5.5. Оценивание премии за риск

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Методы исследования, освещенные в предыдущей части работы, не позволяют

непосредственно оценить премию за риск. При этом необходимо отметить, что еще одной из

причин отсутствия коинтеграции между доходностями по ГКО со сроком погашения 3 и 6

месяцев и средней инфляцией за последующие 3 и 6 месяцев, соответственно, может служит

то обстоятельство, что в тесте на коинтеграцию не учитывалось наличие премии за риск.

Предположим, что долгосрочное уравнение Фишера выполняется, и оценим премию за риск.

Рассмотрим две дисконтные бескупонные облигации различных сроков погашения:

“долгую” - “long” (L) и “короткую” - “short” (S). Тогда, переписывая уравнение (9) для

каждой облигации и вычитая одно из другого, имеем:

R L R S

E r

E Ti

E r

E Ti

t t t t i

t ti

( ) ( ) ( )

( )

−−−

−−−−





−





−





−





−





−





−



1 1 1

ϕ

(14)

Введем достаточно строгое предположение, что ожидаемая реальная процентная

ставка не меняется со временем (заметим, что это предположение не означает неизменности

фактической процентной ставки). В этом случае члены уравнения (12), содержащие

реальную процентную ставку, сокращаются, и, используя уравнение (10), получаем:

R L R S E L S E L S t t ( ) −( ) t (t ( ) −t ( )) t (t ( ) −t ( ))

Последний член в правой части, t t t t (L,S) ≡E ( (L) −(S)) , может быть

проинтерпретирован как дополнительная премия за риск, связанный с “длинной”

облигацией, по сравнению с “короткой” облигацией.

Цель данного раздела - оценить эту дополнительную премию за риск. Предлагается

использовать следующий подход: сперва выбирается функциональная форма премии за риск,

затем вместо рациональных ожиданий средней ставки инфляции берется фактическая

инфляция за текущий и следующие L/S периодов. На следующем шаге параметры функции,

описывающей премию за риск, выбираются так, чтобы минимизировать среднеквадратичную

ошибку уравнения (15).

R L R S E L S L S t t t t t t ( ) −( ) −(( ) −( )) ( , ) (15)

Начнем с простейшего предположения:

A. Постоянная премия за риск

Предположим, что премия за риск t (L,S) не меняется со временем. Иными

словами, необходимо найти константу, которая минимизирует сумму квадратов остатков

регрессии левой части уравнения (14) на эту константу. Результаты, полученные при

оценивании ежемесячных данных приведены в таблице 9:

Таблица 9. Постоянная премия за риск, ежемесячные данные

Срок до погашения:

L S

Оценка

константы

Стандартная

ошибка оценки

статистика

Стандартная ошибка

регрессии

6 месяцев 1 месяц 0.2098 0.0361 5.81787 0.2072

3 месяцев 1 месяц 0.1437 0.0299 4.8033 0.1719

Можно видеть, что оценка дополнительной премии за риск, связанный с “длинной”

облигацией, по сравнению с “короткой” облигацией, возрастает с увеличением срока

погашения “длинной” облигации при фиксированном сроке погашения “короткой”

облигации (в данном случае равном одному месяцу), что соответствует положительному

углу наклона кривой доходности.

Если для стабильных западных государств предположение о постоянной премии за

риск является допустимым, то в странах переходного периода оно навряд ли может быть

уместно. Премия за риск включает в себя различные типы рисков, такие, как риск

ликвидности, валютный риск и политический риск. Даже в условиях развитой экономики эти

риски могут не быть постоянны, а в экономике переходного периода они, несомненно,

меняются со временем. Таким образом, логично в качестве следующего шага предположить

простейшую непостоянную функциональную форму для премии за риск:

B. Линейная премия за риск

Пусть премия за риск является убывающей линейной функцией времени (для

простоты будем в дальнейшем называть ее линейной премией за риск):

t (L,S) A B* (N −t) ,

где t - номер наблюдения, A и B - оцениваемые константы и N - общее число наблюдений

плюс 1 (например, для ежемесячных данных N=34). Результаты оценивания методом

наименьших квадратов приведены в таблице 10:

Таблица 10. Линейная премия за риск: ежемесячные данные

Срок до

погашения

A B

Ст.

L S Оценка Ст.

ошибка

t-стат. Оценка Ст.

