1.2. Классификация простейших режимов управления

Научная мысль идет двумя путями: приобретением знаний и достижением понимания.

А.Г. Гурвич, "Принципы аналитической биологии и теории клеточных полей"

Абстрактные Информационные Автоматы - общее описание.

Определение 8. Объект, который воспринимает (усваивает) информационные компоненты о состояниях и или процессах в ИСС, и который способен трансформировать (изменять) состояния и/или процессах в ИСС (на том же самом и/или других иерархических уровнях) называется абстрактным информационным автоматом (АИА).

В этом определении прямо выделена способность АИА к изменению состояний и/или процессов в ИСС - то есть к управлению ними. Фактически, АИА рассматривается как отдельная ИСС (некий отдельный объект), который способен в ответ на влияние внешних условий соответствующим образом изменять Природные и/или Социальные ИСС.

Необходимо отметить, что существующие "прототипы" АИА - биологические организмы и человек - всегда объединяют в себе как рецепторы, так и эффекторы. В последние годы эта особенность, типичная для функционирования Живых объектов, учитывалась при математическом описании их функционирования.

Таким образом, АИА мы можем рассматривать как имеющего такое строение 

< блок программирования ½ блок активности>                 (1)

Сконструированные таким образом АИА своим первым блоком воспринимают (усваивают) определенные компоненты информации и трансформируют их в (вообще говоря - другие) компоненты информации, в рамках которых и происходит активность ("творчество", "управление") данного АИА.

Другими словами АИА, который построен согласно (1), мы можем рассматривать как объект, реализующий набор методов (алгоритмов, режимов) управления на данном уровне иерархии в Природных и/или Социальных ИСС.

Замечание 3. АИА являются преобразователями именно в информационном смысле: их активность должна пониматься в плане изменения характеристик ИСС. Но для реализации такой активности АИА не обязательно должен манипулировать некими объектами самостоятельно: например, для Социальных систем "слово" (идея, лозунг, подпись, и т.п.) часто вполне достаточно для управления. Другими словами, вполне достаточно только способности АИА к программированию активности других АИА.

Введенные таким образом АИА могут формировать самоорганизованные системы в случае, если они имеют способность обмениваться информацией между собой. Такую способность к информационному обмену мы будем называть "вербализацией" (социализацией) информации, а символы, которые необходимы для такой социализации, мы будем называть "языком". Символы любого такого языка являются нечеткими многозначными переменными, - необходимость этого следует, например, из того факта, что АИА, которые реализуют различные режимы управления (например, творят по различным компонентам информации), должны общаться между собой. Следовательно, в те же самые языковые формы (например, высказывания) различные АИА могут вкладывать различный смысл - эти эффекты хорошо известны при коммуникации людей.

Замечание 4. В качестве такого языка Человечеством используется весь пласт культуры и науки, так как некоторые проявления его деятельности (например, описывающие социальные процессы или индивидуальное состояние человека) очень трудно выразить словами (так, многое в функционировании человека определяется "неписаными законами" или "общепринятыми обычаями"). Кроме того, некоторые виды активности человека (например,  жестикуляция, поведение, эмоция) часто сами служат в качестве неких "языковых символов".

Таким образом, полученную систему АИА можно рассматривать как совокупность самопрограммируемых объектов, когда один АИА может программировать деятельность другого, так как коммуникация между этими АИА может происходить как по первой (программной), так и по второй (творческой) компоненте информации (мы будем использовать также термины "программная и творческая функция (компонента, блок)").

Двухкомпонентные АИА: самоораганизация в структуры.

В качестве примера рассмотрим класс двухкомпонентных АИА (2-АИА), определенных следующим образом:

Каждый АИА воспринимает только одну компоненту информации и творит тоже только по одной информационной компоненте.

Для каждого АИА одна компонента описывает процесс, а другая - состояние.

Для каждого АИА одна компонента рациональны, а другая - иррациональна.

Как следует из вышесказанного, этот класс АИА является простейшим из возможных. Будем обозначать такие АИА как 2-АИА.

Корректное определение 2-АИА как объекта, реализующего те или иные режимы управления на данном уровне иерархии в ИСС, возможно лишь только так, как описано выше:

Действительно: первым условием определяется то, что АИА имеет лишь только две компоненты.

