5.2. Тестирование на интегрируемость
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13В этом разделе приведены результаты тестирования данных на интегрируемость.
Используемая методология была предложена в работе [12]. Вкратце она может быть описана
следующим образом:
Шаг 1. Оценить регрессию
17
y y t y t t t i
i
k
t −−
1
1
(*)
включив достаточное число лагов, чтобы избежать корреляции по времени в остатках.
Шаг 2. Протестировать гипотезу H0: (,,) (,0,1) против альтернативы
(,,) ≠(,0,1) используя F- статистику с нестандартным распределением.
Соответствующие критические значения приведены в [1]. Если нулевая гипотеза не может
быть отклонена, то перейти к шагу 5.
Шаг 3. Если нулевая гипотеза не принимается, то остаются три возможности:
либо
≠
0
1
(a), либо
≠
0
1
(b), либо
≠
≠
0
1
(c).
Протестировать гипотезу H0: 1, используя стандартные критические значения для t-
статистики, полученной в регрессии (*). Если ≠0 , то t-статистика распределена
стандартно, если же 0 , то тогда критические значения нестандартны, но меньше, чем
стандартные критические значения. Таким образом, если нулевая гипотеза принимается, оба
случая (b) и (c) могут быть исключены из рассмотрения и можно заключить что временной
ряд имеет единичный корень и линейный тренд в первых разностях (с возможным
ненулевым сносом ). Если нулевая гипотеза отклоняется, то временной ряд является
стационарным (случаи (b) или (c)).
Шаг 4. В случае стационарности могут быть использованы стандартные процедуры
тестирования. Можно протестировать гипотезу 0 , применяя стандартную t-статистику.
Если нулевая гипотеза отклоняется, то ряд является стационарным вокруг линейного тренда,
в противном случае ряд стационарен без временного тренда. В обоих случаях можно
проверить гипотезу о равенстве константы нулю, используя стандартно распределенную t-
статистику.
Шаг 5. Результаты, полученные на шаге 2, позволяют заключить, что ряд имеет единичный
корень без временного тренда в первых разностях. хотя и с возможным ненулевым сносом.
Для подтверждения результата, что 1, можно применить t-статистику, полученную в уравнении (*) с нестандартным распределением. приведенным в [10] (для регрессии с
трендом и константой).
Шаг 6. Предыдущие результаты позволяют заключить, что (,) (0,1) , таким образом,
чтобы проверить наличие ненулевого сноса, необходимо провести F-тест гипотезы H0:
(,,) (0,0,1) . Нестандартное распределение соответствующей F-статистики также
приведено в [1]. Если нулевая гипотеза не отклоняется, то можно сделать вывод, что ряд
является случайным блужданием без сноса. Если нулевая гипотеза не может быть принята,
то ряд - случайное блуждание с ненулевым сносом.
Шаг 7. Для проверки результатов, полученных на предыдущем шаге, следует оценить
регрессию без временного тренда (включив F6f достаточное число лагов, чтобы избежать
корреляции по времени в остатках):
y y y t t t i
i
k
t −−
1
1
(**)
и провести F-тест гипотезы H0: (,) (0,1) , используя нестандартное распределение,
приведенное в [1].
Эта пошаговая процедура была применена к исследуемым данным. Результаты для
доходностей по ГКО представлены в Таблице 1 :
Таблица 1. Тест на наличие единичного корня: доходности по ГКО
Процедура Доходности Rt (1) Rt(3) Rt(6)
Шаг 1: Число включенных лагов 0 5 1
Шаг 2:
(,,) (,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 8.73)
8.176 6.960 3.6933
Шаг 5:
1
t-статистика
(1% критическое значение = -4.04)
-4.015 -3.685 -2.667
Шаг 6:
(,,) (0,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 6.50)
5.742 4.9858 2.923
Шаг 7: Число включенных лагов 0 3 1
(,) (0,1) F-статистика
(1% критическое значение = 6.70)
3.036 3.9853 2.7973
Опишем подробнее используемую процедуру на примере доходности по
одномесячным ГКО:
На первом шаге нужно включить в регрессию достаточное число лагов, позволяющее
избежать корреляции по времени в остатках. Регрессия без лагов дала следующие
результаты:
Моделирование Rt(1) МНК
Объем выборки: от 1 до 142
Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.
