СРЕДСТВАМИ РОБОТОТЕХНИКИ

            В данном параграфе рассматриваются модели, призванные описать процессы, происходящие при различных типах научных революций. Это могут быть срывы, подобные «гештальт-переключениям» при сохранении того же числа степеней свободы системы, но возможны и переходы к состояниям, характеризуемым более высокой размерностью ее пространства функционирования. Кроме того, рассматривается модель, показывающая наличие не только точек, но и поверхностей бифуркации самоорганизующихся человекоразмерных систем.

            Двадцатый век многократно подтвердил утверждение У. Бека о том, что мы живем в обществе риска1. Достаточно вспомнить Чернобыльскую катастрофу, гибель космического челнока Челленджер, финансовый обвал 17 августа или многочисленные социальные революции. Это же касается и научных революций - собственно, прошедший век и начался с такой революции, связанной с рождением теории относительности. Были и другие научные революции, быть может, более локальные и незаметные для широкой общественности (некоторые из них мы упомянем ниже). Такими локальными революциями изобиловала, в частности, история робототехники, само появление которой во многом носило революционный и во всяком случае междисциплинарный характер.

            Очевидно, что в данном контексте уместно говорить прежде всего о так называемых человекоразмерных системах2, которые, по определению В.С. Степина, характеризуются наличием встроенного в них человеческого фактора, проявляющегося не только в плане наблюдения, но и в роли активного элемента, обусловливающего саморазвитие данных систем.

            Риск и опасность разного рода катастроф связаны прежде всего с тем, что они наступают внезапно, когда мы ничего не ждем – небольшие флуктуации, изменение параметров вдруг приводят к точке бифуркации и к глобальным изменениям структуры. В этом смысле весьма интересно было бы проанализировать возможные виды бифуркаций человекоразмерных систем. По-видимому, прежде всего уместно говорить об аналогиях с диссипативными системами3, имеющими внутренний запас энергии и обменивающимися ею с внешней средой. По И. Пригожину, такие системы характеризуются возможностью самоорганизации и хаоса, что обусловлено наличием некоторого взаимного соотношения между характеристиками внешней среды и внутренней структуры.

            Но можно ставить вопрос и о другом виде бифуркаций, при котором система, развиваясь, доходит до состояния, чреватого переходом в иную размерность более высокого порядка. Такому виду бифуркаций уделяется особое внимание в этом параграфе. Нашей целью является наглядное представление механизмов подобного процесса, и в данном случае слово «механизм» употребляется не в переносном, а в прямом смысле – это действительно должны быть механические модели упомянутого перехода. В данной связи укажем на важность мысленных экспериментов, которые можно было бы поставить с помощью таких моделей.

В литературе неоднократно упоминалась роль таких экспериментов В частности, именно мысленный эксперимент с объектом, никогда не могущим существовать в действительности (телом, не подверженным действию каких-либо сил), помог Галилею подойти к свойствам инерциальных систем.

Но для того чтобы поставить подобного рода эксперименты, исследователь должен обладать моделью, с одной стороны, весьма наглядной и простой, но, с другой стороны, достаточно полно отражающей сущность исследуемого явления.

            Отсутствие таковой модели, вбирающей в себя не только идеализированный объект - конструкт типа материальной точки, - но и математическое описание его поведения (например, второй закон Ньютона), быть может, в некоторой степени препятствует получению существенных результатов при рассмотрении столь сложного явления как бифуркации в самоорганизующихся системах.

            В данной связи упомянем примеры, приведенные В.С. Степиным2 и касающиеся мысленных экспериментов на идеализированных моделях, применявшихся при выводе законов электромагнитного взаимодействия или при установлении характеристик квантованного поля. Подчеркнем, что Бору и Розенфельду (согласно принципу наблюдаемости) понадобился именно мысленный эксперимент для определения упомянутых характеристик – при этом рассматривались возможные взаимодействия между макросистемой, включающей в себя измерительные устройства, и весьма тонкими микрообъектами.

            Указав на важность мысленных экспериментов на идеализированных объектах, обратимся к первой механической модели, связанной с бифуркациями, не приводящими к изменению размерности (числа степеней свободы) системы. Пусть мы рассматриваем научное сообщество, обладающее господствующей парадигмой и функционирующее в нормальном (по Т. Куну4) режиме: парадигма «работает», т.е. позволяет ставить и решать определенного вида научные задачи.

По нашему мнению, целесообразно ввести в рассмотрение наличествующие внутри основной парадигмы или исследовательской программы более частные «подпарадигмы». Они могут отличаться между собой на лингвистическом, либо семантическом уровнях5. Используя известную (по Е.А. Мамчур) градацию различий между научными теориями, укажем, что отличия на эмпирическом уровне (когда теории оперируют разными фактами), мы пока оставляем в стороне. (В этом случае должны быть различны и основные парадигмы.) Нас прежде всего интересуют имеющиеся в наличии «подпарадигмы», различающиеся либо теоретическими основами (семантический уровень), либо особенностями языка (лингвистический уровень).

Любую научную школу, характеризуемую соответствующей «подпарадигмой», можно рассматривать как человекоразмерную саморазвивающуюся подсистему, подверженную междисциплинарным взаимодействиям2. Все остальные «подпарадигмы», а также основную парадигму естественно представить как внешнюю среду по отношению к данной подсистеме. Как пример можно привести различия между известными в робототехнике способами описания геометрических и инерционных характеристик манипулятора. Таковыми являются, в частности, аппарат матриц или винтовое исчисление6.

Отметим в данной связи, что дуальные векторы – винты – являются более общими операндами, чем обычные векторы, и поэтому они позволяют уяснить более глубокие качественные свойства механической системы роботов. Так, используя матричный подход, можно выяснить лишь достаточно тривиальные случаи положений бифуркации, где теряется одна степень свободы, а винтовое исчисление позволяет охватить всю картину таких конфигураций. Здесь уместно отметить, что лингвистические различия в данном примере переходят в семантические – это связано с накоплением данных, получаемых посредством действия соответствующих «подпарадигм».

Укажем, что каждая подсистема (ее новые научные методы и результаты) оказывает влияние на другие подсистемы и, в свою очередь, сама подвержена ответному воздействию – в этом выражаются локальные отношения междисциплинарности внутри главной парадигмы. Если указанное влияние на какую-то подпарадигму весьма велико, то это может быть связано с локальной научной революцией – это своего рода «гештальт-переключение» под действием внешних воздействий. Представим модель такого явления и для этого обратимся к Рис. 2.2.1.

            Здесь представлены два линейных двигателя АВ и ВС, которые связаны с основанием соответственно в точках А и С, а друг с другом в точке В. Эти двигатели могут (естественно с учетом ограничений на их перемещения) охватить какую-то область в плоскости. Если внешняя сила действует через пружину ВD, то линейные двигатели способны данную силу уравновесить. Эта манипуляционная робототехническая система, работающая в плоскости, может выполнять какие-то операции лишь до того момента, пока линии АВ и ВС не совпадут по направлению – это будет так называемое особое положение или положение бифуркации.

Мы видим, что бифуркация в данном случае связана с расположением точки В на прямой линии (или ее отрезке), проходящей через точки А и С. Таким образом, система с двумя степенями свободы, попадая на поверхность (линию) бифуркации и оставаясь на этой гиперповерхности, имеет на единицу меньшее число степеней свободы. Рис. 2.2.1, на наш взгляд, может представлять своего рода машину катастроф. Известна машина катастроф Зимана7, имеющая одну степень свободы, данная же система, обладая двумя степенями свободы, способна описать гораздо более сложные процессы, чем машина Зимана.

При приближении к поверхности (линии) бифуркации происходит срыв – катастрофа. Если мы учтем не только наличие жесткости пружины ВD, но и внутренней упругости приводов АВ и ВС, то станет ясно, что пересечение указанной линии будет сопровождаться первоначальным усилением сопротивления приводов. Затем будет наблюдаться ослабление этого сопротивления и далее, после пересечения линии бифуркации система сама себя стремительно будет выводить в новое функциональное состояние, каковое, очевидно, связано с нахождением точки В ниже линии АС.

Рассматриваемая модель, по нашему мнению, может характеризовать локальную научную революцию, происходящую в ситуациях, когда одна из семантически различаемых теорий выигрывает конкуренцию. При этом другая научная школа, исповедовавшая иную теорию, вынуждена под действием внешних, по отношению к ней, сил (передаваемых через пружину) претерпеть катастрофу, бифуркацию.

В качестве примера вновь можно упомянуть состояние в робототехнике, когда винтовое исчисление все более и более вытесняет векторное исчисление и даже матричный подход. Рассматривая поведение научного сообщества как самоорганизующейся системы, укажем, что применение винтового исчисления (развитого Р. Боллом, У. Клиффордом, Э. Штуди, А.П. Котельниковым и др.) в теории механизмов началось в нашей стране с работ Ф.М. Диментберга. Затем, как это часто бывает, такой подход получил широкое распространение на Западе, особенно в связи с появлением манипуляционных систем параллельной структуры8, в то время как в нашей стране винтовое исчисление не находит достаточно широкого применения. Однако переход к данному математическому аппарату, своего рода «гештальт-переключение» несомненно произойдет и в российской научной школе теории механизмов и манипуляторов, мы будем свидетелями (а может быть, участниками) этого процесса бифуркации.

Резюмируя рассмотрение первой механической модели (Рис. 2.2.1), укажем, что она может характеризовать локальную научную революцию, связанную с переходом к другой «подпарадигме». При этом обе «подпарадигмы» при наличии, например, семантических различий могли до этого сосуществовать внутри одной основной парадигмы (эмпирически теории не были различны – они объясняли одни и те же факты). Отметим еще раз, что имеет место не изолированная точка бифуркации, а наличествует целая область (точнее гиперповерхность, а в данном случае линия), находясь на которой, система теряет одну степень свободы.

Другая механическая модель, характеризующая более серьезные научные революции, связанные с появлением новых парадигм, с обобщением новых экспериментальных данных, представлена на Рис. 2.2.2. Как видим, этот механизм отличается от первого лишь тем, что в нем имеется дополнительный привод – линейный двигатель ВЕ. Но именно это отличие характеризует серьезную разницу между двумя моделями. Представим себе, что в недрах парадигмы, представляемой моделью по Рис. 2.2.1., зреют новые научные факты, которые выстраиваются в связанную цепочку и рано или поздно начинают противоречить старой теории.

Именно эта ситуация может характеризоваться появлением нового привода (попутно упомянем, что наличие двигателя ВЕ существенно изменит характер перехода через линию бифуркации АС – исчезнет катастрофический характер данного перехода). Система в этом состоянии подвержена действию внутренних напряжений – она переопределена, и при решении каких-то задач по перемещению точки В двигатели АВ, ВС, и ВЕ перестают быть независимыми, то есть требуется согласование их движений.

Предположим, наступит момент, когда на систему подействует сила, перпендикулярная плоскости АСЕ, в которой лежат все рассматриваемые точки. Конечно, наиболее эффективно эта перпендикулярная, ортогональная сила окажет свое воздействие, если будет приложена к точке В. Структура, качественные свойства системы могут при этом существенно измениться – точка В может выйти за пределы плоскости АСЕ, мы получим уже не плоскую, а пространственную модель, и система обретет новую степень свободы.

