§ 4. Формирование и управление инвестиционным портфелем банка

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56

Инвестиционный портфель представляет собой совокупность ак-

тивов, сформированных сознательно в определенной пропорции

для достижения одной или нескольких инвестиционных целей.

Теоретически портфель может состоять из бумаг одного ви-

да, но его можно изменять путем замещения одних бумаг дру-

гими. Однако каждая ценная бумага в отдельности, как правило,

не может достигнуть поставленных инвестиционных целей.

Основная задача портфельного инвестирования —улучшить

условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые не достижимы

с позиции отдельно взятой ценной бумаги и возможны только

при их комбинации.

Перед формированием портфеля необходимо четко опреде-

лить инвестиционные цели и далее следовать этим целям на

протяжении всего времени существования портфеля.

Цели инвестирования —это конкретные значения доходности,

риска, периода, формы и размеров вложений в ценные бумаги.

Именно то, какие цели преследует инвестор (банк), и является де-

терминантой конечного выбора инвестиционных инструментов.

Здесь мы перечислим лишь цели, которые, на наш взгляд,

чаще всего преследуются коммерческим банком на рынке цен-

ных бумаг:

•Гарантия определенных платежей к известному сроку. На-

пример, банк привлек средства через размещение собст-

венных векселей в размере 1 млн долл. под 12% годовых

сроком на один год. Естественно, он должен так размес-

тить средства, чтобы к концу года получить не менее 1 млн

120 тыс. долл.

•Получение регулярных текущих выплат и гпрпнтирование

платежей к известному сроку. Например, банк привлек на

депозит средства вкладчиков в размере 1 млн долл. под

12% годовых с выплатой процентов ежемесячно. Каждый

месяц банк должен выплачивать вкладчикам 10 тыс. долл.,

а через год он должен иметь, по крайней мере, 1 млн долл.

на выплату основной суммы долга. Соответственно банку

нужно создать такой портфель инвестиций, который спо-

собствовал бы получению текущих платежей в размере не

меньше чем 10 тыс. долл. США в месяц, а к концу срока

вкладов гарантировал бы платеж не менее чем 1 млн. долл.

•Максимизация дохода к определенному сроку. В этом случае

банк связан определенными обязательствами^ например,

при инвестировании собственных средств в ценные бумаги.

Если исходить из большинства представленных инвестици-

онных целей и общей сути банковского дела, то можно сказать,

что банк, являясь посредником ≪депозитного≫ типа, инвестирует

средства, взятые в долг, т. е. банковские инвестиции обычно

строго регламентированы как по уровню риска, так и по срокам.

Более того, если при определении инвестиционных целей уро-

вень доходности банк устанавливает самостоятельно, то в отно-

шении уровня риска существуют внешние ограничения, опреде-

ляемые центральными банками или законодательно. Например, инвестиции в акции и другие высоко рисковые активы строго

регулируются нормативными актами центральных банков, а в не-

которых странах они долгое время были запрещены коммер-

ческим банкам законодательно (акт ≪Гласса-Стиголла≫ в США).

Суть данных ограничений в том, чтобы поддержать ликвидность

и соответственно платежеспособность банковской системы в це-

лом. Поэтому, если акции и входят в банковский портфель, то

составляют небольшую часть его совокупных активов.

Очевидно, что большинству инвестиционных целей коммер-

ческого банка соответствуют инвестиции в так называемые

долговые инструменты.

Долговые ценные бумаги как вложение в невещественный ак-

тив представляют собой средства, данные в долг в обмен на

право получения дохода в виде процента. Заемщик же обязан

вернуть сумму долга в указанное время. По сути, покупку долго-

вой ценной бумаги можно охарактеризовать как заключение

кредитного договора, но в отличие от последнего ценная бумага

обладает рядом преимуществ, одно из которых —ликвидность.

Таким образом, наиболее распространенным объектом инвести-

рования для коммерческих банков являются долговые ценные

бумаги (векселя, облигации). Исходя из этого далее будут рас-

смотрены основные параметры портфеля долговых ценных бу-

маг как наиболее типичного для коммерческих банков.

