14.3. Премія опціону

Для визначення премії опціону використовують модель Блека-Шоулза. Спочатку вона була розроблена тільки для європейських опціонів колл на акції, за якими не виплачуються дивіденди до дати закінчення опціону. Потім було показано, що ця модель справедлива і для американського опціону колл без виплати дивідендів.

Другий недолік початкової моделі — застосовність її тільки до акцій без дивідендів — був усунений внесенням у формулу додаткового множника. Потім вона була поширена на підрахунки премій опціонів на інші активи.

Формула Блека—Шоулза для опціонів колл на акції без дивідендів. Вартість опціону колл  визначається за формулою

,

де

,

 — поточна ринкова ціна базового активу;

 — ціна виконання опціону;

 — річна ставка нарахування відсотка на активи без ризику, який нараховується безперервно;

 — час до закінчення опціону в частках року (або , де t — число днів, що залишились до виконання опціону);

σ — ризик базового активу (стандартне відхилення дохідності базового активу за рік);

 — функція кумулятивного нормального розподілу з середнім 0 і стандартним відхиленням 1 (табульована в статистиці функція).

Зауважимо, що під час безперервного нарахування відсотка використовується формула майбутньої вартості  де F — майбутня вартість, P — поточна вартість. Тому між ставкою неперервного нарахування R і ставкою простого відсотка r існує такий зв’язок: . Цей зв’язок дає можливість спростити формули Блека—Шоулза.

Наведена формула показує характер залежності ціни опціону колл від п’яти чинників:

чим вища ціна базового активу, тим вища вартість опціону;

чим вища ціна виконання, тим нижча ціна опціону;

чим більше часу до дати закінчення, тим вища ціна опціону;

чим вища ставка без ризику, тим більша ціна опціону;

чим більший ризик (волятильність) базового активу, тим вища ціна опціону.

Формула паритету опціонів колл і пут. Існує формула паритету цін, що дає змогу за підрахованою ціною опціону колл визначити ціну опціону пут

де  — ціна опціону пут.

Модифікація формули для акцій з дивідендами. Якщо відома оголошена ставка дивіденду, що виплачується до дати закінчення опціону, то його можна розглядати як процент, що безперервно нараховується. У цьому разі модифікована формула для премії опціону колл на акції з дивідендами має такий вигляд:

де  — ставка процента, що нараховується безперервно та відповідає ставці дивіденду на акцію.

Формула паритету опціонів модифікується таким чином:

Застосування формули для інших активів. Премія на облігації опціонів колл розраховується за однією з наведених формул залежно від того, є в цей період купонні виплати, чи ні. У цьому разі Q — ставка процента, що нараховується безперервно та відповідає ставці купонного доходу.

Фондовий індекс розглядають як акцію з відомою ставкою дивіденду. Дивідендом на індекс вважають середньозважену за капіталізацією ставку оголошених дивідендів акцій компаній, що включені до індексу. Q — відповідна ставка, що безперервно нараховується.

Іноземну валюту розглядають як акцію з відомою ставкою дивіденду (за таку ставку беруть ставку дохідності без ризику у відповідній валюті).

Зауважимо, що формули Блека—Шоулза непридатні для розрахунків на звичайному калькуляторі. Для цієї мети використовують спеціальні програми — опціонні калькулятори.

Для визначення премії опціону використовують модель Блека-Шоулза. Спочатку вона була розроблена тільки для європейських опціонів колл на акції, за якими не виплачуються дивіденди до дати закінчення опціону. Потім було показано, що ця модель справедлива і для американського опціону колл без виплати дивідендів.

Другий недолік початкової моделі — застосовність її тільки до акцій без дивідендів — був усунений внесенням у формулу додаткового множника. Потім вона була поширена на підрахунки премій опціонів на інші активи.

Формула Блека—Шоулза для опціонів колл на акції без дивідендів. Вартість опціону колл  визначається за формулою

,

де

,

 — поточна ринкова ціна базового активу;

 — ціна виконання опціону;

 — річна ставка нарахування відсотка на активи без ризику, який нараховується безперервно;

 — час до закінчення опціону в частках року (або , де t — число днів, що залишились до виконання опціону);

σ — ризик базового активу (стандартне відхилення дохідності базового активу за рік);

 — функція кумулятивного нормального розподілу з середнім 0 і стандартним відхиленням 1 (табульована в статистиці функція).

Зауважимо, що під час безперервного нарахування відсотка використовується формула майбутньої вартості  де F — майбутня вартість, P — поточна вартість. Тому між ставкою неперервного нарахування R і ставкою простого відсотка r існує такий зв’язок: . Цей зв’язок дає можливість спростити формули Блека—Шоулза.

Наведена формула показує характер залежності ціни опціону колл від п’яти чинників:

чим вища ціна базового активу, тим вища вартість опціону;

чим вища ціна виконання, тим нижча ціна опціону;

чим більше часу до дати закінчення, тим вища ціна опціону;

чим вища ставка без ризику, тим більша ціна опціону;

чим більший ризик (волятильність) базового активу, тим вища ціна опціону.

Формула паритету опціонів колл і пут. Існує формула паритету цін, що дає змогу за підрахованою ціною опціону колл визначити ціну опціону пут

де  — ціна опціону пут.

Модифікація формули для акцій з дивідендами. Якщо відома оголошена ставка дивіденду, що виплачується до дати закінчення опціону, то його можна розглядати як процент, що безперервно нараховується. У цьому разі модифікована формула для премії опціону колл на акції з дивідендами має такий вигляд:

де  — ставка процента, що нараховується безперервно та відповідає ставці дивіденду на акцію.

Формула паритету опціонів модифікується таким чином:

Застосування формули для інших активів. Премія на облігації опціонів колл розраховується за однією з наведених формул залежно від того, є в цей період купонні виплати, чи ні. У цьому разі Q — ставка процента, що нараховується безперервно та відповідає ставці купонного доходу.

Фондовий індекс розглядають як акцію з відомою ставкою дивіденду. Дивідендом на індекс вважають середньозважену за капіталізацією ставку оголошених дивідендів акцій компаній, що включені до індексу. Q — відповідна ставка, що безперервно нараховується.

Іноземну валюту розглядають як акцію з відомою ставкою дивіденду (за таку ставку беруть ставку дохідності без ризику у відповідній валюті).

Зауважимо, що формули Блека—Шоулза непридатні для розрахунків на звичайному калькуляторі. Для цієї мети використовують спеціальні програми — опціонні калькулятори.