Точка В теперь может перемещаться не в плоскости, а в трехмерном пространстве, и именно этот переход, на наш взгляд, является воплощением научной революции, связанной с появлением качественно новой парадигмы. (Укажем, что при этом должна нарушиться связанность в точках А, С и Е, так как конструкция шарниров подлежит изменению. Понятно, что переход к новой размерности обусловливает некоторую ломку старых структурных элементов).

Прежнее состояние, при котором точка В вновь попадет в плоскость АСЕ, по отношению к новому состоянию, теперь будет характеризовать поверхность (в данном случае двумерную плоскость) бифуркации. Точка В в плоскости бифуркации имеет лишь две степени свободы, то есть снова потеряна одна степень свободы. Подчеркнем еще раз, что имеет место не точка, а поверхность бифуркации, при нахождении на которой система функционирует в пространстве на единицу меньшей размерности.

Представленная модель научной революции, на наш взгляд, может характеризовать рождение новой парадигмы и указывает, в частности, на важность междисциплинарных взаимодействий. Подобная ситуация имела место при становлении робототехники, когда теория механизмов образовала общую систему знания с зарождавшейся кибернетикой, а также электроникой. Эти подсистемы вместе образовали такую структуру, которая позволила перейти в более высокое «измерение», получить систему с более высоким числом степеней свободы, и это явилось воплощением удачного междисциплинарного взаимодействия. (Укажем, что идея творческого перехода на иную размерность в произведениях искусства была во многом разработана А.А. Кобляковым9, в данной же статье представлена механическая модель данного процесса.)

Из рассмотрения Рис. 2.2.2 становится очевидной важность учета парадигмальных прививок - дело в том, что переход к новой размерности, иному числу степеней свободы связан с наличием некоторой силы, действующей ортогонально исходной структуре низшего ранга. Находясь внутри старой парадигмы, мы просто не в состоянии увидеть возможность постановки и решения новых научных задач. Саморазвивающаяся человекоразмерная система, представляющая научное сообщество, как бы интуитивно ищет «ортогональные» воздействия путем некоего «рыскания», «сканирования» в плоскости.

Но с другой стороны, наличие некоторого незнания, что (находясь внутри парадигмы) «так делать нельзя», может обусловить воздействие, нужное для перевода в новое качественное состояние. Таковым импульсом, обусловливающим прорыв в новое состояние, могут стать некие «математические ухищрения», которыми изобиловала физика ХХ века: сначала разрабатывается абстрактная математическая модель, а затем выстраивается физическая картина, сообразная с этой моделью.

Поверхность бифуркации, по отношению к нормальному функциональному состоянию, представляет собой некоторое состояние деградации: если система попадает в область бифуркации и затем остается в ней, то это означает уменьшение размерности, числа степеней свободы. Длительное пребывание на этой поверхности может быть чревато нарушением одной из цепочек взаимосвязи – тогда система в принципе (но, быть может, на время) теряет возможность возврата к более высокой размерности. История науки, в частности, робототехники знает подобные примеры – так в нашей стране в последнее десятилетие ощутимо снизился уровень исследований в этой области. Рассматриваемая модель (Рис. 2.2.2), как нам кажется, также характеризует важность кооперативных взаимодействий между подсистемами (здесь они представлены цепочками АВ, ВС и СЕ). Наличие новой подсистемы (нового двигателя) сначала вызывает появление внутренних напряжений, а затем, при переходе к новой размерности подсистемы действуют кооперативно.

            Представленная модель иллюстрирует и некоторые положения герменевтики, поскольку для понимания текста, например, научного также необходимо выстроить структуру некоторых сведений, которые в дальнейшем переходят к «новой размерности» – конечно, если в той или иной статье содержится качественно новый результат. Примерно так же, на наш взгляд, можно трактовать положение А. Маслоу10 о моменте «инсайта» - творческого озарения при решении научных или художественных задач.

            В качестве интерпретации приведенной (Рис. 2.2.2) модели научной революции, связанной с решением задач, не охватываемых прежней «подпарадигмой» (требующих перехода на иную размерность), приведем примеры из собственной практики исследования робототехнических систем (воспользуемся своего рода методом интроспекции). Эти задачи были решены автором ранее и потребовали увязки некоторых достаточно противоречивых аспектов их постановки.

Первая задача связана с особыми (мертвыми, вырожденными) положениями – точками бифуркации – замкнутых кинематических цепей, присутствующих в том числе и в робототехнических системах. Дело в том, что даже относительно простые – плоские механизмы имеют вырожденные конфигурации. Одна из них, характерная для плоского шарнирного четырехзвенника АВСD (Рис. 2.2.3), обусловлена тем, что звенья АВ и ВС вытянулись в одну линию. Это мертвое положение для звена АВ (оно теперь может двигаться только назад), и здесь происходит ветвление функции положения – точка С имеет возможность перемещаться как вверх так и вниз (это будут так называемые разные сборки механизма).

Для поиска таких точек бифуркации Ф.М. Диментбергом были разработаны два критерия – локальный и глобальный. Первый из них характеризуется тем, что в особой конфигурации становится вырожденной матрица координат осей шарниров механизма – так называемых плюккеровых координат. Другой критерий используется в том случае, если имеется функция положения. Вывод этой функции весьма сложен, она нелинейна и связывает угловые координаты звеньев механизма.

В точках бифуркации эта функция имеет равный нулю дискриминант (некое соотношение между параметрами функции, используемое при поиске корней соответствующего полинома), а в полиноме наличествуют кратные корни. Для рассматриваемого механизма (Рис. 2.2.3) функция положения имеет вид квадратного уравнения, а дискриминант – это подкоренное выражение. В точке бифуркации данное выражение равно нулю, значит есть кратные корни. Два указанных критерия определения особых положений не были связаны между собой и требовалось обосновать их эквивалентность.

