РАССМОТРЕНИИ БИФУРКАЦИЙ ЧЕЛОВЕКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ

            В данном параграфе затрагиваются вопросы «катастрофичности» поведения нелинейных систем в точках бифуркации, характеризуемых нарушением структуры системы и появлением возможности ветвления функции положения. В качестве подхода используются аналогии с поведением механических устройств типа «машины катастроф» Зимана. При этом следует учесть не только виды поверхностей бифуркации, как это сделано в классической теории катастроф, но и характер процессов бифуркации.

Проблема самоорганизации является одной из центральных в синергетике. Процессу самоорганизации сопутствует период хаоса, когда нарушается структура системы, а внутренние и внешние факторы перестают вызывать привычные последствия. Хаос связан с бифуркацией, при которой появляется возможность выбора дальнейшего пути развития системы. Этой проблеме уделено существенное внимание в классических трудах по проблемам самоорганизации1, синергетики2 и теории катастроф3. При рассмотрении данного вопроса принято пользоваться более или менее обоснованными аналогиями, причем бифуркации в зависимости от характера процесса могут быть разделены на несколько видов. В частности, один из них связан с некатастрофическим изменением направления развития системы – это вполне управляемый процесс. Другой вид бифуркации – катастрофический, лавинообразный, характеризуемый бурными нелинейными колебательными явлениями.

В данном параграфе рассматриваются не достаточно, на наш взгляд, освещенные вопросы, связанные с факторами, определяющими характер процесса бифуркации. В частности, нас интересуют условия наличия либо отсутствия катастрофичности, а также вопросы, связанные со способностью системы выбрать тот или иной путь развития.

Эти вопросы исследуются на основании механических аналогий – достаточно простых технических устройств, наиболее значимым из которых является «машина катастроф» Зимана. Данный подход, по нашему мнению, имеет ряд преимуществ, по сравнению с использованием тех или иных нелинейных уравнений, поскольку он способен наглядно показать не встречавшиеся, быть может, ранее свойства нелинейных систем вблизи точек бифуркации (вполне вероятно, что данные свойства в дальнейшем будут обнаружены и в других – биологических или человекоразмерных – системах). На наш взгляд, весьма важно, что рассмотрение простых механических устройств даст возможность поставить «мысленные эксперименты» для бифуркаций нелинейных систем, а это, как известно, один из мощных способов осмысления весьма сложных методологических задач.

При этом, быть может, удастся хотя бы в некоторой степени приблизиться к решению важной проблемы, которая «…заключается в том, как управлять, не управляя, как малым резонансным воздействием подтолкнуть систему на один из собственных и благоприятных для субъекта путей развития, как обеспечить самоуправляемое и самоподдерживаемое развитие. Проблема также в том, как преодолеть хаос, его не преодолевая, а делая его симпатичным, творческим, превращая его в поле, рождающее искры инноваций…»4

Этот вопрос важен и для человекоразмерных самоорганизующихся систем, каковыми являются научные сообщества, поскольку если подобная сложная система «…проходит через точку бифуркации, то небольшое энергетическое воздействие, укол в нужном пространственно-временном локусе оказывается достаточным, чтобы система перестроилась и возник новый тип структур.»5

Рассмотрим некоторые положения «теории перестройки»3, характеризующие процесс перехода некоторой системы из одного функционального состояния в другое. Согласно указанной концепции некоторая система, находящаяся в «плохом» функциональном состоянии, оказывает по мере движения к другому, «лучшему» состоянию все более существенное сопротивление.

            При этом состояние системы ухудшается, а пик сопротивления наблюдается раньше, чем наихудшее состояние. Далее, после прохождения указанного наихудшего состояния система сама стремится к новому, «хорошему» функциональному состоянию (критерии «хорошего» либо «плохого» состояний представляют отдельный весьма важный вопрос и здесь не рассматриваются – поэтому соответствующие слова взяты в кавычки).

            Для указанных закономерностей поведения перестраиваемой системы можно привести интересную интерпретацию – механическое устройство, подобное «машине катастроф» Зимана3. Ввиду чрезвычайной простоты этого устройства позволим себе изобразить его схему (Рис.2.1.1.1).Оно состоит из рычага АВ, шарнирно соединенного с основанием (точка А), и пружин ВС и СD, одна из которых (ВС) связана с рычагом АВ и основанием, а другая (ВD) имеет один свободный конец (D), к которому должна быть приложена внешняя сила.

            «Катастрофа» наступает, если попытаться перевести точку В из верхней полуплоскости, ограничиваемой продолжениями отрезка АС, в нижнюю полуплоскость. Когда точки А, В, и С окажутся на одной линии (точка D может уже находиться ниже указанной линии), то пружина ВС испытывает максимальное растяжение. Затем происходит срыв («катастрофа») и стремительное движение точки В в новое положение (ниже линии АС). Состоянию срыва соответствуют разные положения точки D, определяемые величиной и направлением прилагаемых к ней усилий. При этом можно построить так называемую «кривую катастроф», параметры которой зависят от геометрических и упругих характеристик системы.

            Аналогия с «теорией перестройки» здесь, на наш взгляд, налицо: управляемая система соответствует контуру АВС, растяжение пружины ВС характеризует степень неудовлетворительности состояния системы, близость ее к наихудшему состоянию. Однако в указанном предельном положении (точка В лежит на прямой АС) сопротивление перемещению невелико, здесь нарушается регулярная структура, и в этом смысле имеет место хаос. Таким образом, поведение «машины катастроф» согласуется с положениями «теории перестройки». Попытаемся теперь выяснить условия, определяющие различный характер процесса бифуркации.

            Согласно изложенному, структура нарушается тогда, когда точки А, В, С расположатся по одной прямой, очевидно, что пружина ВС при этом максимально растянута. Специфика данного положения заключена в том, что при любом направлении выхода из него длина пружины ВС уменьшается, а катастрофа выражается тем, что после срыва внутренние свойства системы АВС обусловливают потерю управляемости и стремительный переход в новое функциональное состояние.

            В особом положении система АВС (без учета действия пружины ВD) пребывает в состоянии неустойчивого равновесия. Но данное состояние вполне можно продлить как угодно долго, расположив пружину ВD также вдоль линии АС и соответствующим образом растянув ее – тогда сила натяжения этой пружины может обеспечить устойчивость особого положения.

