5.2. Тестирование на интегрируемость

В этом разделе приведены результаты тестирования данных на интегрируемость.

Используемая методология была предложена в работе [12]. Вкратце она может быть описана

следующим образом:

Шаг 1. Оценить регрессию

17

y y t y t t t i

i

k

t −−

1 

1

(*)

включив достаточное число лагов, чтобы избежать корреляции по времени в остатках.

Шаг 2. Протестировать гипотезу H0: (,,) (,0,1) против альтернативы

(,,) ≠(,0,1) используя F- статистику с нестандартным распределением.

Соответствующие критические значения приведены в [1]. Если нулевая гипотеза не может

быть отклонена, то перейти к шагу 5.

Шаг 3. Если нулевая гипотеза не принимается, то остаются три возможности:

либо





≠















0

1

(a), либо







≠













0

1

(b), либо





≠

≠













0

1

(c).

Протестировать гипотезу H0: 1, используя стандартные критические значения для t-

статистики, полученной в регрессии (*). Если ≠0 , то t-статистика распределена

стандартно, если же 0 , то тогда критические значения нестандартны, но меньше, чем

стандартные критические значения. Таким образом, если нулевая гипотеза принимается, оба

случая (b) и (c) могут быть исключены из рассмотрения и можно заключить что временной

ряд имеет единичный корень и линейный тренд в первых разностях (с возможным

ненулевым сносом ). Если нулевая гипотеза отклоняется, то временной ряд является

стационарным (случаи (b) или (c)).

Шаг 4. В случае стационарности могут быть использованы стандартные процедуры

тестирования. Можно протестировать гипотезу 0 , применяя стандартную t-статистику.

Если нулевая гипотеза отклоняется, то ряд является стационарным вокруг линейного тренда,

в противном случае ряд стационарен без временного тренда. В обоих случаях можно

проверить гипотезу о равенстве константы нулю, используя стандартно распределенную t-

статистику.

Шаг 5. Результаты, полученные на шаге 2, позволяют заключить, что ряд имеет единичный

корень без временного тренда в первых разностях. хотя и с возможным ненулевым сносом.

Для подтверждения результата, что 1, можно применить t-статистику, полученную в уравнении (*) с нестандартным распределением. приведенным в [10] (для регрессии с

трендом и константой).

Шаг 6. Предыдущие результаты позволяют заключить, что (,) (0,1) , таким образом,

чтобы проверить наличие ненулевого сноса, необходимо провести F-тест гипотезы H0:

(,,) (0,0,1) . Нестандартное распределение соответствующей F-статистики также

приведено в [1]. Если нулевая гипотеза не отклоняется, то можно сделать вывод, что ряд

является случайным блужданием без сноса. Если нулевая гипотеза не может быть принята,

то ряд - случайное блуждание с ненулевым сносом.

Шаг 7. Для проверки результатов, полученных на предыдущем шаге, следует оценить

регрессию без временного тренда (включив F6f достаточное число лагов, чтобы избежать

корреляции по времени в остатках):

y y y t t t i

i

k

t −−

1 

1

(**)

и провести F-тест гипотезы H0: (,) (0,1) , используя нестандартное распределение,

приведенное в [1].

Эта пошаговая процедура была применена к исследуемым данным. Результаты для

доходностей по ГКО представлены в Таблице 1 :

Таблица 1. Тест на наличие единичного корня: доходности по ГКО

Процедура Доходности Rt (1) Rt(3) Rt(6)

Шаг 1: Число включенных лагов 0 5 1

Шаг 2:

(,,) (,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 8.73)

8.176 6.960 3.6933

Шаг 5:

1

t-статистика

(1% критическое значение = -4.04)

-4.015 -3.685 -2.667

Шаг 6:

(,,) (0,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 6.50)

5.742 4.9858 2.923

Шаг 7: Число включенных лагов 0 3 1

(,) (0,1) F-статистика

(1% критическое значение = 6.70)

3.036 3.9853 2.7973

Опишем подробнее используемую процедуру на примере доходности по

одномесячным ГКО:

На первом шаге нужно включить в регрессию достаточное число лагов, позволяющее

избежать корреляции по времени в остатках. Регрессия без лагов дала следующие

результаты:

Моделирование Rt(1) МНК

Объем выборки: от 1 до 142

Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.