После определения инвестиционных целей и выбора для инве-

стирования соответствующих видов ценных бумаг (акций, облига-

ций, срочных инструментов) важно произвести внутригрупповую

оценку этих инструментов с позиции инвестиционных целей бу-

дущего портфеля. Результатом оценки должны быть конкретные

параметры, соответствующие поставленным целям, а именно, до-

ходность, риск и цена каждого отдельного инструмента.

Несмотря на разнообразие долговых ценных бумаг, с точки

зрения методов расчета основных характеристик можно вьщелить

две их основные группы —купонные и дисконтные. Первые под-

разумевают обязательство эмитента ценной бумаги выплатить

помимо основной суммы долга (номинал ценной бумаги) еще и

заранее оговоренные проценты, начисляемые на основную сумму

долга. Вторые представляют собой обязательство уплатить толь-

ко заранее оговоренную сумму —номинал ценной бумаги.

Естественно, что они обращаются на рынке со скидкой

(дисконтом) к сумме долга.

Сегодня на рынке ценных бумаг в Российской Федерации

можно вьщелить ценные бумаги, принадлежащие как к первой, так и ко второй группе. Например, государственные купонные

облигации (ОФЗ-ПД, ОФЗ-ФД, ОВВЗ) или корпоративные об-

лигации таких эмитентов, как НК ЛУКОЙЛ, ОАО ≪Газпром≫,

ОАО ≪ТНК≫, могут быть отнесены к первой группе долговых

инструментов. Ко второй группе относятся государственные

бескупонные облигации (ГКО) и беспроцентные корпоративные

векселя ≪Газпрома≫, Сбербанка и других крупных эмитентов. По

отдельно взятой группе долговых ценных бумаг могут наблю-

даться незначительные расхождения по методам расчета тех или

иных показателей, связанные с особенностью конкретного ин-

струмента, но основные принципы расчетов неизменны и будут

приведены в качестве основы для конструирования инвестици-

онного портфеля коммерческого банка.

Основные показатели долговых ценных бумаг и методы их оп-

ределения.

1. Рыночная цена. Одним из показателей инвестиционных ин-

струментов является их рыночная цена. В большинстве случаев,

выходя на рынок ценных бумаг, инвестор сталкивается с уже

сложившимся уровнем цен (исключение составляют случаи пер-

вичного размещения и ситуации, когда инвестор располагает

столь значительными суммами, что способен влиять на рынок).

Данный уровень цен задается рынком и является внешним по

отношению к инвестору.

На вторичном рынке цена долговых инструментов, как пра-

вило, устанавливается в процентах к номиналу. Это соотноше-

ние называется курсом облигации или векселя;

К = |-100, отсюда i> = ^ f - (1)

Если речь идет о бескупонных облигациях или дисконтных

векселях, то для вычисления цены достаточно формулы (1). Од-

нако для вычисления цены облигаций с купоном требуется рас-

считать также и накопленный купонный доход (НКД). Несмот-

ря на то, что купон в полной сумме выплачивается эмитентом

облигаций тому лицу, которому они принадлежат на дату вы-

платы, или купонную дату, каждый предыдущий владелец также

имеет право на получение дохода пропорционально сроку вла-

дения. Это достигается тем, что при приобретении облигаций их

покупатель должен выплатить прежнему владельцу помимо соб-

ственно цены, или ≪чистой≫ цены, облигаций также и величину

накопленного купонного дохода, которая рассчитывается по

формуле:

нкд =

T-t,

(2)

где С —размер текущего купона, в руб.,

Т —текущий купонный период, в днях;

tx —время (в днях), оставшееся до выплаты ближайшего купона.

Таким образом, полная (≪грязная≫) стоимость купонной об-

лигации рассчитывается как сумма ≪чистой≫ цены облигации и

(3)

Задача 1.Облигация с известным купонным доходом (ОФЗ-

ПД №25021RMFS5) приобретена 26.04.2000 г. по курсу 91,5%.

Параметры ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 указаны в таблице 1.

