поучительна и трагична. Людвиг Больцман был первым, кто попытался решить эту проблему. Он поставил цель: "вывести" законы термодинамики из уравнений Ньютона. Для этого рассмотрел систему из многих шаров, движущихся по ограниченной плоскости (биллиард Больцмана) и упруго соударяющихся друг с другом. Проведя, казалось бы, естественное усреднение, Больцман получил результаты, носящие его имя:

(1) закон возрастания энтропии (так называемая Н-теорема Больцмана),

(2) соотношение между энтропией и вероятностью:

S = k ln W, (2.17)

где k = 1.38*10-16 эрг/град. - постоянная Больцмана и W - вероятность застать систему в определенном состоянии, где скорости и координаты шаров имеют определенное значение,

Эти результаты вошли в "золотой фонд" современной физики. Вместе с тем корректность расчетов Больцмана вызвала сомнение. Друг и постоянный оппонент Больцмана - математик Цермелло - возразил: изначальные уравнения симметричны во времени, а результат (возрастание энтропии) явно не симметричен. Такого не может быть, если все промежуточные вычисления математически корректны; следовательно, где-то допущена ошибка.

Больцман не смог ответить и застрелился.

Следующим был замечательный физик Эренфест. Он сформулировал проблему максимально четко, но ответа дать не смог и застрелился.

Идея ответа была найдена молодым физиком Н.С. Крыловым в 1948 г [15]; он вскоре умер.

В нашем изложении эта история выглядит трагикомически. В действительности решение покончить с жизнью человек принимает в состоянии эмоциональной неуравновешенности и неустойчивости. Искать непосредственную причину такого выбора бессмысленно. Важен другой вопрос: какие обстоятельства привели человека в неустойчивое состояние?

Что касается Людвига Больцмана ответ ясен. В научной среде его результаты встретили серьезное сопротивление. Попросту. он был подвергнут травле. В этом принимали участие не только друг Больцмана Цермелло (со стороны друзей это, как раз, часто случается), но и крупные, казалось бы объективные, ученые. Так, Пуанкаре "открыто рекомендовал не изучать труды Больцмана. поскольку они противоречили его, Пуанкаре, выводам" (цитируется по [9]). Удивительно и поучительно почему Пуанкаре, один из основоположников теории устойчивости, не смог понять результатов Больцмана и связать их с неустойчивостью (что впоследствии сделал Н.С. Крылов). Дело в том. что для Пуанкаре (как и для многих представителей французской школы математиков) принцип детерминизма был святыней. Он не мог даже допустить мысли о возможной ревизии понятий "причина" и "следствие". Этот эпизод - пример тому, как даже великий ум, будучи в плену сложившихся представлений, не может оценить значение своих же собственных результатов.

Что касается Эренфеста, то здесь дело в другом. Главной причиной самоубийства, повидимому, послужили трагические обстоятельства семейного плана. Хотя. и в этом случае сознание неспособности решить поставленную задачу, возможно, играло важную роль.

Что касается Н.С. Крылова, то его ранняя кончина казалась естественной: слабое здоровье, усугубленное тяготами военных лет. Однако. и его научный путь не был усеян розами. Коллеги Н.С. Крылова отнеслись к его идее с настороженностью и поставили вопрос: Откуда берутся малые случайные возмущения? По отношению к неустойчивым процессам такой вопрос, как мы теперь знаем, не корректен и лишен смысла, однако, тогда он казался естественным. Ими же (коллегами) был подсказан ответ: случайные возмущения следуют из соотношения неопределенности (т.е. из квантовой механики). Крылов, под давление общественности. согласился с этим ответом (хотя. внутренне, повидимому, был не удовлетворен им). Вскоре выяснилось. что такой ответ не верен. поскольку в квантовой механике проблема необратимости времени стоит не менее остро. чем в классической (подробнее мы обсудим её позже). В результате в памяти физиков Н.С. Крылов остался, как человек, который пытался проблему необратимости в классике решить за счет квантовой механики, в чем был не прав. Повлияли-ли научные дискуссии на судьбу Н.С. Крылова - судить не будем, важно. что его идеи не были забыты.

Далее события развивались менее драматично. В работах Колмогорова [16], Синая и Амосова [17,18,19] идеи Крылова были оформлены математически корректно. Сейчас результаты известны как теорема Синая . Изложим суть дела.

В механике обратимость во времени означает следующее.

Пусть тело (например, шар в биллиарде Больцмана) в начальный момент (t=0) имеет координаты x0 и скорость v0 и далее движется в соответствии с законами механики. Если в момент времени t1 изменить знак скорости, то по прошествии того же времени t1 тело вернется в точку x0 и будет иметь скорость, равную - v0. (далее такой процесс будем называть обратимым). Этот результат связан с инвариантностью уравнений по отношению к инверсии времени (о чем уже шла речь выше). Это же свойство обеспечивает сохранение энергии в классической механике.

