3.8. Эзотерические математики не от мира сего как результат естественного отбора

Какую же роль играет во всем этом естественный отбор? Возможно ли, чтобы естественным путем возник некий алго­ритм(или несколько таких алгоритмов), обусловливающий на­ше математическое понимание и при этом непознаваемый сам по себе (если верить допущению), либо лишь в отношении выпол­няемых им функций (в соответствии с допущением)? Начнем с повторения того, о чем мы уже говорили в началеВ процессе получения своих предположительно неопровержимо истинных математических выводов математики вовсе не считают, что они просто следуют некоему набору непознаваемых правил —правил настолько сложных, что, с математической точки зрения, они непостижимы в принципе. Напротив, они полагают, что эти выводы представляют собой результат неких обоснованных рас­суждений, пусть часто длинных и внешне запутанных, которые в конечном счете опираются на четкие неопровержимые истины, понятные, в принципе, любому.

Более того, рассматривая ситуацию с позиций здравого смысла или на уровне логических дескрипций, мы можем со всей определенностью утверждать, что математики и в самом деле де­лают то, что, как им кажется, они делают. Этот факт не подлежит никакому сомнению, а важность его переоценить невозможно. Если мы полагаем, что математики в своей деятельности следуют некоему набору непознаваемых и непостижимых вычислитель­ных правил (в соответствии с возможными вариантами), то, значит, они делают еще и это — одновременно с тем, что, как им кажется, они делают, но на другом уровне дескрипции. Каким-то образом алгоритмическое следование правилам должно давать тот же самый результат, что дают математическое понимание и интуиция — по крайней мере, на практике. Если уж мы твердо вознамерились стать приверженцами либо, либо, то нам предстоит попытаться поверить в то, что такая возможность яв­ляется вполне правдоподобной.

Нужно помнить и о том, какие блага дают эти алгоритмы. Предполагается, что они наделяют своего «носителя» — по край­ней мере, в принципе — способностью составлять корректные математические суждения об абстрактных сущностях, весьма да­леких от непосредственного жизненного опыта, что, по большей части, не дает этому самому носителю сколько-нибудь заметных практических преимуществ. Любой, кому хоть раз доводилось заглянуть в какой-нибудь современный чисто математический научный журнал, знает, насколько далеки заботы математиков от каких бы то ни было практических вопросов. Тонкости тео­ретических обоснований, обычно публикуемых в таких научных журналах, непосредственно доступны лишь очень небольшому количеству людей; и все же каждое такое рассуждение состоит, в конечном счете, из каких-то элементарных шагов, и каждый та­кой шаг может, в принципе, понять любой мыслящий индивиду­ум, даже если речь идет об абстрактных рассуждениях о сложно определяемых бесконечных множествах. Не следует забывать и о том, что алгоритм — или, возможно, целый ряд альтернативных, но математически эквивалентных, алгоритмов, — который дает человеку потенциальную способность понимать упомянутые рассуждения, каким-то образом был изначально записан не где-нибудь, а в нуклеотидных последовательностях молекулы ДНК. Если мы в это верим, то нам следует весьма серьезно задуматься, как же так получилось, что подобный алгоритм (или алгоритмы) развился в результате естественного отбора. Очевидно, что да­же в настоящее время профессия математика не дает никаких преимуществ с точки зрения борьбы за существование. (Подо­зреваю, что ее можно даже считать неблагоприятным фактором. Вследствие своего взрывного темперамента и странноватых при­страстий пуристы со склонностью к математике имеют тенденцию заканчивать свой жизненный путь на какой-нибудь низкооплачи­ваемой академической службе — или и вовсе безработными.) Го­раздо правдоподобнее выглядит иная картина: способность рас­суждать о весьма абстрактно определяемых бесконечных множе­ствах, бесконечных множествах бесконечных множеств и т. д. ни­каких особых преимуществ в борьбе за выживание нашим дале­ким предкам дать просто не могла. Этих самых предков заботили практические повседневные проблемы — такие, возможно, как постройка убежищ, изготовление одежды, изобретение ловушки для мамонтов или, несколько позднее, одомашнивание животных и выращивание урожая. (См. рис. 3.1.)

Разумно было бы предположить, что упомянутые преимуще­ства, которыми, очевидно, все же обладали наши предки, про­исходили из качеств, необходимых для решения как раз таких, практических проблем, а уже потом, гораздо позднее, выясни­лось, что эти же качества замечательно подходят и для решения проблем математических — этакий побочный результат. Во вся­ком случае, такой ход событий полагаю более или менее прав­доподобным я сам. Развивая это предположение, можно допу­стить, что под давлением естественного отбора человек каким-то образом приобрел или развил в себе некую общую способность понимать. Эта способность понимать, проникать в суть вещей, не была связана с какими-то конкретными областями его дея­тельности и оказывалась полезной буквально во всем. То же со­оружение жилищ или ловушек для мамонтов существенно услож­нилось бы, не обладай человек способностью понимать веши и явления в их общности. При этом лично я полагаю, что Homo sapiens был отнюдь не уникален в своей способности понимать.

Такой же способностью обладали, возможно, и многие другие животные, составлявшие человеку конкуренцию в борьбе за су­ществование, однако обладали в меньшей степени, в результате чего человек, в силу более интенсивного развития этой способ­ности, получил над ними весьма существенное преимущество.

Сложности с такой точкой зрения возникают как раз тогда, когда мы начинаем рассматривать наследуемую способность к пониманию как нечто по своей природе алгоритмическое. Как нам уже известно из предшествующих рассуждений и доказательств, любая (алгоритмическая) способность к пониманию, достаточ­но сильная для того, чтобы ее обладатель оказался в состоянии разобраться в тонкостях математических обоснований, в частно­сти, гёделевского доказательства в представленном мною вари­анте, должна быть обусловлена процедурой настолько замысло­ватой и непостижимой, что о ней (или ее роли) не может знать даже сам обладатель этой способности. Наш прошедший че­рез испытания естественного отбора гипотетический алгоритм, по всей видимости, достаточно силен, ведь еще во времена на­ших далеких предков он уже включал в область своей потен-

циальной применимости правила всех формальных систем, рас­сматриваемых сегодня математиками как безоговорочно непро­тиворечивые (или неопровержимо обоснованные, если речь идет о-высказываниях,, комментарий к). Сюда почти наверняка входят и правила формальной системы Цермело— Френкеля, или, возможно, ее расширенного варианта, систе­мы(иначе говоря, самойс добавлением аксиомы вы­бора) — системы (см.и 2.10, комментарий к), ко­торую многие математики сегодня рассматривают как источник абсолютно всех необходимых для обычной математики методов построения рассуждений, — а также все частные формальные системы, которые могут быть получены из системыпосред­ством применения к ней процедуры гёделизации сколько угодно раз, и кроме того, все другие формальные системы, которые могут быть получены математиками посредством тех или иных озарений и рассуждений — скажем, на основании открытия, суть которого состоит в том, что системы, полученные в результате упомянутой гёделизации, всегда являются неопровержимо обоснованными, или исходя из иных рассуждений еще более основополагающего характера. Такой алгоритм должен был также включать в себя (в виде собственных частных экземпляров) потенциальные спо­собности к установлению тонких различий, отделению справед­ливых аргументов от ничем не обоснованных во всех тех, тогда еще не открытых, областях математики, которые сегодня окку­пируют страницы специальных научных журналов. Все выше­перечисленные способности должны были оказаться каким-то образом закодированы внутри этого самого — гипотетического, непознаваемого или, если хотите, непостижимого — алгоритма, и вы хотите, чтобы мы поверили, что он возник исключительно в результате естественного отбора, в ответ на какие-то внешние условия, в которых нашим далеким предкам приходилось бороть­ся за выживание. Конкретная способность к отвлеченным мате­матическим рассуждениям не могла дать своему обладателю ни­каких непосредственных преимуществ в этой борьбе, и я со всей определенностью утверждаю, что для возникновения подобного алгоритма не существовало и не могло существовать никаких естественных причин.

Однако стоит нам допустить, что «способность понимать» имеет неалгоритмическую природу, как ситуация в корне меняет­ся. Теперь уже нет необходимости приписывать этой способности какую-то неимоверную сложность, вплоть до полной непозна-вамости или непостижимости. Более того, она может оказаться гораздо ближе к тому, что «математики, как им кажется, делают». Способность к пониманию представляется мне весьма простым и даже обыденным качеством. Ее сложно определить в каких-либо точных терминах, однако она настолько близка нам и привычна, что в принципиальную невозможность корректного моделирова­ния понимания посредством какой бы то ни было вычислитель­ной процедуры верится с трудом. И все же так оно и есть. Для создания подобной вычислительной модели необходима алгорит­мическая процедура, так или иначе учитывающая все возмож­ные варианты развития событий в будущем, — т. е. алгоритм, в котором должны быть, скажем так, предварительно запрограм­мированы ответы на все математические вопросы, с которыми нам когда-либо предстоит столкнуться. Если непосредственному программированию эти ответы не подлежат, то нужно обеспе­чить какие-то вычислительные способы для их отыскания. Как мы уже успели убедиться, если эти «вычислительные способы» (или «предварительное программирование») охватывают все, что когда-либо было или будет доступно человеческому пониманию, то сами они для человека становятся непостижимыми. Откуда же слепым эволюционным процессам, нацеленным исключительно на обеспечение выживания сильнейших, было «знать» о том, что такая-то непознаваемо обоснованная вычислительная процеду­ра окажется когда-то в будущем способной решать абстрактные математические задачи, не имеющие абсолютно никакого отно­шения к проблемам выживания?

Какую же роль играет во всем этом естественный отбор? Возможно ли, чтобы естественным путем возник некий алго­ритм(или несколько таких алгоритмов), обусловливающий на­ше математическое понимание и при этом непознаваемый сам по себе (если верить допущению), либо лишь в отношении выпол­няемых им функций (в соответствии с допущением)? Начнем с повторения того, о чем мы уже говорили в началеВ процессе получения своих предположительно неопровержимо истинных математических выводов математики вовсе не считают, что они просто следуют некоему набору непознаваемых правил —правил настолько сложных, что, с математической точки зрения, они непостижимы в принципе. Напротив, они полагают, что эти выводы представляют собой результат неких обоснованных рас­суждений, пусть часто длинных и внешне запутанных, которые в конечном счете опираются на четкие неопровержимые истины, понятные, в принципе, любому.

Более того, рассматривая ситуацию с позиций здравого смысла или на уровне логических дескрипций, мы можем со всей определенностью утверждать, что математики и в самом деле де­лают то, что, как им кажется, они делают. Этот факт не подлежит никакому сомнению, а важность его переоценить невозможно. Если мы полагаем, что математики в своей деятельности следуют некоему набору непознаваемых и непостижимых вычислитель­ных правил (в соответствии с возможными вариантами), то, значит, они делают еще и это — одновременно с тем, что, как им кажется, они делают, но на другом уровне дескрипции. Каким-то образом алгоритмическое следование правилам должно давать тот же самый результат, что дают математическое понимание и интуиция — по крайней мере, на практике. Если уж мы твердо вознамерились стать приверженцами либо, либо, то нам предстоит попытаться поверить в то, что такая возможность яв­ляется вполне правдоподобной.

Нужно помнить и о том, какие блага дают эти алгоритмы. Предполагается, что они наделяют своего «носителя» — по край­ней мере, в принципе — способностью составлять корректные математические суждения об абстрактных сущностях, весьма да­леких от непосредственного жизненного опыта, что, по большей части, не дает этому самому носителю сколько-нибудь заметных практических преимуществ. Любой, кому хоть раз доводилось заглянуть в какой-нибудь современный чисто математический научный журнал, знает, насколько далеки заботы математиков от каких бы то ни было практических вопросов. Тонкости тео­ретических обоснований, обычно публикуемых в таких научных журналах, непосредственно доступны лишь очень небольшому количеству людей; и все же каждое такое рассуждение состоит, в конечном счете, из каких-то элементарных шагов, и каждый та­кой шаг может, в принципе, понять любой мыслящий индивиду­ум, даже если речь идет об абстрактных рассуждениях о сложно определяемых бесконечных множествах. Не следует забывать и о том, что алгоритм — или, возможно, целый ряд альтернативных, но математически эквивалентных, алгоритмов, — который дает человеку потенциальную способность понимать упомянутые рассуждения, каким-то образом был изначально записан не где-нибудь, а в нуклеотидных последовательностях молекулы ДНК. Если мы в это верим, то нам следует весьма серьезно задуматься, как же так получилось, что подобный алгоритм (или алгоритмы) развился в результате естественного отбора. Очевидно, что да­же в настоящее время профессия математика не дает никаких преимуществ с точки зрения борьбы за существование. (Подо­зреваю, что ее можно даже считать неблагоприятным фактором. Вследствие своего взрывного темперамента и странноватых при­страстий пуристы со склонностью к математике имеют тенденцию заканчивать свой жизненный путь на какой-нибудь низкооплачи­ваемой академической службе — или и вовсе безработными.) Го­раздо правдоподобнее выглядит иная картина: способность рас­суждать о весьма абстрактно определяемых бесконечных множе­ствах, бесконечных множествах бесконечных множеств и т. д. ни­каких особых преимуществ в борьбе за выживание нашим дале­ким предкам дать просто не могла. Этих самых предков заботили практические повседневные проблемы — такие, возможно, как постройка убежищ, изготовление одежды, изобретение ловушки для мамонтов или, несколько позднее, одомашнивание животных и выращивание урожая. (См. рис. 3.1.)

Разумно было бы предположить, что упомянутые преимуще­ства, которыми, очевидно, все же обладали наши предки, про­исходили из качеств, необходимых для решения как раз таких, практических проблем, а уже потом, гораздо позднее, выясни­лось, что эти же качества замечательно подходят и для решения проблем математических — этакий побочный результат. Во вся­ком случае, такой ход событий полагаю более или менее прав­доподобным я сам. Развивая это предположение, можно допу­стить, что под давлением естественного отбора человек каким-то образом приобрел или развил в себе некую общую способность понимать. Эта способность понимать, проникать в суть вещей, не была связана с какими-то конкретными областями его дея­тельности и оказывалась полезной буквально во всем. То же со­оружение жилищ или ловушек для мамонтов существенно услож­нилось бы, не обладай человек способностью понимать веши и явления в их общности. При этом лично я полагаю, что Homo sapiens был отнюдь не уникален в своей способности понимать.

Такой же способностью обладали, возможно, и многие другие животные, составлявшие человеку конкуренцию в борьбе за су­ществование, однако обладали в меньшей степени, в результате чего человек, в силу более интенсивного развития этой способ­ности, получил над ними весьма существенное преимущество.

Сложности с такой точкой зрения возникают как раз тогда, когда мы начинаем рассматривать наследуемую способность к пониманию как нечто по своей природе алгоритмическое. Как нам уже известно из предшествующих рассуждений и доказательств, любая (алгоритмическая) способность к пониманию, достаточ­но сильная для того, чтобы ее обладатель оказался в состоянии разобраться в тонкостях математических обоснований, в частно­сти, гёделевского доказательства в представленном мною вари­анте, должна быть обусловлена процедурой настолько замысло­ватой и непостижимой, что о ней (или ее роли) не может знать даже сам обладатель этой способности. Наш прошедший че­рез испытания естественного отбора гипотетический алгоритм, по всей видимости, достаточно силен, ведь еще во времена на­ших далеких предков он уже включал в область своей потен-

циальной применимости правила всех формальных систем, рас­сматриваемых сегодня математиками как безоговорочно непро­тиворечивые (или неопровержимо обоснованные, если речь идет о-высказываниях,, комментарий к). Сюда почти наверняка входят и правила формальной системы Цермело— Френкеля, или, возможно, ее расширенного варианта, систе­мы(иначе говоря, самойс добавлением аксиомы вы­бора) — системы (см.и 2.10, комментарий к), ко­торую многие математики сегодня рассматривают как источник абсолютно всех необходимых для обычной математики методов построения рассуждений, — а также все частные формальные системы, которые могут быть получены из системыпосред­ством применения к ней процедуры гёделизации сколько угодно раз, и кроме того, все другие формальные системы, которые могут быть получены математиками посредством тех или иных озарений и рассуждений — скажем, на основании открытия, суть которого состоит в том, что системы, полученные в результате упомянутой гёделизации, всегда являются неопровержимо обоснованными, или исходя из иных рассуждений еще более основополагающего характера. Такой алгоритм должен был также включать в себя (в виде собственных частных экземпляров) потенциальные спо­собности к установлению тонких различий, отделению справед­ливых аргументов от ничем не обоснованных во всех тех, тогда еще не открытых, областях математики, которые сегодня окку­пируют страницы специальных научных журналов. Все выше­перечисленные способности должны были оказаться каким-то образом закодированы внутри этого самого — гипотетического, непознаваемого или, если хотите, непостижимого — алгоритма, и вы хотите, чтобы мы поверили, что он возник исключительно в результате естественного отбора, в ответ на какие-то внешние условия, в которых нашим далеким предкам приходилось бороть­ся за выживание. Конкретная способность к отвлеченным мате­матическим рассуждениям не могла дать своему обладателю ни­каких непосредственных преимуществ в этой борьбе, и я со всей определенностью утверждаю, что для возникновения подобного алгоритма не существовало и не могло существовать никаких естественных причин.

Однако стоит нам допустить, что «способность понимать» имеет неалгоритмическую природу, как ситуация в корне меняет­ся. Теперь уже нет необходимости приписывать этой способности какую-то неимоверную сложность, вплоть до полной непозна-вамости или непостижимости. Более того, она может оказаться гораздо ближе к тому, что «математики, как им кажется, делают». Способность к пониманию представляется мне весьма простым и даже обыденным качеством. Ее сложно определить в каких-либо точных терминах, однако она настолько близка нам и привычна, что в принципиальную невозможность корректного моделирова­ния понимания посредством какой бы то ни было вычислитель­ной процедуры верится с трудом. И все же так оно и есть. Для создания подобной вычислительной модели необходима алгорит­мическая процедура, так или иначе учитывающая все возмож­ные варианты развития событий в будущем, — т. е. алгоритм, в котором должны быть, скажем так, предварительно запрограм­мированы ответы на все математические вопросы, с которыми нам когда-либо предстоит столкнуться. Если непосредственному программированию эти ответы не подлежат, то нужно обеспе­чить какие-то вычислительные способы для их отыскания. Как мы уже успели убедиться, если эти «вычислительные способы» (или «предварительное программирование») охватывают все, что когда-либо было или будет доступно человеческому пониманию, то сами они для человека становятся непостижимыми. Откуда же слепым эволюционным процессам, нацеленным исключительно на обеспечение выживания сильнейших, было «знать» о том, что такая-то непознаваемо обоснованная вычислительная процеду­ра окажется когда-то в будущем способной решать абстрактные математические задачи, не имеющие абсолютно никакого отно­шения к проблемам выживания?