Это удалось сделать автору данной работы11, когда упомянутые разрозненные и противоречивые аспекты были выстроены в одну цепочку - анализируя Рис. 2.2.2, можно говорить, что подсистема ВЕ вошла во взаимодействие с остальными подсистемами. Конкретно это выражалось в том, что была установлена взаимосвязь между вырождением матрицы координат осей шарниров и обращением в ноль частной производной функции положения, заданной, быть может, неявно и связывающей координаты звеньев механизма.

Другим примером, иллюстрирующим изображенную на Рис. 2.2.2 модель, является одно из решений задачи о положениях пространственных робототехнических систем. Эта задача также является существенно нелинейной и представляет одну из основных проблем управления роботами. Около двадцати лет назад даже существовало мнение, что конструкция манипуляторов (на ранних этапах развития изобиловавшая поступательными кинематическими парами, сложными в изготовлении и склонными к перекосам и заклиниваниям в эксплуатации) в значительной степени определялась возможностью оперативного решения задачи о положениях.

К настоящему времени эта задача, связывающая угловые координаты звеньев открытых кинематических цепей манипуляторов (Рис. 2.2.4) и абсолютные координаты выходного звена (рабочего органа), в достаточной мере разработана, хотя полностью решить эту проблему вряд ли удастся в силу ее нелинейности. На Рис. 2.2.4 представлена открытая кинематическая цепь робота, состоящая лишь из трех звеньев и расположенных между ними шарниров – кинематических пар, кроме того изображен угол φi между двумя звеньями (это так называемые обобщенные координаты по Лагранжу, которые управляются двигателями).

Необходимо обеспечить в системе координат xyz, связанной с основанием, требуемое положение системы x’y’z’, сопряженной с выходным звеном. Решая данную задачу, приходим к нелинейным уравнениям. Метод решения подобных систем предложен еще Ньютоном. Этот подход основан на том, что система нелинейных уравнений записывается в частных производных (тем самым она линеаризуется) и затем решается как линейная. Недостатком этого метода является то, что при достаточно удаленном начальном приближении (Рис. 2.2.5) возможно расхождение решения. Если найденная в начальной точке А производная даст пересечение с осью абсцисс в точке А’, и имеется локальный минимум (перегиб функции), тогда последующая точка В будет приводить не в точку С’, близкую к искомой (решением системы является точка D), а в положение, еще более далекое от решения, чем начальное.

Альтернативный алгоритм, предложенный автором8 (хотя впоследствии выяснилось, что похожий подход был известен ранее12), заключается в том, что рассматриваются ломаные линии, которые получаются при наличии некоторого малого шага, задаваемого вдоль касательных к соответствующему графику (на Рис. 2.2.6 представлены лишь две касательные: АА’ и ВВ’) - это дает возможность обходить точки перегиба функции. В данном случае мы также имеем некоторую интерпретацию модели, изображенной на Рис. 2.2.2, поскольку этапами решения этой проблемы являлось «выстраивание» противоречивых ее аспектов в одну цепочку (ВЕ), а затем потребовался некий «импульс» в «направлении», ортогональном принятой парадигме.

Таким импульсом был мысленный эксперимент, моделирующий движение манипулятора вдоль некоторой траектории. При этом управление может строиться итерационно, когда на каждом шаге осуществляется малое перемещение, следовательно уравнения можно линеаризовать. Такая процедура и приводит к интерпретации, представленной на Рис. 2.2.6.

В заключение сделаем выводы. Разработана наглядная модель, с помощью которой выявлены свойства, присущие научным революциям при переходе парадигм на «размерности» более высоких уровней.

Можно утверждать, что существуют нелинейные системы (мы предполагаем, что таковых большинство, и к ним относится наука как самоорганизующаяся система), для которых точки бифуркации образуют поверхности (или гиперповерхности), размерность которых на единицу меньше нормальной размерности системы. Пересечение указанной гиперповерхности чревато потерей одной степени свободы и деградацией в том случае, если система достаточно долго будет оставаться в этой зоне. Если произойдет относительно быстрый переход через поверхность бифуркации, то это будет своего рода «гештальт-переключение» с выходом в иное относительно устойчивое состояние первоначальной размерности.

Научная революция, характеризуемая рождением новой парадигмы, качественно нового результата, может быть смоделирована появлением новой подсистемы, которая входит во взаимодействие с наличествующими подсистемами и затем внутри старой структуры вызывает «напряжения». Для выхода на новую размерность необходимо воздействие, направленное «ортогонально» исходному состоянию, старой парадигме, чтобы «взломать» имеющуюся структуру (здесь важными факторами являются междисциплинарность и парадигмальные прививки). После этого система сама себя начнет достаточно быстро переводить в новое относительно устойчивое функциональное состояние (в данном случае особую значимость приобретают свойства кооперативного взаимодействия между подсистемами). Таким образом, гиперповерхности бифуркации самоорганизующихся систем представляют состояния, характеризуемые меньшей их размерностью.

Разработанная модель характеризует также процессы, происходящие при герменевтических актах, связанных с пониманием какого-либо текста, например, научного. Кроме того, эту модель можно распространить и для наглядного представления других творческих актов, имеющих место при «моментах инсайта».

		A

Рис. 2.2.1. Система, функционирующая в плоскости.

		A

Рис. 2.2.2 Система, функционирующая в пространстве.

	B’

Рис. 2.2.3. Положение бифуркации механизма.

Рис. 2.2.4. Схема манипулятора.

	y

Рис. 2.2.5. К решению нелинейных уравнений методом Ньютона

	y

Рис. 2.2.6. К решению нелинейных уравнений с использованием алгоритма управления манипулятором по вектору скорости.

