Ответы на контрольные вопросы

Контрольный вопрос 15.1. Используя таблицу 15.1, рассчитайте внутреннюю и временную стоимость для июньских опционов "колл " на акции компании IBM с ценой исполнения 125 долл. Найдите соответствующие величины для опционов "пут ".

ОТВЕТ. Поскольку июньский опцион "колл" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. является в данный момент опционом с проигрышем, его внутренняя стоимость равна нулю, а временная стоимость равна его цене (1 1/2 долл.). Июньский опцион "п;т" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. имеет внутреннюю стоимость 4 15/16 долл. (= 125 - 120 1/16).

Контрольный вопрос 15.2. Представьте себе, что 5 июня 1998 года вы купили по цене, указанной в табл. 15.2, июньский опцион "колл" на SPX с ценой исполнения 1120. Чему будет равна ваша ставка доходности, если величина индекса на дату истечения, 19 июня 1998 года, окажется равной 1200?

ОТВЕТ.

Контрольный вопрос 15.3. Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000 долл. в безрисковые ценные бумаги и 4000 долл. в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки, соответствующей цене исполнения?

ОТВЕТ. При вложении 4000 долл. в опционы "колл" сроком на один год по иене 10 долл. можно купить 400 опционов. Получаемый денежный платеж по опционам будет равен 400х max (St-100, 0). Если опцион истекает без использования, вы получите 100800 долл. от своих вложений в безрисковые ценные бумаги. Это соответствует ставке доходности в 0,8% годовых для вложенных 100000 долл. Наклон идущей вверх части графика на доходной диаграмме равен 0,004. Выражение для обшей доходности вашего портфеля ценных бумаг имеет вид

4% инвестиций в опционы "колл"

Курс акций на дату истечения

Доходная диаграмма для различных инвестиционных стратегий на фондовом рынке

Контрольный вопрос 15.4. Покажите, как можно создать синтетическую акцию с помощью опциона "пут", опциона "колл" и бескупонной облигации номинальной стоимостью Е.

ОТВЕТ. Переписав уравнение 15.1 так, чтобы текущая цена акции стояла в левой части, получаем:

Это означает, что синтетическую акцию можно создать, приобретя беспроцентную облигацию номинальной стоимостью Е, купив опцион "колл" и продав опцион "пут" на подлежащие акции.

г

Структура платежей для синтетической акции: бескупонная облигация плюс опцион "колл" минус опцион "пут"

Контрольный вопрос 15.5. Предположим что при данном уровне изменчивости курса акций S = 100 долл., Е = 100 долл., Т = 1 год, г = 0,08 и Р = Ю долл. Далее предположим, то изменчивость курса растет и цена опциона "колл " достигает 20 долл. Какой должна быть новая цена опциона "пут", если S, Е, Т, и г не меняются?

ОТВЕТ. Стоимость опциона "пут" должна возрасти на такую же величину, как и стоимость опциона "колл", в данном случае это составляет 2,59 долл. Таким образом стоимость опциона "пут" составит 12,59 долл.

Контрольный вопрос 15.6. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, выше, чем в рассмотренном выше примере. Курс акций может в течение года повыситься или упасть на 30%. Примените двухступенчатую модель для определения цены опциона.

ОТВЕТ.

Разность цен акций

_ 30 долл. - 0 _ „ -130 долл. - 70 долл.

Сумма, которая берется взаймы, представляет собой максимальную сумму, которая может быть гарантированно выплачена с процентами на момент наступления срока истечения опциона. Поскольку в данном примере худший возможный результат соответствует стоимости половины пакета акций, т.е. 35 долл., то ее необходимо дисконтировать по безрисковой процентной ставке 5%. В результате получаем 33,33 долл.

Цена опциона "колл" равна затратам на формирование дублирующего портфеля, которые определяются как произведение коэффициента хеджирования на текущую цену акций за вычетом взятой в долг суммы. В соответствии с законом единой цены это и есть цена опциона "колл":

С =0,5-33,33 долл. = 50 долл. - 33,33 долл. =16,67 долл.

Контрольный вопрос 15.7. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, равна не 0,2, как в рассмотренном выше примере, а 0,3. Чему равна приблизительная цена опциона "колл "?

ОТВЕТ: С-0,4 х 0,3 х 100 долл. = 12 долл.

Контрольный вопрос 15.8. Какой была бы доходность при погашении облигаций Debtco в рассмотренном выше частном случае?

ОТВЕТ. Приняв в качестве приближенной оценки акционерного капитала 12 млн долл., получаем

D •= 100 млн долл. -12 млн долл. =88 млн долл. Поэтому непрерывно начисляемая по облигациям процентная ставка R равна

R = In (108,33/88)= 0,2078, или 20,78% годовых.