            Если же, перемещая точку D вдоль линии АС, мы будем ослаблять натяжение указанной пружины, то направление срыва и стремительного перемещения точки В будет определено случайными факторами (например, минимальными вибрациями основания), мало влияющими в обычных состояниях. При этом наличие дополнительного (пусть весьма маломощного) привода в точке А обусловит отсутствие случайности в определении направления движения звена АВ.

            Процесс бифуркации при различных условиях может иметь как катастрофический, так и вполне управляемый характер, что определяется натяжением пружины ВD и траекторией точки D. Если из положения, изображенного на Рис.2.1.1, данную точку перемещать вдоль линии ВD, увеличивая расстояние между этими точками, то точка В будет приближаться к линии СА и соответственно к другой полуплоскости, определяемой этой линией, затем неизбежно произойдет срыв, и вследствие наличия упругости будут наблюдаться колебания около устойчивого состояния. Отметим, что перед срывом точки В и D будут располагаться в разных полуплоскостях. Некатастрофический переход возможен, если пружина ВD сильно растянута, и упругость пружины СВ мало влияет на характер процесса.

            Основываясь на изложенном, хотелось бы сделать несколько замечаний. Во-первых, следует отметить, что характер процесса бифуркации существенно зависит от свойств системы, как-то от наличия в ней некоторых внутренних сил, характер действия которых определяется структурой и возможностью изменения этой структуры в особых точках.

Во-вторых, можно указать на важность характера внешних сил, их точки приложения, величины и траектории действия – напомним, что катастрофический характер бифуркации связан с возможностью расположить точки В и D по разные стороны от линии АС, разделяющей две полуплоскости. Если же в момент прохождения особой точки внешняя сила способна уравновесить внутреннюю, обусловливающую катастрофичность, то процесс бифуркации управляем.

Наконец, хотелось бы отметить роль соотношения между характеристиками передаточных элементов (пружин), осуществляющих взаимодействие между элементами системы и внешними возмущениями. (Если вместо пружины ВD будет просто жесткий стержень, то «катастрофа» в принципе невозможна).

Безусловно, рассматриваемая механическая система весьма проста, однако, по нашему мнению, она в какой-то степени отражает поведение гораздо более сложных систем, и это обусловлено несколькими обстоятельствами. Прежде всего отметим, что даже вполне сложная система с разветвленной структурой в точке бифуркации имеет, как правило, одну главную особенность, главное противоречие. Собственно, термин «синергия», характеризующий совместное действие многих элементов системы, связан с тем, что эти элементы становятся подчинены одному или нескольким параметрам порядка. В этом, по мнению создателя синергетики Г. Хакена, заключен один из важнейших принципов работы головного мозга.

Далее укажем на то обстоятельство, что рассмотренная модель вполне характеризует важность соотношения внешних и внутренних сил, действующих на систему, с учетом их величины, точки приложения и направления действия. Кроме того, здесь показана возможность существования такой ситуации, что в точке бифуркации выбор подвержен лишь случайным факторам, а для целенаправленного осуществления выбора может быть необходим дополнительный (в данном случае расположенный в точке А) двигатель.

Здесь уместно остановиться на термине «диссипативные системы», применяемом И. Пригожиным. Если внутренние силы, по сравнению со внешними, весьма велики, то система может считаться консервативной. В этом случае она подвержена действию законов сохранения (энергии, массы). Если же внешние силы значительно превышают внутренние, и кроме того передаточные элементы (пружины) обладают существенной жесткостью, то катастрофический процесс бифуркации уступает место вполне управляемому процессу. По нашему мнению, диссипативными следует считать системы, где нет существенного преобладания внешних или внутренних сил друг относительно друга. В указанном смысле рассматриваемая механическая модель может отвечать термину «диссипативная».

            Однако отметим, что описанное механическое устройство действительно не отражает многих свойств сложных систем. Одно из этих свойств связано с тем, что внешние силы подчас в принципе не могут обусловить движение системы из точки бифуркации в некотором предписанном направлении. Следует также указать на случаи, когда особые точки могут образовывать целые связанные области. Речь в частности может идти об устройствах с более высоким, чем единица, числом степеней свободы.

Рассмотрим иную «машину катастроф», которая, кроме прочего, иллюстрирует ту мысль, что в принципе любой механизм, имеющий точки бифуркации и характеризуемый совокупностью внешних и внутренних упругих сил, может считаться таковой машиной.

В качестве примера приведем устройство с двумя степенями свободы, которое, в отличие от представленного выше, отражает возможность такой ситуации, когда внешние силы не обеспечивают предписанного направления выхода из особого положения. Это устройство (Рис.2.1.2) представляет собой так называемый шарнирный пятизвенник, включающий замкнутый контур АЕСМВ, внутри этого контура между соответствующими точками установлена пружина ЕМ, а внешние силы действуют через пружины РЕ и КМ.

В зависимости от направления и величины сил, прилагаемых в точках Р и К, мы можем обеспечить различные траектории движения точки С, которая, двигаясь на плоскости, внутри определенной области (называемой рабочей зоной) может занять любое положение. Критическая ситуация имеет место в том случае, когда звенья СЕ и СМ вытягиваются в одну линию – при этом пружина СМ максимально растянута (этого можно добиться, когда к точкам К и Р прилагаются достаточные по величине силы соответствующего направления).

            Очевидно, что в данном случае внешние силы не способны обеспечить вывод системы из особого положения в предписанном направлении. Звенья СМ и СН, находясь в особом положении, могут повернуться друг относительно друга в разные стороны под действием случайных факторов либо под влиянием дополнительного привода, расположенного в точке С (если таковой имеется).

Действие пружины ЕМ может обусловить катастрофический характер процесса бифуркации, но в то же время интересен тот факт, что система имеет возможность совершать движения, находясь в особом состоянии – звенья СЕ и СМ при этом вытянуты в одну линию, а механизм перемещается, как бы имея лишь одну степень свободы (точка С способна двигаться лишь по одной траектории).

Отметим, что, несколько меняя структуру, мы можем повысить способность внешних сил вывести систему из особого состояния в предписанном направлении. Когда пружины закреплены так, как показано на Рис.2.1.2, они не могут обеспечить выведение в предписанном направлении, однако, если несколько иначе расположить точки крепления внешних пружин РЕ и КМ соответственно к звеньям СЕ и СМ, то ситуация может измениться. В частности, если прикрепить эти пружины к точкам, находящимся посередине звеньев, то мы, в принципе, можем с помощью внешних сил осуществить направленный вывод из особого состояния, хотя при этом все же будет наблюдаться катастрофический процесс.

            Рассматривая вновь ту же весьма простую модель, представленную на Рис.2.1.2, кратко остановимся на вопросе необратимости движения. Точка бифуркации определяет направление развития, по которому пойдет система после осуществления соответствующего выбора. Как мы видели, указанное направление не всегда определяется действием внешних сил, поскольку структура и внутренние свойства системы могут не позволить внешним силам осуществить процесс выбора.

Возвращая систему в исходное состояние, внешние силы способны лишь вновь подвести ее к точке бифуркации, а там снова в дело вступают случайные факторы, которые, вполне вероятно, направят развитие не в том направлении, которое бы обусловливало обратимость. Кроме того, по нашему мнению, достаточно сложная система будет иметь весьма частные бифуркации, где отдельные «подсистемы» впадают в особые положения, в связи с этим возврат в исходное состояние становится весьма маловероятным. Таким образом, модель, при которой, согласно Лапласу, для возвращения системы в некоторое начальное состояние достаточно приложить к ней обратные по времени и по направлению силы, в данном случае вряд ли адекватна.

Можно указать, что случайные факторы, столь важные в точке бифуркации, будучи уточненными и введенными в рассмотрение, дадут возможность осуществить в указанной точке выбор движения в предписанном направлении (и в частности в том, что обеспечивает обратимость развития). Например, можно так учесть малые колебания основания механизма, изображенного на Рис.2.1.2, что процесс выбора станет детерминированным. Но это уже будет иная система, для которой наступит своя бифуркация, при которой будут свои факторы еще более высокого порядка малости – и так до бесконечности.

Таким образом, мы попытались поставить некоторые мысленные эксперименты с представленными моделями и выявили ряд свойств, характеризующих расположение точек бифуркации, процессы бифуркации и возможность управлять этими процессами.

Экспериментируя далее с приведенными выше механическими объектами, рассмотрим аналогии между ними и гораздо более сложными человекоразмерными системами. При этом укажем на то, что мы осознаем опасность чересчур безмерной детализации этого подхода. Вместе с тем, на наш взгляд, установление этих аналогий может быть весьма полезным, так как оно способно помочь найти новые свойства сложных систем, а также отыскать пути решения проблем, связанных с их бифуркациями.

            В разных ситуациях система (например, научное сообщество, вооруженное некоторой парадигмой) может по-разному реагировать на изменение параметров. Если парадигма слишком сильна, то любые движения точки D не смогут изменить ее состояния. Если, наоборот, парадигма слаба, то система «послушно» последует за точкой D. Когда же соотношение между жесткостями пружин примерно одинаково, то все зависит от стратегии – траектории перемещения точки D. Это может быть как бурный, «катастрофический» процесс с резкой сменой парадигмы, так и более длительное изменение.

Для примера можно рассмотреть реакцию различных научных сообществ на появление нового результата. Так появление небезызвестной в робототехнике (и весьма эффективной) матрицы Денавита-Хартенберга, описывающей одновременно линейные и угловые изменения систем координат6, по-разному было встречено различными научными школами. Одни из них довольно быстро перешли на новую форму записи, но некоторые до сих пор используют системы уравнений с раздельным рассмотрением угловых и линейных величин.

Кроме того, характер процесса бифуркации связан с тем, насколько сильно меняется множество теорий, каждая из которых в чем-то превосходит другую. Если добавляется новый член этого множества, не нарушающий совокупность его остальных представителей, то следует ожидать спокойного процесса. Это же касается случая, когда из множества лишь исключается какой-то его член. Когда же новые результаты таковы, что «перечеркиваются» все или почти все члены множества, тогда приходится наблюдать более бурную смену парадигм.

Рассмотрим аналогии между представленными моделями и некоторыми положениями психологии. Механизм, приведенный на Рис.2.1.1, по нашему мнению, может в какой-то степени отражать реакции людей различного темперамента на внешний раздражитель, например на получение некоторого серьезного известия. Внутренняя пружина ВС будет характеризовать положительный или отрицательный эмоциональный фон, а внешняя пружина ВD - способность воспринимать обстановку.

            Сангвиник, характеризуемый «быстрым возбуждением и быстрым торможением», мог бы быть представлен механизмом с достаточно мощными пружинами, у которого переход между различными функциональными состояниями осуществляется при весьма сильном растяжении внешней пружины - особая точка соответствует моменту, когда обе пружины вытягиваются в одну линию. Отсутствие резких колебаний в точке бифуркации в данном случае обусловлено соотношением между жесткостями пружин, а также траекторией точки приложения внешней силы.

            Холерик также может быть представлен наличием мощных внутренней и внешней пружин. Однако процесс бифуркации связан здесь с бурной реакцией, поскольку внешняя пружина резко изменяет свою ориентацию, так что система стремительно проходит особую точку. «Катастрофичность» процесса здесь связана с соотношением жесткостей пружин, а также с траекторией изменения точки приложения внешней силы.

            Что касается флегматика, то здесь, на наш взгляд, наличествует резкое различие между жесткостями внешней и внутренней пружин: внутренняя пружина имеет гораздо более высокую жесткость, чем внешняя (не будем забывать, что в качестве пружины мы можем рассматривать и стержень, могущий работать и на сжатие). Поэтому внутреннее состояние флегматика (несмотря на возможность резкого изменения положения конечной точки внешней пружины) будет мало меняться – бифуркации и катастрофические процессы маловероятны.

            Наконец, рассматривая меланхолика, укажем, что здесь, как нам представляется, имеет место существенное преобладание жесткости внешней пружины в сравнении с внутренней. Поэтому этот тип темперамента характеризуется слабыми реакциями, а бифуркации не связаны с катастрофичностью.

            По нашему мнению, модель, представленная на Рис.2.1, может характеризовать также различного рода реформы - удачные и неудачные. «Бархатные революции» происходят тогда, когда, собственно, и нет бифуркации – система уже находится в том состоянии, в соответствие с которым следует привести точку приложения внешней силы (до начала процесса точки В и D были в разных полуплоскостях, но затем точка D переводится в полуплоскость точки В). Примерно так можно описать революцию в Чехословакии, где общество давно было готово к переходу на капиталистические отношения.