            В данном параграфе рассматриваются модели, призванные описать процессы, происходящие при различных типах научных революций. Это могут быть срывы, подобные «гештальт-переключениям» при сохранении того же числа степеней свободы системы, но возможны и переходы к состояниям, характеризуемым более высокой размерностью ее пространства функционирования. Кроме того, рассматривается модель, показывающая наличие не только точек, но и поверхностей бифуркации самоорганизующихся человекоразмерных систем.

            Двадцатый век многократно подтвердил утверждение У. Бека о том, что мы живем в обществе риска1. Достаточно вспомнить Чернобыльскую катастрофу, гибель космического челнока Челленджер, финансовый обвал 17 августа или многочисленные социальные революции. Это же касается и научных революций - собственно, прошедший век и начался с такой революции, связанной с рождением теории относительности. Были и другие научные революции, быть может, более локальные и незаметные для широкой общественности (некоторые из них мы упомянем ниже). Такими локальными революциями изобиловала, в частности, история робототехники, само появление которой во многом носило революционный и во всяком случае междисциплинарный характер.

            Очевидно, что в данном контексте уместно говорить прежде всего о так называемых человекоразмерных системах2, которые, по определению В.С. Степина, характеризуются наличием встроенного в них человеческого фактора, проявляющегося не только в плане наблюдения, но и в роли активного элемента, обусловливающего саморазвитие данных систем.

            Риск и опасность разного рода катастроф связаны прежде всего с тем, что они наступают внезапно, когда мы ничего не ждем – небольшие флуктуации, изменение параметров вдруг приводят к точке бифуркации и к глобальным изменениям структуры. В этом смысле весьма интересно было бы проанализировать возможные виды бифуркаций человекоразмерных систем. По-видимому, прежде всего уместно говорить об аналогиях с диссипативными системами3, имеющими внутренний запас энергии и обменивающимися ею с внешней средой. По И. Пригожину, такие системы характеризуются возможностью самоорганизации и хаоса, что обусловлено наличием некоторого взаимного соотношения между характеристиками внешней среды и внутренней структуры.

            Но можно ставить вопрос и о другом виде бифуркаций, при котором система, развиваясь, доходит до состояния, чреватого переходом в иную размерность более высокого порядка. Такому виду бифуркаций уделяется особое внимание в этом параграфе. Нашей целью является наглядное представление механизмов подобного процесса, и в данном случае слово «механизм» употребляется не в переносном, а в прямом смысле – это действительно должны быть механические модели упомянутого перехода. В данной связи укажем на важность мысленных экспериментов, которые можно было бы поставить с помощью таких моделей.

В литературе неоднократно упоминалась роль таких экспериментов В частности, именно мысленный эксперимент с объектом, никогда не могущим существовать в действительности (телом, не подверженным действию каких-либо сил), помог Галилею подойти к свойствам инерциальных систем.

Но для того чтобы поставить подобного рода эксперименты, исследователь должен обладать моделью, с одной стороны, весьма наглядной и простой, но, с другой стороны, достаточно полно отражающей сущность исследуемого явления.

            Отсутствие таковой модели, вбирающей в себя не только идеализированный объект - конструкт типа материальной точки, - но и математическое описание его поведения (например, второй закон Ньютона), быть может, в некоторой степени препятствует получению существенных результатов при рассмотрении столь сложного явления как бифуркации в самоорганизующихся системах.

            В данной связи упомянем примеры, приведенные В.С. Степиным2 и касающиеся мысленных экспериментов на идеализированных моделях, применявшихся при выводе законов электромагнитного взаимодействия или при установлении характеристик квантованного поля. Подчеркнем, что Бору и Розенфельду (согласно принципу наблюдаемости) понадобился именно мысленный эксперимент для определения упомянутых характеристик – при этом рассматривались возможные взаимодействия между макросистемой, включающей в себя измерительные устройства, и весьма тонкими микрообъектами.

            Указав на важность мысленных экспериментов на идеализированных объектах, обратимся к первой механической модели, связанной с бифуркациями, не приводящими к изменению размерности (числа степеней свободы) системы. Пусть мы рассматриваем научное сообщество, обладающее господствующей парадигмой и функционирующее в нормальном (по Т. Куну4) режиме: парадигма «работает», т.е. позволяет ставить и решать определенного вида научные задачи.

По нашему мнению, целесообразно ввести в рассмотрение наличествующие внутри основной парадигмы или исследовательской программы более частные «подпарадигмы». Они могут отличаться между собой на лингвистическом, либо семантическом уровнях5. Используя известную (по Е.А. Мамчур) градацию различий между научными теориями, укажем, что отличия на эмпирическом уровне (когда теории оперируют разными фактами), мы пока оставляем в стороне. (В этом случае должны быть различны и основные парадигмы.) Нас прежде всего интересуют имеющиеся в наличии «подпарадигмы», различающиеся либо теоретическими основами (семантический уровень), либо особенностями языка (лингвистический уровень).

Любую научную школу, характеризуемую соответствующей «подпарадигмой», можно рассматривать как человекоразмерную саморазвивающуюся подсистему, подверженную междисциплинарным взаимодействиям2. Все остальные «подпарадигмы», а также основную парадигму естественно представить как внешнюю среду по отношению к данной подсистеме. Как пример можно привести различия между известными в робототехнике способами описания геометрических и инерционных характеристик манипулятора. Таковыми являются, в частности, аппарат матриц или винтовое исчисление6.