Контрольный вопрос 15.1. Используя таблицу 15.1, рассчитайте внутреннюю и временную стоимость для июньских опционов "колл " на акции компании IBM с ценой исполнения 125 долл. Найдите соответствующие величины для опционов "пут ".

ОТВЕТ. Поскольку июньский опцион "колл" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. является в данный момент опционом с проигрышем, его внутренняя стоимость равна нулю, а временная стоимость равна его цене (1 1/2 долл.). Июньский опцион "п;т" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. имеет внутреннюю стоимость 4 15/16 долл. (= 125 - 120 1/16).

Контрольный вопрос 15.2. Представьте себе, что 5 июня 1998 года вы купили по цене, указанной в табл. 15.2, июньский опцион "колл" на SPX с ценой исполнения 1120. Чему будет равна ваша ставка доходности, если величина индекса на дату истечения, 19 июня 1998 года, окажется равной 1200?

ОТВЕТ.

Контрольный вопрос 15.3. Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000 долл. в безрисковые ценные бумаги и 4000 долл. в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки, соответствующей цене исполнения?

ОТВЕТ. При вложении 4000 долл. в опционы "колл" сроком на один год по иене 10 долл. можно купить 400 опционов. Получаемый денежный платеж по опционам будет равен 400х max (St-100, 0). Если опцион истекает без использования, вы получите 100800 долл. от своих вложений в безрисковые ценные бумаги. Это соответствует ставке доходности в 0,8% годовых для вложенных 100000 долл. Наклон идущей вверх части графика на доходной диаграмме равен 0,004. Выражение для обшей доходности вашего портфеля ценных бумаг имеет вид

4% инвестиций в опционы "колл"

Курс акций на дату истечения

Доходная диаграмма для различных инвестиционных стратегий на фондовом рынке

Контрольный вопрос 15.4. Покажите, как можно создать синтетическую акцию с помощью опциона "пут", опциона "колл" и бескупонной облигации номинальной стоимостью Е.

ОТВЕТ. Переписав уравнение 15.1 так, чтобы текущая цена акции стояла в левой части, получаем:

Это означает, что синтетическую акцию можно создать, приобретя беспроцентную облигацию номинальной стоимостью Е, купив опцион "колл" и продав опцион "пут" на подлежащие акции.

г

Структура платежей для синтетической акции: бескупонная облигация плюс опцион "колл" минус опцион "пут"

Контрольный вопрос 15.5. Предположим что при данном уровне изменчивости курса акций S = 100 долл., Е = 100 долл., Т = 1 год, г = 0,08 и Р = Ю долл. Далее предположим, то изменчивость курса растет и цена опциона "колл " достигает 20 долл. Какой должна быть новая цена опциона "пут", если S, Е, Т, и г не меняются?

ОТВЕТ. Стоимость опциона "пут" должна возрасти на такую же величину, как и стоимость опциона "колл", в данном случае это составляет 2,59 долл. Таким образом стоимость опциона "пут" составит 12,59 долл.

Контрольный вопрос 15.6. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, выше, чем в рассмотренном выше примере. Курс акций может в течение года повыситься или упасть на 30%. Примените двухступенчатую модель для определения цены опциона.

ОТВЕТ.

Разность цен акций

_ 30 долл. - 0 _ „ -130 долл. - 70 долл.

Сумма, которая берется взаймы, представляет собой максимальную сумму, которая может быть гарантированно выплачена с процентами на момент наступления срока истечения опциона. Поскольку в данном примере худший возможный результат соответствует стоимости половины пакета акций, т.е. 35 долл., то ее необходимо дисконтировать по безрисковой процентной ставке 5%. В результате получаем 33,33 долл.

Цена опциона "колл" равна затратам на формирование дублирующего портфеля, которые определяются как произведение коэффициента хеджирования на текущую цену акций за вычетом взятой в долг суммы. В соответствии с законом единой цены это и есть цена опциона "колл":

С =0,5-33,33 долл. = 50 долл. - 33,33 долл. =16,67 долл.

Контрольный вопрос 15.7. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, равна не 0,2, как в рассмотренном выше примере, а 0,3. Чему равна приблизительная цена опциона "колл "?

ОТВЕТ: С-0,4 х 0,3 х 100 долл. = 12 долл.

Контрольный вопрос 15.8. Какой была бы доходность при погашении облигаций Debtco в рассмотренном выше частном случае?

ОТВЕТ. Приняв в качестве приближенной оценки акционерного капитала 12 млн долл., получаем

D •= 100 млн долл. -12 млн долл. =88 млн долл. Поэтому непрерывно начисляемая по облигациям процентная ставка R равна

R = In (108,33/88)= 0,2078, или 20,78% годовых.