Если такую процедуру провести со всеми шарами биллиарда Больцмана, то все они вернутся на исходные места (хотя и будут иметь противоположные скорости).

В частности, если вначале (t=0) все шары были сконцентрированы в малой части доступного пространства, то после описанной процедуры они должны собраться там же.

Этот результат означает, что энтропии начального и конечного состояний должны быть одинаковы и, следовательно, энтропия в динамических процессах не может возрастать (что и составляло суть возражений Цермелло).

Ясно, с другой стороны, что молекулы газа ведут себя иначе и никогда не собираются обратно. При расширении газа энтропия возрастает и не может затем уменьшиться, даже если изменить знаки скоростей.

В чем здесь дело? Утверждать, что уравнения движения механики не применимы к шарам нельзя; траектории шаров должны им подчиняться (и реально подчиняются).

Для решения парадокса было привлечено понятие устойчивости; в этом и заключалась идея Крылова.

В задаче Больцмана, следует задаться вопросом: устойчиво ли движение шаров в биллиарде? Если оно устойчиво, то Цермелло и Пуанкаре правы , и результаты Больцмана не корректны. Если оно неустойчиво, то это обстоятельство и является "причиной" необратимости процесса. Тогда строгие математические расчеты механических траекторий не могут описать реальный процесс; необходим другой подход, другой метод расчета, который позволил бы получить устойчивые результаты. Метод усреднения, который использовал Больцман, позволяет получить устойчивые результаты для средних величин и потому является конструктивным и в этом смысле корректным. Он вполне оправдан в случае, когда траектории шаров неустойчивы.

Рассмотрим, устойчивы ли траектории шаров в биллиарде Больцмана. Движения шаров между соударениями нейтральны, поэтому неустойчивость может возникнуть лишь при соударении шаров. Задачу можно упростить и рассмотреть многократное отражение материальной точки от выпуклой поверхности кривизны R (R=2r, где r - радиус шара). Для этого представим, что точка находится в ограниченном пространстве, в котором хотя бы одна из отражающих поверхностей выпукла (схема процесса приведена на рис. 2.6). Эта задача была поставлена и решена Л.Г. Синаем, и рисунок 2.6 носит название "биллиард Синая".

Не будем детально излагать теорему Синая, лишь на примере поясним суть дела. Рассмотрим угловые отклонения возмущенной траектории от исходной до и после соударения.

Траектория шара представляет собой ломаную линию. Точки излома соответствуют отражениям шара от стенки, плоской или выпуклой. В обоих случаях угол падения bi равен углу отражения.

Зададимся вопросом: устойчиво ли это движение и каковы числа Ляпунова траектории . Для этой цели проанализируем угловые отклонения. Рассмотрим два прямолинейных участка до и после отражения от выпуклой стенки (i-ый и i+1-ый).

Сравним две траектории, одна из которых на i-ом участке отклонена от другой на малый угол ai <<1, и вычислим угол отклонения ai+1 на следующем участке. Он равен:

(2.18)

где: li -длина пробега.

Вывод рекуррентного соотношения (2.18) легко провести, используя рис. 2.6 и сведения из школьного курса геометрии.

Из (2.18) следует, что угловое отклонение возрастает при каждом отражении от выпуклой стенки. Используя соотношение (2.18), можно угловое отклонение am после m-ого соударения выразить через начальное угловое отклонение a0

(2.19)

где: a0 -начальное отклонение (при t=0); n- число соударений за единицу времени ( m=nt); черта над логарифмом означает усреднение по числу соударений Из (2.19) следует, что движение шара в биллиарде Синая неустойчиво, числа Ляпунова положительны и равны

(2.20)

Этот вывод справедлив по отношению к любой траектории, в которой имеет место соударение с выпуклой поверхностью. Более того, этот вывод сохраняется и для обратного процесса, поэтому систему можно считать глобально неустойчивой.

Рассмотрим структуру фазового пространства системы. Имеется четыре динамических переменных: две координаты x и y и два импульса px и py . Закон сохранения энергии накладывает ограничение:

(2.21)

где p0 - абсолютная величина начального импульса. Поэтому изображающая точка движется в трехмерном пространстве, включающем координатную плоскость и, например, импульс px .