Отметим в данной связи, что дуальные векторы – винты – являются более общими операндами, чем обычные векторы, и поэтому они позволяют уяснить более глубокие качественные свойства механической системы роботов. Так, используя матричный подход, можно выяснить лишь достаточно тривиальные случаи положений бифуркации, где теряется одна степень свободы, а винтовое исчисление позволяет охватить всю картину таких конфигураций. Здесь уместно отметить, что лингвистические различия в данном примере переходят в семантические – это связано с накоплением данных, получаемых посредством действия соответствующих «подпарадигм».

Укажем, что каждая подсистема (ее новые научные методы и результаты) оказывает влияние на другие подсистемы и, в свою очередь, сама подвержена ответному воздействию – в этом выражаются локальные отношения междисциплинарности внутри главной парадигмы. Если указанное влияние на какую-то подпарадигму весьма велико, то это может быть связано с локальной научной революцией – это своего рода «гештальт-переключение» под действием внешних воздействий. Представим модель такого явления и для этого обратимся к Рис. 2.2.1.

            Здесь представлены два линейных двигателя АВ и ВС, которые связаны с основанием соответственно в точках А и С, а друг с другом в точке В. Эти двигатели могут (естественно с учетом ограничений на их перемещения) охватить какую-то область в плоскости. Если внешняя сила действует через пружину ВD, то линейные двигатели способны данную силу уравновесить. Эта манипуляционная робототехническая система, работающая в плоскости, может выполнять какие-то операции лишь до того момента, пока линии АВ и ВС не совпадут по направлению – это будет так называемое особое положение или положение бифуркации.

Мы видим, что бифуркация в данном случае связана с расположением точки В на прямой линии (или ее отрезке), проходящей через точки А и С. Таким образом, система с двумя степенями свободы, попадая на поверхность (линию) бифуркации и оставаясь на этой гиперповерхности, имеет на единицу меньшее число степеней свободы. Рис. 2.2.1, на наш взгляд, может представлять своего рода машину катастроф. Известна машина катастроф Зимана7, имеющая одну степень свободы, данная же система, обладая двумя степенями свободы, способна описать гораздо более сложные процессы, чем машина Зимана.

При приближении к поверхности (линии) бифуркации происходит срыв – катастрофа. Если мы учтем не только наличие жесткости пружины ВD, но и внутренней упругости приводов АВ и ВС, то станет ясно, что пересечение указанной линии будет сопровождаться первоначальным усилением сопротивления приводов. Затем будет наблюдаться ослабление этого сопротивления и далее, после пересечения линии бифуркации система сама себя стремительно будет выводить в новое функциональное состояние, каковое, очевидно, связано с нахождением точки В ниже линии АС.

Рассматриваемая модель, по нашему мнению, может характеризовать локальную научную революцию, происходящую в ситуациях, когда одна из семантически различаемых теорий выигрывает конкуренцию. При этом другая научная школа, исповедовавшая иную теорию, вынуждена под действием внешних, по отношению к ней, сил (передаваемых через пружину) претерпеть катастрофу, бифуркацию.

В качестве примера вновь можно упомянуть состояние в робототехнике, когда винтовое исчисление все более и более вытесняет векторное исчисление и даже матричный подход. Рассматривая поведение научного сообщества как самоорганизующейся системы, укажем, что применение винтового исчисления (развитого Р. Боллом, У. Клиффордом, Э. Штуди, А.П. Котельниковым и др.) в теории механизмов началось в нашей стране с работ Ф.М. Диментберга. Затем, как это часто бывает, такой подход получил широкое распространение на Западе, особенно в связи с появлением манипуляционных систем параллельной структуры8, в то время как в нашей стране винтовое исчисление не находит достаточно широкого применения. Однако переход к данному математическому аппарату, своего рода «гештальт-переключение» несомненно произойдет и в российской научной школе теории механизмов и манипуляторов, мы будем свидетелями (а может быть, участниками) этого процесса бифуркации.

Резюмируя рассмотрение первой механической модели (Рис. 2.2.1), укажем, что она может характеризовать локальную научную революцию, связанную с переходом к другой «подпарадигме». При этом обе «подпарадигмы» при наличии, например, семантических различий могли до этого сосуществовать внутри одной основной парадигмы (эмпирически теории не были различны – они объясняли одни и те же факты). Отметим еще раз, что имеет место не изолированная точка бифуркации, а наличествует целая область (точнее гиперповерхность, а в данном случае линия), находясь на которой, система теряет одну степень свободы.

Другая механическая модель, характеризующая более серьезные научные революции, связанные с появлением новых парадигм, с обобщением новых экспериментальных данных, представлена на Рис. 2.2.2. Как видим, этот механизм отличается от первого лишь тем, что в нем имеется дополнительный привод – линейный двигатель ВЕ. Но именно это отличие характеризует серьезную разницу между двумя моделями. Представим себе, что в недрах парадигмы, представляемой моделью по Рис. 2.2.1., зреют новые научные факты, которые выстраиваются в связанную цепочку и рано или поздно начинают противоречить старой теории.

Именно эта ситуация может характеризоваться появлением нового привода (попутно упомянем, что наличие двигателя ВЕ существенно изменит характер перехода через линию бифуркации АС – исчезнет катастрофический характер данного перехода). Система в этом состоянии подвержена действию внутренних напряжений – она переопределена, и при решении каких-то задач по перемещению точки В двигатели АВ, ВС, и ВЕ перестают быть независимыми, то есть требуется согласование их движений.

Предположим, наступит момент, когда на систему подействует сила, перпендикулярная плоскости АСЕ, в которой лежат все рассматриваемые точки. Конечно, наиболее эффективно эта перпендикулярная, ортогональная сила окажет свое воздействие, если будет приложена к точке В. Структура, качественные свойства системы могут при этом существенно измениться – точка В может выйти за пределы плоскости АСЕ, мы получим уже не плоскую, а пространственную модель, и система обретет новую степень свободы.