Номинал —1000 руб.

Параметры ОФЗ-ПД № 25021RMFS5

Таблица 1

Дата аукциона

или дата вы-

платы купона

21.01.98

21.07.98

20.01.99

21.07.99

19.01.00

19.07.00

17.01.01

Номер

купонного

периода

Купонный

период

182

Величина

купона, %

годовых

Объявленный

купон, руб.

74,79

Определите накопленный купонный доход. Какую цену дол-

жен заплатить покупатель облигации (не считая комиссионного

вознаграждения и других накладных расходов)?

Решение. 1. Находим ≪чистую≫ стоимость облигации:

= 1 0 0 0 ? ^ = 915 (руб.).

100

2. Рассчитываем НКД\

182

Q = 1000 •0Д5 •- —= 74,79 (руб.) —размер купона (последний

V365J

столбец табл. 1);

tx = 19.07.00 - 26.04.00 = 84 (дн.) —количество дней до выпла-

ты ближайшего купона;

Т = 182 (дн.) —купонный период.

133

НКД= (74,79/182) •(182 - 84) = 40,272 (руб.).

Цена облигации с НКД (≪грязная≫ цена) = 915 + 40 272 =

= 955 272 (руб.)

Как формируется рыночная цена облигации? Как и цена

любого товара, цена облигации формируется под воздействием

спроса и предложения со стороны инвесторов. При этом, одна-

ко, цена облигации не является абсолютно случайной, а колеб-

лется около своего естественного значения, своей внутренней

стоимости. При определении того, какой должна быть цена

долгового инструмента, инвестор должен дисконтировать ожи-

даемые платежи и просуммировать их, т.е. вычислить чистую

текущую стоимость потока платежей.

Обозначим через СиС2С3, , Сл все ожидаемые денеж-

ные доходы, сюда же относятся выплаты по купонам и цена по-

гашения. Тогда современная (рыночная) стоимость облигации Р

равна сумме всех дисконтированных доходов:

р - С1 | С2 , С3 •| Сп (А)

i+i ( i i ) 2 ( i i ) 3 (iiY9

где / —эффективная доходность или ставка дисконтирования (в за-

висимости от решаемой задачи).

Формула (4) позволяет решать две основные задачи:

а) определять цену облигации, если известна ставка дискон-

тирования;

б) определять эффективную доходность, если известна цена

облигации.

Частный случай формулы (4) для купонных инструментов

формула (5) и дисконтных (6):

1+IooJ

(5)

Р-—-r, (6) -M3 6 5

100 J

где ie —эффективная доходность, или ставка дисконтирования

(в процентах, с точностью до сотых процента);

N —номинал облигаций, руб.;

Р —цена облигаций, руб.;

НКД —величина накопленного купонного дохода, руб.;

Ск —размер к-того купона, руб.;

п —количество предстоящих выплат купона;

к —число дней до выплаты соответствующего купона;

t —срок до погашения облигаций, в днях.

Как правило, t = tn.

Задача 2. Определите приемлемый для вас максимальный

курс покупки государственной купонной облигации ОФЗ-ФД

№27001RMFS5 на вторичных торгах 26.04.2000 г. при условии,

что альтернативное вложение обладает доходностью 50% годо-

вых. Параметры ОФЗ-ФД №27001RMFS указаны в таблице 2.

Номинал —10 руб.

Таблица 2

Параметры ОФЗ-ПД № 27001RMFS5

Дата аукциона

или дата вы-

платы купона

19.08.98

10.02.99

12.05.99

11.08.99

10.11.99

09.02.00

10.05.00

09.08.00

08.11.00

07.02.01

09.05.01

08.08.01

07.11.01

06.02.02

Номер

купонного

периода

Купонный

период

175

Величина

купона,

% годовых

Объявленный

купон, руб.

1,44

0,75

0,62

0,5

0,37

Решение. Облигация должна быть приобретена по цене,

обеспечивающей доходность не ниже 50% годовых. Соответст-

венно, ставка дисконтирования будет равна 0,5.