            Совсем иное дело представляет «шоковая терапия». В этом случае происходит бурный процесс бифуркации, связанный с тем, что внешняя сила проходит по траектории, обусловливающий «катастрофичность». В качестве примера можно привести реформы в Польше.

            Если наличествует весьма мощная внешняя сила, которая способна перемещаться по траектории, обеспечивающей «некатастрофический» процесс бифуркации, то имеем возможность описать медленные успешные реформы, осуществляемые, например, в Китае.

            Что же касается нашей страны, то по-видимому, здесь процесс реформ можно представить таким действием внешних сил, когда система находится все время вблизи точки бифуркации, «есть шок, но нет терапии». При этом постоянно сохраняется возможность того или другого пути развития. Таким образом, модель, представленная на Рис.2.1, в какой-то степени позволяет анализировать социальные процессы различного характера, в том числе в человекоразмерных системах.

В то же время система, изображенная на Рис.2.2, способна описать явления гораздо более сложного порядка. В частности, с помощью этой модели, как нам кажется, можно представить Фрейдовское взаимодействие между «Оно», «Эго» и «Суперэго», первое из которых определяется прежде всего либидо и желанием свмоутвердиться, а последнее – морально-нравственными установками общества. Указанные воздействия (силы, приложенные к внешним пружинам) вызывают внутреннее напряжение, ощущаемое субъектом (его также характеризует соответствующая пружина). Если напряжение достигает критической точки, то мы приближаемся к бифуркации, перейдя через которую, человек может ощутить ухудшение или улучшение эмоционального фона. Когда внутреннее напряжение сохраняется достаточно долго, то это приводит к неврозу (при этом у системы уменьшается степень свободы).

Для выведения из такого положения следует в структуре системы найти какую-то точку (точка С), воздействуя на которую можно добиться перехода в нормальное функциональное состояние. Примерно так же, на наш взгляд, действуют гомеопатические препараты, способные вызвать довольно бурную реакцию при воздействии весьма малой дозы очень точно подобранного вещества.

Что касается социальных, человекоразмерных систем, то модель, представленная на Рис.2.2, как нам представляется, может отражать возможность возникновения кризисных ситуаций при воздействии на общество противоречивых факторов, в частности власти и оппозиции. Это воздействие способно вызвать сильное внутреннее напряжение, которое может длиться достаточно долго, но способно привести и к революционному взрыву, если в структуре найдена некоторая точка, которая обусловит стремительное развитие процесса бифуркации.

            Модель, представленная на Рис.2.1.2, может отражать еще один важный момент развития человекоразмерных систем, а именно их переход от низшего, к более высокому состоянию, что может происходить, в частности, в науке в связи с ее междисциплинарностью. Иными словами, эта модель в какой-то степени способна выражать разрабатываемый школой В.И. Аршинова «…подход, учитывающий коммуникативную ценность внутридисциплинарной парадигмальной модели Куна и одновременно включающий в рассмотрение междисциплинарный контекст»7.

Предположим, что система, моделируемая схемой Рис.2.2, находится в состоянии бифуркации. При этом звенья ЕС и СМ вытянуты в одну линию, а в точке С имеется жесткая связь - тогда имеем лишь одну степень свободы. Если нашими критериями являются максимально высокое и максимально сдвинутое вправо положение точки С, то множество оптимальных (с точки зрения двух критериев) решений будет определяться правой верхней частью траектории этой точки.

            Пусть теперь в результате междисциплинарного взаимодействия система приобрела возможность независимого изменения параметров (вращения в точках А и В). Тогда для перехода к более высокому уровню развития ей понадобиться новая степень свободы, и это обеспечит шарнир С. Отметим, что прежнее состояние относительно нового будет зоной (геометрическим местом) бифуркации, таким образом точки бифуркации образуют связанный континуум, то есть поверхность бифуркации. Укажем также, что в новом состоянии можно обеспечить гораздо более богатое множество оптимальных решений. Такая ситуация наблюдается, например, в робототехнике в результате взаимодействия механики и кибернетики. Кроме того, нетрудно видеть, что более сложная система с двумя степенями свободы при приложении к ней внешней силы, действующей в точке С перпендикулярно линии АВ, вела бы себя при приближении к положению бифуркации аналогично более простой системе с одной степенью свободы, изображенной на Рис.2.1.1.

В заключение сделаем выводы. Попытавшись поставить некоторые мысленные эксперименты с представленными моделями, мы выявили ряд свойств, характеризующих расположение геометрических мест бифуркации, процессы бифуркации и возможность управлять этими процессами.

На основании этих мысленных экспериментов мы можем констатировать, что «нормальное» состояние человекоразмерных систем, в частности науки, связано с наличием оптимального (с точки зрения нескольких противоречивых критериев) множества вариантов теории. Нарушение этого множества ведет к бифуркации, причем «катастрофичность» процесса бифуркации определяется несколькими факторами.

Во-первых, это соотношение между внешними и внутренними силами. Если одна из них существенно превалирует над другой, то получается либо стационарная, неизменяемая система, либо система, полностью детерминированная внешним воздействием.

            Во-вторых «катастрофичность» процесса бифуркации определяется «траекторией» точки приложения внешней силы, то есть законом изменения вектора внешних сил. Если эти силы действуют по «кратчайшему пути», то это чревато «катастрофичностью», если же внешние силы способны сначала запасти потенциальную энергию и затем медленно переводить систему в требуемое состояние, то некатастрофический процесс вполне возможен.

            В-третьих, можно утверждать, что существуют ситуации, когда ни внешние, ни внутренние силы не способны в точке бифуркации определить направление дальнейшего развития, функцию этого выбора берут на себя случайные факторы. Чтобы этого не случилось, необходимо найти в структуре системы точку, воздействие на которую повлечет за собой процесс развития в избранном направлении.

            Мы можем предполагать, что необратимость развития связана с цепью бифуркаций, при этом наличие обратного (по времени и направлению) действия внешних сил может лишь подводить к точкам бифуркации, где действие случайных факторов определяет выбор направления, не всегда обусловливающего обратимость. Переход человекоразмерных систем, к которым относится наука, к более высокому уровню развития связан с появлением новых независимых параметров, обусловленных, в частности междисциплинарностью. При этом более низкий уровень соответствует гиперповерхности бифуркации системы более высокого уровня.