Точка В теперь может перемещаться не в плоскости, а в трехмерном пространстве, и именно этот переход, на наш взгляд, является воплощением научной революции, связанной с появлением качественно новой парадигмы. (Укажем, что при этом должна нарушиться связанность в точках А, С и Е, так как конструкция шарниров подлежит изменению. Понятно, что переход к новой размерности обусловливает некоторую ломку старых структурных элементов).

Прежнее состояние, при котором точка В вновь попадет в плоскость АСЕ, по отношению к новому состоянию, теперь будет характеризовать поверхность (в данном случае двумерную плоскость) бифуркации. Точка В в плоскости бифуркации имеет лишь две степени свободы, то есть снова потеряна одна степень свободы. Подчеркнем еще раз, что имеет место не точка, а поверхность бифуркации, при нахождении на которой система функционирует в пространстве на единицу меньшей размерности.

Представленная модель научной революции, на наш взгляд, может характеризовать рождение новой парадигмы и указывает, в частности, на важность междисциплинарных взаимодействий. Подобная ситуация имела место при становлении робототехники, когда теория механизмов образовала общую систему знания с зарождавшейся кибернетикой, а также электроникой. Эти подсистемы вместе образовали такую структуру, которая позволила перейти в более высокое «измерение», получить систему с более высоким числом степеней свободы, и это явилось воплощением удачного междисциплинарного взаимодействия. (Укажем, что идея творческого перехода на иную размерность в произведениях искусства была во многом разработана А.А. Кобляковым9, в данной же статье представлена механическая модель данного процесса.)

Из рассмотрения Рис. 2.2.2 становится очевидной важность учета парадигмальных прививок - дело в том, что переход к новой размерности, иному числу степеней свободы связан с наличием некоторой силы, действующей ортогонально исходной структуре низшего ранга. Находясь внутри старой парадигмы, мы просто не в состоянии увидеть возможность постановки и решения новых научных задач. Саморазвивающаяся человекоразмерная система, представляющая научное сообщество, как бы интуитивно ищет «ортогональные» воздействия путем некоего «рыскания», «сканирования» в плоскости.

Но с другой стороны, наличие некоторого незнания, что (находясь внутри парадигмы) «так делать нельзя», может обусловить воздействие, нужное для перевода в новое качественное состояние. Таковым импульсом, обусловливающим прорыв в новое состояние, могут стать некие «математические ухищрения», которыми изобиловала физика ХХ века: сначала разрабатывается абстрактная математическая модель, а затем выстраивается физическая картина, сообразная с этой моделью.

Поверхность бифуркации, по отношению к нормальному функциональному состоянию, представляет собой некоторое состояние деградации: если система попадает в область бифуркации и затем остается в ней, то это означает уменьшение размерности, числа степеней свободы. Длительное пребывание на этой поверхности может быть чревато нарушением одной из цепочек взаимосвязи – тогда система в принципе (но, быть может, на время) теряет возможность возврата к более высокой размерности. История науки, в частности, робототехники знает подобные примеры – так в нашей стране в последнее десятилетие ощутимо снизился уровень исследований в этой области. Рассматриваемая модель (Рис. 2.2.2), как нам кажется, также характеризует важность кооперативных взаимодействий между подсистемами (здесь они представлены цепочками АВ, ВС и СЕ). Наличие новой подсистемы (нового двигателя) сначала вызывает появление внутренних напряжений, а затем, при переходе к новой размерности подсистемы действуют кооперативно.

            Представленная модель иллюстрирует и некоторые положения герменевтики, поскольку для понимания текста, например, научного также необходимо выстроить структуру некоторых сведений, которые в дальнейшем переходят к «новой размерности» – конечно, если в той или иной статье содержится качественно новый результат. Примерно так же, на наш взгляд, можно трактовать положение А. Маслоу10 о моменте «инсайта» - творческого озарения при решении научных или художественных задач.

            В качестве интерпретации приведенной (Рис. 2.2.2) модели научной революции, связанной с решением задач, не охватываемых прежней «подпарадигмой» (требующих перехода на иную размерность), приведем примеры из собственной практики исследования робототехнических систем (воспользуемся своего рода методом интроспекции). Эти задачи были решены автором ранее и потребовали увязки некоторых достаточно противоречивых аспектов их постановки.

Первая задача связана с особыми (мертвыми, вырожденными) положениями – точками бифуркации – замкнутых кинематических цепей, присутствующих в том числе и в робототехнических системах. Дело в том, что даже относительно простые – плоские механизмы имеют вырожденные конфигурации. Одна из них, характерная для плоского шарнирного четырехзвенника АВСD (Рис. 2.2.3), обусловлена тем, что звенья АВ и ВС вытянулись в одну линию. Это мертвое положение для звена АВ (оно теперь может двигаться только назад), и здесь происходит ветвление функции положения – точка С имеет возможность перемещаться как вверх так и вниз (это будут так называемые разные сборки механизма).

Для поиска таких точек бифуркации Ф.М. Диментбергом были разработаны два критерия – локальный и глобальный. Первый из них характеризуется тем, что в особой конфигурации становится вырожденной матрица координат осей шарниров механизма – так называемых плюккеровых координат. Другой критерий используется в том случае, если имеется функция положения. Вывод этой функции весьма сложен, она нелинейна и связывает угловые координаты звеньев механизма.

В точках бифуркации эта функция имеет равный нулю дискриминант (некое соотношение между параметрами функции, используемое при поиске корней соответствующего полинома), а в полиноме наличествуют кратные корни. Для рассматриваемого механизма (Рис. 2.2.3) функция положения имеет вид квадратного уравнения, а дискриминант – это подкоренное выражение. В точке бифуркации данное выражение равно нулю, значит есть кратные корни. Два указанных критерия определения особых положений не были связаны между собой и требовалось обосновать их эквивалентность.