Константа 0.20414 0.056808 3.594 0.0005
r1_1 0.79611 0.050787 15.675 0.0000
Тренд -0.00132 0.000403 -3.276 0.0013
DW=2.10
AR 1- 2 F( 2,137) = 0.5783 [0.5622]
AR 1-12 F(12, 127) = 1.3262 [0.2116]
Таким образом, можно заключить, что спецификация модели без включения лагов подходит
для дальнейшего анализа. В ходе тестирования ограничения на одновременное равенство
нулю временного тренда и наличие единичного корня была получена F-статистика = 8.176,
следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута на 1% уровне значимости. В
этом случае следующим шагом в анализе должен быть шаг 5: t-статистика = -4.015
подтверждает наличие единичного корня, полученное на предыдущем шаге. F-статистика =
5.74 на шаге 6 позволяет заключить, что гипотеза о равенстве сноса не может быть
отвергнута на 1% уровне. Регрессия (**) на шаге 7 также может быть оценена без включения
дополнительных лагов:
Моделирование Rt (1) МНК
Объем выборки: от 1 до 142
Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.
Константа 0.025692 0.016683 1.540 0.1258
r1_1 0.94161 0.025473 36.964 0.0000
DW = 2.26
AR 1- 2 F( 2,138) = 2.2874 [0.1054]
AR 1-12 F(12,119) = 1.3219 [0.2138]
Наконец, F-статистика = 3.036, полученная при тестировании на одновременное наличие
единичного корня и нулевой снос, подтверждает предыдущий результат: Rt(1) является
случайным блужданием без сноса.
Результаты этой же процедуры, примененной к временным рядам инфляции
приводятся в Таблице 2:
Таблица 2. Тест на наличие единичного корня: временные ряды инфляции
Процедура Доходности t(1) t(3) t(6)
Шаг 1: Число включенных лагов 8 2 6
Шаг 2:
(,,) (,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 8.73)
6.0952 3.3586 2.5517
Шаг 5:
1
t-статистика
(1% критическое значение = -4.04)
-2.924 -1.926 -1.487
Шаг 6:
(,,) (0,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 6.50)
5.3768 2.9952 2.2865
Шаг 7: Число включенных лагов 8 2 3
(,) (0,1) F-статистика
(1% критическое значение = 6.70)
6.836 4.27 3.4407
Тестирование на интегрируемость второго порядка позволило отклонить гипотезу I(2) для
всех рядов данных.
Таким образом, результаты тестов на интегрируемость подытожены в Таблице 3:
Таблица 3. Результаты теста на интегрируемость
Ряд Результаты теста на интегрируемость
Rt(1) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
Rt(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
Rt(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
t(1) Случайное блуждание без временного тренда в первых разностях, но с
ненулевым сносом
t(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
t(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
В этом разделе приведены результаты тестирования данных на интегрируемость.
Используемая методология была предложена в работе [12]. Вкратце она может быть описана
следующим образом:
Шаг 1. Оценить регрессию
17
y y t y t t t i
i
k
t −−
1
1
(*)
включив достаточное число лагов, чтобы избежать корреляции по времени в остатках.
Шаг 2. Протестировать гипотезу H0: (,,) (,0,1) против альтернативы
(,,) ≠(,0,1) используя F- статистику с нестандартным распределением.
Соответствующие критические значения приведены в [1]. Если нулевая гипотеза не может
быть отклонена, то перейти к шагу 5.
Шаг 3. Если нулевая гипотеза не принимается, то остаются три возможности:
либо
≠
0
1
(a), либо
≠
0
1
(b), либо
≠
≠
0
1
(c).
Протестировать гипотезу H0: 1, используя стандартные критические значения для t-
статистики, полученной в регрессии (*). Если ≠0 , то t-статистика распределена
стандартно, если же 0 , то тогда критические значения нестандартны, но меньше, чем
стандартные критические значения. Таким образом, если нулевая гипотеза принимается, оба
случая (b) и (c) могут быть исключены из рассмотрения и можно заключить что временной
ряд имеет единичный корень и линейный тренд в первых разностях (с возможным
ненулевым сносом ). Если нулевая гипотеза отклоняется, то временной ряд является
стационарным (случаи (b) или (c)).
Шаг 4. В случае стационарности могут быть использованы стандартные процедуры
тестирования. Можно протестировать гипотезу 0 , применяя стандартную t-статистику.
Если нулевая гипотеза отклоняется, то ряд является стационарным вокруг линейного тренда,
в противном случае ряд стационарен без временного тренда. В обоих случаях можно
проверить гипотезу о равенстве константы нулю, используя стандартно распределенную t-
статистику.
Шаг 5. Результаты, полученные на шаге 2, позволяют заключить, что ряд имеет единичный
корень без временного тренда в первых разностях. хотя и с возможным ненулевым сносом.
Для подтверждения результата, что 1, можно применить t-статистику, полученную в уравнении (*) с нестандартным распределением. приведенным в [10] (для регрессии с
трендом и константой).