Стационарные состояния располагаются на плоскости (x,y), px =0, py =0 (и, следовательно, p0 =0) и соответствуют исходно покоящемуся шару. При ненулевом значении p0 стационарные состояния недостижимы, так что изображающая точка движется в слое трехмерного пространства, ограниченном значениями px =±p0 . При отражении от плоской границы "с" импульс px сохраняется, при отражениях от "а" и "b" меняется его знак, но не величина. При отражении от выпуклой поверхности "d" изменяется величина px . Проекция траектории на плоскость (x,y) представляется ломаной линией, равномерно заполняющей все координатное пространство. Проекция траектории на ось px представляет собой скачкообразный дрейф, также равномерно заполняющий весь доступный интервал (-p0,+p0).

Рассмотрим ансамбль аналогичных систем, в которых начальные условия отличаются, но слабо. В фазовом пространстве он представляется группой изображающих точек, которые в начале находятся в малой области e ( e - мера различия начальных условий). Окружим область всюду выпуклой поверхностью (как это показано на рис 2.7а). С течением времени в силу глобальной неустойчивости точки будут разбегаться друг от друга и в конце концов равномерно и случайно заполнят все доступное пространство. Выберем промежуточный момент времени и снова окружим все точки всюду выпуклой поверхностью. Объм окруженной области Г(t) будет больше начального Г(0) и с течением времени будет возрастать, пока не охватит все пространство. Величина S , равная:

/Г0 (2.22)

называется энтропией Синая. (Здесь: Г0 - элементарная ячейка фазового пространства, в классической физике эта величина условна, в квантовой механике она ограничена соотношением неопределенности и равна Г0 = h3n , где h - постоянная Планка и n - число частиц) Рост энтропии связан просто с увеличением фазового объема Г(t), обусловленного глобальной неустойчивостью.

Системы с такими свойствами называются эргодическими. Свойство эргодичности лежит в основе современной термодинамики. Ранее оно вводилось постулативно и называлось эргодической гипотезой (или гипотезой о микрохаосе ), которую теперь можно считать не гипотезой, а следствием теоремы Синая.

В случае, когда выпуклая поверхность заменена плоской (т.е. R®Ґ), число Ляпунова согласно (6) равно нулю, то есть система устойчива. Абсолютная величина импульса px сохраняется при любом соударении. Изображающая точка движется только в двух плоскостях: px = +px(0) и px =-px(0), и перескакивает с одной на другую при отражениях от стенок "а" и"b". Плоскость (x,y) заполняется траекторией равномерно, но не хаотично.

Ансамбль изображающих точек не расплывается, так что энтропия Синая со временем не возрастает. Такая система не является эргодической.

В связи с этим уместно упомянуть еще об одном парадоксе классической механики.

Согласно теореме Лиувилля объем области, занятой ансамблем в динамических гамильтоновых системах не может изменяться со временем. Это утверждение справедливо по отношению к устойчивым системам, где изображающие точки не разбегаются.

При глобальной неустойчивости возникает вопрос , что понимать под "объемом области". Например, можно окружить ансамбль точек не всюду выпуклой поверхностью так, что объем внутренней области будет сохраняться даже в случае разбегания точек, так, как это показано на рис. 2.7б При этом теорема Лиувилля формально соблюдается, однако вычислить вероятность нахождения системы в данной точке фазового пространства невозможно. При построении лиувиллевского объема фазовое пространство оказывается сильно расслоенным, так, что толщина слоёв меньше. чем обратный гугол Введение всюду выпуклой поверхности равносильно сглаживанию, то есть замене изрезанной функции её средним значением. При этом вероятности нахождения системы в любой точке, окруженной выпуклой оболочкой, одинаковы. Это позволяет перейти от динамического описания эргодических систем к статистическому.

Таким образом, подход Синая можно рассматривать как пример конструктивного использования понятия "обратный гугол".

Можно показать, что в случае термодинамически равновесного идеального газа (содержащего много частиц (т.е. "шаров")) энтропия Синая совпадает с энтропией Больцмана, то есть с физической энтропией. Действительно, термодинамически равновесное состояние представляет собой совокупность микросостояний, каждое из которых неустойчиво и через короткое время заменяется другим. При этом величина Г(t) в (2.22) равна Гmax т.е. максимально доступному фазовому объему. Вероятность обнаружить систему в каком либо одном микросостоянии (т.е. величина W в (2.17)) равна отношению: Гmax / Г0 . Откуда следует, что выражения (2.17) и (2.22) в этом случае совпадают.

С механической точки зрения равновесное макросостояние вообще не является состоянием, и описывать его в терминах механики бессмысленно. Однако, средние характеристики его со временем не изменяются, то есть стационарны и устойчивы. К таковым относятся: средняя кинетическая энергия частиц (температура), средний импульс, передаваемый в единицу времени единице поверхности при соударениях со стенкой (давление) и усредненное по ансамблю распределение частиц по энергиям. Это распределение было получено Больцманом. Вывод его можно найти во многих руководствах (см. например, [20]).

Энтропия в свете изложенного представляет собой не более чем удобную, хотя и условную, меру вероятности. В принципе можно было бы вообще обойтись без этого понятия и оперировать вероятностями. Однако это неудобно, поскольку вероятности, как правило, очень малы (меньше чем обратный "гугол" , а энтропия (в силу логарифмической зависимости ) выражается разумным числом). Утверждение о том, что энтропия может только увеличиваться, означает, что в глобально неустойчивых процессах изображающие точки разбегаются друг от друга независимо от того, рассматриваем ли мы процесс в прямом или обратном направлении времени.

В заключение уместно сделать ряд замечаний.

i) Эргодичность является следствием глобальной неустойчивости, возникающей при взаимодействии частиц, но не связана с числом частиц.

Действительно, в биллиарде Синая имеется только одна частица, и ее траектория с течением времени равномерно заполняет все доступное фазовое пространство (т.е. система эргодична). В биллиарде Больцмана достаточно нескольких шаров для того, чтобы (в силу неустойчивости их соударений) заполнить все доступное фазовое пространство. При этом распределение их по энергиям подчиняется закону Больцмана.

С другой стороны, в системах, содержащих много частиц, но движущихся устойчиво, эргодичность не имеет места. Примером может служить солнечная система, в которой имеются десятки тел (планет, спутников и т.д.), поведение которых отнюдь не хаотично.

Мы остановились на этом, поскольку во многих руководствах утверждается, что большое число частиц является необходимым и достаточным условием эргодичности, что в свете изложенного, неверно.

ii) В задачах Больцмана и Синая рассмотрены взаимодействия с так называемым "жестким кором". Принято, что взаимодействие отсутствует, если расстояние между шарами больше двух радиусов шаров. Сближение шаров на расстояние, меньшее удвоенного радиуса, исключается. Такому взаимодействию соответствует потенциал в виде бесконечной стенки на расстоянии двух радиусов. При этом параметр - радиус взаимодействия - имеет четкий смысл. При взаимодействии реальных частиц (атомов и/или молекул) ситуация иная. На малых расстояниях преобладают силы отталкивания, на больших - притяжения. Если потенциал отталкивающих сил U(r) зависит от расстояния r достаточно резко (например, U(r)"1/rn , n >2), то можно ввести "эффективный радиус", и в этом случае результаты Синая сохраняются.

Если же имеет место дальнодействие (то есть потенциал U(r)"1/r), то эффективный радиус становится бесконечным (R®Ґ). Тогда, согласно (6), число l стремится к нулю , то есть движение частиц устойчиво по Ляпунову .

Гравитационные силы являются дальнодействующими, что и объясняет отсутствие хаоса в планетарной системе. Электрические силы также являются дальнодействующими. Поэтому электронно-ионная плазма, строго говоря, не является эргодической системой. Она не является и динамической, поскольку при взаимодействии ионов присутствуют помимо электростатических другие, короткодействующие силы. Поэтому электронно-ионня плазма, практически, не бывает термодинамически равновесной.

Столь подробное рассмотрение сделано с целью подчеркнуть, что термодинамическое равновесие реализуется отнюдь не всегда, а только в глобально неустойчивых системах (или подсистемах).

iii) Устойчивость макроскопических состояний и неустойчивость микроскопических связаны друг с другом. Действительно, условием устойчивости макросостояний является затухание флуктуаций. С другой стороны, любое микросостояние - это флуктуация на фоне макросостояния. Затухание флуктуации означает разрушение микросостояния, что происходит за счет его неустойчивости.

Таким образом, глобальная неустойчивость микросостояний (микроскопический хаос) оказывается необходимым условием макропорядка.

iv) В эргодических системах неустойчивы движения как в прямом, так и в обратном направлении. Это значит, что при обращении знака времени изображающая точка не вернется в исходное положение, а будет "дрейфовать" в фазовом пространстве так, как, если бы знак времени не был изменен. Иными словами, повернуть процесс вспять (или, что то же, изменить знак времени) в глобально неустойчивых системах невозможно.

Это замечание связано с проблемой "стрелы времени". Суть проблемы в следующем. В физике, благодаря успехам теории относительности, принято думать, что пространственные координаты и время в значительной мере равноправны .

С другой стороны, обратимость в пространстве возможна (всегда можно вернуться в исходную точку пространства), но обратимость во времени невозможна (помолодеть нельзя).

Отличие связано со свойством неустойчивости, которое характеризует нарастание отклонений со временем.

v) В рассмотренных системах (задача Больцмана, биллиард Синая) все числа Ляпунова одинаковы (точнее одного порядка). В реальных (в частности, открытых ) системах это не так.