Константа 0.20414 0.056808 3.594 0.0005

r1_1 0.79611 0.050787 15.675 0.0000

Тренд -0.00132 0.000403 -3.276 0.0013

DW=2.10

AR 1- 2 F( 2,137) = 0.5783 [0.5622]

AR 1-12 F(12, 127) = 1.3262 [0.2116]

Таким образом, можно заключить, что спецификация модели без включения лагов подходит

для дальнейшего анализа. В ходе тестирования ограничения на одновременное равенство

нулю временного тренда и наличие единичного корня была получена F-статистика = 8.176,

следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута на 1% уровне значимости. В

этом случае следующим шагом в анализе должен быть шаг 5: t-статистика = -4.015

подтверждает наличие единичного корня, полученное на предыдущем шаге. F-статистика =

5.74 на шаге 6 позволяет заключить, что гипотеза о равенстве сноса не может быть

отвергнута на 1% уровне. Регрессия (**) на шаге 7 также может быть оценена без включения

дополнительных лагов:

Моделирование Rt (1) МНК

Объем выборки: от 1 до 142

Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.

Константа 0.025692 0.016683 1.540 0.1258

r1_1 0.94161 0.025473 36.964 0.0000

DW = 2.26

AR 1- 2 F( 2,138) = 2.2874 [0.1054]

AR 1-12 F(12,119) = 1.3219 [0.2138]

Наконец, F-статистика = 3.036, полученная при тестировании на одновременное наличие

единичного корня и нулевой снос, подтверждает предыдущий результат: Rt(1) является

случайным блужданием без сноса.

Результаты этой же процедуры, примененной к временным рядам инфляции

приводятся в Таблице 2:

Таблица 2. Тест на наличие единичного корня: временные ряды инфляции

Процедура Доходности t(1) t(3) t(6)

Шаг 1: Число включенных лагов 8 2 6

Шаг 2:

(,,) (,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 8.73)

6.0952 3.3586 2.5517

Шаг 5:

1

t-статистика

(1% критическое значение = -4.04)

-2.924 -1.926 -1.487

Шаг 6:

(,,) (0,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 6.50)

5.3768 2.9952 2.2865

Шаг 7: Число включенных лагов 8 2 3

(,) (0,1) F-статистика

(1% критическое значение = 6.70)

6.836 4.27 3.4407

Тестирование на интегрируемость второго порядка позволило отклонить гипотезу I(2) для

всех рядов данных.

Таким образом, результаты тестов на интегрируемость подытожены в Таблице 3:

Таблица 3. Результаты теста на интегрируемость

Ряд Результаты теста на интегрируемость

Rt(1) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

Rt(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

Rt(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

t(1) Случайное блуждание без временного тренда в первых разностях, но с

ненулевым сносом

t(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

t(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

В этом разделе приведены результаты тестирования данных на интегрируемость.

Используемая методология была предложена в работе [12]. Вкратце она может быть описана

следующим образом:

Шаг 1. Оценить регрессию

17

y y t y t t t i

i

k

t −−

1 

1

(*)

включив достаточное число лагов, чтобы избежать корреляции по времени в остатках.

Шаг 2. Протестировать гипотезу H0: (,,) (,0,1) против альтернативы

(,,) ≠(,0,1) используя F- статистику с нестандартным распределением.

Соответствующие критические значения приведены в [1]. Если нулевая гипотеза не может

быть отклонена, то перейти к шагу 5.

Шаг 3. Если нулевая гипотеза не принимается, то остаются три возможности:

либо





≠















0

1

(a), либо







≠













0

1

(b), либо





≠

≠













0

1

(c).

Протестировать гипотезу H0: 1, используя стандартные критические значения для t-

статистики, полученной в регрессии (*). Если ≠0 , то t-статистика распределена

стандартно, если же 0 , то тогда критические значения нестандартны, но меньше, чем

стандартные критические значения. Таким образом, если нулевая гипотеза принимается, оба

случая (b) и (c) могут быть исключены из рассмотрения и можно заключить что временной

ряд имеет единичный корень и линейный тренд в первых разностях (с возможным

ненулевым сносом ). Если нулевая гипотеза отклоняется, то временной ряд является

стационарным (случаи (b) или (c)).

Шаг 4. В случае стационарности могут быть использованы стандартные процедуры

тестирования. Можно протестировать гипотезу 0 , применяя стандартную t-статистику.

Если нулевая гипотеза отклоняется, то ряд является стационарным вокруг линейного тренда,

в противном случае ряд стационарен без временного тренда. В обоих случаях можно

проверить гипотезу о равенстве константы нулю, используя стандартно распределенную t-

статистику.

Шаг 5. Результаты, полученные на шаге 2, позволяют заключить, что ряд имеет единичный

корень без временного тренда в первых разностях. хотя и с возможным ненулевым сносом.

Для подтверждения результата, что 1, можно применить t-статистику, полученную в уравнении (*) с нестандартным распределением. приведенным в [10] (для регрессии с

трендом и константой).

