2.7. Некоторые более глубокие математические соображения

Для того чтобы лучше разобраться в значении гёделевского доказательства, полезно будет вспомнить, с какой, собственно, целью оно было первоначально предпринято. На рубеже веков ученые, деятельность которых была связана с фундаментальны­ми математическими принципами, столкнулись с весьма серьез­ными проблемами. В конце XIX века — в значительной степени благодаря глубоко оригинальным математическим трудам Георга Кантора (с «диагональным доказательством» которого мы уже познакомились) — математики получили в распоряжение эф­фективные методы доказательства некоторых наиболее фундаментальных своих результатов, основанные на свойствах беско­нечных множеств. Однако с этими преимуществами оказались связаны и не менее фундаментальные трудности, проистекаю­щие из чересчур вольного обращения с концепцией бесконечно­го множества. Особо отметим парадокс Рассела (на который я вкратце ссылался в комментарии к Q9, см. также §3.4 — Кан­тор о нем также упоминает), обозначивший некоторые препят­ствия, подстерегающие склонных к опрометчивым умозаключе­ниям. Тем не менее, все понимали, что если вопрос о допустимо­сти тех или иных методов рассуждения продумать с достаточной тщательностью, то можно добиться очень и очень впечатляющих математических результатов. Проблема, по всей видимости, сво­дилась к отысканию способа, посредством которого можно было бы в каждом конкретном случае абсолютно точно определить, была ли соблюдена при выборе метода рассуждения «достаточ­ная тщательность».

Одной из главных фигур движения, поставившего перед со­бой цель достичь этой точности, был великий математик Давид Гильберт. Движение окрестили формализмом; в соответствии с его основополагающим принципом, следовало однозначно опре­делить все допустимые методы математического рассуждения в пределах той или иной конкретной области раз и навсегда, вклю­чая и те, что связаны с понятием бесконечного множества. Такая совокупность правил и математических утверждений называет­ся формальной системой. После того как определены правила формальной системы F, решение вопроса о корректности приме­нения этих правил — количество которых непременно является конечным — сводится к элементарной механической проверке. Разумеется, если мы хотим, чтобы любой выводимый с помощью таких правил результат мог считаться действительно истинным, нам придется присвоить им всем статус вполне допустимых и обоснованных форм математического рассуждения. Однако неко­торые из рассматриваемых правил могут подразумевать какие-либо манипуляции с бесконечными множествами, и в этом слу­чае математическая интуиция, подсказывающая нам, какие ме­тоды рассуждения допустимы, а какие нет, может оказаться и не достойной абсолютного доверия. Сомнения в этой связи как. нельзя более уместны, учитывая несоответствия, возникающие при столь вольном обращении с бесконечными множествами, что допустимым становится даже парадоксальное «множество всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рас­села. Правила системы F не должны допускать существования «множества» Рассела, но где же, в таком случае, следует про­вести границу? Вообще запретить применение бесконечных мно­жеств было бы слишком строгим ограничением (обычное евкли­дово пространство, например, содержит бесконечное множество точек, да и множество натуральных чисел является бесконеч­ным); кроме того, существуют же формальные системы, абсо­лютно в этом смысле удовлетворительные (поскольку в их рам­ках не допускается, к примеру, формулировать сущности, подоб­ные «множеству» Рассела), применяя которые можно получить большую часть необходимых математических результатов. Отку­да нам знать, каким из этих формальных систем можно верить, а каким нельзя?