Число показателей Ляпунова равно числу динамических переменных и очень велико. Среди них имеются как положительные, так и отрицательные. Можно преобразовать динамические переменные (ввести так называемое конфигурационное фазовое пространство) так, что в определенной части нового фазового пространства движения будут устойчивы, а в другой части - глобально неустойчивы. Точнее: изображающая точка в многомерном фазовом пространстве всегда движется по одной траектории. Речь идет о том, что проекция этой траектории на первое подпространство устойчива, а проекция на второе - неустойчива. Тогда в первом подпространстве можно (и нужно) использовать законы механики, а во втором - термодинамики.

В макроскопических машинах (например, паровых) разделение фазового пространства на динамическую и статистическую части очевидно: в котле - термодинамика, в механической части (поршень, рычаги и т.п.) - механика. Поэтому вопрос о критериях разделения был не актуален и долгое время вообще не обсуждался. В молекулярных конструкциях (т.е. в биологических "машинах") такое разделение не тривиально и вопрос о критериях актуален [12]. Из изложенного следует, что таким критерием должно служить наличие (или отсутствие) глобальной неустойчивости.

В связи с развитием вычислительной техники появилось новое направление - молекуулярная динамика [21,22]. Цель его - описание поведения ансамбля частиц, исходя из первых принципов, то есть законов Ньютона. Взаимодействие частиц описывается потенциалом (как правило - Ленарда-Джонса). Практически этот метод используется при теоретическом исследовании поведения сложных молекул (в частности биологических). Однако, его можно использовать и для решения вопроса о росте энтропии в биллиарде Больцмана. Для этого достаточно выбрать форму потенциала, соответствующую упругому соударению жестких шаров. Такие расчеты проводились неоднократно [23]. Число частиц в ансамбле выбиралось порядка 100, что, правда, не существенно. Расчеты проводились в ограниченном пространстве с отражающими стенками. Начальные условия задаювались в виде набора координат и импульсов частиц, далее компьютер вычислял их траектории. Результаты таковы:

Траектории шаров не воспроизводимы, то есть имеет место глобальная неустойчивость - хаос. Средние значения, напротив, устойчивы. Обратимость в механическом смысле не имеет места, то есть при обращении знака времени (инверсии скоростей) частицы не движутся по прежним траекториям и не собираются в исходном месте.

Распределение частиц по скоростям устанавливается достаточно быстро (через 10 соударений) и соответствует максвелловскому не зависимо от начальных условий.

Таким образом, основные результаты термодинамики можно получить без использования второго начала, как дополнителного постулата. Понятие энтропия при этом можно ввести, но можно и не вводить и вообще не упоминать о нем.

Разумеется, точность машинного расчета не абсолютна и ошибки заведомо больше, чем обратный гугол. В частности, инверсию скоростей компьютер тоже делает с ошибкой. Однако, именно такой "неточный" расчет приводит к правильным результатам, адекватно описывающим действительность. В этой связи второе начало можно сформулировать в следующем, несколько парадоксальном, виде:

В расчетах динамических систем необходимо делать ошибки, в этом (и только в этом) случае мы получим результат, правильно описывающий реальные процессы (в том числе необратимые).

При численных расчетах это условие соблюдается автоматически. Абсолютно точные теоремы (типа теорем об обратимости и теоремы Лиувилля) в случае неустойчивых систем приводят к результатам, не соответствующим действительности. В устойчивых системах малые ошибки роли не играют и оба подхода приводят к одинаковым результатам.

В принципе численные расчеты можно проводить и в системах, содержащих большое число частиц (порядка числа Авогадро), но практически это невозможно, да и не нужно. Проще использовать аппарат термодинамики.

Расчеты в рамках молекулярной динамики - пример редукции необратимых явлений к набору элементарных актов, описываемых фундаментальными законами физики.

В связи с этим уместно обсудить вопрос о тождественности частиц, который является одним из фундаментальных, как в квантовой, так и классической физике.

В квантовой механике тождественность понимается как абсолютная и фактически это свойство постулируется. При отказе от абсолютной тождественности нарушается принцип симметрии (в частности, принцип Паули) со всеми вытекающими последствиями.

В классике, напротив, абсолютная тождественность появляется как нечто выходящее за рамки общих случаев (событие меры ноль). Любое свойство объекта (его масса, размеры и т.д.) в общем случае может изменяться непрерывно. В классической макро-физике ни среди природных объектов, ни среди предметов, созданных человеком, не может быть двух абсолютно одинаковых, даже если эти объекты созданы в одинаковых условиях. Они отличаются хотя бы тем, что на каждый предмет можно поставить инвентарный номер и эти номера будут различными. Одинаковыми (или тождественными) можно считать объекты, если в данном процессе (или в имитации этого процесса, проводимых с определенной целью) малые различия роли не играют и на результатах не сказываются.

