3.2. Способен ли необоснованный алгоритм познаваемым образом моделировать математическое понимание?

Согласно выводудля того чтобы математическое пони­мание могло оказаться результатом выполнения некоего алго­ритма, этот алгоритм должен быть необоснованным или непо­знаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то о его обоснованности должно быть принципиально невозможно узнать наверняка (такой алгоритм мы называем непознаваемо обоснованным); кроме того, возможно, что различные математи­ки «работают» на различных типах таких алгоритмов. Под «алго­ритмом» здесь понимается просто какая-нибудь вычислительная процедурат. е. любой набор операций, который можно, в принципе, смоделировать на универсальном компьютере с неограниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсу­ждения возражения«неограниченность» объема памя­ти в данном идеализированном случае на результаты рассужде­ния никак не влияет.) Такое понятие алгоритма включает в себя нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы, а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые процедуры, которые можно реализовать с помощью искусствен­ных нейронных сетейЭтому определению отвечают и иные типы восходящих механизмов — например, так называемые «генетические алгоритмы», повышающие свою эффективность с помощью некоей встроенной процедуры, аналогичной дарвинов­ской эволюции

О специфике приложения аргументации, представляемой в настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в гла­ве 2), к восходящим процедурам я еще буду говорить в 3.22 (краткое изложение их можно найти в воображаемом диа­логе,). Пока же, для большей ясности изложения, будем рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один-единственный тип алгоритмических процедур, а именно — нис­ходящие. Такую алгоритмическую процедуру можно относить как к отдельному математику, так и к математическому сообществу в целом. В комментариях к возражениями рассматривалось предположение о том, что разным людям могут быть свойственны различные обоснованные и известные алго­ритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность не влияет на результаты рассуждения сколько-нибудь значитель­ным образом. Возможно также, что разные люди постигают ис­тину посредством различных необоснованных и непознавае­мых алгоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько поз­же (см. §3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе математического понимания лежит одна-единственная алгорит­мическая процедура. Можно, кроме того, ограничить рассматри­ваемую область той частью математического понимания, которая отвечает за доказательство-высказываний (т. е. определений тех операций машины Тьюринга, которые не завершаются; см. комментарий к возражению Q10). В дальнейшем вполне доста­точно интерпретировать сочетание «математическое понимание» как раз в таком, ограниченном смысле (см. формулировку с. 164).

В зависимости от познаваемости предположительно лежа­щей в основе математического понимания алгоритмической про­цедуры F (будь то обоснованной или нет), следует четко выделять три совершенно различных случая. Процедураможет быть:

I сознательно познаваемой, причем познаваем также и тот факт, что именно эта алгоритмическая процедура ответ­ственна за математическое понимание;

II сознательно познаваемой, однако тот факт, что математиче­ское понимание основывается именно на этой алгоритмиче­ской процедуре, остается как неосознаваемым, так и непо­знаваемым;

III неосознаваемой и непознаваемой.

Рассмотрим сначала полностью сознательный случай I. По­скольку и сам алгоритм, и его роль являются познаваемыми, мы вполне можем счесть, что мы о них уже знаем. В самом деле, ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения име­ют место уже после того, как мы получили в наше распоряжение соответствующее знание — ведь слово «познаваемый» как раз и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь да наступит. Итак, алгоритмнам известен, при этом известна и его основополагающая роль в математическом понимании. Как мы уже видели (§ 2.9), такой алгоритм эффектив­но эквивалентен формальной системеИными словами, полу­чается, что математическое понимание — или хотя бы понимание математики каким-то отдельным математиком — эквивалентно выводимости в рамках некоторой формальной системы F. Если мы хотим сохранить хоть какую-то надежду удовлетворить вы­воду XX, к которому нас столь неожиданно привели изложенные в предыдущей главе соображения, то придется предположить, что система F является необоснованной. Однако, как это ни странно, необоснованность в данном случае ситуацию ничуть не меняет, поскольку, в соответствии с I, известная формальная си­стема F является действительно известной, то есть любой ма­тематик знает и, как следствие, верит, что именно эта система лежит в основе его (или ее) математического понимания. А такая вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную) в обоснованность системы F. (Согласитесь, крайне неразумно выглядит точка зрения, в соответствии с которой математик поз­воляет себе не верить в самые фундаментальные положения соб­ственной заведомо неопровержимой системы взглядов.) Незави­симо от того, является ли система F действительно обоснован­ной, вера в ее обоснованность уже содержит в себе веру в то, что утверждение G(F) (или, как вариант, omega(F), см. §2.8) ис­тинно. Однако, поскольку теперь мы полагаем (исходя из веры в справедливость теоремы Гёделя), что истинность утвержде­ния G(F) в рамках системы F недоказуема, это противоречит предположению о том, что система F является основой всякого (существенного для рассматриваемого случая) математического понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для отдельных математиков, так и для всего математического сооб­щества в целом; его можно применять индивидуально к любому из всевозможных алгоритмов, предположительно составляющих основу мыслительных процессов того или иного математика. Бо­лее того, согласно предварительной договоренности, для нас на данный момент важна применимость этого соображения лишь в той области математического понимания, которая имеет отно­шение к доказательству II1-высказываний.) Итак, невозможно знать наверняка, что некий гипотетический известный необосно­ванный алгоритм F, предположительно лежащий в основе мате­матического понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Сле­довательно, случай I исключается, независимо от того, является система F обоснованной или нет. Если система F сама по себе познаваема, то следует рассмотреть возможность II, суть которой заключается в том, что система F все же может составлять основу математического понимания, однако узнать об этой ее роли мы не в состоянии. Остается в силе и возможность III: сама система является как неосознаваемой, так и непознаваемой.

На данный момент мы достигли следующего результата: слу­чай I (по крайней мере, в контексте полностью нисходящих ал­горитмов) как сколько-нибудь серьезную возможность рассмат­ривать нельзя; тот факт, что системаможет в действитель­ности оказаться и необоснованной, как выяснилось, сути про­блемы ничуть не меняет. Решающим фактором здесь является невозможность точно установить, является та или иная гипоте­тическая система(независимо от ее обоснованности) основой для формирования математических убеждений или же нет. Дело не в непознаваемости самого алгоритма, но в непознаваемости того факта, что процесс понимания действительно происходит в соответствии с данным алгоритмом.

Согласно выводудля того чтобы математическое пони­мание могло оказаться результатом выполнения некоего алго­ритма, этот алгоритм должен быть необоснованным или непо­знаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то о его обоснованности должно быть принципиально невозможно узнать наверняка (такой алгоритм мы называем непознаваемо обоснованным); кроме того, возможно, что различные математи­ки «работают» на различных типах таких алгоритмов. Под «алго­ритмом» здесь понимается просто какая-нибудь вычислительная процедурат. е. любой набор операций, который можно, в принципе, смоделировать на универсальном компьютере с неограниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсу­ждения возражения«неограниченность» объема памя­ти в данном идеализированном случае на результаты рассужде­ния никак не влияет.) Такое понятие алгоритма включает в себя нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы, а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые процедуры, которые можно реализовать с помощью искусствен­ных нейронных сетейЭтому определению отвечают и иные типы восходящих механизмов — например, так называемые «генетические алгоритмы», повышающие свою эффективность с помощью некоей встроенной процедуры, аналогичной дарвинов­ской эволюции

О специфике приложения аргументации, представляемой в настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в гла­ве 2), к восходящим процедурам я еще буду говорить в 3.22 (краткое изложение их можно найти в воображаемом диа­логе,). Пока же, для большей ясности изложения, будем рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один-единственный тип алгоритмических процедур, а именно — нис­ходящие. Такую алгоритмическую процедуру можно относить как к отдельному математику, так и к математическому сообществу в целом. В комментариях к возражениями рассматривалось предположение о том, что разным людям могут быть свойственны различные обоснованные и известные алго­ритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность не влияет на результаты рассуждения сколько-нибудь значитель­ным образом. Возможно также, что разные люди постигают ис­тину посредством различных необоснованных и непознавае­мых алгоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько поз­же (см. §3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе математического понимания лежит одна-единственная алгорит­мическая процедура. Можно, кроме того, ограничить рассматри­ваемую область той частью математического понимания, которая отвечает за доказательство-высказываний (т. е. определений тех операций машины Тьюринга, которые не завершаются; см. комментарий к возражению Q10). В дальнейшем вполне доста­точно интерпретировать сочетание «математическое понимание» как раз в таком, ограниченном смысле (см. формулировку с. 164).

В зависимости от познаваемости предположительно лежа­щей в основе математического понимания алгоритмической про­цедуры F (будь то обоснованной или нет), следует четко выделять три совершенно различных случая. Процедураможет быть:

I сознательно познаваемой, причем познаваем также и тот факт, что именно эта алгоритмическая процедура ответ­ственна за математическое понимание;

II сознательно познаваемой, однако тот факт, что математиче­ское понимание основывается именно на этой алгоритмиче­ской процедуре, остается как неосознаваемым, так и непо­знаваемым;

III неосознаваемой и непознаваемой.

Рассмотрим сначала полностью сознательный случай I. По­скольку и сам алгоритм, и его роль являются познаваемыми, мы вполне можем счесть, что мы о них уже знаем. В самом деле, ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения име­ют место уже после того, как мы получили в наше распоряжение соответствующее знание — ведь слово «познаваемый» как раз и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь да наступит. Итак, алгоритмнам известен, при этом известна и его основополагающая роль в математическом понимании. Как мы уже видели (§ 2.9), такой алгоритм эффектив­но эквивалентен формальной системеИными словами, полу­чается, что математическое понимание — или хотя бы понимание математики каким-то отдельным математиком — эквивалентно выводимости в рамках некоторой формальной системы F. Если мы хотим сохранить хоть какую-то надежду удовлетворить вы­воду XX, к которому нас столь неожиданно привели изложенные в предыдущей главе соображения, то придется предположить, что система F является необоснованной. Однако, как это ни странно, необоснованность в данном случае ситуацию ничуть не меняет, поскольку, в соответствии с I, известная формальная си­стема F является действительно известной, то есть любой ма­тематик знает и, как следствие, верит, что именно эта система лежит в основе его (или ее) математического понимания. А такая вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную) в обоснованность системы F. (Согласитесь, крайне неразумно выглядит точка зрения, в соответствии с которой математик поз­воляет себе не верить в самые фундаментальные положения соб­ственной заведомо неопровержимой системы взглядов.) Незави­симо от того, является ли система F действительно обоснован­ной, вера в ее обоснованность уже содержит в себе веру в то, что утверждение G(F) (или, как вариант, omega(F), см. §2.8) ис­тинно. Однако, поскольку теперь мы полагаем (исходя из веры в справедливость теоремы Гёделя), что истинность утвержде­ния G(F) в рамках системы F недоказуема, это противоречит предположению о том, что система F является основой всякого (существенного для рассматриваемого случая) математического понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для отдельных математиков, так и для всего математического сооб­щества в целом; его можно применять индивидуально к любому из всевозможных алгоритмов, предположительно составляющих основу мыслительных процессов того или иного математика. Бо­лее того, согласно предварительной договоренности, для нас на данный момент важна применимость этого соображения лишь в той области математического понимания, которая имеет отно­шение к доказательству II1-высказываний.) Итак, невозможно знать наверняка, что некий гипотетический известный необосно­ванный алгоритм F, предположительно лежащий в основе мате­матического понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Сле­довательно, случай I исключается, независимо от того, является система F обоснованной или нет. Если система F сама по себе познаваема, то следует рассмотреть возможность II, суть которой заключается в том, что система F все же может составлять основу математического понимания, однако узнать об этой ее роли мы не в состоянии. Остается в силе и возможность III: сама система является как неосознаваемой, так и непознаваемой.

На данный момент мы достигли следующего результата: слу­чай I (по крайней мере, в контексте полностью нисходящих ал­горитмов) как сколько-нибудь серьезную возможность рассмат­ривать нельзя; тот факт, что системаможет в действитель­ности оказаться и необоснованной, как выяснилось, сути про­блемы ничуть не меняет. Решающим фактором здесь является невозможность точно установить, является та или иная гипоте­тическая система(независимо от ее обоснованности) основой для формирования математических убеждений или же нет. Дело не в непознаваемости самого алгоритма, но в непознаваемости того факта, что процесс понимания действительно происходит в соответствии с данным алгоритмом.