Это удалось сделать автору данной работы11, когда упомянутые разрозненные и противоречивые аспекты были выстроены в одну цепочку - анализируя Рис. 2.2.2, можно говорить, что подсистема ВЕ вошла во взаимодействие с остальными подсистемами. Конкретно это выражалось в том, что была установлена взаимосвязь между вырождением матрицы координат осей шарниров и обращением в ноль частной производной функции положения, заданной, быть может, неявно и связывающей координаты звеньев механизма.

Другим примером, иллюстрирующим изображенную на Рис. 2.2.2 модель, является одно из решений задачи о положениях пространственных робототехнических систем. Эта задача также является существенно нелинейной и представляет одну из основных проблем управления роботами. Около двадцати лет назад даже существовало мнение, что конструкция манипуляторов (на ранних этапах развития изобиловавшая поступательными кинематическими парами, сложными в изготовлении и склонными к перекосам и заклиниваниям в эксплуатации) в значительной степени определялась возможностью оперативного решения задачи о положениях.

К настоящему времени эта задача, связывающая угловые координаты звеньев открытых кинематических цепей манипуляторов (Рис. 2.2.4) и абсолютные координаты выходного звена (рабочего органа), в достаточной мере разработана, хотя полностью решить эту проблему вряд ли удастся в силу ее нелинейности. На Рис. 2.2.4 представлена открытая кинематическая цепь робота, состоящая лишь из трех звеньев и расположенных между ними шарниров – кинематических пар, кроме того изображен угол φi между двумя звеньями (это так называемые обобщенные координаты по Лагранжу, которые управляются двигателями).

Необходимо обеспечить в системе координат xyz, связанной с основанием, требуемое положение системы x’y’z’, сопряженной с выходным звеном. Решая данную задачу, приходим к нелинейным уравнениям. Метод решения подобных систем предложен еще Ньютоном. Этот подход основан на том, что система нелинейных уравнений записывается в частных производных (тем самым она линеаризуется) и затем решается как линейная. Недостатком этого метода является то, что при достаточно удаленном начальном приближении (Рис. 2.2.5) возможно расхождение решения. Если найденная в начальной точке А производная даст пересечение с осью абсцисс в точке А’, и имеется локальный минимум (перегиб функции), тогда последующая точка В будет приводить не в точку С’, близкую к искомой (решением системы является точка D), а в положение, еще более далекое от решения, чем начальное.

Альтернативный алгоритм, предложенный автором8 (хотя впоследствии выяснилось, что похожий подход был известен ранее12), заключается в том, что рассматриваются ломаные линии, которые получаются при наличии некоторого малого шага, задаваемого вдоль касательных к соответствующему графику (на Рис. 2.2.6 представлены лишь две касательные: АА’ и ВВ’) - это дает возможность обходить точки перегиба функции. В данном случае мы также имеем некоторую интерпретацию модели, изображенной на Рис. 2.2.2, поскольку этапами решения этой проблемы являлось «выстраивание» противоречивых ее аспектов в одну цепочку (ВЕ), а затем потребовался некий «импульс» в «направлении», ортогональном принятой парадигме.

Таким импульсом был мысленный эксперимент, моделирующий движение манипулятора вдоль некоторой траектории. При этом управление может строиться итерационно, когда на каждом шаге осуществляется малое перемещение, следовательно уравнения можно линеаризовать. Такая процедура и приводит к интерпретации, представленной на Рис. 2.2.6.

В заключение сделаем выводы. Разработана наглядная модель, с помощью которой выявлены свойства, присущие научным революциям при переходе парадигм на «размерности» более высоких уровней.

Можно утверждать, что существуют нелинейные системы (мы предполагаем, что таковых большинство, и к ним относится наука как самоорганизующаяся система), для которых точки бифуркации образуют поверхности (или гиперповерхности), размерность которых на единицу меньше нормальной размерности системы. Пересечение указанной гиперповерхности чревато потерей одной степени свободы и деградацией в том случае, если система достаточно долго будет оставаться в этой зоне. Если произойдет относительно быстрый переход через поверхность бифуркации, то это будет своего рода «гештальт-переключение» с выходом в иное относительно устойчивое состояние первоначальной размерности.

Научная революция, характеризуемая рождением новой парадигмы, качественно нового результата, может быть смоделирована появлением новой подсистемы, которая входит во взаимодействие с наличествующими подсистемами и затем внутри старой структуры вызывает «напряжения». Для выхода на новую размерность необходимо воздействие, направленное «ортогонально» исходному состоянию, старой парадигме, чтобы «взломать» имеющуюся структуру (здесь важными факторами являются междисциплинарность и парадигмальные прививки). После этого система сама себя начнет достаточно быстро переводить в новое относительно устойчивое функциональное состояние (в данном случае особую значимость приобретают свойства кооперативного взаимодействия между подсистемами). Таким образом, гиперповерхности бифуркации самоорганизующихся систем представляют состояния, характеризуемые меньшей их размерностью.

Разработанная модель характеризует также процессы, происходящие при герменевтических актах, связанных с пониманием какого-либо текста, например, научного. Кроме того, эту модель можно распространить и для наглядного представления других творческих актов, имеющих место при «моментах инсайта».

		A

Рис. 2.2.1. Система, функционирующая в плоскости.

		A

Рис. 2.2.2 Система, функционирующая в пространстве.

	B’

Рис. 2.2.3. Положение бифуркации механизма.

Рис. 2.2.4. Схема манипулятора.

	y

Рис. 2.2.5. К решению нелинейных уравнений методом Ньютона

	y

Рис. 2.2.6. К решению нелинейных уравнений с использованием алгоритма управления манипулятором по вектору скорости.