3.3. Способен ли познаваемый алгоритм непознаваемым образом моделировать математическое понимание?

Перейдем к случаю II и попытаемся серьезно рассмотреть возможность того, что математическое понимание на деле экви­валентно некоторому сознательно познаваемому алгоритму либо формальной системе, однако эквивалентность эта принципиаль­но непознаваема. Иными словами, даже при условии познавае­мости той или иной гипотетической формальной системымы никоим образом не можем убедиться в том, что именно эта кон­кретная система действительно лежит в основе нашего матема­тического понимания. Правдоподобно ли такое предположение?

Если упомянутая гипотетическая формальная системане является уже известной, то в этом случае нам, как и ранее, следует полагать, что она может, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь таковой стать. Вообразим, что этот светлый день наконец наступил, и допустим, что в нашем распоряжении име­ется точное и подробное описание этой самой системы. Предпо­лагается, что формальная система, будучи, возможно, крайне замысловатой, все же достаточно проста для того, чтобы мы ока­зались способны, по крайней мере, в принципе, постичь ее на вполне сознательном уровне. При этом нам не позволено испы­тывать уверенность в том, что системадействительно целиком и полностью охватывает всю совокупность наших твердых математических убеждений и интуитивных озарений (по край­ней мере в том, что касается-высказываний). Это, вообще-то вполне логичное предположение оказывается на деле в высшей степени неправдоподобным, в причинах чего мы и попытаемся разобраться. Более того, несколько позднее я покажу, что даже будь оно истинным, это не принесло бы никакой радости тем ИИ-энтузиастам, которые видят смысл жизни в создании робота-математика. Мы еще поговорим об этом в конце данного раздела и — более подробно — в §§ 3.15 и 3.29.

Дабы подчеркнуть тот факт, что существование подобной си­стемы F и в самом деле следует полагать логически возможным, вспомним о «машине для доказательства теорем», возможности создания которой, согласно Гёделю, логически исключить нельзя (см. цитату в §3.1). В сущности, такую «машину», как я поясню ниже, как раз и можно представить в виде некоторой алгоритми­ческой процедуры F, соответствующей вышеприведенным пунк­там II или III. Как отмечает Гёдель, его гипотетическая машина для доказательства теорем может быть «эмпирически реализо­вана», что соответствует требованию «сознательной познаваемо­сти» процедуры F в случае II; если же подобная реализация ока­зывается невозможной, то мы, по сути, имеем дело со случаем III.

На основании своей знаменитой теоремы Гёдель утверждал, что невозможно доказать «эквивалентность» процедуры F(или, что то же самое, формальной системысм. §2.9) «математи­ческой интуиции» (см. ту же цитату). В определении случая II (и, как следствие, III) я сформулировал это фундаментальное ограничение, налагаемое на, несколько по-иному: «Тот факт, что математическое понимание основывается именно на этой ал­горитмической процедуре, остается как неосознаваемым, так и непознаваемым».

Это ограничение (необходимость в котором следует из об­основанного в §3.2 исключения случая I) со всей очевидностью приводит к невозможности показать, что процедураэквива­лентна математической интуиции, поскольку посредством подоб­ной демонстрации мы могли бы однозначно убедиться в том, что процедура действительно выполняет ту роль, о самом факте выполнения которой мы предположительно не в состоянии ни­чего знать. И наоборот, если бы эта самая роль процедуры (роль фундаментального алгоритма, в соответствии с которым осуществляется постижение математических истин) допускала осознанное познание (в том смысле, что мы могли бы в полной мере постичь, как именно процедуравыполняет эту свою роль), то нам пришлось бы признать и обоснованность. Ибо если мы не допускаем, что процедурацеликом и полностью обосно­вана, то это означает, что мы отвергаем какие-то ее следствия. А ее следствиями являются как раз те математические положения (или хотя бы только-высказывания), которые мы полагаем-таки истинными. Таким образом знание роли процедурырав­нозначно наличию доказательствахотя такое «доказатель­ство» и нельзя считать формальным доказательством в рамках некоторой заранее заданной формальной системы.

Отметим также, что истинные-высказывания можно рас­сматривать в качестве примеров тех самых «корректных теорем конечной теории чисел», о которых говорил Гёдель. Более то­го, если понятие «конечной теории чисел» включает в себя-операцию «отыскания наименьшего натурального числа, обла­дающего таким-то свойством», в каковом случае оно включает в себя и процедуры, выполняемые машинами Тьюринга (см. ко­нец § 2.8), то тогда частью конечной теории чисел следует считать все-высказывания. Иными словами, получается, что доказа­тельство гёделевского типа не дает четкого способа исключить из рассмотрения случай II, руководствуясь одними лишь строго логическими основаниями — по крайней мере, до тех пор, пока мы полагаем, что Гёдель был прав.