Размер купона в рублях уже рассчитан в последнем столбце

таблицы 2. Рассчитаем ≪грязную≫ цену облигации по формуле (5):

0,5 0,5 0,5 0,5 0,37 0,37 + 10

1,5365 1,5365

1,5365

287

1,5365

378

1,5365

469

1,5 365

560

1,5365

651

1,5365

135

Р + НКД = 7,783628153 (руб.).

Расчет НКД ОФЗ-ФД:

( 9\Л

С = 10 •0,25 •— . = 0,62 (руб.) —размер купона (последний

^365J

столбец табл. 2);

tx = 10.05.00 - 26.04.00 = 14 (дн.) —количество дней до выплаты

ближайшего купона;

Т = 91 (дн.) —купонный период.

НКД ОФЗ - ФД = (0,62/91)- (91 -14) = 0,5246154 (руб.).

Р = 7,783628153 - 0,5246154 = 7,259013 (руб.).

Приемлемый курс облигации —72,59%,

2. Доходность долговых инструментов. Доходность является

важнейшим показателем, на основе которого инвестор может оце-

нить результаты финансовых операций и сравнить различные ва-

рианты альтернативных вложений денежных средств. Доходность

определяется как отношение полученной прибыли к затратам с

учетом периода инвестиций и приводится к единому базовому пе-

риоду (обычно годовому). При формировании портфеля исследу-

ются два вида доходности: ожидаемая доходность и фактическая.

Ожидаемая доходность оценивает будущие перспективы ценной

бумаги. В качестве ожидаемой доходности может быть исполь-

зована доходность к погашению. Фактическая (текущая) доход-

ность характеризует эффективность операции от момента по-

купки (в частности, момент первичного размещения) до пред-

полагаемого момента продажи (например, текущий момент).

Несмотря на то что фактическая доходность облигаций опреде-

ляется за прошедший период и непосредственно не определяет

эффективность инвестиций в будущем, тем не менее динамика

этого показателя позволяет выявить основные тенденции рынка,

рассчитать риск ценной бумаги и принять решение для прове-

дения инвестиций в будущем.

Фактическая доходность бескупонных и купонных облига-

ций с учетом особенностей каждого вида ценных бумаг может

определяться по формуле:

-Шт <7)

136

где Ах; А2 —соответственно уплаченный и накопленный купонный

доход,

Рх; Р2 —соответственно цена в начале и конце периода инвестиций,

^К, —полученные купонные выплаты,

Тг —период инвестиций.

Доходность к погашению рассчитывается двумя способами:

первый подразумевает простое начисление процентов; второй — начисление по сложной процентной ставке, т.е. с учетом реин-

вестирования доходов.

Для бескупонных облигаций и беспроцентных векселей доходность

к погашению может быть рассчитана по следующей формуле:

(8)

где / —доходность к погашению по формуле простых процентов, %,

N —номинал облигаций, руб.,

Р —цена облигаций, руб.,

t —количество дней до погашения.

Формула (7) используется для расчета доходности бескупон-

ных облигаций (ГКО), публикуемой в отчетах ММВБ. Однако

она является доходностью к погашению, которая рассчитана на

основе простых процентов. Вместе с тем практически всегда

существует возможность для реинвестирования полученных до-

ходов, в этом случае рассчитывают эффективную доходность к

погашению:

NXT •00%. (9)

Расчет доходности к погашению купонных облигаций произво-

дится, как правило, по формуле сложных процентов, т.е. с учетом

реинвестирования купонов. Для этого используют формулу для

расчета ≪грязной≫ цены облигации, рассмотренную нами ранее (5):

^ Ct N

100 J ^ 100 J

где ie —эффективная доходность (в процентах, с точностью дб сотых

процента).

Данная формула используется в официальных отчетах ММВБ

при расчете доходности к погашению государственных купонных

облигаций (ОФЗ-ФД и ОФЗ-ПД).

Эффективная доходность (ie) рассчитывается путем много-

кратного расчета с подстановкой пробных значений (ie) и вне-

сения поправок в повторный расчет до достижения требуемой

для инвестора точности вычислений.