Рассмотрим подробнее одну такую формальную систему F; для математических утверждений, которые можно получить с по­мощью правил системы F, введем обозначение ИСТИННЫЕ, а для утверждений, отрицания (т. е. утверждения, обратные рас­сматриваемым) которых выводятся из того же источника, — обо­значение ЛОЖНЫЕ. Любое утверждение, которое можно сфор­мулировать в рамках системы F, но которое не является в этом смысле ни истинным, ни ложным, будем полагать нераз­решимым. Кто-то, возможно, сочтет, что поскольку на деле может оказаться «бессмысленным» и само понятие бесконечного множества, то, по всей видимости, нельзя абсолютно осмысленно говорить ни об истинности, ни о ложности относящихся к ним утверждений. (Это мнение применимо, по крайней мере, к неко­торым разновидностям бесконечных множеств, если не ко всем.) Если придерживаться такой точки зрения, то нет особой разни­цы, какие именно утверждения о бесконечных множествах (неко­торых разновидностей) оказываются ИСТИННЫМИ, а какие — ЛОЖНЫМИ, лишь бы не вышло так, что одно утверждение по­лучится ИСТИННЫМ и ЛОЖНЫМ одновременно, т.е. система F должна все же быть непротиворечивой. Собственно говоря, в этом и состоит суть истинного формализма, а в отношении формальной системы F первостепенно важно знать лишь следующее: (а) является ли она непротиворечивой и (Ь) является ли она полной. Система F называется полной, если любое мате­матическое утверждение, должным образом сформулированное в рамках F, всегда оказывается либо истинным, либо ЛОЖНЫМ (т. е. НЕРАЗРЕШИМЫХ утверждений система F не содержит).

Для строгого формалиста вопрос о том, является ли то или иное утверждение о бесконечных множествах действительно истинным в сколько угодно абсолютном смысле, не обязательно имеет смысл и, уж конечно же, не имеет никакого существенно­го отношения к процедурам формалистской математики. Таким образом, поиски абсолютной математической истины в отноше­нии утверждений, связанных с упомянутыми бесконечными ве­личинами, заменяются стремлением продемонстрировать непро­тиворечивость и полноту соответствующих формальных систем. Какие же математические правила допустимо использовать для такой демонстрации? Достойные доверия, прежде всего, причем формулировка этих правил никоим образом не должна основы­ваться на сомнительных рассуждениях с привлечением слишком вольно определяемых бесконечных множеств (типа множества Рассела). Была надежда на то, что в рамках некоторых срав­нительно простых и очевидно обоснованных формальных систем (например, такой достаточно элементарной системы, как ариф­метика Пеано) отыщутся логические процедуры, которых будет достаточно для того, чтобы доказать непротиворечивость других, более сложных, формальных систем — скажем, системы F, — непротиворечивость которых уже не столь бесспорна и в рам­ках которых допускаются формальные рассуждения об очень «больших» бесконечных множествах. Если принять философию формалистов, то подобное доказательство непротиворечивости для F, как минимум, даст основание для использования мето­дов рассуждения, допустимых в рамках системы F. Затем можно доказывать математические теоремы, применяя концепцию бес­конечных множеств тем или иным непротиворечивым образом, а может, удастся и вовсе избавиться от необходимости отвечать на вопрос о реальном «смысле» таких множеств. Более того, если удастся показать, что система F является еще и полной, то мож­но будет вполне резонно счесть, что эта система действительно содержит абсолютно все допустимые математические процедуры; т. е. представляет собой, в некотором смысле, полное описание математического аппарата рассматриваемой области.

Однако в 1930 году (публикация состоялась в 1931) Гёдель взорвал свою «бомбу», раз и навсегда показав, что мечта форма­листов принципиально недостижима. Он продемонстрировал, что не может существовать формальной системы F, которая была бы одновременно и непротиворечивой (в некоем «сильном» смысле, который мы рассмотрим в следующем разделе), и полной, — при условии, что F считается достаточно мощной, чтобы сочетать в себе формулировки утверждений обычной арифметики и стан­дартную логику. Таким образом, теорема Гёделя справедлива для таких систем F, в рамках которых арифметические утверждения типа теоремы Лагранжа и гипотезы Гольдбаха (см. §2.3) форму­лируются как утверждения математические.

В дальнейшем мы будем рассматривать только те формаль­ные системы, которые являются достаточно обширными, чтобы содержать в себе необходимые для действительной формулиров­ки теоремы Гёделя арифметические операции (а также, в случае нужды, и операции какой угодно машины Тьюринга; см. ниже). Говоря о какой-либо формальной системе F, я обычно буду под­разумевать, что она действительно достаточно обширна в этом смысле. Это допущение не отразится на наших рассуждениях сколько-нибудь существенным образом. (Тем не менее, рассмат­ривая формальные системы в таком контексте, я, для пущей яс­ности, буду иногда снабжать их эпитетом «достаточно обширная» или иным подобным.)