С другой стороны, можно задаться вопросом об общем правдоподобии предположения II. Рассмотрим, что повлечет за собой существование познаваемой процедурынепознаваемым образом эквивалентной человеческому математическому пони­манию (заведомо непогрешимому). Как уже отмечалось, ничто не мешает нам мысленно перенестись в некое будущее время, в ко­тором эта процедура окажется обнаружена и подробно описана. Известно также (см. §2.7), что формальная система задается в виде некоторого набора аксиом и правил действия. Теоремы системыпредставляют собой утверждения (иначе называемые «положениями»), выводимые из аксиом с помощью правил дей­ствия, причем все теоремы можно сформулировать посредством того же набора символов, который используется для выражения аксиом. А теперь представим себе, что теоремы системыв точ­ности совпадают с теми положениями (сформулированными с помощью упомянутых символов), неопровержимую истинность ко­торых математики, в принципе, способны самостоятельно уста­новить.

Допустим на минуту, что перечень аксиом системыявля­ется конечным. Сами же аксиомы суть не что иное, как част­ные случаи соответствующих теорем. Однако неопровержимую истинность каждой теоремы мы можем, в принципе, постичь по­средством математического понимания и интуиции. Следователь­но, каждая аксиома в отдельности должна выражать нечто та­кое, что по крайней мере, в принципе, постижимо посредством этого самого математического понимания. Иными словами, для каждой отдельной аксиомы когда-нибудь непременно настанет (либо принципиально возможно, что настанет) время, когда ее неопровержимая истинность будет однозначно установлена. Так, рассматривая одну за другой, мы сможем устанавливать истин­ность любой отдельно взятой аксиомы системыТаким образом, в конечном итоге будет установлена (либо принципиально воз­можно, что будет установлена) неопровержимая истинность всех отдельно взятых аксиом. Соответственно, настанет время, когда будет установлена неопровержимая истинность всей совокупно­сти аксиом системыв целом.

А как быть с правилами действия? Можем ли мы предпо­ложить, что настанет время, когда будет однозначно установлена неопровержимая обоснованность этих правил? Во многих фор­мальных системах правилами действия служат достаточно про­стые утверждения, каждое из которых с очевидностью «неопро­вержимо», например: «Если установлено, что высказывание является теоремой и высказываниеявляется теоремой, то можно заключить, что высказываниетакже является те­оремой» (относительно символа«следует» см. НРК, с. 393, или [222]). Признать неоспоримую справедливость таких пра­вил совсем не трудно. С другой стороны, среди правил действия встречаются и гораздо более тонкие отношения, справедливость которых вовсе не так очевидна; прежде чем прийти к однознач­ному решению относительно того, считать то или иное такое пра­вило «неопровержимо обоснованным» или нет, нам, возможно, потребуется прибегнуть к весьма подробному и тщательному ана­лизу. Более того, как мы вскоре убедимся, в наборе правил дей­ствия формальной системынеизбежно имеются такие правила, неоспоримая обоснованность которых не может быть достоверно установлена ни одним математиком — причем мы все еще пола­гаем, что число аксиом в системеконечно.

В чем же причина? Перенесемся в воображении в то са­мое время, когда уже однозначно установлена неопровержимая справедливость всех аксиом формальной системыПеред нами открывается замечательная возможность без помех рассмотреть всю системуцеликом. Попробуем допустить, что все правила действия системыможно также считать справедливыми безо всяких оговорок. Хотя предполагается, что мы еще не можем знать наверняка, что системадействительно включает в себя всю математику, которая в принципе доступна человеческому по­ниманию и интуиции, мы должны к настоящему моменту, по мень­шей мере, уже убедиться в том, что системаявляется неоспори­мо обоснованной, поскольку справедливость как ее аксиом, так и ее правил действия безоговорочно нами принимается. Следова­тельно, мы также должны уже быть уверены в том, что система непротиворечива. Не забываем, разумеется, и о том, что, в силу этой непротиворечивости, утверждениетакже должно быть истинным — более того, неопровержимо истинным! Однако, поскольку предполагается, что системафактически (хотя нам об этом неизвестно) включает в себя всю совокупность того, что безоговорочно доступно нашему пониманию, утверждение должно на деле представлять собой теорему системыСогласно теореме Гёделя, такое, вообще говоря, возможно только в том случае, если формальная системапротиворечива. Если же система F противоречива, то одной из теорем этой системы явля­ется утверждениеСледовательно, утверждение должно быть, в принципе, доступно нашему математическому по­ниманию — очевидное противоречие!

Несмотря на это, следует, по крайней мере, учесть саму воз­можность того, что математики действуют (не зная о том) в рам­ках системыкоторая является, по существу, необоснованной. К этому вопросу я еще вернусь в §3.4, пока же (в пределах данно­го раздела) будем полагать, что на самом деле процедуры, лежа­щие в основе математического понимания, целиком и полностью обоснованны. При данных обстоятельствах, если мы продолжаем настаивать на том, что все правила действия нашей формальной системыс конечным набором аксиом безоговорочно истинны, нам остается лишь признать, что противоречие действительно имеет место. Следовательно, среди правил действия системыдолжно быть по крайней мере одно правило, обоснованность ко­торого не может неопровержимо установить ни один математик (хотя в действительности это правило является обоснованным).

Все вышеприведенные рассуждения опирались на то до­пущение, что система задается конечным набором аксиом. В качестве возможного альтернативного решения можно пред­положить, что количество аксиом в системебесконечно. От­носительно этой возможности необходимо сделать некоторые комментарии. Для того чтобы системуможно было опреде­лить как формальную в требуемом смысле — т. е. как систему, в рамках которой всегда можно однозначно установить (посред­ством некоторой заранее заданной вычислительной процедуры), что предполагаемое доказательство того или иного положения действительно является доказательством в соответствии с пра­вилами системы, — необходимо, чтобы ее бесконечный набор аксиом можно было выразить каким-то конечно определяемым образом. Вообще говоря, всегда допускается некоторая свобода в отношении выбора конкретного способа представления фор­мальной системы, в соответствии с которым операции системы определяются либо как аксиомы, либо как правила действия. Так, стандартная аксиоматическая система теории множеств — си­стема Цермело—Френкеля (обозначаемая здесь как) — вклю­чает в себя бесконечное количество аксиом, выражаемых по­средством структур, называемых «схемами аксиом». Путем соот­ветствующего переформулирования системуможно выразить таким образом, что количество действительных аксиом станет конечным). Более того, действуя определенным образом, такое можно проделать с любой схемой аксиом, являющейся «фор­мальной» в требуемом нами вычислительном смысле.

Может создаться впечатление, что вышеприведенное рас­суждение (целью которого является исключение из списка воз­можных вариантов случаяприменимо к любой (обоснованной) системевне зависимости от того, конечно или бесконечно ко­личество ее аксиом. Это и в самом деле так, однако в процессе приведения бесконечной схемы аксиом к конечному виду мы мо­жем ввести новые правила действия, которые могут оказаться не столь самоочевидно обоснованными. Так, представляя себе, в со­ответствии с вышеизложенными соображениями, времена, когда нам станут известны все аксиомы и правила действия системы (при этом также предполагается, что все теоремы этой гипоте­тической системы в точности совпадают с теоремами, которые в принципе доступны человеческим пониманию и интуиции), мы никоим образом не можем быть уверены в принципиальной воз­можности неопровержимого установления обоснованности пра­вил действия такой системыв отличие от ее аксиом (даже если эти правила действительно являются обоснованными). Дело в том, что, в отличие от аксиом, правила действия не принадлежат к теоремам формальной системы. Мы же полагаем, что неопро­вержимо установить можно лишь обоснованность теорем си­стемы

Не совсем ясно, возможно ли продолжить данное рассужде­ние, оставаясь при этом в рамках строгой логики. Если мы пола­гаем справедливой возможностьто нам приходится признать, что существует некая формальная система(на основании ко­торой человек постигает истинность-высказываний), целиком и полностью понимаемая математиками, обладающая конечным набором аксиом, справедливость которых не вызывает никаких сомнений, и конечной системой правил действиякоторая, впрочем, содержит по крайней мере одну операцию, полагаемую фундаментально сомнительной. Каждая отдельно взятая теоре­ма системынеизбежно оказывается утверждением, истинность которого может быть неопровержимо установлена, — что, соб­ственно говоря, удивительно, учитывая тот факт, что многие из этих теорем выводятся с помощью сомнительных правил систе­мыКроме того, хотя математик и может (в принципе) уста­новить истинность каждой из упомянутых теорем в отдельно­сти, единообразной процедуры для этого не существует. Мож­но ограничить область рассмотрения теми теоремами системы которые представляют собой-высказывания. Применяя со­мнительную систему правилмы можем вычислительным спо­собом сгенерировать перечень тех-высказываний, справедли­вость которых может быть однозначно установлена математика­ми. В конечном счете, человек, воспользовавшись пониманием и интуицией, оказывается способен установить справедливость каждого из этих-высказываний в отдельности. Однако в каж­дом конкретном случае для такого установления применяются методы рассуждений, существенно отличающиеся от правила с помощью которого было получено данное-высказывание. Раз за разом нам приходится добавлять в систему все новые, все более изощренные плоды человеческого разума — с тем, чтобы можно было неопровержимо доказать истинность каж­дого последующего-высказывания. Словно по волшебству, истинными оказываются все-высказывания, впрочем истин­ность некоторых из них можно установить лишь после привле­чения какого-либо фундаментально нового метода рассуждения, причем необходимость в этом возникает вновь и вновь, на все более глубоких уровнях. Более того, любое-высказывание, неоспоримую истинность которого можно установить — причем неважно, каким методом, — оказывается уже включенным в тот самый перечень, который мы сгенерировали ранее с помощью системы правилНаконец, существует еще и особое истин­ное-высказываниекоторое явным образом выводится из знания формальной системыоднако истинность которого не может быть неопровержимо установлена ни одним матема­тиком. В лучшем случае, математик сможет понять, что истин­ностьнепосредственно обусловлена обоснованностью со­мнительной системы правил действиякоторая, по всей види­мости, обладает некоей чудесной способностью определять, ис­тинность каких именно II1-высказываний может быть неопро­вержимо установлена человеком.