Иными словами, тождественность в классической физике понятие условное и не абсолютное.

С другой стороны, в учебниках по статистической физике при выводе распределения Больцмана используется утверждение о том, что состояния, полученных перестановкой одинаковых частиц следует считать одним состоянием [20]. При этом "одинаковость" частиц понимается как абсолютная тождественность.

Это же утверждение лежит в основе парадокса Гиббса. Напомним кратко в чем его суть.

Рассмотрим два одинаковых сосуда, разделенных перегородкой, в каждом из которых имеется газ с одинаковыми объемом V, давлением Р, температурой Т и энтропией S .

Молекулы газа в них могут быть либо абсолютно одинаковыми (тождественными), либо отличаться (но очень мало, например, иметь разные массы, отличающиеся на величину, меньшую точности эксперимента).

При удалении перегородки молекулы газа перемешиваются.

Если молекулы тождественны, то смешение в рамках термодинамического подхода не приведет к изменению состояния и полная энтропия S = 2S не изменится.

Если молекулы различаются сколь угодно мало, то в результате смешения энтропия каждого газа увеличивается вдвое и полный прирост энтропии равен: DS = 2S.

Этот прирост не зависит от меры различия начальных газов и остается даже если различие стремится к нулю; в чем и состоит парадокс Гиббса.

В качестве "разрешения" парадокса Гиббса приводят следующий аргумент: молекулы (или атомы) - объекты квантовые и, следовательно, являются либо абсолютно тождественными, либо отличаются на конечную величину. Примером могут служить изотопы одного и того же элемента.

Эта аргументация удовлетворяет отнюдь не всех, поэтому обсуждение парадокса Гиббса продолжается.

Причина здесь в следующем.

Можно представить себе ансамбль из классических объектов ("частиц", например бильярдных шаров), которые наверняка не будут тождественными. Для определенности можно эти объекты пронумеровать или покрасить в разные цвета (например "красный" и "черный").

В принципе можно даже реализовать такой ансамбль в натуре и уж наверняка можно провести расчет его поведения на компьютере в рамках "молекулярной динамики".

Возникает вопрос: будет ли в таком ансамбле заведомо не тождественных частиц устанавливаться распределение Больцмана и будет ли иметь место парадокс Гиббса.

В работе [24] был проведен численный эксперимент в рамках молекулярной динамики. Целью эксперимента было установить, насколько распределение частиц по скоростям соответствует распределению Максвелла-Больцмана. Этот эксперимент показал, что достаточно быстро в ансамбле заведомо не тождественных частиц устанавливается распределение практически неотличимое от больцмановского.

Это значит, что распределение Больцмана устанавливается вне зависимости от того, тождественны частицы или нет.

Численный эксперимент по смешению газов не проводился, однако его результаты очевидны.

Разумеется, при удалении стенки частицы начнут перемешиваться - это объективный факт, не зависящий от того, тождественные частицы или нет. Число возможных микросостояний системы при этом тоже увеличится. Например, состояние в котором левая половина почти пуста, а все частицы сосредоточены в правой до удаления заслонки невозможен по условиям задачи. После удаления перегородки оно в принципе возможно, но крайне маловероятно.

Перед подсчетом энтропии исходного (до удаления заслонки) и конечного (после удаления и перемешивания) состояний уместно сделать ряд замечаний.

1) В классической формальной термодинамике энтропия как функция состояния выражается через макроскопические переменные, такие как: давление, температура, объем и концентрации компонентов (если их несколько).

2) В статистической физике энтропия определяется как логарифм числа возможных микросостояний. В равновесных эргодических системах это определение приводит к тем же результатам, что и формальная термодинамика.

Рассмотрим парадокс Гиббса с формально термодинамической точки зрения. При этом необходимо ввести понятие "концентрация". В нашем случае, когда свойства всех частиц различны, ввести это понятие можно лишь условно.

Обсудим несколько вариантов.

1) Будем считать, что, не смотря на малые различия, все частицы одинаковы. Тогда концентрация С - число частиц в единице объема. Эта концентрация, равно как и другие макрохарактеристики не изменяется при удалении заслонки. Энтропия как функция состояния тоже не изменяется.

2) Разделим все частицы на два сорта: "легкие" (масса которых меньше некоторой средней величины "m") и "тяжелые". Разумеется, такое разделение, равно как и выбор массы m условен, поскольку различия очень малы.

Тогда необходимо ввести две концентрации "легких" частиц (С1) и "тяжелых" (С2).

В случае, если в начале в разных отсеках частицы смешаны равномерно и концентрации их одинаковы, то после удаления заслонки концентрации не изменятся (хотя сам процесс перемешивания конечно произойдет). Энтропия системы в этом случае не изменится.