Шаг 6. Предыдущие результаты позволяют заключить, что (,) (0,1) , таким образом,

чтобы проверить наличие ненулевого сноса, необходимо провести F-тест гипотезы H0:

(,,) (0,0,1) . Нестандартное распределение соответствующей F-статистики также

приведено в [1]. Если нулевая гипотеза не отклоняется, то можно сделать вывод, что ряд

является случайным блужданием без сноса. Если нулевая гипотеза не может быть принята,

то ряд - случайное блуждание с ненулевым сносом.

Шаг 7. Для проверки результатов, полученных на предыдущем шаге, следует оценить

регрессию без временного тренда (включив F6f достаточное число лагов, чтобы избежать

корреляции по времени в остатках):

y y y t t t i

i

k

t −−

1 

1

(**)

и провести F-тест гипотезы H0: (,) (0,1) , используя нестандартное распределение,

приведенное в [1].

Эта пошаговая процедура была применена к исследуемым данным. Результаты для

доходностей по ГКО представлены в Таблице 1 :

Таблица 1. Тест на наличие единичного корня: доходности по ГКО

Процедура Доходности Rt (1) Rt(3) Rt(6)

Шаг 1: Число включенных лагов 0 5 1

Шаг 2:

(,,) (,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 8.73)

8.176 6.960 3.6933

Шаг 5:

1

t-статистика

(1% критическое значение = -4.04)

-4.015 -3.685 -2.667

Шаг 6:

(,,) (0,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 6.50)

5.742 4.9858 2.923

Шаг 7: Число включенных лагов 0 3 1

(,) (0,1) F-статистика

(1% критическое значение = 6.70)

3.036 3.9853 2.7973

Опишем подробнее используемую процедуру на примере доходности по

одномесячным ГКО:

На первом шаге нужно включить в регрессию достаточное число лагов, позволяющее

избежать корреляции по времени в остатках. Регрессия без лагов дала следующие

результаты:

Моделирование Rt(1) МНК

Объем выборки: от 1 до 142

Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.

Константа 0.20414 0.056808 3.594 0.0005

r1_1 0.79611 0.050787 15.675 0.0000

Тренд -0.00132 0.000403 -3.276 0.0013

DW=2.10

AR 1- 2 F( 2,137) = 0.5783 [0.5622]

AR 1-12 F(12, 127) = 1.3262 [0.2116]

Таким образом, можно заключить, что спецификация модели без включения лагов подходит

для дальнейшего анализа. В ходе тестирования ограничения на одновременное равенство

нулю временного тренда и наличие единичного корня была получена F-статистика = 8.176,

следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута на 1% уровне значимости. В

этом случае следующим шагом в анализе должен быть шаг 5: t-статистика = -4.015

подтверждает наличие единичного корня, полученное на предыдущем шаге. F-статистика =

5.74 на шаге 6 позволяет заключить, что гипотеза о равенстве сноса не может быть

отвергнута на 1% уровне. Регрессия (**) на шаге 7 также может быть оценена без включения

дополнительных лагов:

Моделирование Rt (1) МНК

Объем выборки: от 1 до 142

Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.

Константа 0.025692 0.016683 1.540 0.1258

r1_1 0.94161 0.025473 36.964 0.0000

DW = 2.26

AR 1- 2 F( 2,138) = 2.2874 [0.1054]

AR 1-12 F(12,119) = 1.3219 [0.2138]

Наконец, F-статистика = 3.036, полученная при тестировании на одновременное наличие

единичного корня и нулевой снос, подтверждает предыдущий результат: Rt(1) является

случайным блужданием без сноса.

Результаты этой же процедуры, примененной к временным рядам инфляции

приводятся в Таблице 2:

Таблица 2. Тест на наличие единичного корня: временные ряды инфляции

Процедура Доходности t(1) t(3) t(6)

Шаг 1: Число включенных лагов 8 2 6

Шаг 2:

(,,) (,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 8.73)

6.0952 3.3586 2.5517

Шаг 5:

1

t-статистика

(1% критическое значение = -4.04)

-2.924 -1.926 -1.487

Шаг 6:

(,,) (0,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 6.50)

5.3768 2.9952 2.2865

Шаг 7: Число включенных лагов 8 2 3

(,) (0,1) F-статистика

(1% критическое значение = 6.70)

6.836 4.27 3.4407

Тестирование на интегрируемость второго порядка позволило отклонить гипотезу I(2) для

всех рядов данных.

Таким образом, результаты тестов на интегрируемость подытожены в Таблице 3:

Таблица 3. Результаты теста на интегрируемость

Ряд Результаты теста на интегрируемость

Rt(1) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

Rt(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

Rt(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

t(1) Случайное блуждание без временного тренда в первых разностях, но с

ненулевым сносом

t(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях

t(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях