3.1. Гёдель и Тьюринг

В главе 2 была предпринята попытка продемонстрировать мощь и строгий характер аргументации в пользу утверждения (обозначенного буквой), суть которого заключается в том, что математическое понимание не может являться результатом при­менения какого-либо осмысленно осознаваемого и полностью достоверного алгоритма (или, что то же самое, алгоритмов; см. возражение Q1). В приводимых рассуждениях, однако, ни словом не упомянуто еще об одной возможности, существенно более се­рьезной и ничуть не противоречащей утверждению, а имен­но: убежденность математика в истинности своих выводов может оказаться результатом применения им некоего неизвестного и неосознаваемого алгоритма, или же, возможно, математик при­меняет какой-то вполне постижимый алгоритм, однако при этом не может знать наверняка (или хотя бы искренне верить), что вы­воды его являются целиком и полностью результатом применения этого самого алгоритма. Ниже я покажу, что, хотя подобные до­пущения и вполне приемлемы с логической точки зрения, вряд ли их можно счесть хоть сколько-нибудь правдоподобными.

Прежде всего следует указать на то, что тщательно вы­страивая последовательности умозаключений (вполне, заметим, осознанных) с целью установления той или иной математиче­ской истины, математики вовсе не считают, что они лишь слепо следуют неким неосознаваемым правилам, будучи при этом не в состоянии постичь эти правила ни рассудком, ни верой. На­против, они твердо знают, что их аргументация опирается ис­ключительно на непреложные истины — в основе своей, суще­ственно «очевидные»; столь же непреложными, на их взгляд, являются и все промежуточные умозаключения, составляющие упомянутую последовательность. Какой бы длинной, запутанной или даже концептуально неочевидной ни была цепь умозаклю­чений, само рассуждение в основе своей остается принципиаль­но неопровержимым и логически безупречным, а автор его ис­кренне верит в свою правоту. Ни один математик не согласит­ся с предположением о том, что на самом-то деле все его дей­ствия определяются какими-то совершенно иными процедурами, о которых он ничего не знает и в которые не верит, но кото­рые, возможно, неким непостижимым образом исподволь влияют на его убеждения.

Разумеется, в этом отношении математики могут и ошибать­ся. Может быть, и впрямь существует какая-то алгоритмическая процедура, которая руководит всем математическим мышлением, оставаясь при этом неизвестной самим математикам. Всерьез принять такую возможность, пожалуй, легче людям, далеким от математики, нежели большинству из тех, для кого математика является профессией. Полагая, что деятельность математика не сводится к простому выполнению некоего неизвестного (и непо­стижимого) алгоритма (равно как и алгоритма, в существовании которого он испытывает сомнения), это самое большинство ока­зывается как нельзя более правым, в чем я и постараюсь убедить читателя в этой главе. Разумеется, полностью исключить воз­можность того, что суждения и убеждения математиков и в самом деле определяются какими-то неизвестными и неосознаваемыми факторами, нельзя; однако, даже если так оно и есть, я полагаю, что такие факторы не имеют ничего общего с алгоритмически описываемыми процедурами.

Весьма поучительным представляется рассмотреть точки зрения двух выдающихся мыслителей от математики, которым мы, собственно говоря, и обязаны идеями, приведшими нас к утверждению . Что, в самом деле, думал по этому поводу Гёдель? А Тьюринг? Примечательно, что, исходя из одинако­вых математических данных, они пришли к противоположным, в сущности, выводам. Следует, впрочем, пояснить, что оба вы­вода находятся в полном согласии с утверждением. Гёдель, по всей видимости, полагал, что разум, вообще говоря, не ограни­чен не только необходимостью выступать исключительно в ка­честве вычислительной сущности, но и конечными физическими параметрами самого мозга. Он даже упрекал Тьюринга за то, что тот не допускал такой возможности. По словам Хао Вана ([374], с. 326, см. также Собрание сочинений Гёделя, т. 2 [158], с. 297), соглашаясь с обоими, вытекающими из позиции Тьюрин­га положениями, т. е. с тем, что «мозг, в сущности, функциони­рует подобно цифровому компьютеру», и с тем, что «физические законы, равно как и наблюдаемые следствия из них, обладают конечным пределом точности», Гёдель напрочь отвергал утвер­ждение Тьюринга о неотделимости разума от материи, считая это «свойственным эпохе предрассудком». Таким образом, согласно Гёделю, сам по себе физический мозг действует исключительно как вычислитель, разум же по отношению к мозгу представляет собой нечто высшее, вследствие чего активность разума оказы­вается свободной от ограничений, налагаемых вычислительны­ми законами, управляющими поведением мозга как физического объекта. Гёдель, судя по его собственным словам), не считал, что утверждениеможно рассматривать в качестве доказа­тельства его тезиса о невычислимости деятельности разума:

«С другой стороны, учитывая доказанное ранее, следует допустить принципиальную возможность существова­ния (и даже эмпирической реализации) некоей машины для доказательства теорем, каковая машина в сущности представляет собой эквивалент математической интуи­ции, однако доказать эту эквивалентность невозмож­но, как невозможно доказать и то, что на выходе такой машины мы будем получать только корректные теоре­мы конечной теории чисел».

Надо сказать, что вышеприведенное допущение ни в коей ме­ре не противоречит(и я ничуть не сомневаюсь, что Гёделю был хорошо известен тот недвусмысленный вывод, какой в моей формулировке получил обозначение). Гёдель допускал логи­ческую возможность того, что разум математика может функ­ционировать в соответствии с некоторым алгоритмом, о котором сам математик не знает, либо знает, но в таком случае не может быть однозначно уверен в его обоснованности (... доказать ... невозможно, ... только корректные теоремы ...). В соответствии с моей собственной терминологией такой алгоритм следует отнести к категории «непознаваемо обоснованных». Разумеется, совсем иное дело действительно поверить в возможность того, что деятельность разума математика и в самом деле определяется таким вот непознаваемо обоснованным алгоритмом. Похоже, сам Гёдель в это так и не поверил — и оказался в результате окружен компанией мистиков (точка зрения ), которые полагают, что средствами науки о феноменах физического мира разум объяс­нить невозможно.

Что же касается Тьюринга, то он, по-видимому, мистиче­скую точку зрения не принял, будучи в то же время солидарен с Гёделем в том, что мозг, как и всякий другой физический объ­ект, должен функционировать каким-либо вычислимым образом (вспомним о «тезисе Тьюринга», § 1.6). Таким образом, Тьюрингу пришлось искать какой-то другой способ обойти затруднение в лице утверждения. При этом особенно значимым ему показал­ся тот факт, что математикам-людям свойственно делать ошибки; если мы хотим, чтобы наш компьютер стал подлинно разумным, следует позволить ему хоть иногда ошибаться:

«Иными словами, это означает, что если мы требуем от машины непогрешимости, то не стоит ожидать от нее еще и разумности. Существует несколько теорем, суть которых почти буквально сводится к вышеприве­денному утверждению. Однако в этих теоремах ничего не говорится о степени разумности, которую нам мо­жет продемонстрировать машина, не претендующая на непогрешимость».

Под «теоремами» Тьюринг, вне всякого сомнения, подразумева­ет теорему Гёделя и другие аналогичные теоремы — такие, на­пример, как его собственная, «вычислительная» версия теоремы Гёделя. То есть, по Тьюрингу, получается, что наиболее суще­ственной способностью человеческого математического мышле­ния является способность ошибаться, благодаря которой свой­ственное (предположительно) разуму неточно-алгоритмическое функционирование обеспечивает большую мощность, нежели возможно получить посредством каких угодно полностью об­основанных алгоритмических процедур. Исходя из этого до­пущения, Тьюринг предложил способ обойти ограничение, на­лагаемое следствиями из теоремы Гёделя: мыслительная деятельность математика подчиняется-таки некоему алгорит­му, только не «непознаваемо обоснованному», а формаль­но необоснованному. Таким образом, точка зрения Тьюрин­га приходит в полное согласие с утверждением , а сам Тьюринг, по-видимому, присоединяется к сторонникам точ­ки зрения,.

Завершая дискуссию, я хотел бы представить мои собствен­ные причины усомниться в том, что «необоснованность» управ­ляющего разумом математика алгоритма может послужить под­линным объяснением тому, что в этом самом разуме проис­ходит. Как бы ни обстояло дело в действительности, в самой идее о том, что превосходство человеческого разума над точной машиной достигается за счет неточности разума, мне видит­ся какое-то глубинное противоречие, особенно когда речь — как в нашем случае — идет о способности математика от­крывать неопровержимые математические истины, а не о его оригинальности или творческих способностях. Порази­тельно, что два великих мыслителя, какими, несомненно, явля­ются Гёдель и Тьюринг, руководствуясь соображениями вроде утверждения, пришли к выводам (пусть и различным), кото­рые многие из нас склонны считать, скажем так, маловероятны­ми. Кроме того, весьма интересно поразмыслить о том, к каким бы выводам они пришли, имей они шанс хоть сколько-нибудь всерьез предположить, что физический процесс может иногда оказаться в основе своей невычислимым — в соответствии с точкой зрения, ради продвижения которой и была написана эта книга.

В последующих разделах (особенно, в §§3.2—3.22) я пред­ставлю вашему вниманию несколько детальных обоснований (некоторые из них довольно сложны, запутаны или специальны), целью которых является демонстрация неспособности вычисли­тельных моделейвыступить в качестве вероятной основы для исследования феномена математического понимания. Если читатель не нуждается в подобном убеждении либо не склонен погружаться в детали, то я бы порекомендовал ему (или ей) все же начать чтение, а затем, когда уж совсем надоест, переходить сразу к итоговому воображаемому диалогу (§3.23). Если у вас затем снова появится желание вернуться к пропущенным рассу­ждениям, буду только рад, если же нет — забудьте о них и читайте дальше.

В главе 2 была предпринята попытка продемонстрировать мощь и строгий характер аргументации в пользу утверждения (обозначенного буквой), суть которого заключается в том, что математическое понимание не может являться результатом при­менения какого-либо осмысленно осознаваемого и полностью достоверного алгоритма (или, что то же самое, алгоритмов; см. возражение Q1). В приводимых рассуждениях, однако, ни словом не упомянуто еще об одной возможности, существенно более се­рьезной и ничуть не противоречащей утверждению, а имен­но: убежденность математика в истинности своих выводов может оказаться результатом применения им некоего неизвестного и неосознаваемого алгоритма, или же, возможно, математик при­меняет какой-то вполне постижимый алгоритм, однако при этом не может знать наверняка (или хотя бы искренне верить), что вы­воды его являются целиком и полностью результатом применения этого самого алгоритма. Ниже я покажу, что, хотя подобные до­пущения и вполне приемлемы с логической точки зрения, вряд ли их можно счесть хоть сколько-нибудь правдоподобными.

Прежде всего следует указать на то, что тщательно вы­страивая последовательности умозаключений (вполне, заметим, осознанных) с целью установления той или иной математиче­ской истины, математики вовсе не считают, что они лишь слепо следуют неким неосознаваемым правилам, будучи при этом не в состоянии постичь эти правила ни рассудком, ни верой. На­против, они твердо знают, что их аргументация опирается ис­ключительно на непреложные истины — в основе своей, суще­ственно «очевидные»; столь же непреложными, на их взгляд, являются и все промежуточные умозаключения, составляющие упомянутую последовательность. Какой бы длинной, запутанной или даже концептуально неочевидной ни была цепь умозаклю­чений, само рассуждение в основе своей остается принципиаль­но неопровержимым и логически безупречным, а автор его ис­кренне верит в свою правоту. Ни один математик не согласит­ся с предположением о том, что на самом-то деле все его дей­ствия определяются какими-то совершенно иными процедурами, о которых он ничего не знает и в которые не верит, но кото­рые, возможно, неким непостижимым образом исподволь влияют на его убеждения.

Разумеется, в этом отношении математики могут и ошибать­ся. Может быть, и впрямь существует какая-то алгоритмическая процедура, которая руководит всем математическим мышлением, оставаясь при этом неизвестной самим математикам. Всерьез принять такую возможность, пожалуй, легче людям, далеким от математики, нежели большинству из тех, для кого математика является профессией. Полагая, что деятельность математика не сводится к простому выполнению некоего неизвестного (и непо­стижимого) алгоритма (равно как и алгоритма, в существовании которого он испытывает сомнения), это самое большинство ока­зывается как нельзя более правым, в чем я и постараюсь убедить читателя в этой главе. Разумеется, полностью исключить воз­можность того, что суждения и убеждения математиков и в самом деле определяются какими-то неизвестными и неосознаваемыми факторами, нельзя; однако, даже если так оно и есть, я полагаю, что такие факторы не имеют ничего общего с алгоритмически описываемыми процедурами.

Весьма поучительным представляется рассмотреть точки зрения двух выдающихся мыслителей от математики, которым мы, собственно говоря, и обязаны идеями, приведшими нас к утверждению . Что, в самом деле, думал по этому поводу Гёдель? А Тьюринг? Примечательно, что, исходя из одинако­вых математических данных, они пришли к противоположным, в сущности, выводам. Следует, впрочем, пояснить, что оба вы­вода находятся в полном согласии с утверждением. Гёдель, по всей видимости, полагал, что разум, вообще говоря, не ограни­чен не только необходимостью выступать исключительно в ка­честве вычислительной сущности, но и конечными физическими параметрами самого мозга. Он даже упрекал Тьюринга за то, что тот не допускал такой возможности. По словам Хао Вана ([374], с. 326, см. также Собрание сочинений Гёделя, т. 2 [158], с. 297), соглашаясь с обоими, вытекающими из позиции Тьюрин­га положениями, т. е. с тем, что «мозг, в сущности, функциони­рует подобно цифровому компьютеру», и с тем, что «физические законы, равно как и наблюдаемые следствия из них, обладают конечным пределом точности», Гёдель напрочь отвергал утвер­ждение Тьюринга о неотделимости разума от материи, считая это «свойственным эпохе предрассудком». Таким образом, согласно Гёделю, сам по себе физический мозг действует исключительно как вычислитель, разум же по отношению к мозгу представляет собой нечто высшее, вследствие чего активность разума оказы­вается свободной от ограничений, налагаемых вычислительны­ми законами, управляющими поведением мозга как физического объекта. Гёдель, судя по его собственным словам), не считал, что утверждениеможно рассматривать в качестве доказа­тельства его тезиса о невычислимости деятельности разума:

«С другой стороны, учитывая доказанное ранее, следует допустить принципиальную возможность существова­ния (и даже эмпирической реализации) некоей машины для доказательства теорем, каковая машина в сущности представляет собой эквивалент математической интуи­ции, однако доказать эту эквивалентность невозмож­но, как невозможно доказать и то, что на выходе такой машины мы будем получать только корректные теоре­мы конечной теории чисел».

Надо сказать, что вышеприведенное допущение ни в коей ме­ре не противоречит(и я ничуть не сомневаюсь, что Гёделю был хорошо известен тот недвусмысленный вывод, какой в моей формулировке получил обозначение). Гёдель допускал логи­ческую возможность того, что разум математика может функ­ционировать в соответствии с некоторым алгоритмом, о котором сам математик не знает, либо знает, но в таком случае не может быть однозначно уверен в его обоснованности (... доказать ... невозможно, ... только корректные теоремы ...). В соответствии с моей собственной терминологией такой алгоритм следует отнести к категории «непознаваемо обоснованных». Разумеется, совсем иное дело действительно поверить в возможность того, что деятельность разума математика и в самом деле определяется таким вот непознаваемо обоснованным алгоритмом. Похоже, сам Гёдель в это так и не поверил — и оказался в результате окружен компанией мистиков (точка зрения ), которые полагают, что средствами науки о феноменах физического мира разум объяс­нить невозможно.