Для того чтобы лучше разобраться в значении гёделевского доказательства, полезно будет вспомнить, с какой, собственно, целью оно было первоначально предпринято. На рубеже веков ученые, деятельность которых была связана с фундаментальны­ми математическими принципами, столкнулись с весьма серьез­ными проблемами. В конце XIX века — в значительной степени благодаря глубоко оригинальным математическим трудам Георга Кантора (с «диагональным доказательством» которого мы уже познакомились) — математики получили в распоряжение эф­фективные методы доказательства некоторых наиболее фундаментальных своих результатов, основанные на свойствах беско­нечных множеств. Однако с этими преимуществами оказались связаны и не менее фундаментальные трудности, проистекаю­щие из чересчур вольного обращения с концепцией бесконечно­го множества. Особо отметим парадокс Рассела (на который я вкратце ссылался в комментарии к Q9, см. также §3.4 — Кан­тор о нем также упоминает), обозначивший некоторые препят­ствия, подстерегающие склонных к опрометчивым умозаключе­ниям. Тем не менее, все понимали, что если вопрос о допустимо­сти тех или иных методов рассуждения продумать с достаточной тщательностью, то можно добиться очень и очень впечатляющих математических результатов. Проблема, по всей видимости, сво­дилась к отысканию способа, посредством которого можно было бы в каждом конкретном случае абсолютно точно определить, была ли соблюдена при выборе метода рассуждения «достаточ­ная тщательность».

Одной из главных фигур движения, поставившего перед со­бой цель достичь этой точности, был великий математик Давид Гильберт. Движение окрестили формализмом; в соответствии с его основополагающим принципом, следовало однозначно опре­делить все допустимые методы математического рассуждения в пределах той или иной конкретной области раз и навсегда, вклю­чая и те, что связаны с понятием бесконечного множества. Такая совокупность правил и математических утверждений называет­ся формальной системой. После того как определены правила формальной системы F, решение вопроса о корректности приме­нения этих правил — количество которых непременно является конечным — сводится к элементарной механической проверке. Разумеется, если мы хотим, чтобы любой выводимый с помощью таких правил результат мог считаться действительно истинным, нам придется присвоить им всем статус вполне допустимых и обоснованных форм математического рассуждения. Однако неко­торые из рассматриваемых правил могут подразумевать какие-либо манипуляции с бесконечными множествами, и в этом слу­чае математическая интуиция, подсказывающая нам, какие ме­тоды рассуждения допустимы, а какие нет, может оказаться и не достойной абсолютного доверия. Сомнения в этой связи как. нельзя более уместны, учитывая несоответствия, возникающие при столь вольном обращении с бесконечными множествами, что допустимым становится даже парадоксальное «множество всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рас­села. Правила системы F не должны допускать существования «множества» Рассела, но где же, в таком случае, следует про­вести границу? Вообще запретить применение бесконечных мно­жеств было бы слишком строгим ограничением (обычное евкли­дово пространство, например, содержит бесконечное множество точек, да и множество натуральных чисел является бесконеч­ным); кроме того, существуют же формальные системы, абсо­лютно в этом смысле удовлетворительные (поскольку в их рам­ках не допускается, к примеру, формулировать сущности, подоб­ные «множеству» Рассела), применяя которые можно получить большую часть необходимых математических результатов. Отку­да нам знать, каким из этих формальных систем можно верить, а каким нельзя?

