4.2. Еластичність масштабу та її взаємозв’язок з еластичністю виробництва

Поняття, аналітичне та графічне подання еластичності випуску від масштабу. Для характеристики віддачі від масштабу використовують поняття «еластичність масштабу», що кількісно оцінюється коефіцієнтом еластичності випуску від масштабу — ЕQ, m. Він показує, на скільки відсотків зміниться випуск, якщо обсяг застосування факторів збільшиться на 1 % (за інших рівних умов):

            (4.3)

З математичного погляду коефіцієнт еластичності масштабу характеризує ступінь однорідності виробничої функції. З допомогою коефіцієнта EQ, m віддача від масштабу може бути подана в універсальній формі:

            (4.4)

Зауважимо, що формула (4.4) аналогічна формулі (4.2), а показ­ник степеня t у формулі (4.2) і є коефіцієнт еластичності випуску від масштабу — ЕQ, m (керуючись принципом поступового усклад­нення матеріалу, що викладається, автор уважав, що вводити це поняття у параграфі 4.1 передчасно).

Взаємозв’язок еластичності масштабу та еластичності виробництва. Теорема Віскелля—Джонсона. Пропорційну варіацію факторів виробництва можна розкласти на часткові варіації, тобто виявити, з яким ефектом різні фактори виробництва беруть участь у загальному збільшенні випуску продук­ції.

За нескінченно малої зміни рівня застосовуваних факторів зміну випуску для однорідної функції типу Q = f (K, L) можна подати через повний диференціал:

            (4.5)

Тут кожний з додатків характеризує зміну випуску за рахунок малої зміни відповідного фактора (dL, dK).

За пропорційної варіації факторів дотримуються такої умови:

            (4.6)

Підставивши вираз (4.6) у вираз (4.5), отримаємо

            (4.7)

Якщо помножити обидві частини рівності (4.7) на m/Q · dm, то в лівій частині отримаємо еластичність масштабу, в правій — суму еластичностей випуску за змінними факторами:

або

            (4.8)

Таким чином, еластичність випуску за масштабом дорівнює сумі еластичностей випуску за використовуваними факторами.

Вираз (4.8) і його виведення називаються теоремою Вікселля—Джонсона. Вона дає змогу виявити «пайову участь» кожного фактора у загальному зростанні випуску. І хоча за пропорційної варіації мова йде про одночасну зміну рівня застосування всіх факторів, при цьому однаковою мірою і за збереження їхнього початкового співвідношення, результат може бути поданий як сума часткових варіацій, що істотно розширює рамки аналізу.

У практичних розрахунках зазвичай визначається не точкова, а дугова (на відрізку) еластичність, тому рівність (4.8) виконується лише приблизно.

Приклад. Нехай виробнича функція підприємства описується рівнянням

У разі використання 100 од. праці і 50 од. капіталу випуск становитиме:

 (од.).

Якщо кількість праці і капіталу збільшити на 10 %, то згідно з теоремою Вікселля—Джонсона випуск має зрости на 11,25 %:

Реальна зміна випуску становитиме 11,318 %:

Поняття, аналітичне та графічне подання еластичності випуску від масштабу. Для характеристики віддачі від масштабу використовують поняття «еластичність масштабу», що кількісно оцінюється коефіцієнтом еластичності випуску від масштабу — ЕQ, m. Він показує, на скільки відсотків зміниться випуск, якщо обсяг застосування факторів збільшиться на 1 % (за інших рівних умов):

            (4.3)

З математичного погляду коефіцієнт еластичності масштабу характеризує ступінь однорідності виробничої функції. З допомогою коефіцієнта EQ, m віддача від масштабу може бути подана в універсальній формі:

            (4.4)

Зауважимо, що формула (4.4) аналогічна формулі (4.2), а показ­ник степеня t у формулі (4.2) і є коефіцієнт еластичності випуску від масштабу — ЕQ, m (керуючись принципом поступового усклад­нення матеріалу, що викладається, автор уважав, що вводити це поняття у параграфі 4.1 передчасно).

Взаємозв’язок еластичності масштабу та еластичності виробництва. Теорема Віскелля—Джонсона. Пропорційну варіацію факторів виробництва можна розкласти на часткові варіації, тобто виявити, з яким ефектом різні фактори виробництва беруть участь у загальному збільшенні випуску продук­ції.

За нескінченно малої зміни рівня застосовуваних факторів зміну випуску для однорідної функції типу Q = f (K, L) можна подати через повний диференціал:

            (4.5)

Тут кожний з додатків характеризує зміну випуску за рахунок малої зміни відповідного фактора (dL, dK).

За пропорційної варіації факторів дотримуються такої умови:

            (4.6)

Підставивши вираз (4.6) у вираз (4.5), отримаємо

            (4.7)

Якщо помножити обидві частини рівності (4.7) на m/Q · dm, то в лівій частині отримаємо еластичність масштабу, в правій — суму еластичностей випуску за змінними факторами:

або

            (4.8)

Таким чином, еластичність випуску за масштабом дорівнює сумі еластичностей випуску за використовуваними факторами.

Вираз (4.8) і його виведення називаються теоремою Вікселля—Джонсона. Вона дає змогу виявити «пайову участь» кожного фактора у загальному зростанні випуску. І хоча за пропорційної варіації мова йде про одночасну зміну рівня застосування всіх факторів, при цьому однаковою мірою і за збереження їхнього початкового співвідношення, результат може бути поданий як сума часткових варіацій, що істотно розширює рамки аналізу.

У практичних розрахунках зазвичай визначається не точкова, а дугова (на відрізку) еластичність, тому рівність (4.8) виконується лише приблизно.

Приклад. Нехай виробнича функція підприємства описується рівнянням

У разі використання 100 од. праці і 50 од. капіталу випуск становитиме:

 (од.).

Якщо кількість праці і капіталу збільшити на 10 %, то згідно з теоремою Вікселля—Джонсона випуск має зрости на 11,25 %:

Реальна зміна випуску становитиме 11,318 %: