4. Модель взаимосвязи инфляции и процентных ставок

Теоретическое основание этой работы представляет собой несколько

модифицированную модель, предложенную в работе [18].

Основное соотношение, связывающее реальную и номинальную процентные ставки

есть уравнение Фишера. Согласно ему, в условиях отсутствия неопределенности,

однопериодная номинальная процентная ставка nt есть сумма однопериодной реальной

процентной ставки rt и ожидаемой в момент t инфляции за следующий период Ett1 (все

величины определены логарифмически):

n r E t t t t1 (1)

Однако, при наличии неопределенности необходимо включить в правую часть уравнения

премию за риск ϕt (1) .

n r E t t t t t 1 ϕ(1) (2)

Для дисконтной облигации со сроком погашения один период с номинальной стоимостью,

равной 1, номинальная процентная ставка (доход) есть

n b t ln(1 / t (1))

где bt(1) - цена однопериодной облигации в момент времени t. Таким образом, уравнение

(2) принимает следующий вид:

ln(1 / (1)) (1) 1 b r E t t t t t ϕ(3)

Рассмотрим две дисконтные облигации с разным сроком погашения: 1 период и Т

периодов. Согласно условию отсутствия арбитража, ожидаемый доход от приобретения Т-

периодной облигации сроком на один период и последующей ее продажи должен

превосходить ожидаемый доход от приобретения однопериодной облигации на величину,

равную дополнительной премии за риск, связанный с Т-периодной облигацией, по

сравнению с однопериодной облигацией:

E

b T

b T

E

b

T t

t

t

t

t

t t ln

( )

( )

ln

( )

( ) ( ) −





















1 −1 1

1

ϕϕ1 (4)

где b T t( ) есть цена Т-периодной дисконтной облигации с номинальной стоимостью 1 в

момент времени t и ϕt (T) есть премия за риск, связанный с Т-периодной облигацией. Если

ввести обозначение

t ϕt ϕt (T) (T) −(1)

для дополнительной премии за риск, связанный с Т-периодной облигацией, по сравнению с

однопериодной облигацией, то уравнение (4) примет вид:

E b T b T b T t t t t t ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) 1 −−−1 1 (5)

Цена облигации b T t( ) связана с доходностью к погашению ( в логарифмической

форме)R T t( )как

R T 

T b T T

b T t

t

t ( ) ln

( )

ln ( )











−

1 1 1 (6)

Подставляя последнее выражение в уравнение (5), получаем:

12

R T T

T

E R T

T

R

T

T

T

T

E R T

T

n T

t t t t t

t t t t

( ) ( ( )) ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

−−

−−





1 1 1 1 1

1 1 1

1

1





(7)

Аналогично, можно получить

R T T

T

E R T

T

R

T

T

T

T

E R T

T

n T

t t t t t

t t t t





−−

−

−

−



−

−

−

−

−

−

−

1 1 2 1 1

1 2 1 1

1 2

1

2 1

1

1 1

1

1

2

1

2 1

1

1

( ) ( ( )) () ( )

( ( )) ( ( ))





(7’)

Многократно подставляя (7’) в (7) и используя закон повторных условных математических

ожиданий, мы приходим к следующему соотношению:

R T

T

E n

T

E T i t t t i

i

T

t

i

T

( ) ( ) t i ( −) 



−



−

1 1

0

1

0

1

(8)

Перепишем это равенство, используя соотношение (2), связывающее номинальную

процентную ставку с инфляцией и реальной процентной ставкой: то окончательная версия Т-периодного уравнения Фишера может быть описана как

R T Er T E T E T t t t t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) (11)

Последующий анализ будет основан на этом уравнении.

Теоретическое основание этой работы представляет собой несколько

модифицированную модель, предложенную в работе [18].

Основное соотношение, связывающее реальную и номинальную процентные ставки

есть уравнение Фишера. Согласно ему, в условиях отсутствия неопределенности,

однопериодная номинальная процентная ставка nt есть сумма однопериодной реальной

процентной ставки rt и ожидаемой в момент t инфляции за следующий период Ett1 (все

величины определены логарифмически):

n r E t t t t1 (1)

Однако, при наличии неопределенности необходимо включить в правую часть уравнения

премию за риск ϕt (1) .

n r E t t t t t 1 ϕ(1) (2)

Для дисконтной облигации со сроком погашения один период с номинальной стоимостью,

равной 1, номинальная процентная ставка (доход) есть

n b t ln(1 / t (1))

где bt(1) - цена однопериодной облигации в момент времени t. Таким образом, уравнение

(2) принимает следующий вид:

ln(1 / (1)) (1) 1 b r E t t t t t ϕ(3)

Рассмотрим две дисконтные облигации с разным сроком погашения: 1 период и Т

периодов. Согласно условию отсутствия арбитража, ожидаемый доход от приобретения Т-

периодной облигации сроком на один период и последующей ее продажи должен

превосходить ожидаемый доход от приобретения однопериодной облигации на величину,

равную дополнительной премии за риск, связанный с Т-периодной облигацией, по

сравнению с однопериодной облигацией:

E

b T

b T

E

b

T t

t

t

t

t

t t ln

( )

( )

ln

( )

( ) ( ) −





















1 −1 1

1

ϕϕ1 (4)

где b T t( ) есть цена Т-периодной дисконтной облигации с номинальной стоимостью 1 в

момент времени t и ϕt (T) есть премия за риск, связанный с Т-периодной облигацией. Если

ввести обозначение

t ϕt ϕt (T) (T) −(1)

для дополнительной премии за риск, связанный с Т-периодной облигацией, по сравнению с

однопериодной облигацией, то уравнение (4) примет вид:

E b T b T b T t t t t t ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) 1 −−−1 1 (5)

Цена облигации b T t( ) связана с доходностью к погашению ( в логарифмической

форме)R T t( )как

R T 

T b T T

b T t

t

t ( ) ln

( )

ln ( )











−

1 1 1 (6)

Подставляя последнее выражение в уравнение (5), получаем:

12

R T T

T

E R T

T

R

T

T

T

T

E R T

T

n T

t t t t t

t t t t

( ) ( ( )) ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

−−

−−





1 1 1 1 1

1 1 1

1

1





(7)

Аналогично, можно получить

R T T

T

E R T

T

R

T

T

T

T

E R T

T

n T

t t t t t

t t t t





−−

−

−

−



−

−

−

−

−

−

−

1 1 2 1 1

1 2 1 1

1 2

1

2 1

1

1 1

1

1

2

1

2 1

1

1

( ) ( ( )) () ( )

( ( )) ( ( ))





(7’)

Многократно подставляя (7’) в (7) и используя закон повторных условных математических

ожиданий, мы приходим к следующему соотношению:

R T

T

E n

T

E T i t t t i

i

T

t

i

T

( ) ( ) t i ( −) 



−



−

1 1

0

1

0

1

(8)

Перепишем это равенство, используя соотношение (2), связывающее номинальную

процентную ставку с инфляцией и реальной процентной ставкой: то окончательная версия Т-периодного уравнения Фишера может быть описана как

R T Er T E T E T t t t t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) (11)

Последующий анализ будет основан на этом уравнении.