3.7. Алгоритм один или их много?

Прежде всего, необходимо рассмотреть следующий весьма важный вопрос: может ли оказаться, что за различные виды ма­тематического понимания, свойственные разным людям, отвечает множество весьма различных, возможно, неэквивалентных алго­ритмов? В самом деле, уж в чем мы можем быть с самого нача­ла уверены, так это в том, что даже профессиональные матема­тики часто воспринимают математические «реалии» совершен­но по-разному. Для одних в высшей степени важны зрительные образы, тогда как другим удобнее иметь дело с четкими логи­ческими структурами, изящными абстрактными доказательства­ми, подробными аналитическими обоснованиями или, возможно, с чисто алгебраическими манипуляциями. В этой связи следует отметить, что, по некоторым предположениям, геометрическое, например, и аналитическое мышление осуществляются разными полушариями мозга (соответственно, правым и левым). Одна­ко часто бывает так, что всеми этими способами воспринимается одна и та же математическая истина. С алгоритмической точки зрения первое впечатление таково, что алгоритмы, отвечающие за математическое мышление различных людей, должны быть как минимум абсолютно неэквивалентными. Однако, несмотря на существенное различие между образами, которые формируют в сознании отдельные математики (или прочие смертные) для соб­ственного понимания или для сообщения другим математических идей, математическое восприятие обладает одним поразительным свойством: когда математики наконец решают для себя, что имен­но следует считать неопровержимо истинным, никаких разногла­сий по этому поводу больше не возникает, разве что поводом для такого разногласия послужит какая-либо действительная, опознаваемая (а следовательно, и исправимая) ошибка в рассу­ждениях того или иного математика (еще один возможный повод для разногласий предоставляет принципиальное расхождение во мнениях по некоторым — весьма немногочисленным — фунда­ментальным вопросам; см. комментарий к, в особенности утверждение). В целях упрощения изложения я позволю се­бе в дальнейшем последнее соображение проигнорировать. Хотя это соображение и имеет некоторое отношение к предмету на­шего разговора, на выводы оно заметного влияния не оказывает. (Придерживаемся ли мы нескольких возможных неэквивалент­ных точек зрения на какой-то вопрос или все соглашаемся на одной — существенного различия между этими двумя ситуациями в данном случае нет.)

Восприятие математической истины может осуществлять­ся самыми различными способами. Вряд ли можно усомниться в том, что вне зависимости от конкретной природы физических процессов, обусловливающих осознание человеком истинности какого-либо математического утверждения, эти процессы долж­ны весьма и весьма разниться от индивидуума к индивидууму, даже если речь идет об одном и том же утверждении. Иначе говоря, если математики при составлении суждений о неопровер­жимой истинности того или иного утверждения просто-напросто применяют какие-то вычислительные алгоритмы, то у разных математиков эти самые алгоритмы должны весьма значительно различаться по своей структуре. При этом, в некотором очевидном смысле, упомянутые алгоритмы должны быть еще и эквива­лентны друг другу.

Это условие, возможно, не так уж и абсурдно, как может по­казаться на первый взгляд, по крайней мере, с точки зрения мате­матически возможного. Весьма разные на вид машины Тьюрин­га могут давать на выходе идентичные результаты. (Рассмотрим, например, машину Тьюринга, построенную следующим образом: при выполнении действия над натуральным числом n мы полу­чаем в результате 0 всякий раз, когда n выразимо в виде суммы четырех квадратов, и 1, когда п таким образом выразить нельзя. Результат вычисления такой машины полностью совпадает с ре­зультатом другой машины, построенной таким образом, чтобы давать на выходе 0 при подаче на вход любого натурального чис­ла n — ибо известно, что в виде суммы четырех квадратов можно представить любое натуральное число; см. §2.3.) Из идентич­ности внешних конечных результатов двух алгоритмов вовсе не обязательно следует, что эти алгоритмы окажутся подобными по внутренней структуре. Однако, в определенном смысле, рассмат­риваемое допущение еще более запутывает вопрос о происхо­ждении нашего гипотетического непостижимого алгоритма(-ов) для установления математической истины, поскольку теперь нам предстоит иметь дело уже с несколькими такими алгоритмами, достаточно отличными друг от друга по внутренней структуре, но при этом существенно эквивалентными в отношении получаемого на выходе результата.

Прежде всего, необходимо рассмотреть следующий весьма важный вопрос: может ли оказаться, что за различные виды ма­тематического понимания, свойственные разным людям, отвечает множество весьма различных, возможно, неэквивалентных алго­ритмов? В самом деле, уж в чем мы можем быть с самого нача­ла уверены, так это в том, что даже профессиональные матема­тики часто воспринимают математические «реалии» совершен­но по-разному. Для одних в высшей степени важны зрительные образы, тогда как другим удобнее иметь дело с четкими логи­ческими структурами, изящными абстрактными доказательства­ми, подробными аналитическими обоснованиями или, возможно, с чисто алгебраическими манипуляциями. В этой связи следует отметить, что, по некоторым предположениям, геометрическое, например, и аналитическое мышление осуществляются разными полушариями мозга (соответственно, правым и левым). Одна­ко часто бывает так, что всеми этими способами воспринимается одна и та же математическая истина. С алгоритмической точки зрения первое впечатление таково, что алгоритмы, отвечающие за математическое мышление различных людей, должны быть как минимум абсолютно неэквивалентными. Однако, несмотря на существенное различие между образами, которые формируют в сознании отдельные математики (или прочие смертные) для соб­ственного понимания или для сообщения другим математических идей, математическое восприятие обладает одним поразительным свойством: когда математики наконец решают для себя, что имен­но следует считать неопровержимо истинным, никаких разногла­сий по этому поводу больше не возникает, разве что поводом для такого разногласия послужит какая-либо действительная, опознаваемая (а следовательно, и исправимая) ошибка в рассу­ждениях того или иного математика (еще один возможный повод для разногласий предоставляет принципиальное расхождение во мнениях по некоторым — весьма немногочисленным — фунда­ментальным вопросам; см. комментарий к, в особенности утверждение). В целях упрощения изложения я позволю се­бе в дальнейшем последнее соображение проигнорировать. Хотя это соображение и имеет некоторое отношение к предмету на­шего разговора, на выводы оно заметного влияния не оказывает. (Придерживаемся ли мы нескольких возможных неэквивалент­ных точек зрения на какой-то вопрос или все соглашаемся на одной — существенного различия между этими двумя ситуациями в данном случае нет.)

Восприятие математической истины может осуществлять­ся самыми различными способами. Вряд ли можно усомниться в том, что вне зависимости от конкретной природы физических процессов, обусловливающих осознание человеком истинности какого-либо математического утверждения, эти процессы долж­ны весьма и весьма разниться от индивидуума к индивидууму, даже если речь идет об одном и том же утверждении. Иначе говоря, если математики при составлении суждений о неопровер­жимой истинности того или иного утверждения просто-напросто применяют какие-то вычислительные алгоритмы, то у разных математиков эти самые алгоритмы должны весьма значительно различаться по своей структуре. При этом, в некотором очевидном смысле, упомянутые алгоритмы должны быть еще и эквива­лентны друг другу.

Это условие, возможно, не так уж и абсурдно, как может по­казаться на первый взгляд, по крайней мере, с точки зрения мате­матически возможного. Весьма разные на вид машины Тьюрин­га могут давать на выходе идентичные результаты. (Рассмотрим, например, машину Тьюринга, построенную следующим образом: при выполнении действия над натуральным числом n мы полу­чаем в результате 0 всякий раз, когда n выразимо в виде суммы четырех квадратов, и 1, когда п таким образом выразить нельзя. Результат вычисления такой машины полностью совпадает с ре­зультатом другой машины, построенной таким образом, чтобы давать на выходе 0 при подаче на вход любого натурального чис­ла n — ибо известно, что в виде суммы четырех квадратов можно представить любое натуральное число; см. §2.3.) Из идентич­ности внешних конечных результатов двух алгоритмов вовсе не обязательно следует, что эти алгоритмы окажутся подобными по внутренней структуре. Однако, в определенном смысле, рассмат­риваемое допущение еще более запутывает вопрос о происхо­ждении нашего гипотетического непостижимого алгоритма(-ов) для установления математической истины, поскольку теперь нам предстоит иметь дело уже с несколькими такими алгоритмами, достаточно отличными друг от друга по внутренней структуре, но при этом существенно эквивалентными в отношении получаемого на выходе результата.