5.4. Прогнозирование инфляции с помощью механизма коррекции ошибок

Уравнение для прогнозирования инфляции может быть получено при вычитании

однопериодного уравнения Фишера из Т-периодного уравнения:

t t t t t (T) −(1) (R (T) −R (1)) u (***)

где, согласно теории, 1 и ошибка состоит из трех компонент - ожидаемых будущих

изменений процентной ставки, будущей разности между ожидаемой и фактической

инфляцией и премии за риск. Однако, существует, как минимум, три причины, по которым

это уравнение может обладать плохой прогнозной способностью: во-первых, оно описывает только долгосрочное соотношение без учета краткосрочного эффекта, во-вторых, оно неявно

подразумевает наличие коинтеграции между доходностями и ставкой инфляции (в то время,

как для исследуемых данных коинтеграция наблюдается только для Т=1, что было показано

ранее), наконец_______, ошибка в этом уравнение имеет трудно моделируемое распределение. В

самом деле, оценивание уравнения (***) для T=3 и 6 месяцев методом наименьших

квадратов приводит к следующим результатам:

Таблица 6. Оцениваемое уравнение t t t t t (T) −(1) (R (T) −R (1)) u

T 3 месяца 6 месяцев

(t-статистика) -0.0358 (-3.2628) -0.07352 (-7.1433)

(t-статистика) -0.1350 (-2.0014) 0.0252 (0.4623)

R2 0.0276 0.0016

DW 0.11972 0.0901

Корреляция по времени: Хи2(1) (p-

значение)

99.4556 (0.000) 118.5900 (0.000)

Легко видеть, что в обоих случаях наблюдается корреляция по времени в остатках и

значение статистики R2 очень мало. Оценка близка к нулю и далека от теоретически

предсказанного значения единицы. Иными словами, как и ожидалось, это уравнение

обладает плохой способностью к прогнозированию.

Одним из путей возможного улучшения картины является использование механизма

коррекции ошибок, сформулированного на основе уравнения (***). Однако, в этом случае

возникает проблема, связанная с тем, что механизм коррекции ошибок в качестве

объясняющих переменных будет включать лагированные значения t (T) , которые

неизвестны в момент времени t вплоть до лага порядка T-1. Эти переменные не могут быть

использованы в прогнозном уравнении и, следовательно, должны быть опущены. Для

корректирования эффекта перекрывающихся рядов данных предполагается, что временной

ряд ошибок уравнения есть процесс скользящего среднего (см. [18]). Долгосрочная

компонента в механизме коррекции ошибок будет образована двумя рядами доходностей и

инфляцией за 1 месяц вперед (так как инфляция за последующие Т месяцев не известна в

момент t-1 для T>1). Таким образом, в общей форме уравнение будет выглядеть следующим

образом:

t 

i

i

k

t i

i

i

k

t i

i

i

k

t i

t t t t

t i t i

i

n

T R T R

R R T

( ) ( ) ( ) ( )

( () ( ) ()) ,









−



−



−

−−−

−













0

1

1

1

2

1

1 1 1 2 1

0

1 1

1 1 (12)

причем оно должно включать достаточное число лагированных первых разностей для

получения хороших результатов при проведении тестов на неправильную спецификацию

модели.

Итак, на первом шаге необходимо найти соотношение коинтеграции между рядами

t t (1),R (1) и R T t( ). На следующем шаге нужно построить уравнение прогнозирования,

подставив в него остатки коинтеграционного соотношения и выбрав подходящее количество

лагов. Получившееся уравнение будет сходно с ограниченным механизмом коррекции

ошибок.

Начнем с соотношения коинтеграции: для его получения будет использоваться

процедура Йохансена, так как она является более мощной. Результаты приведены в таблице

7:

Таблица 7. Соотношение коинтеграции для уравнения прогнозирования

Ряды t (1),Rt (1) ,Rt(3) t t (1),R (1) ,Rt(6)

Число лагов 4 4

Собств. значения 0.2174, 0.0640, 0.0297 0.6116, 0.0571, 0,0251

Гипотеза Отн.

правдоподобия

1% крит.

значение

Отн.

правдоподобия

1% крит.