Примечания

Рис. 2.1.1. Машина катастроф с одной степенью свободы

Рис. 2.1.2. Машина катастроф с двумя степенями свободы

            В данном параграфе затрагиваются вопросы «катастрофичности» поведения нелинейных систем в точках бифуркации, характеризуемых нарушением структуры системы и появлением возможности ветвления функции положения. В качестве подхода используются аналогии с поведением механических устройств типа «машины катастроф» Зимана. При этом следует учесть не только виды поверхностей бифуркации, как это сделано в классической теории катастроф, но и характер процессов бифуркации.

Проблема самоорганизации является одной из центральных в синергетике. Процессу самоорганизации сопутствует период хаоса, когда нарушается структура системы, а внутренние и внешние факторы перестают вызывать привычные последствия. Хаос связан с бифуркацией, при которой появляется возможность выбора дальнейшего пути развития системы. Этой проблеме уделено существенное внимание в классических трудах по проблемам самоорганизации1, синергетики2 и теории катастроф3. При рассмотрении данного вопроса принято пользоваться более или менее обоснованными аналогиями, причем бифуркации в зависимости от характера процесса могут быть разделены на несколько видов. В частности, один из них связан с некатастрофическим изменением направления развития системы – это вполне управляемый процесс. Другой вид бифуркации – катастрофический, лавинообразный, характеризуемый бурными нелинейными колебательными явлениями.

В данном параграфе рассматриваются не достаточно, на наш взгляд, освещенные вопросы, связанные с факторами, определяющими характер процесса бифуркации. В частности, нас интересуют условия наличия либо отсутствия катастрофичности, а также вопросы, связанные со способностью системы выбрать тот или иной путь развития.

Эти вопросы исследуются на основании механических аналогий – достаточно простых технических устройств, наиболее значимым из которых является «машина катастроф» Зимана. Данный подход, по нашему мнению, имеет ряд преимуществ, по сравнению с использованием тех или иных нелинейных уравнений, поскольку он способен наглядно показать не встречавшиеся, быть может, ранее свойства нелинейных систем вблизи точек бифуркации (вполне вероятно, что данные свойства в дальнейшем будут обнаружены и в других – биологических или человекоразмерных – системах). На наш взгляд, весьма важно, что рассмотрение простых механических устройств даст возможность поставить «мысленные эксперименты» для бифуркаций нелинейных систем, а это, как известно, один из мощных способов осмысления весьма сложных методологических задач.

При этом, быть может, удастся хотя бы в некоторой степени приблизиться к решению важной проблемы, которая «…заключается в том, как управлять, не управляя, как малым резонансным воздействием подтолкнуть систему на один из собственных и благоприятных для субъекта путей развития, как обеспечить самоуправляемое и самоподдерживаемое развитие. Проблема также в том, как преодолеть хаос, его не преодолевая, а делая его симпатичным, творческим, превращая его в поле, рождающее искры инноваций…»4

Этот вопрос важен и для человекоразмерных самоорганизующихся систем, каковыми являются научные сообщества, поскольку если подобная сложная система «…проходит через точку бифуркации, то небольшое энергетическое воздействие, укол в нужном пространственно-временном локусе оказывается достаточным, чтобы система перестроилась и возник новый тип структур.»5

Рассмотрим некоторые положения «теории перестройки»3, характеризующие процесс перехода некоторой системы из одного функционального состояния в другое. Согласно указанной концепции некоторая система, находящаяся в «плохом» функциональном состоянии, оказывает по мере движения к другому, «лучшему» состоянию все более существенное сопротивление.

            При этом состояние системы ухудшается, а пик сопротивления наблюдается раньше, чем наихудшее состояние. Далее, после прохождения указанного наихудшего состояния система сама стремится к новому, «хорошему» функциональному состоянию (критерии «хорошего» либо «плохого» состояний представляют отдельный весьма важный вопрос и здесь не рассматриваются – поэтому соответствующие слова взяты в кавычки).

            Для указанных закономерностей поведения перестраиваемой системы можно привести интересную интерпретацию – механическое устройство, подобное «машине катастроф» Зимана3. Ввиду чрезвычайной простоты этого устройства позволим себе изобразить его схему (Рис.2.1.1.1).Оно состоит из рычага АВ, шарнирно соединенного с основанием (точка А), и пружин ВС и СD, одна из которых (ВС) связана с рычагом АВ и основанием, а другая (ВD) имеет один свободный конец (D), к которому должна быть приложена внешняя сила.

            «Катастрофа» наступает, если попытаться перевести точку В из верхней полуплоскости, ограничиваемой продолжениями отрезка АС, в нижнюю полуплоскость. Когда точки А, В, и С окажутся на одной линии (точка D может уже находиться ниже указанной линии), то пружина ВС испытывает максимальное растяжение. Затем происходит срыв («катастрофа») и стремительное движение точки В в новое положение (ниже линии АС). Состоянию срыва соответствуют разные положения точки D, определяемые величиной и направлением прилагаемых к ней усилий. При этом можно построить так называемую «кривую катастроф», параметры которой зависят от геометрических и упругих характеристик системы.

            Аналогия с «теорией перестройки» здесь, на наш взгляд, налицо: управляемая система соответствует контуру АВС, растяжение пружины ВС характеризует степень неудовлетворительности состояния системы, близость ее к наихудшему состоянию. Однако в указанном предельном положении (точка В лежит на прямой АС) сопротивление перемещению невелико, здесь нарушается регулярная структура, и в этом смысле имеет место хаос. Таким образом, поведение «машины катастроф» согласуется с положениями «теории перестройки». Попытаемся теперь выяснить условия, определяющие различный характер процесса бифуркации.

            Согласно изложенному, структура нарушается тогда, когда точки А, В, С расположатся по одной прямой, очевидно, что пружина ВС при этом максимально растянута. Специфика данного положения заключена в том, что при любом направлении выхода из него длина пружины ВС уменьшается, а катастрофа выражается тем, что после срыва внутренние свойства системы АВС обусловливают потерю управляемости и стремительный переход в новое функциональное состояние.

            В особом положении система АВС (без учета действия пружины ВD) пребывает в состоянии неустойчивого равновесия. Но данное состояние вполне можно продлить как угодно долго, расположив пружину ВD также вдоль линии АС и соответствующим образом растянув ее – тогда сила натяжения этой пружины может обеспечить устойчивость особого положения.

            Если же, перемещая точку D вдоль линии АС, мы будем ослаблять натяжение указанной пружины, то направление срыва и стремительного перемещения точки В будет определено случайными факторами (например, минимальными вибрациями основания), мало влияющими в обычных состояниях. При этом наличие дополнительного (пусть весьма маломощного) привода в точке А обусловит отсутствие случайности в определении направления движения звена АВ.

            Процесс бифуркации при различных условиях может иметь как катастрофический, так и вполне управляемый характер, что определяется натяжением пружины ВD и траекторией точки D. Если из положения, изображенного на Рис.2.1.1, данную точку перемещать вдоль линии ВD, увеличивая расстояние между этими точками, то точка В будет приближаться к линии СА и соответственно к другой полуплоскости, определяемой этой линией, затем неизбежно произойдет срыв, и вследствие наличия упругости будут наблюдаться колебания около устойчивого состояния. Отметим, что перед срывом точки В и D будут располагаться в разных полуплоскостях. Некатастрофический переход возможен, если пружина ВD сильно растянута, и упругость пружины СВ мало влияет на характер процесса.

            Основываясь на изложенном, хотелось бы сделать несколько замечаний. Во-первых, следует отметить, что характер процесса бифуркации существенно зависит от свойств системы, как-то от наличия в ней некоторых внутренних сил, характер действия которых определяется структурой и возможностью изменения этой структуры в особых точках.

Во-вторых, можно указать на важность характера внешних сил, их точки приложения, величины и траектории действия – напомним, что катастрофический характер бифуркации связан с возможностью расположить точки В и D по разные стороны от линии АС, разделяющей две полуплоскости. Если же в момент прохождения особой точки внешняя сила способна уравновесить внутреннюю, обусловливающую катастрофичность, то процесс бифуркации управляем.

Наконец, хотелось бы отметить роль соотношения между характеристиками передаточных элементов (пружин), осуществляющих взаимодействие между элементами системы и внешними возмущениями. (Если вместо пружины ВD будет просто жесткий стержень, то «катастрофа» в принципе невозможна).

Безусловно, рассматриваемая механическая система весьма проста, однако, по нашему мнению, она в какой-то степени отражает поведение гораздо более сложных систем, и это обусловлено несколькими обстоятельствами. Прежде всего отметим, что даже вполне сложная система с разветвленной структурой в точке бифуркации имеет, как правило, одну главную особенность, главное противоречие. Собственно, термин «синергия», характеризующий совместное действие многих элементов системы, связан с тем, что эти элементы становятся подчинены одному или нескольким параметрам порядка. В этом, по мнению создателя синергетики Г. Хакена, заключен один из важнейших принципов работы головного мозга.

Далее укажем на то обстоятельство, что рассмотренная модель вполне характеризует важность соотношения внешних и внутренних сил, действующих на систему, с учетом их величины, точки приложения и направления действия. Кроме того, здесь показана возможность существования такой ситуации, что в точке бифуркации выбор подвержен лишь случайным факторам, а для целенаправленного осуществления выбора может быть необходим дополнительный (в данном случае расположенный в точке А) двигатель.

Здесь уместно остановиться на термине «диссипативные системы», применяемом И. Пригожиным. Если внутренние силы, по сравнению со внешними, весьма велики, то система может считаться консервативной. В этом случае она подвержена действию законов сохранения (энергии, массы). Если же внешние силы значительно превышают внутренние, и кроме того передаточные элементы (пружины) обладают существенной жесткостью, то катастрофический процесс бифуркации уступает место вполне управляемому процессу. По нашему мнению, диссипативными следует считать системы, где нет существенного преобладания внешних или внутренних сил друг относительно друга. В указанном смысле рассматриваемая механическая модель может отвечать термину «диссипативная».

            Однако отметим, что описанное механическое устройство действительно не отражает многих свойств сложных систем. Одно из этих свойств связано с тем, что внешние силы подчас в принципе не могут обусловить движение системы из точки бифуркации в некотором предписанном направлении. Следует также указать на случаи, когда особые точки могут образовывать целые связанные области. Речь в частности может идти об устройствах с более высоким, чем единица, числом степеней свободы.

Рассмотрим иную «машину катастроф», которая, кроме прочего, иллюстрирует ту мысль, что в принципе любой механизм, имеющий точки бифуркации и характеризуемый совокупностью внешних и внутренних упругих сил, может считаться таковой машиной.

В качестве примера приведем устройство с двумя степенями свободы, которое, в отличие от представленного выше, отражает возможность такой ситуации, когда внешние силы не обеспечивают предписанного направления выхода из особого положения. Это устройство (Рис.2.1.2) представляет собой так называемый шарнирный пятизвенник, включающий замкнутый контур АЕСМВ, внутри этого контура между соответствующими точками установлена пружина ЕМ, а внешние силы действуют через пружины РЕ и КМ.

В зависимости от направления и величины сил, прилагаемых в точках Р и К, мы можем обеспечить различные траектории движения точки С, которая, двигаясь на плоскости, внутри определенной области (называемой рабочей зоной) может занять любое положение. Критическая ситуация имеет место в том случае, когда звенья СЕ и СМ вытягиваются в одну линию – при этом пружина СМ максимально растянута (этого можно добиться, когда к точкам К и Р прилагаются достаточные по величине силы соответствующего направления).

            Очевидно, что в данном случае внешние силы не способны обеспечить вывод системы из особого положения в предписанном направлении. Звенья СМ и СН, находясь в особом положении, могут повернуться друг относительно друга в разные стороны под действием случайных факторов либо под влиянием дополнительного привода, расположенного в точке С (если таковой имеется).

Действие пружины ЕМ может обусловить катастрофический характер процесса бифуркации, но в то же время интересен тот факт, что система имеет возможность совершать движения, находясь в особом состоянии – звенья СЕ и СМ при этом вытянуты в одну линию, а механизм перемещается, как бы имея лишь одну степень свободы (точка С способна двигаться лишь по одной траектории).

Отметим, что, несколько меняя структуру, мы можем повысить способность внешних сил вывести систему из особого состояния в предписанном направлении. Когда пружины закреплены так, как показано на Рис.2.1.2, они не могут обеспечить выведение в предписанном направлении, однако, если несколько иначе расположить точки крепления внешних пружин РЕ и КМ соответственно к звеньям СЕ и СМ, то ситуация может измениться. В частности, если прикрепить эти пружины к точкам, находящимся посередине звеньев, то мы, в принципе, можем с помощью внешних сил осуществить направленный вывод из особого состояния, хотя при этом все же будет наблюдаться катастрофический процесс.