ошибка

t-стат. ошибка

регрессии

месяцев

месяц

-0.0047 0.0606 -0,0771 0.0123 0.0031 4.0567 0.1701

3 1 -0.0129 0.0532 -0.2438 0.0092 0.0027 3.3764 0.1493

месяца месяц

Как можно видеть, константа не значима и, следовательно, может быть исключена из

регрессии. Результаты регрессии без включения константы приведены в таблице 11:

Таблица 11. Линейная премия за риск: ежемесячные данные

Срок до погашения B Стандартная

L S Оценка Ст. ошибка t-стат. ошибка регрессии

6 месяцев 1 месяц 0.0124 0.00149 8.2937 0.1675

3 месяца 1 месяц 0.0086 0.00131 6.5712 0.1471

Заметим, что линейная функциональная форма премии за риск обладает лучшей

точностью приближения (например, в смысле стандартных ошибок регрессии). Также

немаловажен тот факт, что во всех описанных выше случаях стандартная ошибка регрессии

возрастает с ростом времени до погашения “длинной” облигации. Интуитивно это свойство

может быть объяснено следующим образом: чем длиннее горизонт, тем сложнее сделать

адекватный прогноз.

Как было отмечено выше, в предположении постоянной премии за риск

подтверждается гипотеза о положительном угле наклона кривой доходности. Этот результат

остается верен и в предположении линейной премии за риск. Как видно из таблицы 11, угол

наклона премии за риск отрицателен (>0) и в каждый момент времени оценка премии за

риск, связанный с шестимесячной облигацией выше, чем оценка премии за риск, связанный с

трехмесячной облигацией. Более того, разность между дополнительными премиями за риск,

связанный с шести - и трехмесячными облигациями по сравнению с риском, связанным с

одномесячной облигацией, соответственно, уменьшается со временем, что может быть

проинтерпретировано следующим образом: с ростом эффективности рынка

неопределенность уменьшается и увеличение среднего времени до погашения портфеля не

ведет к значительному скачку в риске, связанном с этим портфелем. В исследуемый период

политические и экономические риски в России постепенно снижались, что и отражено в

поведении премии за риск. Рисунок 3 иллюстрирует эти свойства премии за риск.

Рисунок 3. Линейная премия за риск

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

01.95 04.95 07.95 10.95 01.96 04.96 07.96 10.96 01.97 04.97 07.97

Ïðåìèÿ çà ðèñê,ñâÿçàííûé ñ 6-ìåñÿ÷íîé ÃÊÎ ïî ñðàâíåíèþ ñ 1-

Ïðåìèÿ çà ðèñê,ñâÿçàííûé ñ 3-ìåñÿ÷íîé ÃÊÎ ïî ñðàâíåíèþ ñ 1-

Для того, чтобы показать, насколько гипотезы о постоянной или линейной премии за

риск соответствуют реальным данным, рассчитаем две оцененные ставки инфляции - для

постоянной и для линейной премии за риск (без константы) - подставив соответствующие

оценки в перегруппированное уравнение (15):

Ett (L) Ett (S) Rt (L) −Rt (S) −t (L,S) (15’)

где средняя ожидаемая инфляция за следующие S (=1 месяц) периодов принимается равной

фактической инфляции. На рисунках 4 и 5 приведены фактическая средняя инфляция за

последующие 3 и 6 месяцев и две ее оценки.

Рисунок 4. Фактическая инфляция за последующие 6 месяцев и ее оценки

(ежемесячные данные)

-0.5

0.5

1.5

01.95 04.95 07.95 10.95 01.96 04.96 07.96 10.96 01.97 04.97 07.97

Рисунок 5. Фактическая инфляция за последующие 3 месяца и ее оценки (ежемесячные

данные)

-0.5

0.5

1.5

01.95 04.95 07.95 10.95 01.96 04.96 07.96 10.96 01.97 04.97 07.97

Í àáëþäàåìàÿ

Îöåíêà èíôëÿöèè (ïîñòîÿííàÿ ïðåìèÿ

Îöåíêà èíôëÿöèè (ëèíåéíàÿ ïðåìèÿ Из

рисунков можно видеть, что для ежемесячных данных оценки относительно близки к

фактической инфляции за исключением периода, предшествующего президентским выборам

в 1996 году.

Так как ежемесячные данные по доходностям по ГКО получены путем агрегирования,

они имеют сглаженный характер. Еженедельные данные обладают гораздо большей

волатильностью, нежели ежемесячные. Следовательно, логично ожидать, что для

еженедельных данных качество приближения премии за риск константой или линейной

функцией будет хуже, нежели для ежемесячных данных. Таблицы 12 и 13 содержат

результаты регрессий в предположениях постоянной и линейной премии за риск

соответственно:

Таблица 12. Постоянная премия за риск: еженедельные данные

Срок погашения

L S

Оцениваемая

константа

Ст. ошибка

оценки

t-статистика Ст. ошибка

регрессии

6 месяцев 1 месяц 0.1785 0.01542 11.5744 0.1812

3 месяца 1 месяц 0.1437 0.01538 9.3453 0.1839

Как видно из таблицы, в случае еженедельных данных результаты схожи с результатами,

полученными для ежемесячных данных. Гипотеза о положительном угле наклона кривой

доходности продолжает выполняться: оценка дополнительной премии за риск, связанный с

“длинной” облигацией, по сравнению с “короткой” облигацией, возрастает с ростом срока

погашения “длинной” облигации. Оценки для ежемесячных и еженедельных данных

статистически не различаются для обеих пар сроков погашения.

Результаты оценивания линейной премии за риск приведены ниже:

Таблица 13. Линейная премия за риск: еженедельные данные

Срок погашения: A B Ст.

L S Оценка Ст.

ошибка

t - стат. Оценка Ст.

ошибка

t -

стат.

ошибка

регрессии

6 месяцев 1 месяц 0.0351 0.02771 1.2657 0.0021 0.0004 5.9659 0.1619

3 месяца 1 месяц -0.0060 0.0274 -0.2192 0.0021 0.0003 6.2957 0.1631

Здесь, как и в случае ежемесячных данных, константа незначима и может быть

исключена из регрессии, что даст следующие результаты:

Таблица 14. Линейная премия за риск: еженедельные данные

Срок погашения: B Ст. ошибка

L S Оценка Ст. ошибка t - стат. регрессии

6 месяцев 1 месяц 0.0025 0.0007 14.1740 0.1622

3 месяца 1 месяц 0.0020 0.0002 12.3168 0.1625

Как показано в таблице 14, все свойства премии за риск, полученные для ежемесячных

данных, сохраняются и для еженедельных данных, за исключением того, что стандартная ошибка регрессии теперь практически совпадает для обеих пар сроков погашения. Оценки

коэффициентов для еженедельных данных довольно близки при соответствующем пересчете

(для ежемесячных данных используется 33 наблюдения, а для еженедельных за тот же

период - 143, то есть коэффициенты для ежемесячных данных нужно разделить на

143/33=4.3 - среднее число недель в месяце).

Для иллюстрации результатов, полученных при оценивании еженедельных данных,

приводятся рисунки 6 и 7. На них показана фактическая инфляция и ее оценки, полученные

при подстановке оцененной премии за риск в уравнение (15’), как описано выше.

Рисунок 6. Фактическая инфляция за последующие 6 месяцев и ее оценки

(еженедельные данные)

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

02.9053.9054.9055.9056.9057.9059.9150.9151.9152.9051.9062.9064.9065.9066.9067.9068.9069.9160.9162.9061.9072.9073.9074.9076.90779078.9079.97

Как видно из рисунка, в первой части периода наблюдений оцененная инфляция далека от

фактической, особенно в момент, предшествующий президентским выборам 1996 года.

Однако, после середины 1996 года оцененная инфляция становится значительно ближе к

фактической.

Рисунок 7. Фактическая инфляция за последующие 3 месяца и ее оценки

(еженедельные данные)

-0.5

0.5

1.5

2.5

01.9052.9053.9054.9055.9056.9057.9059.9150.9151.9152.9051.9062.9064.9065.9066.9067.9068.9069.9160.9162.9061.9072.9073.9074.90769077.9078.9079.97

Оценки инфляции за последующие 3 месяца довольно хорошо приближают фактическую

инфляцию, за исключением периода перед президентскими выборами 1996 года (как и в

случае ежемесячных данных).

Расхождение оцененной и фактической инфляции может быть объяснено следующим

образом: в период, предшествующий президентским выборам, вероятность того, что победит

Зюганов, была больше нуля. Так как в случае его победы мог начаться отток капитала из

страны и рост инфляции, ожидания будущей инфляции были также завышены. Однако, в

действительности инфляция была удержана на сравнительно низком уровне, что и привело к

значительному отклонению прогнозных значений от фактической инфляции в течение этого

периода.

Необходимо отметить некоторые общие свойства оценок:

- оценка инфляции, основанная на еженедельных данных, более волатильна, нежели оценка,

построенная по ежемесячным данным. Как отмечено выше, дополнительная волатильность

могла возникнуть в результате большей волатильности еженедельного индекса доходности

ГКО по сравнению с ежемесячным индексом, поскольку при агрегировании, зачастую,

вариабильность данных уменьшается;

- для обоих сроков погашения и обеих частот данных линейная форма премии за риск

приводит к лучшей оценке ожидаемой будущей инфляции;

- для всех оценок характерно значительное отклонение от фактических значений инфляции в

период, предшествующий президентским выборам 1996 года, когда объем внутренних

заимствований был весьма высок и инфляционные ожидания, вероятно, не были оправданы;

- для обеих частот данных оценка средней инфляции за последующие три месяца более

близка к фактической инфляции, чем оценка средней инфляции за последующие 6 месяцев.

Этот результат подтверждает общее правило - чем длиннее горизонт прогнозирования, тем

больше ошибка прогноза.

Линейная форма премии за риск может быть использована в применении описанного

выше метода для получения прогнозов, основанных на реальных данных. Однако, в

соответствии с результатами исследования данных, описанными в предыдущих разделах,

логично ожидать, что премия за риск представляет собой интегрируемый процесс первого

порядка.

C. Премия за риск как случайное блуждание

Для проверки гипотезы о том, что премия за риск является I(1) процессом можно

использовать методологию, предложенную в работе [12]. Результаты процедуры приведены

в таблице 15:

Таблица 15. Тест на наличие единичного корня: премия за риск (еженедельные данные)

Процедура Доходности t (6,1) t(3,1)

Шаг 1: Число включенных лагов 0 3

Шаг 2:

(,,) (,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 8.73)

5.8436 5.2526

Шаг 5:

1

t-статистика

(1% критическое значение = -4.04)

-3.407 -3.233

Шаг 6:

(,,) (0,0,1)

F-статистика

(1% критическое значение = 6.50)

4.0285 3.5836

Шаг 7: Число включенных лагов 0 3

(,) (0,1) F-статистика

(1% критическое значение = 6.70)

5.2137 4.4251

В соответствии с исходным предположением, эти результаты подтверждают, что премия за

риск является случайным блужданием без тренда и сноса в первых разностях для обеих пар

сроков погашения. Другой способ проверки этого результата состоит в использовании

фильтра Кальмана для моделирования премии за риск как случайного блуждания.

Модель для фильтра Кальмана может быть сформулирована следующим образом:

t t t

t t t

L S c a

a a u

N H

u N Q

( , )





∈

−



(16)

где t t t t t t (L,S) R (L) −R (S) −E ((L) −(S)) - моделируемая премия за риск (левая

сторона уравнения (15)), а c, H и Q - оцениваемые константы: c - константа в уравнении

состояния, а H и Q - дисперсии соответствующих ошибок. Иными словами, эта модель

позволяет определить, может ли премия за риск быть представлена в виде суммы случайного

блуждания и ненаблюдаемой нормально распределенной компоненты с нулевым средним.

Оценивание проводилось как для ежемесячных, так и для еженедельных данных.

Результаты приводятся в таблице 16:

Таблица 16. Оценивание методом фильтра Кальмана

Оценки Еженедельные данные Ежемесячные данные

6 месяцев и

1 месяц

3 месяца и

1 месяц

6 месяцев и

1 месяц

3 месяца и

1 месяц

C -0.0075 -0.0002 -0.0154 -0.0266

ϑ0.0062 0.0056 0.0210 0.0155

H 0.0006 0.0014 0.0010 0.0018

t-статистики

C -0.012 0.000 -0.014 -0.054

ϑ5.320 7.014 2.015 3.075

H 1.209 2.508 0.278 0.067

Из таблицы можно видеть, что для обеих частот данных оценка дисперсии H ошибки в

уравнении состояния близка к нулю. Это означает, что премия за риск может быть

представлена как случайное блуждание без добавления ненулевого ряда ошибок. Этот вывод

согласуется с предыдущим результатом, согласно которому премия за риск является

интегрируемым процессом первого порядка.

Подытожим основные результаты этого раздела работы: попытка моделирования

дополнительной премии за риск как константы или линейной функции приводит к оценкам,

схожим для ежемесячных и еженедельных данных. Как постоянная, так и линейная форма

премии за риск приводят к подтверждению гипотезы о положительном угле наклона кривой

доходности. Линейная функциональная форма дает лучшие результаты для обеих частот

данных. В оценках будущей ожидаемой инфляции, полученных пересчетом из оцененной

премии за риск, текущей инфляции и спот-процентных ставок, наблюдается значительное

отклонение от фактической инфляции в период предшествующий президентским выборам

1996 года. За исключением этого периода, прогноз средней инфляции за последующие три

месяца хорошо приближает фактическую инфляцию, в то время как прогноз средней

инфляции за последующие шесть месяцев обладает высокой волатильностью в первой

половине периода наблюдения и становится ближе к фактической инфляции только во второй половине. Линейная форма премии за риск может быть удобна для оценивания,

однако различные статистические процедуры подтверждают предположение о том, что

премия за риск является I(1) процессом.