значение

r = 0 47.111 35.65 34.6311 35.65

r ≤1 13.288 20.04 11.1946 20.04

r≤2 4.1551 6.65 3.3814 6.65

Как видно из таблицы, имеется одно коинтеграционное соотношение для Т=3 месяца и на 1%

уровне коинтеграция для Т=6 месяцев отсутствует. Тем не менее, 5% критические значения

для этого теста позволяют заключить, что на 5% уровне гипотеза об одном

коинтеграционном соотношении для Т=6 месяцев не может быть отвергнута:

Гипотеза 5% крит. значение

r = 0 29.68

r ≤1 15.41

r≤2 3.76

Нормализованные коэффициенты коинтеграции для Т=3 месяца есть:

Rt(1) Rt(3) t(1)

1.000 -0.6614

(0.0409)

-0.3315

(0.0495),

а для Т=6 месяцев они составляют:

Rt (1) Rt(6) t(1)

1,000 -0.6042

(0.0547)

-0.4084

(0.0666)

Необходимо отметить одну интересную особенность: в обоих случаях (T = 3 месяца и T = 6

месяцев) вектор коинтеграции может быть представлен как взвешенная разность

одномесячной реальной процентной ставки и наклона кривой

доходности:

R R R R R t t t t t t t (1) −0.6614∗(3) −0.3315∗(1) ≈0.3315∗[ (1) −(1)]−0.6614∗[ (3) −(1)]- для

3-месячного соотношения коинтеграции;

R R R R R t t t t t t t (1) −0.6042∗(6) −0.4085∗(1) ≈0.4085∗[ (1) −(1)]−0.6042∗[ (6) −(1)]

- для 6-месячного соотношения коинтеграции. Это преобразование означает, что текущая

реальная процентная ставка коинтегрирована с наклоном кривой доходности (что

подтверждается и результатами непосредственных тестов на коинтеграцию, которые не

приводятся здесь). Иными словами, в долгосрочном периоде изменение угла наклона кривой

доходности вызывает пропорциональное изменение текущей реальной процентной ставки, и

наоборот. Это свойство может означать, что в долгосрочном периоде текущая реальная

процентная ставка содержит информацию о изменении угла наклона кривой доходности.

Увеличение реальной процентной ставки является неявным сигналом дестабилизации

ситуации в стране, роста неопределенности и, как следствие, роста премии за риск,

связанной с более длинными облигациями. Аналогично, снижение реальной процентной

ставки означает уменьшение риска, ассоциируемого с бумагами более длинного срока

погашения.

Обратимся теперь к уравнению прогнозирования в форме механизма коррекции

ошибок (МКО). В обоих уравнениях было включено два лага. Уравнение для трехмесячных

данных включает ошибку в виде процесса скользящего среднего до второго порядка, а

уравнение для шестимесячных данных - до пятого порядка. Оценки, полученные при

применении нелинейного метода наименьших квадратов, приведены в таблице 8:

Таблица 8. Оценивание уравнения прогнозирования в форме МКО

t T i 

i

Rt i T i

i

Rt i

i

i

( ) ( ) ( ) t i( ) (Rt ( ) Rt (T) t ( )) t ,



−



−



0 −−−−

1

2

1

1

2

1 2

1

2

1 1 1 1 1 2 1 1

T 3 месяца 6 месяцев

(t-статистика) -0.0061 (-3.9648) -0.0068 (-5.2240)

0

1 (t-статистика) 0.0359 (2.5007) 0.0125 (1.5969)

0

2 (t-статистика) 0.0136 (1.0198) 0.0032 (0.4550)

1

1 (t-статистика) -0.0485 (-3.2516) -0.0214 (-1.6934)

1

2 (t-статистика) -0.0242 (-1.8769) -0.0064 (-1.0510)

2

1 (t-статистика) 0.1026 (3.3818) -0.0692 (-4.5748)

2

2 (t-статистика) 0.0770 (2.6653) -0.0245 (-1.6924)

(t-статистика) 0.0637 (3.6689) 0.0330 (2.8325)

1 (из вектора коинтеграции) -0.6614 -0.6042

2 (из вектора коинтеграции) -0.3315 -0.4084

MA(1) (t-статистика) 0.0570 (0.5963) 0.7378 (8.7069)

MA(2) (t-статистика) 0.4337 (4.4938) 0.7982 (8.3173)

MA(3) (t-статистика) - 0.2990 (2.7248)

MA(4) (t-статистика) - 0.2556 (3.0052)

MA(5) (t-статистика) - -0.1695 (-2.5496)

R2adj 0.5473 0.5911

DW 1.7811 1.847

Тест множителей Лагранжа на

корреляцию по времени

до порядка 2: F-stat (p-значение)