Если принять, что 2-АИА и программируются процессом и творят также процесс, то мы не получим оптимального управления. Например, рассмотрим 2-АИА <П-Топ|П-КС>, который программируется процессами на всем иерархическом уровне и творит процессы же, изменяя отдельные КС. В этом случае "результатом труда" такого 2-АИА было бы беспрерывное и безостановочное изменение в отдельной (отдельных) КС, так как имеет место кольцо положительной обратной связи: 2-АИА "видит" процесс - но никогда сам не сумеет его остановить (то есть "зафиксировать состояние")! Аналогично если бы 2-АИА строился только лишь "на состояниях", то он никогда не сумел бы "запустить" ни одного процесса. Конечно, оптимального управления с использованием таких АИА достигнуто быть не может! Таким образом, второе условие является прямым следствием требования оптимальности управления.

А если определить 2-АИА так, чтобы одни из них реализовывали управление только по рациональным компонентам, а другие только по иррациональным, - то придется вводить специальный тип АИА, который бы "анализировал ситуацию на всем иерархическом уровне и раздавал бы задания таким "однорациональным" АИА". Зачем это делать? Поэтому третье условие также следует из требования оптимальности управления, реализуемого системой 2-АИА.

Таким образом, 2-АИА преобразует одну компоненту информации (посредством своей "программной функции") в другую (своей "творческой функцией").

Другими словами, 2-АИА устроены таким образом, что одна из их компонент (будем для нее также использовать название "функция") соответствует рассматриваемому уровню иерархии в ИСС как целом, а вторая ее компонента соответствует  конкретным КС, из которых этот уровень состоит. Схематически это показано на Рис.1, где через Ir и Ra обозначены иррациональная и рациональная компоненты информации, соответственно. Из Рис. 1 видно, что класс 2-АИА вследствие условия III формирует кольца обратной связи.

Условиями I-III класс 2-АИА определен однозначно и состоит из 16 различных типов, перечисленных в Таблице I во Введении.

16 типов 2-АИА структурируются Теоремой 1.

Теорема 1. Система (класс) 2-АИА самоорганизуется в 4 кольца самопрограммирования (кольца адекватной передачи информации, кольца выработки нового режима управления). 

Доказательство. Произвольный 2-АИА может адекватно воспринять информацию только от того 2-АИА, у которого вторая (творческая) функция эквивалентна его первой (программной) функции. Таким образом, условие адекватной передачи информации от одного 2-АИА к другому задает отношение упорядочения на множестве 2-АИА. Поэтому класс 2-АИА распадается на 4 непересекающиеся группы: внутри каждой из которых информация движется от одного 2-АИА до другого. Конец доказательства.

Введенные таким образом 4 кольца самопрограммирования могут быть записаны так:

Замечание 5. Ситуация, когда два 2-АИА, которые имеют вид <F1|F2> и <F2|F1> соответственно (Fi - информационные компоненты), реализуют совместное управление тем же самым объектом (объектами), является конфликтной: так как при этом один 2-АИА разрушает ту же самую информационную компоненту, которую только что сотворил другой 2-АИА.

Замечание 6. 2-АИА может воспринимать не только информацию от предыдущего 2-АИА в соответствующем кольце самопрограммирования, но, в общем случае, также и другую (получаемую от других 2-АИА) информацию в рамках своей программной функции. А также - интерпретировать деятельность других 2-АИА в рамках своей творческой функции.

Теорема 2. Система 2-АИА самоорганизуется в  2 спаренных кольца самопрограммирования (кольца адекватной передачи информации, кольца выработки оптимального управления), которые определяются однозначно и в которых и воспринимаются, и творятся все 8 компонент информации.

Доказательство. Рассмотрим (2). Два кольца адекватной передачи информации могут быть объединены в единое кольцо, в котором все "звенья" функционируют совместно, только в том случае, когда два 2-АИА, которые находятся в одном и том же звене, реализуют совместно бесконфликтное управление.

Рассмотрим произвольный 2-АИА, - например,

                                                                  <С-Топ½П-КС>                                      (3)

Этот 2-АИА "работает" с двумя компонентами информации. На компоненту С-Топ он опирается как на заданность (то есть - программируется ею), а творит он по компоненте информации П-КС (то есть - он изменяет процессы в единичных объектах для рассматриваемого уровня иерархии). Однако активность нашего 2-АИА будет возможна лишь только в случае, когда состояние взаимодействия между КС (единичными объектами для данного уровня)) являются фиксированными: в противном случае отсутствует "инструмент" как для фиксирования, так и для изменения состояния для рассматриваемого иерархического уровня. Такое состояние взаимодействия между КС как фиксирует тот 2-АИА, который имеет С-Отн как вторую (творческую) функцию. Как видно из (2), требуемый 2-АИА находится только в кольце (2b). И более того: для объединенных таким способом двух колец - (2a) и (2b) - рассмотренная выше "дополнительность" имеет место для всех звеньев в этом спаренном кольце самопрограммирования.

Если рассмотреть программные функции 2-АИА, то придем к тем же самым результатам. Действительно, состояние внутреннего строения для иерархического уровня как целого может быть совместимо только с процессами на мембране: так как если топологическое строение уровня фиксировано, то только процессы на мембране могут иметь место как отклик на внешнее воздействие.

Кольца (2c) и (2d) могут быть объединены аналогично. Конец доказательства.

Таким образом, система 2-АИА разбивается на 2 спаренных кольца  2-АИА, которые связаны между собой отношениями самопрограммирования (будем использовать термин "дуальная пара" для двух 2-АИА из одного и того же звена из Теоремы 2).

Из Теоремы 2 вытекает следующее следствие.

Следствие. Два 2-АИА будут оптимально (бесконфликтно) управлять (то есть - реализовывать адекватное преобразование информации) при выполнении таких условий:

программные функции этих 2-АИА есть одновременно либо рациональные, либо иррациональные;

программная функция одного 2-АИА описывает процесс, а другого - описывает состояние;

программные функции для обоих 2-АИА описываются различными компонентами информации.

Для творческих функций вследствие условия II из определения 2-АИА будут справедливы те же самые условия.

Интересно, что дуальная пара 2-АИА реализует управление только или по Ir-, или по Ra-информационным компонентам (см. Рис. 1). Такое управление является оптимальным, что следует из Теоремы 2.

Новая информация может поступать в популяцию 2-АИА через произвольный 2-АИА (то есть от произвольного 2-АИА). Максимально полная реализация управления (то есть - изменение всей информации на рассматриваемом уровне ИСС) имеет место только в случае, когда каждый вид 2-АИА будет принимать участие в преобразовании информации (в выработке совместного режима управления). Можно сказать, что только при этих условиях может быть получена "социализация" новой информации, и вследствие этого будут разработаны "нормативные" (общепринятые) новые алгоритмы управления (информации, которая необходима для управления), при помощи которых действуют 2-АИА.

Легко видеть, что такая организация обработки новой информации и социализации ее на иерархический уровень ИСС (то есть - управление этим уровнем ИСС) может быть осуществлено путем самоорганизации всех 16 2-АИА в 2 структуры (кольца) самопрограммирования, которые в общем случае должны работать совместно. В одной такой структуре преобразуются Ir- информационные компоненты, а в другой такой структуре трансформируются Ra- информационные компоненты (см. Рис. 2: a) есть Ir-, и b) есть Ra- кольца самопрограммирования, соответственно; в вершинах представлены дуальные пары, - обозначение см. в Таблице I во Введении).

В Ir- кольце самопрограммирования происходит социализация иррациональной компоненты информации (например, обогащение языка новыми структурами). В творческом плане в Ir- структуре самопрограммирования происходит формирование информации об иерархическом уровне как целом, так как для каждого "звена" в такой структуре рациональные компоненты фиксированы.

В Ra- структуре самопрограммирования происходит социализация рациональных компонент информации, соответственно.

Отметим, что только при таком способе построения колец самопрограммирования все 4 2-АИА, которые находятся в той же самой "вершине", имеют одновременно или рациональные, или же иррациональные программные функции. При любых других способах конструирования таких структур будут иметь место случаи, когда в одной и той же вершине как рациональные, так и иррациональные компоненты информации будут использоваться разными 2-АИА в качестве программных. Однако такое управление будет конфликтным, так как в этих условиях два 2-АИА, находящиеся в той же вершине, одновременно должны работать в противоположных направлениях: один, базируясь на фиксированных свойствах иерархического уровня как целого, создает КС (состояния или процессы) или отношения между КС, тогда как второй - совершенно наоборот. Другими словами, работая в той же вершине, один 2-АИА создает состояния (процессы), тогда как другой эти же состояния (процессы) немедленно разрушает. Очевидно, что управление, реализуемое таким структурами, является конфликтным.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

теорема 3.Вследствие необходимости социализации новой информации, которая нужна для управления иерархическим уровнем ИСС, во всю совокупность 2-АИА, все 16 2-АИА самоорганизуются в два описанных выше кольца самопрограммирования, в которых происходит социализация Ir- и Ra- информационных компонент.

Так как два описанных выше кольца самопрограммирования работают одновременно, и так как передача информации в этих структурах однонаправленна, систему из всех 16 различных 2-АИА в этих двух структур можно рассматривать как объект с нетривиальным топологическим строением.

Рассматривая Рис. 2 как развертку двумерного многообразия, а направление передачи информации (самопрограммирования) как способ задания ориентации многообразия, с использованием стандартных топологических методов получаем следующую теорему:

Теорема 4. Направление самопрограммирования при социализации новой информации, которая необходима для управления иерархическим уровнем ИСС, приводит к самоорганизации всех 16 различных 2-АИА в единую структуру (объект) нового иерархического уровня управления, - в структуру, топологическое строение которой диффеоморфно двумерной сфере с 7 вклеенными пленками Мебиуса.  

Отметим, что из Теоремы 4 может быть разработан новый математический формализм для описания процессов переработки информации. 

Определение 9. Объект, который описывается Теоремой 4, мы будем называть соционом (подчеркивая тот факт, что управление данным иерархическим уровнем ИСС может быть осуществлено только совместной, кооперативной, социальной активностью всех 16 2-АИА).

Следствие 1. Эйлерово число для социона есть c=-5.

Следствие 2. Топологическое строение социона гомотопически эквивалентно букету из 6 окружностей.

Базируясь на описанном в этом разделе множестве 2-АИА может быть построена ИСС для осуществления управления в Природных и Социальных ИСС: в этой "управляющей" ИСС каждый единичный управляющий объект эквивалентен (в смысле управления) определенной 2-АИА, а объекты нового иерархического уровня управления возникают путем самоорганизации 16 таких новых 2-АИА в социон.

Теорема 5. Если соционы удовлетворяют условиям I-III, то каждый такой социон может быть описан как определенный 2-АИА, с помощью которого реализуется управление на соответствующем иерархическом уровне. Такая управляющая ИСС, которая может быть сконструирована из соответствующих 2-АИА (реализующих управление на соответствующих иерархических уровнях), есть самоорганизованная ИСС для реализации управления в том смысле, что на каждом ее уровне используются как те же самые единичные конструкции для управления, так и те же самые методы управления.

Следствие 1. Для произвольно сложной Природной или Социальной ИСС может быть сформирована путем самоорганизации иерархическая система из 2-АИА, которые реализуют управление такими ИСС. "Начальные" 2-АИА (для наиболее низкого уровня управления ИСС) могут осуществлять преобразование информации на произвольно низком уровне иерархии в Природной или Социальной ИСС (например, эти 2-АИА могут основываться на достаточно полной системе аксиом, описывающей произвольно низкий иерархический уровень в Природной или Социальной ИСС).

Четырехкомпонентные АИА

Так как кольца самопрограммирования, которые необходимы для конструирования социона, состоят из дуальных пар 2-АИА, то получаем теорему:

Теорема 6. Для восьми 4-АИА (сохраняя обозначения, которые были использованы для дуальных пар - см. Введение и Таблицу I во Введении)

которые сконструированы с использованием Следствия 1 из Теоремы 2 справедливы, как Теоремы 3-5, так и Следствия из них. Компоненты информации внутри как программных, так и творческих функций перестановочны.

Другими словами, с точки зрения информационной динамики и управления классы как 2-АИА, так и 4-АИА являются эквивалентными в смысле возможностей для конструирования ИСС, которые могут осуществлять управление в Природных и Социальных ИСС.

Следствие 1. Если социон, сконструированный из 2-АИА или 4-АИА, удовлетворяет условиям Теоремы 5 или Теоремы 6, то из этих соционов (которые сами являются 2-АИА или 4-АИА для каждого иерархического уровня и имеют одинаковое топологическое строение) может быть сконструирована иерархическая управленческая система для управления Природными или Социальными ИСС, которая описана в Теореме 5,.

В общем случае могут быть сконструированы для конкретных нужд (реализации управления в некоторых специфических ИСС) также и АИА, которые отличаются от 2-АИА и 4-АИА. Например, - с m входами и n выходами (в общем случае m¹n). Кроме того могут быть случаи, когда некоторые АИА могут программироваться и/или творить на разных иерархических уровнях тех же самых (или - разных) Природных или Социальных систем. В ряде случаев это может приводить к объектам с топологическим строением, которое отличается от социона.

Научная мысль идет двумя путями: приобретением знаний и достижением понимания.

А.Г. Гурвич, "Принципы аналитической биологии и теории клеточных полей"

Абстрактные Информационные Автоматы - общее описание.

Определение 8. Объект, который воспринимает (усваивает) информационные компоненты о состояниях и или процессах в ИСС, и который способен трансформировать (изменять) состояния и/или процессах в ИСС (на том же самом и/или других иерархических уровнях) называется абстрактным информационным автоматом (АИА).

В этом определении прямо выделена способность АИА к изменению состояний и/или процессов в ИСС - то есть к управлению ними. Фактически, АИА рассматривается как отдельная ИСС (некий отдельный объект), который способен в ответ на влияние внешних условий соответствующим образом изменять Природные и/или Социальные ИСС.

Необходимо отметить, что существующие "прототипы" АИА - биологические организмы и человек - всегда объединяют в себе как рецепторы, так и эффекторы. В последние годы эта особенность, типичная для функционирования Живых объектов, учитывалась при математическом описании их функционирования.

Таким образом, АИА мы можем рассматривать как имеющего такое строение 

< блок программирования ½ блок активности>                 (1)

Сконструированные таким образом АИА своим первым блоком воспринимают (усваивают) определенные компоненты информации и трансформируют их в (вообще говоря - другие) компоненты информации, в рамках которых и происходит активность ("творчество", "управление") данного АИА.

Другими словами АИА, который построен согласно (1), мы можем рассматривать как объект, реализующий набор методов (алгоритмов, режимов) управления на данном уровне иерархии в Природных и/или Социальных ИСС.

Замечание 3. АИА являются преобразователями именно в информационном смысле: их активность должна пониматься в плане изменения характеристик ИСС. Но для реализации такой активности АИА не обязательно должен манипулировать некими объектами самостоятельно: например, для Социальных систем "слово" (идея, лозунг, подпись, и т.п.) часто вполне достаточно для управления. Другими словами, вполне достаточно только способности АИА к программированию активности других АИА.

Введенные таким образом АИА могут формировать самоорганизованные системы в случае, если они имеют способность обмениваться информацией между собой. Такую способность к информационному обмену мы будем называть "вербализацией" (социализацией) информации, а символы, которые необходимы для такой социализации, мы будем называть "языком". Символы любого такого языка являются нечеткими многозначными переменными, - необходимость этого следует, например, из того факта, что АИА, которые реализуют различные режимы управления (например, творят по различным компонентам информации), должны общаться между собой. Следовательно, в те же самые языковые формы (например, высказывания) различные АИА могут вкладывать различный смысл - эти эффекты хорошо известны при коммуникации людей.

Замечание 4. В качестве такого языка Человечеством используется весь пласт культуры и науки, так как некоторые проявления его деятельности (например, описывающие социальные процессы или индивидуальное состояние человека) очень трудно выразить словами (так, многое в функционировании человека определяется "неписаными законами" или "общепринятыми обычаями"). Кроме того, некоторые виды активности человека (например,  жестикуляция, поведение, эмоция) часто сами служат в качестве неких "языковых символов".

Таким образом, полученную систему АИА можно рассматривать как совокупность самопрограммируемых объектов, когда один АИА может программировать деятельность другого, так как коммуникация между этими АИА может происходить как по первой (программной), так и по второй (творческой) компоненте информации (мы будем использовать также термины "программная и творческая функция (компонента, блок)").

Двухкомпонентные АИА: самоораганизация в структуры.

В качестве примера рассмотрим класс двухкомпонентных АИА (2-АИА), определенных следующим образом:

Каждый АИА воспринимает только одну компоненту информации и творит тоже только по одной информационной компоненте.

Для каждого АИА одна компонента описывает процесс, а другая - состояние.

Для каждого АИА одна компонента рациональны, а другая - иррациональна.

Как следует из вышесказанного, этот класс АИА является простейшим из возможных. Будем обозначать такие АИА как 2-АИА.

Корректное определение 2-АИА как объекта, реализующего те или иные режимы управления на данном уровне иерархии в ИСС, возможно лишь только так, как описано выше:

Действительно: первым условием определяется то, что АИА имеет лишь только две компоненты.

Если принять, что 2-АИА и программируются процессом и творят также процесс, то мы не получим оптимального управления. Например, рассмотрим 2-АИА <П-Топ|П-КС>, который программируется процессами на всем иерархическом уровне и творит процессы же, изменяя отдельные КС. В этом случае "результатом труда" такого 2-АИА было бы беспрерывное и безостановочное изменение в отдельной (отдельных) КС, так как имеет место кольцо положительной обратной связи: 2-АИА "видит" процесс - но никогда сам не сумеет его остановить (то есть "зафиксировать состояние")! Аналогично если бы 2-АИА строился только лишь "на состояниях", то он никогда не сумел бы "запустить" ни одного процесса. Конечно, оптимального управления с использованием таких АИА достигнуто быть не может! Таким образом, второе условие является прямым следствием требования оптимальности управления.

А если определить 2-АИА так, чтобы одни из них реализовывали управление только по рациональным компонентам, а другие только по иррациональным, - то придется вводить специальный тип АИА, который бы "анализировал ситуацию на всем иерархическом уровне и раздавал бы задания таким "однорациональным" АИА". Зачем это делать? Поэтому третье условие также следует из требования оптимальности управления, реализуемого системой 2-АИА.

Таким образом, 2-АИА преобразует одну компоненту информации (посредством своей "программной функции") в другую (своей "творческой функцией").

Другими словами, 2-АИА устроены таким образом, что одна из их компонент (будем для нее также использовать название "функция") соответствует рассматриваемому уровню иерархии в ИСС как целом, а вторая ее компонента соответствует  конкретным КС, из которых этот уровень состоит. Схематически это показано на Рис.1, где через Ir и Ra обозначены иррациональная и рациональная компоненты информации, соответственно. Из Рис. 1 видно, что класс 2-АИА вследствие условия III формирует кольца обратной связи.

Условиями I-III класс 2-АИА определен однозначно и состоит из 16 различных типов, перечисленных в Таблице I во Введении.

16 типов 2-АИА структурируются Теоремой 1.

Теорема 1. Система (класс) 2-АИА самоорганизуется в 4 кольца самопрограммирования (кольца адекватной передачи информации, кольца выработки нового режима управления). 

Доказательство. Произвольный 2-АИА может адекватно воспринять информацию только от того 2-АИА, у которого вторая (творческая) функция эквивалентна его первой (программной) функции. Таким образом, условие адекватной передачи информации от одного 2-АИА к другому задает отношение упорядочения на множестве 2-АИА. Поэтому класс 2-АИА распадается на 4 непересекающиеся группы: внутри каждой из которых информация движется от одного 2-АИА до другого. Конец доказательства.

Введенные таким образом 4 кольца самопрограммирования могут быть записаны так:

Замечание 5. Ситуация, когда два 2-АИА, которые имеют вид <F1|F2> и <F2|F1> соответственно (Fi - информационные компоненты), реализуют совместное управление тем же самым объектом (объектами), является конфликтной: так как при этом один 2-АИА разрушает ту же самую информационную компоненту, которую только что сотворил другой 2-АИА.

Замечание 6. 2-АИА может воспринимать не только информацию от предыдущего 2-АИА в соответствующем кольце самопрограммирования, но, в общем случае, также и другую (получаемую от других 2-АИА) информацию в рамках своей программной функции. А также - интерпретировать деятельность других 2-АИА в рамках своей творческой функции.

Теорема 2. Система 2-АИА самоорганизуется в  2 спаренных кольца самопрограммирования (кольца адекватной передачи информации, кольца выработки оптимального управления), которые определяются однозначно и в которых и воспринимаются, и творятся все 8 компонент информации.

Доказательство. Рассмотрим (2). Два кольца адекватной передачи информации могут быть объединены в единое кольцо, в котором все "звенья" функционируют совместно, только в том случае, когда два 2-АИА, которые находятся в одном и том же звене, реализуют совместно бесконфликтное управление.

Рассмотрим произвольный 2-АИА, - например,

                                                                  <С-Топ½П-КС>                                      (3)

Этот 2-АИА "работает" с двумя компонентами информации. На компоненту С-Топ он опирается как на заданность (то есть - программируется ею), а творит он по компоненте информации П-КС (то есть - он изменяет процессы в единичных объектах для рассматриваемого уровня иерархии). Однако активность нашего 2-АИА будет возможна лишь только в случае, когда состояние взаимодействия между КС (единичными объектами для данного уровня)) являются фиксированными: в противном случае отсутствует "инструмент" как для фиксирования, так и для изменения состояния для рассматриваемого иерархического уровня. Такое состояние взаимодействия между КС как фиксирует тот 2-АИА, который имеет С-Отн как вторую (творческую) функцию. Как видно из (2), требуемый 2-АИА находится только в кольце (2b). И более того: для объединенных таким способом двух колец - (2a) и (2b) - рассмотренная выше "дополнительность" имеет место для всех звеньев в этом спаренном кольце самопрограммирования.