Могу себе представить, что кому-то все это, возможно, по­кажется не совсем бессмысленным. Ко многим своим выводам математики приходят на основании предпосылок, которые можно назвать «эвристическими принципами» — такой принцип не дает непосредственного доказательства предполагаемого вывода, однако дает основания ожидать, что истинным неизбежно ока­жется именно такой вывод. Собственно доказательство может быть получено и позднее, причем совершенно иными методами. Мне, однако, представляется, что подобные эвристические прин­ципы имеют на деле очень мало общего с нашей гипотетической системой правилВ сущности, такие принципы способны лишь углубить наше сознательное понимание причин, в соответствии с которыми оказывается истинным тот или иной математический вывод. Впоследствии, в результате более серьезной разработки соответствующих математических методов, часто становится вполне ясно, почему именно сработал тот или иной эвристиче­ский принцип. В большинстве же случаев вполне проясняется лишь один вопрос: при каких именно обстоятельствах данный эвристический принцип гарантированно работает, а при каких — нет; иначе говоря, если не соблюдать известной осторожности, можно прийти к весьма и весьма ошибочным выводам. Если же осторожность соблюдена, сам такой принцип становится чрезвы­чайно мощным и надежным инструментом математического до­казательства. Он не снабдит вас сверхъестественно достовер­ной алгоритмической процедурой для установления справедли­вости-высказываний, причины успешного функционирования которой будут принципиально недоступны человеческому пони­манию, вместо этого он предоставит средства для углубления ва­шего математического понимания и усиления вашей же интуиции. А в этом, согласитесь, есть нечто, в корне отличное от алгорит­ма (или формальной системы), описанного в соответствии с возможностью Более того, никто никогда и не предлагал эвристического принципа, позволившего бы сгенерировать в точ­ности все-высказывания, истинность которых может быть од­нозначно установлена математиками.

Разумеется, из всего этого вовсе не следует, что упомянутый алгоритм(гипотетическая машина Гёделя для доказательства теорем) является логически невозможным; однако, с позиции на­шего математического понимания, вероятность существования такой машины представляется исключительно малой. Во всяком случае, в настоящее время ни у кого пока нет ни малейшего пред­положения относительно возможной природы подобного алго­ритма, равно как нет и никаких намеков на его действительное существование. Он может существовать, в лучшем случае, в ка­честве гипотезы — причем гипотезы недоказуемой. (Ее дока­зательство будет равносильно ее опровержению!) Мне думается, что со стороны любого из сторонников идеи ИИ (независимо от того, принадлежит он к лагерю ) является в высшей степени безрассудным возлагать какие бы то ни было надежды на отыскание такой алгоритмической процедуры (обобщенной здесь в виде алгоритма), само существование которой крайне сомнительно, а точное построение (существуй она в действитель­ности) едва ли по силам любому из ныне живущих математиков или логиков.

Можно ли допустить, что подобный алгоритмвсе же су­ществует и, более того, может быть получен с помощью до­статочно сложных вычислительных процедур восходящего типа? В, в рамках обсуждения случаяя приведу серьезные логические доводы, убедительно демонстрирующие, что ни одна из познаваемых восходящих процедур не в состоянии привести нас к алгоритмудаже если бы он и в самом де­ле существовал. Таким образом, можно заключить, что в каче­стве сколько-нибудь серьезной логической возможности нельзя рассматривать даже «гёделеву машину для доказательства тео­рем» — если, конечно, не допустить, что в основе всего матема­тического понимания в целом лежат некие «непознаваемые меха­низмы», природа которых, увы, не оставляет поборникам ИИ ни единого шанса.

Прежде чем мы перейдем к обещанному более подробному обсуждению случая, необходимо разобраться до конца со слу­чаем— здесь остается еще одна альтернатива, суть которой заключается в том, что фундаментальная алгоритмическая про­цедура(или формальная система) может оказаться необос­нованной (случай, как мы помним, такой лазейки не допускал). Может ли быть так, что математическое понимание человека представляет собой эквивалент некоего познаваемого алгоритма, который в основе своей ошибочен? Рассмотрим эту возможность подробнее.

Перейдем к случаю II и попытаемся серьезно рассмотреть возможность того, что математическое понимание на деле экви­валентно некоторому сознательно познаваемому алгоритму либо формальной системе, однако эквивалентность эта принципиаль­но непознаваема. Иными словами, даже при условии познавае­мости той или иной гипотетической формальной системымы никоим образом не можем убедиться в том, что именно эта кон­кретная система действительно лежит в основе нашего матема­тического понимания. Правдоподобно ли такое предположение?

Если упомянутая гипотетическая формальная системане является уже известной, то в этом случае нам, как и ранее, следует полагать, что она может, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь таковой стать. Вообразим, что этот светлый день наконец наступил, и допустим, что в нашем распоряжении име­ется точное и подробное описание этой самой системы. Предпо­лагается, что формальная система, будучи, возможно, крайне замысловатой, все же достаточно проста для того, чтобы мы ока­зались способны, по крайней мере, в принципе, постичь ее на вполне сознательном уровне. При этом нам не позволено испы­тывать уверенность в том, что системадействительно целиком и полностью охватывает всю совокупность наших твердых математических убеждений и интуитивных озарений (по край­ней мере в том, что касается-высказываний). Это, вообще-то вполне логичное предположение оказывается на деле в высшей степени неправдоподобным, в причинах чего мы и попытаемся разобраться. Более того, несколько позднее я покажу, что даже будь оно истинным, это не принесло бы никакой радости тем ИИ-энтузиастам, которые видят смысл жизни в создании робота-математика. Мы еще поговорим об этом в конце данного раздела и — более подробно — в §§ 3.15 и 3.29.

Дабы подчеркнуть тот факт, что существование подобной си­стемы F и в самом деле следует полагать логически возможным, вспомним о «машине для доказательства теорем», возможности создания которой, согласно Гёделю, логически исключить нельзя (см. цитату в §3.1). В сущности, такую «машину», как я поясню ниже, как раз и можно представить в виде некоторой алгоритми­ческой процедуры F, соответствующей вышеприведенным пунк­там II или III. Как отмечает Гёдель, его гипотетическая машина для доказательства теорем может быть «эмпирически реализо­вана», что соответствует требованию «сознательной познаваемо­сти» процедуры F в случае II; если же подобная реализация ока­зывается невозможной, то мы, по сути, имеем дело со случаем III.

На основании своей знаменитой теоремы Гёдель утверждал, что невозможно доказать «эквивалентность» процедуры F(или, что то же самое, формальной системысм. §2.9) «математи­ческой интуиции» (см. ту же цитату). В определении случая II (и, как следствие, III) я сформулировал это фундаментальное ограничение, налагаемое на, несколько по-иному: «Тот факт, что математическое понимание основывается именно на этой ал­горитмической процедуре, остается как неосознаваемым, так и непознаваемым».

Это ограничение (необходимость в котором следует из об­основанного в §3.2 исключения случая I) со всей очевидностью приводит к невозможности показать, что процедураэквива­лентна математической интуиции, поскольку посредством подоб­ной демонстрации мы могли бы однозначно убедиться в том, что процедура действительно выполняет ту роль, о самом факте выполнения которой мы предположительно не в состоянии ни­чего знать. И наоборот, если бы эта самая роль процедуры (роль фундаментального алгоритма, в соответствии с которым осуществляется постижение математических истин) допускала осознанное познание (в том смысле, что мы могли бы в полной мере постичь, как именно процедуравыполняет эту свою роль), то нам пришлось бы признать и обоснованность. Ибо если мы не допускаем, что процедурацеликом и полностью обосно­вана, то это означает, что мы отвергаем какие-то ее следствия. А ее следствиями являются как раз те математические положения (или хотя бы только-высказывания), которые мы полагаем-таки истинными. Таким образом знание роли процедурырав­нозначно наличию доказательствахотя такое «доказатель­ство» и нельзя считать формальным доказательством в рамках некоторой заранее заданной формальной системы.

Отметим также, что истинные-высказывания можно рас­сматривать в качестве примеров тех самых «корректных теорем конечной теории чисел», о которых говорил Гёдель. Более то­го, если понятие «конечной теории чисел» включает в себя-операцию «отыскания наименьшего натурального числа, обла­дающего таким-то свойством», в каковом случае оно включает в себя и процедуры, выполняемые машинами Тьюринга (см. ко­нец § 2.8), то тогда частью конечной теории чисел следует считать все-высказывания. Иными словами, получается, что доказа­тельство гёделевского типа не дает четкого способа исключить из рассмотрения случай II, руководствуясь одними лишь строго логическими основаниями — по крайней мере, до тех пор, пока мы полагаем, что Гёдель был прав.

С другой стороны, можно задаться вопросом об общем правдоподобии предположения II. Рассмотрим, что повлечет за собой существование познаваемой процедурынепознаваемым образом эквивалентной человеческому математическому пони­манию (заведомо непогрешимому). Как уже отмечалось, ничто не мешает нам мысленно перенестись в некое будущее время, в ко­тором эта процедура окажется обнаружена и подробно описана. Известно также (см. §2.7), что формальная система задается в виде некоторого набора аксиом и правил действия. Теоремы системыпредставляют собой утверждения (иначе называемые «положениями»), выводимые из аксиом с помощью правил дей­ствия, причем все теоремы можно сформулировать посредством того же набора символов, который используется для выражения аксиом. А теперь представим себе, что теоремы системыв точ­ности совпадают с теми положениями (сформулированными с помощью упомянутых символов), неопровержимую истинность ко­торых математики, в принципе, способны самостоятельно уста­новить.

Допустим на минуту, что перечень аксиом системыявля­ется конечным. Сами же аксиомы суть не что иное, как част­ные случаи соответствующих теорем. Однако неопровержимую истинность каждой теоремы мы можем, в принципе, постичь по­средством математического понимания и интуиции. Следователь­но, каждая аксиома в отдельности должна выражать нечто та­кое, что по крайней мере, в принципе, постижимо посредством этого самого математического понимания. Иными словами, для каждой отдельной аксиомы когда-нибудь непременно настанет (либо принципиально возможно, что настанет) время, когда ее неопровержимая истинность будет однозначно установлена. Так, рассматривая одну за другой, мы сможем устанавливать истин­ность любой отдельно взятой аксиомы системыТаким образом, в конечном итоге будет установлена (либо принципиально воз­можно, что будет установлена) неопровержимая истинность всех отдельно взятых аксиом. Соответственно, настанет время, когда будет установлена неопровержимая истинность всей совокупно­сти аксиом системыв целом.

А как быть с правилами действия? Можем ли мы предпо­ложить, что настанет время, когда будет однозначно установлена неопровержимая обоснованность этих правил? Во многих фор­мальных системах правилами действия служат достаточно про­стые утверждения, каждое из которых с очевидностью «неопро­вержимо», например: «Если установлено, что высказывание является теоремой и высказываниеявляется теоремой, то можно заключить, что высказываниетакже является те­оремой» (относительно символа«следует» см. НРК, с. 393, или [222]). Признать неоспоримую справедливость таких пра­вил совсем не трудно. С другой стороны, среди правил действия встречаются и гораздо более тонкие отношения, справедливость которых вовсе не так очевидна; прежде чем прийти к однознач­ному решению относительно того, считать то или иное такое пра­вило «неопровержимо обоснованным» или нет, нам, возможно, потребуется прибегнуть к весьма подробному и тщательному ана­лизу. Более того, как мы вскоре убедимся, в наборе правил дей­ствия формальной системынеизбежно имеются такие правила, неоспоримая обоснованность которых не может быть достоверно установлена ни одним математиком — причем мы все еще пола­гаем, что число аксиом в системеконечно.

В чем же причина? Перенесемся в воображении в то са­мое время, когда уже однозначно установлена неопровержимая справедливость всех аксиом формальной системыПеред нами открывается замечательная возможность без помех рассмотреть всю системуцеликом. Попробуем допустить, что все правила действия системыможно также считать справедливыми безо всяких оговорок. Хотя предполагается, что мы еще не можем знать наверняка, что системадействительно включает в себя всю математику, которая в принципе доступна человеческому по­ниманию и интуиции, мы должны к настоящему моменту, по мень­шей мере, уже убедиться в том, что системаявляется неоспори­мо обоснованной, поскольку справедливость как ее аксиом, так и ее правил действия безоговорочно нами принимается. Следова­тельно, мы также должны уже быть уверены в том, что система непротиворечива. Не забываем, разумеется, и о том, что, в силу этой непротиворечивости, утверждениетакже должно быть истинным — более того, неопровержимо истинным! Однако, поскольку предполагается, что системафактически (хотя нам об этом неизвестно) включает в себя всю совокупность того, что безоговорочно доступно нашему пониманию, утверждение должно на деле представлять собой теорему системыСогласно теореме Гёделя, такое, вообще говоря, возможно только в том случае, если формальная системапротиворечива. Если же система F противоречива, то одной из теорем этой системы явля­ется утверждениеСледовательно, утверждение должно быть, в принципе, доступно нашему математическому по­ниманию — очевидное противоречие!

Несмотря на это, следует, по крайней мере, учесть саму воз­можность того, что математики действуют (не зная о том) в рам­ках системыкоторая является, по существу, необоснованной. К этому вопросу я еще вернусь в §3.4, пока же (в пределах данно­го раздела) будем полагать, что на самом деле процедуры, лежа­щие в основе математического понимания, целиком и полностью обоснованны. При данных обстоятельствах, если мы продолжаем настаивать на том, что все правила действия нашей формальной системыс конечным набором аксиом безоговорочно истинны, нам остается лишь признать, что противоречие действительно имеет место. Следовательно, среди правил действия системыдолжно быть по крайней мере одно правило, обоснованность ко­торого не может неопровержимо установить ни один математик (хотя в действительности это правило является обоснованным).

Все вышеприведенные рассуждения опирались на то до­пущение, что система задается конечным набором аксиом. В качестве возможного альтернативного решения можно пред­положить, что количество аксиом в системебесконечно. От­носительно этой возможности необходимо сделать некоторые комментарии. Для того чтобы системуможно было опреде­лить как формальную в требуемом смысле — т. е. как систему, в рамках которой всегда можно однозначно установить (посред­ством некоторой заранее заданной вычислительной процедуры), что предполагаемое доказательство того или иного положения действительно является доказательством в соответствии с пра­вилами системы, — необходимо, чтобы ее бесконечный набор аксиом можно было выразить каким-то конечно определяемым образом. Вообще говоря, всегда допускается некоторая свобода в отношении выбора конкретного способа представления фор­мальной системы, в соответствии с которым операции системы определяются либо как аксиомы, либо как правила действия. Так, стандартная аксиоматическая система теории множеств — си­стема Цермело—Френкеля (обозначаемая здесь как) — вклю­чает в себя бесконечное количество аксиом, выражаемых по­средством структур, называемых «схемами аксиом». Путем соот­ветствующего переформулирования системуможно выразить таким образом, что количество действительных аксиом станет конечным). Более того, действуя определенным образом, такое можно проделать с любой схемой аксиом, являющейся «фор­мальной» в требуемом нами вычислительном смысле.

Может создаться впечатление, что вышеприведенное рас­суждение (целью которого является исключение из списка воз­можных вариантов случаяприменимо к любой (обоснованной) системевне зависимости от того, конечно или бесконечно ко­личество ее аксиом. Это и в самом деле так, однако в процессе приведения бесконечной схемы аксиом к конечному виду мы мо­жем ввести новые правила действия, которые могут оказаться не столь самоочевидно обоснованными. Так, представляя себе, в со­ответствии с вышеизложенными соображениями, времена, когда нам станут известны все аксиомы и правила действия системы (при этом также предполагается, что все теоремы этой гипоте­тической системы в точности совпадают с теоремами, которые в принципе доступны человеческим пониманию и интуиции), мы никоим образом не можем быть уверены в принципиальной воз­можности неопровержимого установления обоснованности пра­вил действия такой системыв отличие от ее аксиом (даже если эти правила действительно являются обоснованными). Дело в том, что, в отличие от аксиом, правила действия не принадлежат к теоремам формальной системы. Мы же полагаем, что неопро­вержимо установить можно лишь обоснованность теорем си­стемы

Не совсем ясно, возможно ли продолжить данное рассужде­ние, оставаясь при этом в рамках строгой логики. Если мы пола­гаем справедливой возможностьто нам приходится признать, что существует некая формальная система(на основании ко­торой человек постигает истинность-высказываний), целиком и полностью понимаемая математиками, обладающая конечным набором аксиом, справедливость которых не вызывает никаких сомнений, и конечной системой правил действиякоторая, впрочем, содержит по крайней мере одну операцию, полагаемую фундаментально сомнительной. Каждая отдельно взятая теоре­ма системынеизбежно оказывается утверждением, истинность которого может быть неопровержимо установлена, — что, соб­ственно говоря, удивительно, учитывая тот факт, что многие из этих теорем выводятся с помощью сомнительных правил систе­мыКроме того, хотя математик и может (в принципе) уста­новить истинность каждой из упомянутых теорем в отдельно­сти, единообразной процедуры для этого не существует. Мож­но ограничить область рассмотрения теми теоремами системы которые представляют собой-высказывания. Применяя со­мнительную систему правилмы можем вычислительным спо­собом сгенерировать перечень тех-высказываний, справедли­вость которых может быть однозначно установлена математика­ми. В конечном счете, человек, воспользовавшись пониманием и интуицией, оказывается способен установить справедливость каждого из этих-высказываний в отдельности. Однако в каж­дом конкретном случае для такого установления применяются методы рассуждений, существенно отличающиеся от правила с помощью которого было получено данное-высказывание. Раз за разом нам приходится добавлять в систему все новые, все более изощренные плоды человеческого разума — с тем, чтобы можно было неопровержимо доказать истинность каж­дого последующего-высказывания. Словно по волшебству, истинными оказываются все-высказывания, впрочем истин­ность некоторых из них можно установить лишь после привле­чения какого-либо фундаментально нового метода рассуждения, причем необходимость в этом возникает вновь и вновь, на все более глубоких уровнях. Более того, любое-высказывание, неоспоримую истинность которого можно установить — причем неважно, каким методом, — оказывается уже включенным в тот самый перечень, который мы сгенерировали ранее с помощью системы правилНаконец, существует еще и особое истин­ное-высказываниекоторое явным образом выводится из знания формальной системыоднако истинность которого не может быть неопровержимо установлена ни одним матема­тиком. В лучшем случае, математик сможет понять, что истин­ностьнепосредственно обусловлена обоснованностью со­мнительной системы правил действиякоторая, по всей види­мости, обладает некоей чудесной способностью определять, ис­тинность каких именно II1-высказываний может быть неопро­вержимо установлена человеком.

Могу себе представить, что кому-то все это, возможно, по­кажется не совсем бессмысленным. Ко многим своим выводам математики приходят на основании предпосылок, которые можно назвать «эвристическими принципами» — такой принцип не дает непосредственного доказательства предполагаемого вывода, однако дает основания ожидать, что истинным неизбежно ока­жется именно такой вывод. Собственно доказательство может быть получено и позднее, причем совершенно иными методами. Мне, однако, представляется, что подобные эвристические прин­ципы имеют на деле очень мало общего с нашей гипотетической системой правилВ сущности, такие принципы способны лишь углубить наше сознательное понимание причин, в соответствии с которыми оказывается истинным тот или иной математический вывод. Впоследствии, в результате более серьезной разработки соответствующих математических методов, часто становится вполне ясно, почему именно сработал тот или иной эвристиче­ский принцип. В большинстве же случаев вполне проясняется лишь один вопрос: при каких именно обстоятельствах данный эвристический принцип гарантированно работает, а при каких — нет; иначе говоря, если не соблюдать известной осторожности, можно прийти к весьма и весьма ошибочным выводам. Если же осторожность соблюдена, сам такой принцип становится чрезвы­чайно мощным и надежным инструментом математического до­казательства. Он не снабдит вас сверхъестественно достовер­ной алгоритмической процедурой для установления справедли­вости-высказываний, причины успешного функционирования которой будут принципиально недоступны человеческому пони­манию, вместо этого он предоставит средства для углубления ва­шего математического понимания и усиления вашей же интуиции. А в этом, согласитесь, есть нечто, в корне отличное от алгорит­ма (или формальной системы), описанного в соответствии с возможностью Более того, никто никогда и не предлагал эвристического принципа, позволившего бы сгенерировать в точ­ности все-высказывания, истинность которых может быть од­нозначно установлена математиками.

Разумеется, из всего этого вовсе не следует, что упомянутый алгоритм(гипотетическая машина Гёделя для доказательства теорем) является логически невозможным; однако, с позиции на­шего математического понимания, вероятность существования такой машины представляется исключительно малой. Во всяком случае, в настоящее время ни у кого пока нет ни малейшего пред­положения относительно возможной природы подобного алго­ритма, равно как нет и никаких намеков на его действительное существование. Он может существовать, в лучшем случае, в ка­честве гипотезы — причем гипотезы недоказуемой. (Ее дока­зательство будет равносильно ее опровержению!) Мне думается, что со стороны любого из сторонников идеи ИИ (независимо от того, принадлежит он к лагерю ) является в высшей степени безрассудным возлагать какие бы то ни было надежды на отыскание такой алгоритмической процедуры (обобщенной здесь в виде алгоритма), само существование которой крайне сомнительно, а точное построение (существуй она в действитель­ности) едва ли по силам любому из ныне живущих математиков или логиков.

Можно ли допустить, что подобный алгоритмвсе же су­ществует и, более того, может быть получен с помощью до­статочно сложных вычислительных процедур восходящего типа? В, в рамках обсуждения случаяя приведу серьезные логические доводы, убедительно демонстрирующие, что ни одна из познаваемых восходящих процедур не в состоянии привести нас к алгоритмудаже если бы он и в самом де­ле существовал. Таким образом, можно заключить, что в каче­стве сколько-нибудь серьезной логической возможности нельзя рассматривать даже «гёделеву машину для доказательства тео­рем» — если, конечно, не допустить, что в основе всего матема­тического понимания в целом лежат некие «непознаваемые меха­низмы», природа которых, увы, не оставляет поборникам ИИ ни единого шанса.

Прежде чем мы перейдем к обещанному более подробному обсуждению случая, необходимо разобраться до конца со слу­чаем— здесь остается еще одна альтернатива, суть которой заключается в том, что фундаментальная алгоритмическая про­цедура(или формальная система) может оказаться необос­нованной (случай, как мы помним, такой лазейки не допускал). Может ли быть так, что математическое понимание человека представляет собой эквивалент некоего познаваемого алгоритма, который в основе своей ошибочен? Рассмотрим эту возможность подробнее.