            Рассматривая вновь ту же весьма простую модель, представленную на Рис.2.1.2, кратко остановимся на вопросе необратимости движения. Точка бифуркации определяет направление развития, по которому пойдет система после осуществления соответствующего выбора. Как мы видели, указанное направление не всегда определяется действием внешних сил, поскольку структура и внутренние свойства системы могут не позволить внешним силам осуществить процесс выбора.

Возвращая систему в исходное состояние, внешние силы способны лишь вновь подвести ее к точке бифуркации, а там снова в дело вступают случайные факторы, которые, вполне вероятно, направят развитие не в том направлении, которое бы обусловливало обратимость. Кроме того, по нашему мнению, достаточно сложная система будет иметь весьма частные бифуркации, где отдельные «подсистемы» впадают в особые положения, в связи с этим возврат в исходное состояние становится весьма маловероятным. Таким образом, модель, при которой, согласно Лапласу, для возвращения системы в некоторое начальное состояние достаточно приложить к ней обратные по времени и по направлению силы, в данном случае вряд ли адекватна.

Можно указать, что случайные факторы, столь важные в точке бифуркации, будучи уточненными и введенными в рассмотрение, дадут возможность осуществить в указанной точке выбор движения в предписанном направлении (и в частности в том, что обеспечивает обратимость развития). Например, можно так учесть малые колебания основания механизма, изображенного на Рис.2.1.2, что процесс выбора станет детерминированным. Но это уже будет иная система, для которой наступит своя бифуркация, при которой будут свои факторы еще более высокого порядка малости – и так до бесконечности.

Таким образом, мы попытались поставить некоторые мысленные эксперименты с представленными моделями и выявили ряд свойств, характеризующих расположение точек бифуркации, процессы бифуркации и возможность управлять этими процессами.

Экспериментируя далее с приведенными выше механическими объектами, рассмотрим аналогии между ними и гораздо более сложными человекоразмерными системами. При этом укажем на то, что мы осознаем опасность чересчур безмерной детализации этого подхода. Вместе с тем, на наш взгляд, установление этих аналогий может быть весьма полезным, так как оно способно помочь найти новые свойства сложных систем, а также отыскать пути решения проблем, связанных с их бифуркациями.

            В разных ситуациях система (например, научное сообщество, вооруженное некоторой парадигмой) может по-разному реагировать на изменение параметров. Если парадигма слишком сильна, то любые движения точки D не смогут изменить ее состояния. Если, наоборот, парадигма слаба, то система «послушно» последует за точкой D. Когда же соотношение между жесткостями пружин примерно одинаково, то все зависит от стратегии – траектории перемещения точки D. Это может быть как бурный, «катастрофический» процесс с резкой сменой парадигмы, так и более длительное изменение.

Для примера можно рассмотреть реакцию различных научных сообществ на появление нового результата. Так появление небезызвестной в робототехнике (и весьма эффективной) матрицы Денавита-Хартенберга, описывающей одновременно линейные и угловые изменения систем координат6, по-разному было встречено различными научными школами. Одни из них довольно быстро перешли на новую форму записи, но некоторые до сих пор используют системы уравнений с раздельным рассмотрением угловых и линейных величин.

Кроме того, характер процесса бифуркации связан с тем, насколько сильно меняется множество теорий, каждая из которых в чем-то превосходит другую. Если добавляется новый член этого множества, не нарушающий совокупность его остальных представителей, то следует ожидать спокойного процесса. Это же касается случая, когда из множества лишь исключается какой-то его член. Когда же новые результаты таковы, что «перечеркиваются» все или почти все члены множества, тогда приходится наблюдать более бурную смену парадигм.

Рассмотрим аналогии между представленными моделями и некоторыми положениями психологии. Механизм, приведенный на Рис.2.1.1, по нашему мнению, может в какой-то степени отражать реакции людей различного темперамента на внешний раздражитель, например на получение некоторого серьезного известия. Внутренняя пружина ВС будет характеризовать положительный или отрицательный эмоциональный фон, а внешняя пружина ВD - способность воспринимать обстановку.

            Сангвиник, характеризуемый «быстрым возбуждением и быстрым торможением», мог бы быть представлен механизмом с достаточно мощными пружинами, у которого переход между различными функциональными состояниями осуществляется при весьма сильном растяжении внешней пружины - особая точка соответствует моменту, когда обе пружины вытягиваются в одну линию. Отсутствие резких колебаний в точке бифуркации в данном случае обусловлено соотношением между жесткостями пружин, а также траекторией точки приложения внешней силы.

            Холерик также может быть представлен наличием мощных внутренней и внешней пружин. Однако процесс бифуркации связан здесь с бурной реакцией, поскольку внешняя пружина резко изменяет свою ориентацию, так что система стремительно проходит особую точку. «Катастрофичность» процесса здесь связана с соотношением жесткостей пружин, а также с траекторией изменения точки приложения внешней силы.

            Что касается флегматика, то здесь, на наш взгляд, наличествует резкое различие между жесткостями внешней и внутренней пружин: внутренняя пружина имеет гораздо более высокую жесткость, чем внешняя (не будем забывать, что в качестве пружины мы можем рассматривать и стержень, могущий работать и на сжатие). Поэтому внутреннее состояние флегматика (несмотря на возможность резкого изменения положения конечной точки внешней пружины) будет мало меняться – бифуркации и катастрофические процессы маловероятны.

            Наконец, рассматривая меланхолика, укажем, что здесь, как нам представляется, имеет место существенное преобладание жесткости внешней пружины в сравнении с внутренней. Поэтому этот тип темперамента характеризуется слабыми реакциями, а бифуркации не связаны с катастрофичностью.

            По нашему мнению, модель, представленная на Рис.2.1, может характеризовать также различного рода реформы - удачные и неудачные. «Бархатные революции» происходят тогда, когда, собственно, и нет бифуркации – система уже находится в том состоянии, в соответствие с которым следует привести точку приложения внешней силы (до начала процесса точки В и D были в разных полуплоскостях, но затем точка D переводится в полуплоскость точки В). Примерно так можно описать революцию в Чехословакии, где общество давно было готово к переходу на капиталистические отношения.