Если рассмотреть программные функции 2-АИА, то придем к тем же самым результатам. Действительно, состояние внутреннего строения для иерархического уровня как целого может быть совместимо только с процессами на мембране: так как если топологическое строение уровня фиксировано, то только процессы на мембране могут иметь место как отклик на внешнее воздействие.

Кольца (2c) и (2d) могут быть объединены аналогично. Конец доказательства.

Таким образом, система 2-АИА разбивается на 2 спаренных кольца  2-АИА, которые связаны между собой отношениями самопрограммирования (будем использовать термин "дуальная пара" для двух 2-АИА из одного и того же звена из Теоремы 2).

Из Теоремы 2 вытекает следующее следствие.

Следствие. Два 2-АИА будут оптимально (бесконфликтно) управлять (то есть - реализовывать адекватное преобразование информации) при выполнении таких условий:

программные функции этих 2-АИА есть одновременно либо рациональные, либо иррациональные;

программная функция одного 2-АИА описывает процесс, а другого - описывает состояние;

программные функции для обоих 2-АИА описываются различными компонентами информации.

Для творческих функций вследствие условия II из определения 2-АИА будут справедливы те же самые условия.

Интересно, что дуальная пара 2-АИА реализует управление только или по Ir-, или по Ra-информационным компонентам (см. Рис. 1). Такое управление является оптимальным, что следует из Теоремы 2.

Новая информация может поступать в популяцию 2-АИА через произвольный 2-АИА (то есть от произвольного 2-АИА). Максимально полная реализация управления (то есть - изменение всей информации на рассматриваемом уровне ИСС) имеет место только в случае, когда каждый вид 2-АИА будет принимать участие в преобразовании информации (в выработке совместного режима управления). Можно сказать, что только при этих условиях может быть получена "социализация" новой информации, и вследствие этого будут разработаны "нормативные" (общепринятые) новые алгоритмы управления (информации, которая необходима для управления), при помощи которых действуют 2-АИА.

Легко видеть, что такая организация обработки новой информации и социализации ее на иерархический уровень ИСС (то есть - управление этим уровнем ИСС) может быть осуществлено путем самоорганизации всех 16 2-АИА в 2 структуры (кольца) самопрограммирования, которые в общем случае должны работать совместно. В одной такой структуре преобразуются Ir- информационные компоненты, а в другой такой структуре трансформируются Ra- информационные компоненты (см. Рис. 2: a) есть Ir-, и b) есть Ra- кольца самопрограммирования, соответственно; в вершинах представлены дуальные пары, - обозначение см. в Таблице I во Введении).

В Ir- кольце самопрограммирования происходит социализация иррациональной компоненты информации (например, обогащение языка новыми структурами). В творческом плане в Ir- структуре самопрограммирования происходит формирование информации об иерархическом уровне как целом, так как для каждого "звена" в такой структуре рациональные компоненты фиксированы.

В Ra- структуре самопрограммирования происходит социализация рациональных компонент информации, соответственно.

Отметим, что только при таком способе построения колец самопрограммирования все 4 2-АИА, которые находятся в той же самой "вершине", имеют одновременно или рациональные, или же иррациональные программные функции. При любых других способах конструирования таких структур будут иметь место случаи, когда в одной и той же вершине как рациональные, так и иррациональные компоненты информации будут использоваться разными 2-АИА в качестве программных. Однако такое управление будет конфликтным, так как в этих условиях два 2-АИА, находящиеся в той же вершине, одновременно должны работать в противоположных направлениях: один, базируясь на фиксированных свойствах иерархического уровня как целого, создает КС (состояния или процессы) или отношения между КС, тогда как второй - совершенно наоборот. Другими словами, работая в той же вершине, один 2-АИА создает состояния (процессы), тогда как другой эти же состояния (процессы) немедленно разрушает. Очевидно, что управление, реализуемое таким структурами, является конфликтным.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

теорема 3.Вследствие необходимости социализации новой информации, которая нужна для управления иерархическим уровнем ИСС, во всю совокупность 2-АИА, все 16 2-АИА самоорганизуются в два описанных выше кольца самопрограммирования, в которых происходит социализация Ir- и Ra- информационных компонент.