Учитывая сложность расчета эффективной доходности к по-

гашению, можно вычислить доходность к погашению по про-

стой процентной ставке:

Но всегда следует помнить, что доходность к погашению /,

рассчитанная с использованием простого процента, в некоторых

случаях может сильно отличаться от эффективной доходности к

погашению ie, рассчитанной с использованием сложной про-

центной ставки.

Задача 3. На вторичных торгах 26.04.2000 г. курс ГКО №

21139RMFS9 составил 98,68%; курс ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 -

91,5%; курс ОФЗ-ФД № 27001RMFS5 - 78,99%.

1. Определите, инвестиции в какие ценные бумаги будут

наиболее эффективными с точки зрения доходности к погаше-

нию. Доходность рассчитайте с учетом простой и сложной про-

центной ставки. Данные по купонным облигациям следует взять

из предыдущих примеров, параметры ГКО № 21139RMFS9: но-

минал —1000 руб.; погашение —31.05.2000 г.

2. Рассчитайте текущую доходность для купонных облигаций

при условии, что цены аукционов соответствующих облигаций

составляют:

ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 - 80%

ОФЗ-ФД № 27001 RMFS5 - 70%.

Решение. 1. Рассчитаем доходность к погашению по ГКО

№ 21139RMFS9 исходя из сложной и простой процентной ставки:

где N = 1000 (руб.),

Warn =31.05.2000-26.04.2000= 35 (дней).

Р = 98,68- Ш. =986,8 (руб.),

1UU

138

Простая ставка:

Эффективная ставка:

365 365

^986,8j

100% = 14,8634 (%).

2. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ПД

№25021RMFS5 исходя из сложной и простой процентной ставки:

где N= 1000 (руб.).

~ П1 с 1000

р = 9 1 '5 Тоо-=

С, = 1000 •0,15 •| j H J = 74,79 (руб.),

НКД= 40,272 (руб.),

Warn. = 84 + 182 =266 (дней).

Простая ставка:

. ((1000-915 + 74,79 •2-40,272)^ (365^ П94,:

1 \ 955,272 J'l266j' 1,955,:

•137,218 = 27,91%.

Эффективная ставка:

^ С„N

308

272

1365

915 + 40,272 = 2 -

100 )

14,19

100

365

84 266 '

\365

Отсюда находим ie. Это можно сделать при помощи стан-

дартных средств EXCEL (функция ≪подбор параметров≫). В дан-

ном случае ie = 30,57%.

3. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ФД

№ 27001RMFS5 исходя из сложной и простой процентной ставки:

где N=10 (руб.).

^-'Жв д )]-?-'≪*

7Я QQ

Р = Ю - - ^ = 7 , 8 9 9 (руб.),

Q = 10 •0,25 •Q^j = 0,62 (руб.),

НКД= 0,5246154 (руб.),

'погаш = 14 + 7 •91=651(ДН.).

Простая ставка:

/ = ((10 - 7,899 + 2 •0,62 + 4 •0,5 + 0,37 •2 - 0,5246154)/

/ 8,423615385) •(365/651)-100 = ((10 - 7,899 + 1,24 + 2 + 0,74 -

0,5246154)/8,423615385) •56,067588325= (5,5563846/8,423615385) • •56,067588325=36, 983299%.

Эффективная ставка:

расчет эффективной доходности к погашению (ij при помощи

стандартных средств EXCEL дал результат, равный 41,67% годовых.

Таким образом, наибольшей доходностью обладают инве-

стиции в ОФЗ-ФД № 27001RMFS5.

Данное обстоятельство легко объяснимо: ведь чем больше

срок инвестирования, тем выше должна быть доходность инве-

стиционного инструмента.

4. Рассчитаем текущую доходность купонных облигаций:

f7,899+ 1,44-0,75-2+ 0,62-2+ 0,5246154^ 365 1ПЛ л(,ссосл(с\

'ОФЗ-ФД = I ~ ~ 1 I •gjg •ЮО = 106,6864 {%)

3. Срок обращения долговых ценных бумаг, понятие дюрации.