Пусть в начале "легкие" и "тяжелые" разделены так, что концентрации их в левом ящике С1=0; С2 =С и в правом С1 =С; С2= 0.. Тогда после удаления заслонки концентрации легких и тяжелых частиц будет вдвое меньше. (а занимаемые ими объемы - вдвое больше).

Энтропия системы увеличивается на величину DS = 2 k ln n , (где n - число молекул газа), которая и является энтропией смешения.

Отсюда следует, что энтропия смешения - понятие условное (равно как и энтропия в целом).

Условность всегда субъективна и всегда дискретна. Вопрос о том, где поставить условную границу в случае, когда реальные различия стремятся к нулю лишен смысла. Условную границу можно либо ставить, либо не ставить и решение в этом случае дискретно по постановке задачи.

Критерием условного разделения является его конструктивность или, что то же, целесообразность.

Каждое понятие (тождественность, энтропия и т.д.) вводятся для того, чтобы описывать реальные процессы - в этом и состоит цель их введения. В зависимости от этой цели можно в наборе объектов, свойства которых меняются непрерывно, ввести границу и считать объекты слева и справа от нее одинаковыми. При этом единственным условием является физически реализуемая возможность отнести каждый объект к одному из условно выделяемых классов.

Поясним сказанное на примерах.

1. Рассмотрим процесс разделения изотопов урана (U235 U238). В диффузионном методе разделения используются летучее соединение UF6 При этом изотопы рассматриваются как различные атомы. Критерий различия в данном случае прост и вполне физически реализуем: кусок чистого U235 критической массы (порядка 1 кг) взрывается; такой же кусок U238 - не взрывается. Это связано с различием свойств ядер изотопов, которые не малы.

В разделительных машинах энтропия смешения изотопов обязательно учитывается. Более того, принцип минимума энтропии смешения лежит в основе конструкции этой машины.

2. Рассмотрим теперь процесс восстановления урана из UF6 . В данном случае цель - получение металлического урана. В этом процессе химическое различие изотопов урана пренебрежимо мало. При расчете оптимальных параметров химического процесса эти различия не учитываются, то есть различные изотопы считаются тождественными, учитывать эти различия в данном случае не целесообразно.

3. Рассмотрим ансамбль классических нелинейных автоколебательных систем - генераторов, связанных друг с другом. Параметры их (и собственные частоты) в общем случае различаются, хотя и слабо.

Пусть наша цель - создать систему, в которой генераторы работают синхронно. Тогда параметры генераторов подбираются так, чтобы произошел захват частот. После этого, генераторы, попавшие в полосу захвата, работают на одной общей частоте и в этом смысле ведут себя как тождественные объекты. Генераторы, не попавшие в полосу захвата, работают на другой частоте и рассматриваются как "другие" (не тождественные первым) объекты.

Критерием разделения в данном случае служит полоса захвата частот. Если цель - испытывать каждый генератор в отдельности (вне связи с другими), разделять их на группы бессмысленно. В этом случае они все рассматриваются как одинаковые (стандартные или тождественные, если, конечно, их параметры не выходят за рамки допустимых по стандарту).

4. Рассмотрим в качестве примера игру в биллиард.

Согласно одним из правил, выигрывает тот, кто закатил большее количество шаров в лузы, неважно каких именно в какие именно. При этом все шары считаются одинаковыми (тождественными).

Существуют другие правила, согласно которым выигрывает тот, кто забил определенные шары в определенные лузы. В этом случае шары (и лунки) уже не тождественны. Отличия их должны быть физически детектируемы так, чтобы каждый игрок мог объективно оценить какой именно шар попал в данную лузу (для чего шары нумеруются, раскрашиваются в разные цвета и т.д.). С другой стороны, эти отличия не должны влиять на основные (с точки зрения игры) свойства шаров: их размеры, массу, упругость. В этом смысле они должны быть одинаковыми.

Таким образом, понятие тождественности объектов в классической физике условно. То же относится и к понятию "энтропия", в частности, энтропии смешения.

В свете этого, парадокс Гиббса - результат недоразумений, связанный с попыткой придать условному понятию безусловный (объективный) смысл.

В квантовой механике согласно [25], критерием тождественности двух объектов (состояний) является способность их к резонансному взаимодействию. Так, объекты можно считать одинаковыми (тождественными), если собственные функции системы являются симметричная и антисимметричня суперпозиции функций отдельных объектов. Последнее зависит не только от свойств самих объектов, но и от взаимодействия между ними. такая ситуация очень близка к случаю синхронизации классических осцилляторов, рассмотренному выше. (см. пример 3). В целом ситуация в квантовой механике заслуживает специального и более подробного рассмотрения. Здесь мы этого касаться не будем. .