2.628 (0.076) 5.633 (0.0046)

до порядка 4: F-stat (p-значение) 2.5859 (0.040) -

ARCH (1):F-stat (p-значение) 2.0704 (0.1524) 4.937 (0.028)

Как показывают результаты, для трехмесячных данных тесты на спецификацию не

позволили отклонить гипотезу о правильной спецификации модели. Для шестимесячных

данных, даже после введения поправки на наличие скользящего среднего, наблюдается

корреляция по времени в остатках. Однако, в обоих случаях, коэффициент при долгосрочной

компоненте, включенной в регрессию, значимо больше нуля (> 0). Этот коэффициент

уменьшается с ростом времени до погашения (числа последующих периодов, за которые

прогнозируется средняя инфляция), иными словами, чем длиннее горизонт прогнозирования, тем меньше информации содержится в текущей инфляции и спот-процентных ставках

различных сроков погашения. Этот результат согласуется также и с приведенными ранее

соображениями, что чем больше срок погашения, тем сильнее влияние государства на рынке

и, соответственно, тем слабее инфляционные ожидания отражены в структуре доходностей.

Перечислим основные результаты этого раздела: оценивание методом наименьших

квадратов уравнения, связывающего разность между средними ставками инфляции за

последующие Т и 1 период с спрэдом доходностей, приводит к неудовлетворительным

результатам. Проблемы прогнозирования, видимо могут быть объяснены отсутствием

коинтеграции между доходностью по Т-месячным облигациям и средней инфляцией за

последующие Т месяцев (Т = 3, 6), и сложной формой процесса ошибок в уравнении.

Альтернативное уравнение основано на ограниченном механизме коррекции ошибок, в

котором опущены лагированные значения инфляции за последующие Т периодов и ее

первые разности, так как оно не известны в момент t для Т>1. Как следствие, долгосрочная

компонента механизма коррекции ошибок включает угол наклона кривой доходности и

текущую реальную процентную ставку, между которыми обнаружена коинтеграция как для

трехмесячных, так и для шестимесячных данных. В коинтеграционном соотношении между

углом наклона кривой доходности и текущей процентной ставкой содержится информация о

будущей ставке инфляции, но эта зависимость становится слабее с увеличением горизонта

прогнозирования.

Уравнение для прогнозирования инфляции может быть получено при вычитании

однопериодного уравнения Фишера из Т-периодного уравнения:

t t t t t (T) −(1) (R (T) −R (1)) u (***)

где, согласно теории, 1 и ошибка состоит из трех компонент - ожидаемых будущих

изменений процентной ставки, будущей разности между ожидаемой и фактической

инфляцией и премии за риск. Однако, существует, как минимум, три причины, по которым

это уравнение может обладать плохой прогнозной способностью: во-первых, оно описывает только долгосрочное соотношение без учета краткосрочного эффекта, во-вторых, оно неявно

подразумевает наличие коинтеграции между доходностями и ставкой инфляции (в то время,

как для исследуемых данных коинтеграция наблюдается только для Т=1, что было показано

ранее), наконец_______, ошибка в этом уравнение имеет трудно моделируемое распределение. В

самом деле, оценивание уравнения (***) для T=3 и 6 месяцев методом наименьших

квадратов приводит к следующим результатам:

Таблица 6. Оцениваемое уравнение t t t t t (T) −(1) (R (T) −R (1)) u

T 3 месяца 6 месяцев

(t-статистика) -0.0358 (-3.2628) -0.07352 (-7.1433)

(t-статистика) -0.1350 (-2.0014) 0.0252 (0.4623)

R2 0.0276 0.0016

DW 0.11972 0.0901

Корреляция по времени: Хи2(1) (p-

значение)

99.4556 (0.000) 118.5900 (0.000)

Легко видеть, что в обоих случаях наблюдается корреляция по времени в остатках и

значение статистики R2 очень мало. Оценка близка к нулю и далека от теоретически

предсказанного значения единицы. Иными словами, как и ожидалось, это уравнение

обладает плохой способностью к прогнозированию.