            Совсем иное дело представляет «шоковая терапия». В этом случае происходит бурный процесс бифуркации, связанный с тем, что внешняя сила проходит по траектории, обусловливающий «катастрофичность». В качестве примера можно привести реформы в Польше.

            Если наличествует весьма мощная внешняя сила, которая способна перемещаться по траектории, обеспечивающей «некатастрофический» процесс бифуркации, то имеем возможность описать медленные успешные реформы, осуществляемые, например, в Китае.

            Что же касается нашей страны, то по-видимому, здесь процесс реформ можно представить таким действием внешних сил, когда система находится все время вблизи точки бифуркации, «есть шок, но нет терапии». При этом постоянно сохраняется возможность того или другого пути развития. Таким образом, модель, представленная на Рис.2.1, в какой-то степени позволяет анализировать социальные процессы различного характера, в том числе в человекоразмерных системах.

В то же время система, изображенная на Рис.2.2, способна описать явления гораздо более сложного порядка. В частности, с помощью этой модели, как нам кажется, можно представить Фрейдовское взаимодействие между «Оно», «Эго» и «Суперэго», первое из которых определяется прежде всего либидо и желанием свмоутвердиться, а последнее – морально-нравственными установками общества. Указанные воздействия (силы, приложенные к внешним пружинам) вызывают внутреннее напряжение, ощущаемое субъектом (его также характеризует соответствующая пружина). Если напряжение достигает критической точки, то мы приближаемся к бифуркации, перейдя через которую, человек может ощутить ухудшение или улучшение эмоционального фона. Когда внутреннее напряжение сохраняется достаточно долго, то это приводит к неврозу (при этом у системы уменьшается степень свободы).

Для выведения из такого положения следует в структуре системы найти какую-то точку (точка С), воздействуя на которую можно добиться перехода в нормальное функциональное состояние. Примерно так же, на наш взгляд, действуют гомеопатические препараты, способные вызвать довольно бурную реакцию при воздействии весьма малой дозы очень точно подобранного вещества.

Что касается социальных, человекоразмерных систем, то модель, представленная на Рис.2.2, как нам представляется, может отражать возможность возникновения кризисных ситуаций при воздействии на общество противоречивых факторов, в частности власти и оппозиции. Это воздействие способно вызвать сильное внутреннее напряжение, которое может длиться достаточно долго, но способно привести и к революционному взрыву, если в структуре найдена некоторая точка, которая обусловит стремительное развитие процесса бифуркации.

            Модель, представленная на Рис.2.1.2, может отражать еще один важный момент развития человекоразмерных систем, а именно их переход от низшего, к более высокому состоянию, что может происходить, в частности, в науке в связи с ее междисциплинарностью. Иными словами, эта модель в какой-то степени способна выражать разрабатываемый школой В.И. Аршинова «…подход, учитывающий коммуникативную ценность внутридисциплинарной парадигмальной модели Куна и одновременно включающий в рассмотрение междисциплинарный контекст»7.

Предположим, что система, моделируемая схемой Рис.2.2, находится в состоянии бифуркации. При этом звенья ЕС и СМ вытянуты в одну линию, а в точке С имеется жесткая связь - тогда имеем лишь одну степень свободы. Если нашими критериями являются максимально высокое и максимально сдвинутое вправо положение точки С, то множество оптимальных (с точки зрения двух критериев) решений будет определяться правой верхней частью траектории этой точки.

            Пусть теперь в результате междисциплинарного взаимодействия система приобрела возможность независимого изменения параметров (вращения в точках А и В). Тогда для перехода к более высокому уровню развития ей понадобиться новая степень свободы, и это обеспечит шарнир С. Отметим, что прежнее состояние относительно нового будет зоной (геометрическим местом) бифуркации, таким образом точки бифуркации образуют связанный континуум, то есть поверхность бифуркации. Укажем также, что в новом состоянии можно обеспечить гораздо более богатое множество оптимальных решений. Такая ситуация наблюдается, например, в робототехнике в результате взаимодействия механики и кибернетики. Кроме того, нетрудно видеть, что более сложная система с двумя степенями свободы при приложении к ней внешней силы, действующей в точке С перпендикулярно линии АВ, вела бы себя при приближении к положению бифуркации аналогично более простой системе с одной степенью свободы, изображенной на Рис.2.1.1.

В заключение сделаем выводы. Попытавшись поставить некоторые мысленные эксперименты с представленными моделями, мы выявили ряд свойств, характеризующих расположение геометрических мест бифуркации, процессы бифуркации и возможность управлять этими процессами.

На основании этих мысленных экспериментов мы можем констатировать, что «нормальное» состояние человекоразмерных систем, в частности науки, связано с наличием оптимального (с точки зрения нескольких противоречивых критериев) множества вариантов теории. Нарушение этого множества ведет к бифуркации, причем «катастрофичность» процесса бифуркации определяется несколькими факторами.

Во-первых, это соотношение между внешними и внутренними силами. Если одна из них существенно превалирует над другой, то получается либо стационарная, неизменяемая система, либо система, полностью детерминированная внешним воздействием.

            Во-вторых «катастрофичность» процесса бифуркации определяется «траекторией» точки приложения внешней силы, то есть законом изменения вектора внешних сил. Если эти силы действуют по «кратчайшему пути», то это чревато «катастрофичностью», если же внешние силы способны сначала запасти потенциальную энергию и затем медленно переводить систему в требуемое состояние, то некатастрофический процесс вполне возможен.

            В-третьих, можно утверждать, что существуют ситуации, когда ни внешние, ни внутренние силы не способны в точке бифуркации определить направление дальнейшего развития, функцию этого выбора берут на себя случайные факторы. Чтобы этого не случилось, необходимо найти в структуре системы точку, воздействие на которую повлечет за собой процесс развития в избранном направлении.

            Мы можем предполагать, что необратимость развития связана с цепью бифуркаций, при этом наличие обратного (по времени и направлению) действия внешних сил может лишь подводить к точкам бифуркации, где действие случайных факторов определяет выбор направления, не всегда обусловливающего обратимость. Переход человекоразмерных систем, к которым относится наука, к более высокому уровню развития связан с появлением новых независимых параметров, обусловленных, в частности междисциплинарностью. При этом более низкий уровень соответствует гиперповерхности бифуркации системы более высокого уровня.

Примечания

Рис. 2.1.1. Машина катастроф с одной степенью свободы

Рис. 2.1.2. Машина катастроф с двумя степенями свободы