Рассмотрим парадокс Гиббса с позиции теории глобально неустойчивых (эргодических) динамических систем. Здесь энтропия определена как логарифм фазового объема внутри всюду выпуклой области, охватывающей изображения точек ансамбля системы. Возникает вопрос, насколько условно это определение и как проявляется эта условность в парадоксе Гиббса.

Примем, что все частицы в левом отсеке имеют отрицательные значения пространственной координаты Х, а в правом - положительные.

Рассмотрим вариант (i), в котором все частицы считаются одинаковыми. Тогда в фазовом пространстве всей системы изображающие ансамбль точки распределены равномерно. Всюду выпуклая огибающая охватывает все пространство. Объем внутри нее максимален и при удалении заслонки не увеличивается. Перемешивание сводится к тому, что внутри этого объема изображающие точки перемешиваются и заполняют имеющиеся там пустоты. На величине объема выпуклой оболочки это не сказывается, поскольку исходное состояние является равновесным.

Рассмотрим вариант (ii), в котором частицы считаются различными. Здесь возможны два случая:

В первом различные частицы в начале присутствуют как в левом. так и в правом отсеках. Тогда после удаления заслонки происходит то же самое, что и в предыдущем варианте. Энтропия при этом не возрастает.

Во втором в исходном состоянии одни частицы находятся только в левом отсеке, а другие - только в правом. Это значит, что часть фазового пространства (именно та, где координата Х "легких" частиц положительна, а "тяжелых" - отрицательна) пуста.

При построении оболочки эта часть должна быть исключена. После удаления заслонки эта часть фазового пространства заполняется, оболочка "раздувается" и объем внутри нее увеличивается. Прирост логарифма объема соответствует энтропии смешения.

Отсюда видно, что условность разделения частиц на "легкие" и "тяжелые" проявляется в условности процедуры построения всюду выпуклой оболочки. Речь идет о том, должна ли эта оболочка охватывать область, заведомо пустую в рамках варианта (ii) во стором случае, или заведомо заполненную в рамках варианта (i).

Отметим, что при построении всюду выпуклой оболочки всегда приходиться охватывать пустые области и именно этим обеспечивается рост энтропии в неравновесных процессах. Поэтому некоторая условность этой процедуры имеет место всегда, а не только в случае парадокса Гиббса.

Оправданием и критерием целесообразности этой условности служит конструктивность использования условного понятия в конкретных процессах.

В заключение раздела подчеркнем главные выводы.

Неустойчивость - явление. которое возникает в рамках динамических уравнений, но приводит к тому, что они перестают быть полными. Неустойчивость можно констатировать (то есть вычислить числа Ляпунова) в рамках динамики, но предсказать результат процесса при этом невозможно.

Перед нами пример того, что в рамках любого алгоритма, включающего хотя бы арифметику, можно сформулировать задачу. которая не будет иметь решения. Это - парафраз теоремы Гёйделя, о которой все слышали, но мало кто думал, что она может иметь практическое применение.

Дополнительное утверждение, которое нужно сделать по отношению к глобально неустойчивым (хаотическим) системам, хорошо известно; оно состоит в следующем: по неустойчивым состояниям (микросостояниям) необходимо усреднить и далее работать со средними характеристиками. Последние, как упоминалось, устойчивы в ту же меру, в какую микросостояния неустойчивы. По существу это дополнение является основой второго начала термодинамики.

Дополнительная аксиома нуждается во введении дополнительного понятия. Это понятие - энтропия, как мера множества микросостояний - было введено и сейчас описать явления в неживой природе минуя это понятие, невозможно.

В действительности энтропия была введена много раньше (в начале прошлого века), просто как величина, удобная для расчетов паровых машин. Физический смысл её тогда был не ясен и поэтому энтропия воспринималась как нечто не от мира сего (некий фетиш). Склонность фетишизировать это понятие сохранилась и до сих пор, хотя сейчас ситуация существенно прояснилась.

Теория динамического хаоса не исчерпывается задачей о бильярде. Хаос может возникать и в диссипативных (не гамильтоновых) динамических системах и там он имеет свои особенности [26]. Сейчас найден целый класс динамических систем, в которых хаотический режим возникает лишь в некоторых областях фазового пространства. Такие области называют странными аттракторами [27]. Фазовые траектории входят в эти области (откуда и термин "аттрактор"), но не выходят из них, а запутываются внутри (откуда и эпитет "странный"). Одним из первых обнаружил странный аттрактор Эдвард Лоренц в 1961 г. (см. [27], стр. 88).

Странные аттракторы можно рассматривать как стационарные состояния, но не стянутые к одной точке, а размазанные по области фазового пространства. В природе такие системы распространены гораздо шире, чем это можно было бы предположить.