Одним из путей возможного улучшения картины является использование механизма

коррекции ошибок, сформулированного на основе уравнения (***). Однако, в этом случае

возникает проблема, связанная с тем, что механизм коррекции ошибок в качестве

объясняющих переменных будет включать лагированные значения t (T) , которые

неизвестны в момент времени t вплоть до лага порядка T-1. Эти переменные не могут быть

использованы в прогнозном уравнении и, следовательно, должны быть опущены. Для

корректирования эффекта перекрывающихся рядов данных предполагается, что временной

ряд ошибок уравнения есть процесс скользящего среднего (см. [18]). Долгосрочная

компонента в механизме коррекции ошибок будет образована двумя рядами доходностей и

инфляцией за 1 месяц вперед (так как инфляция за последующие Т месяцев не известна в

момент t-1 для T>1). Таким образом, в общей форме уравнение будет выглядеть следующим

образом:

t 

i

i

k

t i

i

i

k

t i

i

i

k

t i

t t t t

t i t i

i

n

T R T R

R R T

( ) ( ) ( ) ( )

( () ( ) ()) ,









−



−



−

−−−

−













0

1

1

1

2

1

1 1 1 2 1

0

1 1

1 1 (12)

причем оно должно включать достаточное число лагированных первых разностей для

получения хороших результатов при проведении тестов на неправильную спецификацию

модели.

Итак, на первом шаге необходимо найти соотношение коинтеграции между рядами

t t (1),R (1) и R T t( ). На следующем шаге нужно построить уравнение прогнозирования,

подставив в него остатки коинтеграционного соотношения и выбрав подходящее количество

лагов. Получившееся уравнение будет сходно с ограниченным механизмом коррекции

ошибок.

Начнем с соотношения коинтеграции: для его получения будет использоваться

процедура Йохансена, так как она является более мощной. Результаты приведены в таблице

7:

Таблица 7. Соотношение коинтеграции для уравнения прогнозирования

Ряды t (1),Rt (1) ,Rt(3) t t (1),R (1) ,Rt(6)

Число лагов 4 4

Собств. значения 0.2174, 0.0640, 0.0297 0.6116, 0.0571, 0,0251

Гипотеза Отн.

правдоподобия

1% крит.

значение

Отн.

правдоподобия

1% крит.

значение

r = 0 47.111 35.65 34.6311 35.65

r ≤1 13.288 20.04 11.1946 20.04

r≤2 4.1551 6.65 3.3814 6.65

Как видно из таблицы, имеется одно коинтеграционное соотношение для Т=3 месяца и на 1%

уровне коинтеграция для Т=6 месяцев отсутствует. Тем не менее, 5% критические значения

для этого теста позволяют заключить, что на 5% уровне гипотеза об одном

коинтеграционном соотношении для Т=6 месяцев не может быть отвергнута:

Гипотеза 5% крит. значение

r = 0 29.68

r ≤1 15.41

r≤2 3.76

Нормализованные коэффициенты коинтеграции для Т=3 месяца есть:

Rt(1) Rt(3) t(1)

1.000 -0.6614

(0.0409)

-0.3315

(0.0495),

а для Т=6 месяцев они составляют:

Rt (1) Rt(6) t(1)

1,000 -0.6042

(0.0547)

-0.4084

(0.0666)

Необходимо отметить одну интересную особенность: в обоих случаях (T = 3 месяца и T = 6

месяцев) вектор коинтеграции может быть представлен как взвешенная разность

одномесячной реальной процентной ставки и наклона кривой

доходности:

R R R R R t t t t t t t (1) −0.6614∗(3) −0.3315∗(1) ≈0.3315∗[ (1) −(1)]−0.6614∗[ (3) −(1)]- для

3-месячного соотношения коинтеграции;

R R R R R t t t t t t t (1) −0.6042∗(6) −0.4085∗(1) ≈0.4085∗[ (1) −(1)]−0.6042∗[ (6) −(1)]

- для 6-месячного соотношения коинтеграции. Это преобразование означает, что текущая

реальная процентная ставка коинтегрирована с наклоном кривой доходности (что

подтверждается и результатами непосредственных тестов на коинтеграцию, которые не

приводятся здесь). Иными словами, в долгосрочном периоде изменение угла наклона кривой

доходности вызывает пропорциональное изменение текущей реальной процентной ставки, и

наоборот. Это свойство может означать, что в долгосрочном периоде текущая реальная

процентная ставка содержит информацию о изменении угла наклона кривой доходности.

Увеличение реальной процентной ставки является неявным сигналом дестабилизации

ситуации в стране, роста неопределенности и, как следствие, роста премии за риск,

связанной с более длинными облигациями. Аналогично, снижение реальной процентной

ставки означает уменьшение риска, ассоциируемого с бумагами более длинного срока

погашения.

Обратимся теперь к уравнению прогнозирования в форме механизма коррекции

ошибок (МКО). В обоих уравнениях было включено два лага. Уравнение для трехмесячных

данных включает ошибку в виде процесса скользящего среднего до второго порядка, а

уравнение для шестимесячных данных - до пятого порядка. Оценки, полученные при

применении нелинейного метода наименьших квадратов, приведены в таблице 8:

Таблица 8. Оценивание уравнения прогнозирования в форме МКО

t T i 

i

Rt i T i

i

Rt i

i

i

( ) ( ) ( ) t i( ) (Rt ( ) Rt (T) t ( )) t ,



−



−



0 −−−−

1

2

1

1

2

1 2

1

2

1 1 1 1 1 2 1 1

T 3 месяца 6 месяцев

(t-статистика) -0.0061 (-3.9648) -0.0068 (-5.2240)

0

1 (t-статистика) 0.0359 (2.5007) 0.0125 (1.5969)

0

2 (t-статистика) 0.0136 (1.0198) 0.0032 (0.4550)

1

1 (t-статистика) -0.0485 (-3.2516) -0.0214 (-1.6934)

1

2 (t-статистика) -0.0242 (-1.8769) -0.0064 (-1.0510)

2

1 (t-статистика) 0.1026 (3.3818) -0.0692 (-4.5748)

2

2 (t-статистика) 0.0770 (2.6653) -0.0245 (-1.6924)

(t-статистика) 0.0637 (3.6689) 0.0330 (2.8325)

1 (из вектора коинтеграции) -0.6614 -0.6042

2 (из вектора коинтеграции) -0.3315 -0.4084

MA(1) (t-статистика) 0.0570 (0.5963) 0.7378 (8.7069)

MA(2) (t-статистика) 0.4337 (4.4938) 0.7982 (8.3173)

MA(3) (t-статистика) - 0.2990 (2.7248)

MA(4) (t-статистика) - 0.2556 (3.0052)

MA(5) (t-статистика) - -0.1695 (-2.5496)

R2adj 0.5473 0.5911

DW 1.7811 1.847

Тест множителей Лагранжа на

корреляцию по времени

до порядка 2: F-stat (p-значение)

2.628 (0.076) 5.633 (0.0046)

до порядка 4: F-stat (p-значение) 2.5859 (0.040) -

ARCH (1):F-stat (p-значение) 2.0704 (0.1524) 4.937 (0.028)

Как показывают результаты, для трехмесячных данных тесты на спецификацию не

позволили отклонить гипотезу о правильной спецификации модели. Для шестимесячных

данных, даже после введения поправки на наличие скользящего среднего, наблюдается

корреляция по времени в остатках. Однако, в обоих случаях, коэффициент при долгосрочной

компоненте, включенной в регрессию, значимо больше нуля (> 0). Этот коэффициент

уменьшается с ростом времени до погашения (числа последующих периодов, за которые

прогнозируется средняя инфляция), иными словами, чем длиннее горизонт прогнозирования, тем меньше информации содержится в текущей инфляции и спот-процентных ставках

различных сроков погашения. Этот результат согласуется также и с приведенными ранее

соображениями, что чем больше срок погашения, тем сильнее влияние государства на рынке

и, соответственно, тем слабее инфляционные ожидания отражены в структуре доходностей.

Перечислим основные результаты этого раздела: оценивание методом наименьших

квадратов уравнения, связывающего разность между средними ставками инфляции за

последующие Т и 1 период с спрэдом доходностей, приводит к неудовлетворительным

результатам. Проблемы прогнозирования, видимо могут быть объяснены отсутствием

коинтеграции между доходностью по Т-месячным облигациям и средней инфляцией за

последующие Т месяцев (Т = 3, 6), и сложной формой процесса ошибок в уравнении.

Альтернативное уравнение основано на ограниченном механизме коррекции ошибок, в

котором опущены лагированные значения инфляции за последующие Т периодов и ее

первые разности, так как оно не известны в момент t для Т>1. Как следствие, долгосрочная

компонента механизма коррекции ошибок включает угол наклона кривой доходности и

текущую реальную процентную ставку, между которыми обнаружена коинтеграция как для

трехмесячных, так и для шестимесячных данных. В коинтеграционном соотношении между

углом наклона кривой доходности и текущей процентной ставкой содержится информация о

будущей ставке инфляции, но эта зависимость становится слабее с увеличением горизонта

прогнозирования.