Так как два описанных выше кольца самопрограммирования работают одновременно, и так как передача информации в этих структурах однонаправленна, систему из всех 16 различных 2-АИА в этих двух структур можно рассматривать как объект с нетривиальным топологическим строением.

Рассматривая Рис. 2 как развертку двумерного многообразия, а направление передачи информации (самопрограммирования) как способ задания ориентации многообразия, с использованием стандартных топологических методов получаем следующую теорему:

Теорема 4. Направление самопрограммирования при социализации новой информации, которая необходима для управления иерархическим уровнем ИСС, приводит к самоорганизации всех 16 различных 2-АИА в единую структуру (объект) нового иерархического уровня управления, - в структуру, топологическое строение которой диффеоморфно двумерной сфере с 7 вклеенными пленками Мебиуса.  

Отметим, что из Теоремы 4 может быть разработан новый математический формализм для описания процессов переработки информации. 

Определение 9. Объект, который описывается Теоремой 4, мы будем называть соционом (подчеркивая тот факт, что управление данным иерархическим уровнем ИСС может быть осуществлено только совместной, кооперативной, социальной активностью всех 16 2-АИА).

Следствие 1. Эйлерово число для социона есть c=-5.

Следствие 2. Топологическое строение социона гомотопически эквивалентно букету из 6 окружностей.

Базируясь на описанном в этом разделе множестве 2-АИА может быть построена ИСС для осуществления управления в Природных и Социальных ИСС: в этой "управляющей" ИСС каждый единичный управляющий объект эквивалентен (в смысле управления) определенной 2-АИА, а объекты нового иерархического уровня управления возникают путем самоорганизации 16 таких новых 2-АИА в социон.

Теорема 5. Если соционы удовлетворяют условиям I-III, то каждый такой социон может быть описан как определенный 2-АИА, с помощью которого реализуется управление на соответствующем иерархическом уровне. Такая управляющая ИСС, которая может быть сконструирована из соответствующих 2-АИА (реализующих управление на соответствующих иерархических уровнях), есть самоорганизованная ИСС для реализации управления в том смысле, что на каждом ее уровне используются как те же самые единичные конструкции для управления, так и те же самые методы управления.

Следствие 1. Для произвольно сложной Природной или Социальной ИСС может быть сформирована путем самоорганизации иерархическая система из 2-АИА, которые реализуют управление такими ИСС. "Начальные" 2-АИА (для наиболее низкого уровня управления ИСС) могут осуществлять преобразование информации на произвольно низком уровне иерархии в Природной или Социальной ИСС (например, эти 2-АИА могут основываться на достаточно полной системе аксиом, описывающей произвольно низкий иерархический уровень в Природной или Социальной ИСС).

Четырехкомпонентные АИА

Так как кольца самопрограммирования, которые необходимы для конструирования социона, состоят из дуальных пар 2-АИА, то получаем теорему:

Теорема 6. Для восьми 4-АИА (сохраняя обозначения, которые были использованы для дуальных пар - см. Введение и Таблицу I во Введении)

которые сконструированы с использованием Следствия 1 из Теоремы 2 справедливы, как Теоремы 3-5, так и Следствия из них. Компоненты информации внутри как программных, так и творческих функций перестановочны.

Другими словами, с точки зрения информационной динамики и управления классы как 2-АИА, так и 4-АИА являются эквивалентными в смысле возможностей для конструирования ИСС, которые могут осуществлять управление в Природных и Социальных ИСС.

Следствие 1. Если социон, сконструированный из 2-АИА или 4-АИА, удовлетворяет условиям Теоремы 5 или Теоремы 6, то из этих соционов (которые сами являются 2-АИА или 4-АИА для каждого иерархического уровня и имеют одинаковое топологическое строение) может быть сконструирована иерархическая управленческая система для управления Природными или Социальными ИСС, которая описана в Теореме 5,.

В общем случае могут быть сконструированы для конкретных нужд (реализации управления в некоторых специфических ИСС) также и АИА, которые отличаются от 2-АИА и 4-АИА. Например, - с m входами и n выходами (в общем случае m¹n). Кроме того могут быть случаи, когда некоторые АИА могут программироваться и/или творить на разных иерархических уровнях тех же самых (или - разных) Природных или Социальных систем. В ряде случаев это может приводить к объектам с топологическим строением, которое отличается от социона.