Рассмотрим подробнее одну такую формальную систему F; для математических утверждений, которые можно получить с по­мощью правил системы F, введем обозначение ИСТИННЫЕ, а для утверждений, отрицания (т. е. утверждения, обратные рас­сматриваемым) которых выводятся из того же источника, — обо­значение ЛОЖНЫЕ. Любое утверждение, которое можно сфор­мулировать в рамках системы F, но которое не является в этом смысле ни истинным, ни ложным, будем полагать нераз­решимым. Кто-то, возможно, сочтет, что поскольку на деле может оказаться «бессмысленным» и само понятие бесконечного множества, то, по всей видимости, нельзя абсолютно осмысленно говорить ни об истинности, ни о ложности относящихся к ним утверждений. (Это мнение применимо, по крайней мере, к неко­торым разновидностям бесконечных множеств, если не ко всем.) Если придерживаться такой точки зрения, то нет особой разни­цы, какие именно утверждения о бесконечных множествах (неко­торых разновидностей) оказываются ИСТИННЫМИ, а какие — ЛОЖНЫМИ, лишь бы не вышло так, что одно утверждение по­лучится ИСТИННЫМ и ЛОЖНЫМ одновременно, т.е. система F должна все же быть непротиворечивой. Собственно говоря, в этом и состоит суть истинного формализма, а в отношении формальной системы F первостепенно важно знать лишь следующее: (а) является ли она непротиворечивой и (Ь) является ли она полной. Система F называется полной, если любое мате­матическое утверждение, должным образом сформулированное в рамках F, всегда оказывается либо истинным, либо ЛОЖНЫМ (т. е. НЕРАЗРЕШИМЫХ утверждений система F не содержит).

Для строгого формалиста вопрос о том, является ли то или иное утверждение о бесконечных множествах действительно истинным в сколько угодно абсолютном смысле, не обязательно имеет смысл и, уж конечно же, не имеет никакого существенно­го отношения к процедурам формалистской математики. Таким образом, поиски абсолютной математической истины в отноше­нии утверждений, связанных с упомянутыми бесконечными ве­личинами, заменяются стремлением продемонстрировать непро­тиворечивость и полноту соответствующих формальных систем. Какие же математические правила допустимо использовать для такой демонстрации? Достойные доверия, прежде всего, причем формулировка этих правил никоим образом не должна основы­ваться на сомнительных рассуждениях с привлечением слишком вольно определяемых бесконечных множеств (типа множества Рассела). Была надежда на то, что в рамках некоторых срав­нительно простых и очевидно обоснованных формальных систем (например, такой достаточно элементарной системы, как ариф­метика Пеано) отыщутся логические процедуры, которых будет достаточно для того, чтобы доказать непротиворечивость других, более сложных, формальных систем — скажем, системы F, — непротиворечивость которых уже не столь бесспорна и в рам­ках которых допускаются формальные рассуждения об очень «больших» бесконечных множествах. Если принять философию формалистов, то подобное доказательство непротиворечивости для F, как минимум, даст основание для использования мето­дов рассуждения, допустимых в рамках системы F. Затем можно доказывать математические теоремы, применяя концепцию бес­конечных множеств тем или иным непротиворечивым образом, а может, удастся и вовсе избавиться от необходимости отвечать на вопрос о реальном «смысле» таких множеств. Более того, если удастся показать, что система F является еще и полной, то мож­но будет вполне резонно счесть, что эта система действительно содержит абсолютно все допустимые математические процедуры; т. е. представляет собой, в некотором смысле, полное описание математического аппарата рассматриваемой области.

Однако в 1930 году (публикация состоялась в 1931) Гёдель взорвал свою «бомбу», раз и навсегда показав, что мечта форма­листов принципиально недостижима. Он продемонстрировал, что не может существовать формальной системы F, которая была бы одновременно и непротиворечивой (в некоем «сильном» смысле, который мы рассмотрим в следующем разделе), и полной, — при условии, что F считается достаточно мощной, чтобы сочетать в себе формулировки утверждений обычной арифметики и стан­дартную логику. Таким образом, теорема Гёделя справедлива для таких систем F, в рамках которых арифметические утверждения типа теоремы Лагранжа и гипотезы Гольдбаха (см. §2.3) форму­лируются как утверждения математические.

В дальнейшем мы будем рассматривать только те формаль­ные системы, которые являются достаточно обширными, чтобы содержать в себе необходимые для действительной формулиров­ки теоремы Гёделя арифметические операции (а также, в случае нужды, и операции какой угодно машины Тьюринга; см. ниже). Говоря о какой-либо формальной системе F, я обычно буду под­разумевать, что она действительно достаточно обширна в этом смысле. Это допущение не отразится на наших рассуждениях сколько-нибудь существенным образом. (Тем не менее, рассмат­ривая формальные системы в таком контексте, я, для пущей яс­ности, буду иногда снабжать их эпитетом «достаточно обширная» или иным подобным.)