Что же касается Тьюринга, то он, по-видимому, мистиче­скую точку зрения не принял, будучи в то же время солидарен с Гёделем в том, что мозг, как и всякий другой физический объ­ект, должен функционировать каким-либо вычислимым образом (вспомним о «тезисе Тьюринга», § 1.6). Таким образом, Тьюрингу пришлось искать какой-то другой способ обойти затруднение в лице утверждения. При этом особенно значимым ему показал­ся тот факт, что математикам-людям свойственно делать ошибки; если мы хотим, чтобы наш компьютер стал подлинно разумным, следует позволить ему хоть иногда ошибаться:

«Иными словами, это означает, что если мы требуем от машины непогрешимости, то не стоит ожидать от нее еще и разумности. Существует несколько теорем, суть которых почти буквально сводится к вышеприве­денному утверждению. Однако в этих теоремах ничего не говорится о степени разумности, которую нам мо­жет продемонстрировать машина, не претендующая на непогрешимость».

Под «теоремами» Тьюринг, вне всякого сомнения, подразумева­ет теорему Гёделя и другие аналогичные теоремы — такие, на­пример, как его собственная, «вычислительная» версия теоремы Гёделя. То есть, по Тьюрингу, получается, что наиболее суще­ственной способностью человеческого математического мышле­ния является способность ошибаться, благодаря которой свой­ственное (предположительно) разуму неточно-алгоритмическое функционирование обеспечивает большую мощность, нежели возможно получить посредством каких угодно полностью об­основанных алгоритмических процедур. Исходя из этого до­пущения, Тьюринг предложил способ обойти ограничение, на­лагаемое следствиями из теоремы Гёделя: мыслительная деятельность математика подчиняется-таки некоему алгорит­му, только не «непознаваемо обоснованному», а формаль­но необоснованному. Таким образом, точка зрения Тьюрин­га приходит в полное согласие с утверждением , а сам Тьюринг, по-видимому, присоединяется к сторонникам точ­ки зрения,.

Завершая дискуссию, я хотел бы представить мои собствен­ные причины усомниться в том, что «необоснованность» управ­ляющего разумом математика алгоритма может послужить под­линным объяснением тому, что в этом самом разуме проис­ходит. Как бы ни обстояло дело в действительности, в самой идее о том, что превосходство человеческого разума над точной машиной достигается за счет неточности разума, мне видит­ся какое-то глубинное противоречие, особенно когда речь — как в нашем случае — идет о способности математика от­крывать неопровержимые математические истины, а не о его оригинальности или творческих способностях. Порази­тельно, что два великих мыслителя, какими, несомненно, явля­ются Гёдель и Тьюринг, руководствуясь соображениями вроде утверждения, пришли к выводам (пусть и различным), кото­рые многие из нас склонны считать, скажем так, маловероятны­ми. Кроме того, весьма интересно поразмыслить о том, к каким бы выводам они пришли, имей они шанс хоть сколько-нибудь всерьез предположить, что физический процесс может иногда оказаться в основе своей невычислимым — в соответствии с точкой зрения, ради продвижения которой и была написана эта книга.

В последующих разделах (особенно, в §§3.2—3.22) я пред­ставлю вашему вниманию несколько детальных обоснований (некоторые из них довольно сложны, запутаны или специальны), целью которых является демонстрация неспособности вычисли­тельных моделейвыступить в качестве вероятной основы для исследования феномена математического понимания. Если читатель не нуждается в подобном убеждении либо не склонен погружаться в детали, то я бы порекомендовал ему (или ей) все же начать чтение, а затем, когда уж совсем надоест, переходить сразу к итоговому воображаемому диалогу (§3.23). Если у вас затем снова появится желание вернуться к пропущенным рассу­ждениям, буду только рад, если же нет — забудьте о них и читайте дальше.