3.3. Эффективность портфеля.

Диверсификация

Предположим, что инвестор купил какую-либо цен-

ную бумагу по известной цене и через некоторое время

намеревается продать ее по заранее неизвестной цене, а

также за время владения этой бумагой инвестор рассчи-

тывает получить дивиденды в неизвестном объеме.

Эффективность такой операции можно считать слу-

чайной величинойX. За период времени tэффективность

ценной бумаги Xt = (C t+1 – Ct) / Ct, где C t+1 – цена про-

дажи бумаги в (t+1)-й момент времени; Ct – цена покупки

бумаги в t-й момент времени.

Ожидаемой эффективностью (эффектом) будем счи-

тать математическое ожидание случайной величины X:

m=E (X)

Доход, получаемый инвестором от вложений в цен-

ные бумаги, неизменно сопряжен с риском, представ-

ляющим собой возможность возникновения обстоя-

тельств, при которых инвестор может понести потери.

Принято выделять два типа рисков: систематический и

несистематический.

Систематический риск определяется глобальными

обстоятельствами, не зависящими от инвестора и эми-

тента. К таким обстоятельствам можно отнести полити-

ческие события на уровне страны и на международном

уровне, изменения законодательства, экономические ре-

формы и т.д.

Несистематический риск определяется факторами,

связанными с деятельностью предприятия-эмитента и

изменениями рыночной конъюнктуры. Несистематиче-

ский риск можно уменьшить путем диверсификации

портфеля; систематический же риск путем диверсифи-

кации уменьшить нельзя.

Можно составить безрисковый портфель, но отсутст-

вие риска для него будет означать отсутствие только не-

систематического риска, систематический риск остается.

Например, в российских условиях безрисковым портфе-

лем является портфель в иностранной валюте (долларах

CША), но и он подвержен систематическому риску, свя-

занному, например, с возможными изменениями законо-

дательства, касающимися ограничений обращения ино-

странной валюты на территории России.

Если в течение длительного времени держать сред-

ства в виде безрисковых активов, то и доход от них будет

нулевым, поэтому большинство инвесторов опасается

риска, но идут на некоторый риск, если он компенсиру-

ется дополнительным доходом.

В качестве меры риска, считая эффективность неко-

торой ценной бумаги случайной величиной X, можно

принять ее вариацию (дисперсию) V=E {(X-m)2}, посколь-

ку V представляет собой квадрат отклонения X от ожи-

даемого значения m. Если нет отклонения, т.е. V=О, то и

риска нет, чем больше V, тем больше риск. Возникает

вопрос, какой риск описывается величиной V. Это зави-

сит от того, какому риску подвергаются инвесторы в пе-

риод времени, по которому выбирается статистика.

Для моделирования портфеля важное значение бу-

дет иметь величина стандартного (среднеквадратичного)

отклонения и ковариация двух случайных величин X1, X2:

V12=Е {(X1–m1)(X2–m2)}.

Предположим теперь, что имеется четыре различ-

ных портфеля, отмеченных на рис. 4 точками 1,2,3,4 с

координатами mi (i=1, 2, 3, 4). Портфели, лежащие пра-

вее, имеют больший риск. Портфели, которым соответст-

вуют точки, находящиеся выше, имеют больший эффект.

Очевидно, что опытный инвестор будет действовать при

выборе из двух портфелей Xi и Xj следующим образом: он

выберет Xi если выполняются одно из условий:

E (Xi)=E (Xj), s (Xi) < s (Xj)

E (Xj)>E (Xj), s (Xi)=s (Xj)

Рис. 4. Эффективные портфели

На графике этот выбор означает из первого и второ-

го портфелей первый (точка 1), из четвертого и второго-

четвертый портфель (точка 4) В других случаях, когда

E (Xi)=E (Xj), s (Xi) < s (Xj)

Каждый инвестор поступит соответственно своим

предпочтениям и своей склонности к риску. Однако если

из всех возможных вариантов портфелей выбрать все

портфели, которые при каждом заданном уровне риска

имеют максимальную ожидаемую эффективность (до-

ходность) а при заданном уровне доходности имеют ми-

нимальный риск, то это подмножество портфелей будет

описываться кривой 1. – 4 (см. рис. 4)

Такие портфели называются эффективными, а кри-

вая (1–4) представляет множество эффективных портфе-

лей. Остальные возможные портфели представляют собой

множество неэффективных портфелей. Из двух портфе-

лей лучше тот, который находится ближе к множеству

эффективных портфелей. Среди эффективных портфелей

инвестор должен выбрать один, наиболее для него пред-

почтительный (оптимальный) На рис. 1 эффективными

являются портфели 1 и 4, неэффективными – 2 и 3.

Добавим теперь портфель с нулевым риском и га-

рантированной ожидаемой эффективностью m. Для но-

вого множества допустимых портфелей граница эффек-

тивности теперь изменится, и будет описываться кривой

(m-4). Для этого множества портфелей портфель

1 перестал быть эффективным, так как портфель m име-

ет меньший риск, чем портфель 1 при одинаковой норме

доходности.

Если инвестор согласен на риск в своем портфеле, то

оптимальным для него будет портфель А со значениями

риска и ожидаемой эффективности m Такой портфель

можно сформировать, если взять долю s0 / s4 безрисковых

вложений и долю (s4-s0) / s4 вложений из портфеля 4.

Практика показывает, что с увеличением количест-

ва видов ценных бумаг в портфеле уменьшается риск

инвестиций. Это происходит потому, что в портфель

включаются ценные бумаги, слабокоррелированные ме-

жду собой, только в этом случае возможно снижение рис-

ка Процедура включения в портфель различных видов

ценных бумаг, имеющих низкий коэффициент корреля-

ции, называется диверсификацией

При диверсификации риск портфеля снижается

только до определенного уровня, ниже которого путем

диверсификации риск уменьшить нельзя. Таким обра-

зом, риск представляет собой сумму диверсифицируемого

и недиверсифицируемого рисков. Диверсифицируемая

часть риска представляет собой несистематический риск,

а недиверсифицируемая – систематический.

Если задать желаемый для инвестора уровень до-

ходности портфеля, то можно поставить задачу выбора

такой структуры портфеля, которая при заданном уровне

доходности приводила бы к минимальному риску. Мате-

матическая постановка такой задачи впервые была

сформулирована в 1951 г. Г. Марковицем.

Для решения задачи Г. Марковица статистически-

ми методами требуется большой объем данных о рынке

ценных бумаг, накопленных за многие годы и отвечающих условиям представительности. На практике, особен-

но на российском фондовом рынке, который еще только

формируется, такие данные получить очень трудно, а

подчас и невозможно. В настоящее время появились раз-

личные эвристические методы для решения подобных

задач, дающие псевдооптимальные решения, например

различные генетические алгоритмы. Тем не менее, тра-

диционно для принятия решений о формировании порт-

феля пользуются моделью оценки финансовых активов

(Capital Asset Pricing Model – САРМ), представляющей

собой зависимость между эффективностью (доходностью)

конкретной ценной бумаги и эффективностью рыночного

портфеля (портфеля, содержащего все бумаги, находя-

щиеся на рынке).

В САРМ-модели предполагается, что эффективность

ценной бумаги Х линейно зависит от некоторого ведуще-

го фактора F, описывающего эффективность рынка в це-

лом, и в то же время на каждую j-ую ценную бумагу

влияют и специфические для нее факторы, являющиеся

случайными величинами е. Тогда Xj=aj+bjF+ej, где aj и

bj – некоторые детерминированные величины, а коэф-

фициент bj отражает зависимость эффективности бумаги

от рыночной конъюнктуры,. Если bj>0, то эффект бумаги

аналогичен эффекту рынка, если bj< 0, то эффективность

бумаги возрастает, когда эффективность рынка снижает-

ся. Эта модель эффективности ценной бумаги носит на-

звание индексной модели У. Шарпа.

Для характеристики конкретной ценной бумаги ис-

пользуются и другие параметры. Если отсчитывать эф-

фективность инвестиций в ценную бумагу от эффектив-

ности безрискового вклада r0, то параметр aj>=aj –

bjr0 представляет собой превышение эффективности цен-

ной бумаги над безрисковой эффективностью (можно

считать это некоторой премией за риск). Если aj< 0, то

рыночная цена на эту бумагу завышена, и в ближайшем

будущем она может понизиться; если же aj>0, то рыноч-

ная цена занижена и в будущем, вероятно, ее повышение. Следовательно, при прочих равных условиях более

предпочтительна бумага с aj> 0.

На западных рынках значения а, b и R2 регулярно

рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются

вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инве-

стор может сформировать собственный портфель ценных

бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно

тоже начинают использовать а-, b – R2 – анализ. Отдель-

ные инвестиционные институты рассчитывают а, b и R2.

Диверсификация

Предположим, что инвестор купил какую-либо цен-

ную бумагу по известной цене и через некоторое время

намеревается продать ее по заранее неизвестной цене, а

также за время владения этой бумагой инвестор рассчи-

тывает получить дивиденды в неизвестном объеме.

Эффективность такой операции можно считать слу-

чайной величинойX. За период времени tэффективность

ценной бумаги Xt = (C t+1 – Ct) / Ct, где C t+1 – цена про-

дажи бумаги в (t+1)-й момент времени; Ct – цена покупки

бумаги в t-й момент времени.

Ожидаемой эффективностью (эффектом) будем счи-

тать математическое ожидание случайной величины X:

m=E (X)

Доход, получаемый инвестором от вложений в цен-

ные бумаги, неизменно сопряжен с риском, представ-

ляющим собой возможность возникновения обстоя-

тельств, при которых инвестор может понести потери.

Принято выделять два типа рисков: систематический и

несистематический.

Систематический риск определяется глобальными

обстоятельствами, не зависящими от инвестора и эми-

тента. К таким обстоятельствам можно отнести полити-

ческие события на уровне страны и на международном

уровне, изменения законодательства, экономические ре-

формы и т.д.

Несистематический риск определяется факторами,

связанными с деятельностью предприятия-эмитента и

изменениями рыночной конъюнктуры. Несистематиче-

ский риск можно уменьшить путем диверсификации

портфеля; систематический же риск путем диверсифи-

кации уменьшить нельзя.

Можно составить безрисковый портфель, но отсутст-

вие риска для него будет означать отсутствие только не-

систематического риска, систематический риск остается.

Например, в российских условиях безрисковым портфе-

лем является портфель в иностранной валюте (долларах

CША), но и он подвержен систематическому риску, свя-

занному, например, с возможными изменениями законо-

дательства, касающимися ограничений обращения ино-

странной валюты на территории России.

Если в течение длительного времени держать сред-

ства в виде безрисковых активов, то и доход от них будет

нулевым, поэтому большинство инвесторов опасается

риска, но идут на некоторый риск, если он компенсиру-

ется дополнительным доходом.

В качестве меры риска, считая эффективность неко-

торой ценной бумаги случайной величиной X, можно

принять ее вариацию (дисперсию) V=E {(X-m)2}, посколь-

ку V представляет собой квадрат отклонения X от ожи-

даемого значения m. Если нет отклонения, т.е. V=О, то и

риска нет, чем больше V, тем больше риск. Возникает

вопрос, какой риск описывается величиной V. Это зави-

сит от того, какому риску подвергаются инвесторы в пе-

риод времени, по которому выбирается статистика.

Для моделирования портфеля важное значение бу-

дет иметь величина стандартного (среднеквадратичного)

отклонения и ковариация двух случайных величин X1, X2:

V12=Е {(X1–m1)(X2–m2)}.

Предположим теперь, что имеется четыре различ-

ных портфеля, отмеченных на рис. 4 точками 1,2,3,4 с

координатами mi (i=1, 2, 3, 4). Портфели, лежащие пра-

вее, имеют больший риск. Портфели, которым соответст-

вуют точки, находящиеся выше, имеют больший эффект.

Очевидно, что опытный инвестор будет действовать при

выборе из двух портфелей Xi и Xj следующим образом: он

выберет Xi если выполняются одно из условий:

E (Xi)=E (Xj), s (Xi) < s (Xj)

E (Xj)>E (Xj), s (Xi)=s (Xj)

Рис. 4. Эффективные портфели

На графике этот выбор означает из первого и второ-

го портфелей первый (точка 1), из четвертого и второго-

четвертый портфель (точка 4) В других случаях, когда

E (Xi)=E (Xj), s (Xi) < s (Xj)

Каждый инвестор поступит соответственно своим

предпочтениям и своей склонности к риску. Однако если

из всех возможных вариантов портфелей выбрать все

портфели, которые при каждом заданном уровне риска

имеют максимальную ожидаемую эффективность (до-

ходность) а при заданном уровне доходности имеют ми-

нимальный риск, то это подмножество портфелей будет

описываться кривой 1. – 4 (см. рис. 4)

Такие портфели называются эффективными, а кри-

вая (1–4) представляет множество эффективных портфе-

лей. Остальные возможные портфели представляют собой

множество неэффективных портфелей. Из двух портфе-

лей лучше тот, который находится ближе к множеству

эффективных портфелей. Среди эффективных портфелей

инвестор должен выбрать один, наиболее для него пред-

почтительный (оптимальный) На рис. 1 эффективными

являются портфели 1 и 4, неэффективными – 2 и 3.

Добавим теперь портфель с нулевым риском и га-

рантированной ожидаемой эффективностью m. Для но-

вого множества допустимых портфелей граница эффек-

тивности теперь изменится, и будет описываться кривой

(m-4). Для этого множества портфелей портфель

1 перестал быть эффективным, так как портфель m име-

ет меньший риск, чем портфель 1 при одинаковой норме

доходности.

Если инвестор согласен на риск в своем портфеле, то

оптимальным для него будет портфель А со значениями

риска и ожидаемой эффективности m Такой портфель

можно сформировать, если взять долю s0 / s4 безрисковых

вложений и долю (s4-s0) / s4 вложений из портфеля 4.

Практика показывает, что с увеличением количест-

ва видов ценных бумаг в портфеле уменьшается риск

инвестиций. Это происходит потому, что в портфель

включаются ценные бумаги, слабокоррелированные ме-

жду собой, только в этом случае возможно снижение рис-

ка Процедура включения в портфель различных видов

ценных бумаг, имеющих низкий коэффициент корреля-

ции, называется диверсификацией

При диверсификации риск портфеля снижается

только до определенного уровня, ниже которого путем

диверсификации риск уменьшить нельзя. Таким обра-

зом, риск представляет собой сумму диверсифицируемого

и недиверсифицируемого рисков. Диверсифицируемая

часть риска представляет собой несистематический риск,

а недиверсифицируемая – систематический.

Если задать желаемый для инвестора уровень до-

ходности портфеля, то можно поставить задачу выбора

такой структуры портфеля, которая при заданном уровне

доходности приводила бы к минимальному риску. Мате-

матическая постановка такой задачи впервые была

сформулирована в 1951 г. Г. Марковицем.

Для решения задачи Г. Марковица статистически-

ми методами требуется большой объем данных о рынке

ценных бумаг, накопленных за многие годы и отвечающих условиям представительности. На практике, особен-

но на российском фондовом рынке, который еще только

формируется, такие данные получить очень трудно, а

подчас и невозможно. В настоящее время появились раз-

личные эвристические методы для решения подобных

задач, дающие псевдооптимальные решения, например

различные генетические алгоритмы. Тем не менее, тра-

диционно для принятия решений о формировании порт-

феля пользуются моделью оценки финансовых активов

(Capital Asset Pricing Model – САРМ), представляющей

собой зависимость между эффективностью (доходностью)

конкретной ценной бумаги и эффективностью рыночного

портфеля (портфеля, содержащего все бумаги, находя-

щиеся на рынке).

В САРМ-модели предполагается, что эффективность

ценной бумаги Х линейно зависит от некоторого ведуще-

го фактора F, описывающего эффективность рынка в це-

лом, и в то же время на каждую j-ую ценную бумагу

влияют и специфические для нее факторы, являющиеся

случайными величинами е. Тогда Xj=aj+bjF+ej, где aj и

bj – некоторые детерминированные величины, а коэф-

фициент bj отражает зависимость эффективности бумаги

от рыночной конъюнктуры,. Если bj>0, то эффект бумаги

аналогичен эффекту рынка, если bj< 0, то эффективность

бумаги возрастает, когда эффективность рынка снижает-

ся. Эта модель эффективности ценной бумаги носит на-

звание индексной модели У. Шарпа.

Для характеристики конкретной ценной бумаги ис-

пользуются и другие параметры. Если отсчитывать эф-

фективность инвестиций в ценную бумагу от эффектив-

ности безрискового вклада r0, то параметр aj>=aj –

bjr0 представляет собой превышение эффективности цен-

ной бумаги над безрисковой эффективностью (можно

считать это некоторой премией за риск). Если aj< 0, то

рыночная цена на эту бумагу завышена, и в ближайшем

будущем она может понизиться; если же aj>0, то рыноч-

ная цена занижена и в будущем, вероятно, ее повышение. Следовательно, при прочих равных условиях более

предпочтительна бумага с aj> 0.

На западных рынках значения а, b и R2 регулярно

рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются

вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инве-

стор может сформировать собственный портфель ценных

бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно

тоже начинают использовать а-, b – R2 – анализ. Отдель-

ные инвестиционные институты рассчитывают а, b и R2.