Шаг 6. Предыдущие результаты позволяют заключить, что (,) (0,1) , таким образом,
чтобы проверить наличие ненулевого сноса, необходимо провести F-тест гипотезы H0:
(,,) (0,0,1) . Нестандартное распределение соответствующей F-статистики также
приведено в [1]. Если нулевая гипотеза не отклоняется, то можно сделать вывод, что ряд
является случайным блужданием без сноса. Если нулевая гипотеза не может быть принята,
то ряд - случайное блуждание с ненулевым сносом.
Шаг 7. Для проверки результатов, полученных на предыдущем шаге, следует оценить
регрессию без временного тренда (включив F6f достаточное число лагов, чтобы избежать
корреляции по времени в остатках):
y y y t t t i
i
k
t −−
1
1
(**)
и провести F-тест гипотезы H0: (,) (0,1) , используя нестандартное распределение,
приведенное в [1].
Эта пошаговая процедура была применена к исследуемым данным. Результаты для
доходностей по ГКО представлены в Таблице 1 :
Таблица 1. Тест на наличие единичного корня: доходности по ГКО
Процедура Доходности Rt (1) Rt(3) Rt(6)
Шаг 1: Число включенных лагов 0 5 1
Шаг 2:
(,,) (,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 8.73)
8.176 6.960 3.6933
Шаг 5:
1
t-статистика
(1% критическое значение = -4.04)
-4.015 -3.685 -2.667
Шаг 6:
(,,) (0,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 6.50)
5.742 4.9858 2.923
Шаг 7: Число включенных лагов 0 3 1
(,) (0,1) F-статистика
(1% критическое значение = 6.70)
3.036 3.9853 2.7973
Опишем подробнее используемую процедуру на примере доходности по
одномесячным ГКО:
На первом шаге нужно включить в регрессию достаточное число лагов, позволяющее
избежать корреляции по времени в остатках. Регрессия без лагов дала следующие
результаты:
Моделирование Rt(1) МНК
Объем выборки: от 1 до 142
Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.
Константа 0.20414 0.056808 3.594 0.0005
r1_1 0.79611 0.050787 15.675 0.0000
Тренд -0.00132 0.000403 -3.276 0.0013
DW=2.10
AR 1- 2 F( 2,137) = 0.5783 [0.5622]
AR 1-12 F(12, 127) = 1.3262 [0.2116]
Таким образом, можно заключить, что спецификация модели без включения лагов подходит
для дальнейшего анализа. В ходе тестирования ограничения на одновременное равенство
нулю временного тренда и наличие единичного корня была получена F-статистика = 8.176,
следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута на 1% уровне значимости. В
этом случае следующим шагом в анализе должен быть шаг 5: t-статистика = -4.015
подтверждает наличие единичного корня, полученное на предыдущем шаге. F-статистика =
5.74 на шаге 6 позволяет заключить, что гипотеза о равенстве сноса не может быть
отвергнута на 1% уровне. Регрессия (**) на шаге 7 также может быть оценена без включения
дополнительных лагов:
Моделирование Rt (1) МНК
Объем выборки: от 1 до 142
Перем.Коэфф. Ст. ошибка t-стат. t-вероятн.
Константа 0.025692 0.016683 1.540 0.1258
r1_1 0.94161 0.025473 36.964 0.0000
DW = 2.26
AR 1- 2 F( 2,138) = 2.2874 [0.1054]
AR 1-12 F(12,119) = 1.3219 [0.2138]
Наконец, F-статистика = 3.036, полученная при тестировании на одновременное наличие
единичного корня и нулевой снос, подтверждает предыдущий результат: Rt(1) является
случайным блужданием без сноса.
Результаты этой же процедуры, примененной к временным рядам инфляции
приводятся в Таблице 2:
Таблица 2. Тест на наличие единичного корня: временные ряды инфляции
Процедура Доходности t(1) t(3) t(6)
Шаг 1: Число включенных лагов 8 2 6
Шаг 2:
(,,) (,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 8.73)
6.0952 3.3586 2.5517
Шаг 5:
1
t-статистика
(1% критическое значение = -4.04)
-2.924 -1.926 -1.487
Шаг 6:
(,,) (0,0,1)
F-статистика
(1% критическое значение = 6.50)
5.3768 2.9952 2.2865
Шаг 7: Число включенных лагов 8 2 3
(,) (0,1) F-статистика
(1% критическое значение = 6.70)
6.836 4.27 3.4407
Тестирование на интегрируемость второго порядка позволило отклонить гипотезу I(2) для
всех рядов данных.
Таким образом, результаты тестов на интегрируемость подытожены в Таблице 3:
Таблица 3. Результаты теста на интегрируемость
Ряд Результаты теста на интегрируемость
Rt(1) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
Rt(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
Rt(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
t(1) Случайное блуждание без временного тренда в первых разностях, но с
ненулевым сносом
t(3) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях
t(6) Случайное блуждание без временного тренда и сноса в первых разностях