Чем больше срок облигации, тем более изменчива ее курсо-

вая стоимость, т.е. небольшие изменения рыночной процентной

ставки А/ могут приводить к существенным изменениям курса

облигации АА".

С другой стороны, курс более стабилен для облигаций с вы-

сокими купонными выплатами. Величина, зависящая от срока

облигации и величины купонных выплат, которая количествен-

но связывает колебания рыночного курса с колебаниями ры-

ночной процентной ставки, называется дюрацией (duration — 140

продолжительность). Дюрация (D) определяется как средне-

взвешенное (по дисконтированным доходам) время получения

соответствующих доходов:

где Q —величины доходов (включая погашение номинала), полу-

ченных в моменты времени t^.

Дюрация имеет размерность времени, т. е. выражается в го-

дах. Для бескупонных облигаций дюрация равна сроку облига-

ции D = п. В остальных случаях выполняется неравенство D < п

за счет купонных выплат.

Частный случай формулы 10:

Дюрация является качественной и количественной характе-

ристикой процентного риска, связанного с владением облигаци-

ей. Чем меньше дюрация, тем быстрее получается отдача от об-

лигации и тем меньше риск неполучения доходов.

Кроме того, справедливы следующие утверждения. Чем боль-

ше срок облигации, тем больше дюрация, и наоборот. Также чем

больше ставка помещения (дисконтирования), тем меньше дюра-

ция. Допустим, рыночные процентные ставки изменились на ве-

личину А/. Дюрация связывает колебания процентной ставки А /,

с колебаниями курса облигации АА1. Можно показать, что при

небольших изменениях процентной ставки курс облигации изме-

нится на следующую величину:

AK = -FmAi{%\ (13)

хг MDK

MD = J L , (15)

1 + /

где А/ (%) —изменение доходности, выраженной в процентах. Ве-

личину Fm называют коэффициентом Маколи, а ве-

личину MD —модифицированной дюрацией.

Примечание: в данном случае под Курсом подразумевается ≪грязный≫ курс облигации.

Новый курс облигации Кн о в (после изменения процентной

ставки) отличается от старого КсТар. на величину, определяемую

соотношением (13).

Кнов. = КсТар. + АК (16)

Знак минус в соотношении (13) возникает в соответствии с

тем, что увеличение процентной ставки приводит к уменьшению

курса, а уменьшение процентной ставки —к его увеличению.

Формула (13) описывает изменение курса облигации при не-

больших (на 1—%) изменениях доходности. Коэффициент Ма-

коли равен абсолютному изменению курса облигации при изме-

нении доходности на 1%. Соотношение (13) показывает, что об-

лигации с меньшей дюрацией обладают более стабильным кур-

сом. Анализируя зависимость дюрации от разных параметров,

можно прийти к следующим выводам.

Облигации с низким купоном более чувствительны к изменени-

ям процентной ставки (при том же сроке), чем облигации с высо-

ким купоном.

Облигации с большим сроком более чувствительны, чем крат-

косрочные (при том же купоне).

Процентный риск облигаций включает ценовой риск и риск

реинвестирования купона, при этом данные риски действуют в

противоположных направлениях. Когда процентные ставки рас-

тут, цены облигаций падают. Это невыгодно держателям обли-

гаций, поскольку их вложения обесцениваются. В то же время

купонные платежи могут быть реинвестированы по более высо-

ким ставкам, что может возместить инвесторам их потери.

Вполне естественно, что держатели облигаций будут стремиться

уравновесить риск цены и риск реинвестирования так, чтобы

они взаимно компенсировали друг друга. Эта процедура называ-

ется иммунизацией (англ. immunisation).

Стратегия иммунизации предполагает, что дюрация облига-

ции в точности совпадает с оптимальным, с точки зрения инве-

стора, периодом владения данной ценной бумагой. В этом случае

при росте процентных ставок инвестор находится в выигрыше,

поскольку он получает возможность реинвестировать процентные

выплаты по более высокой ставке, но при этом он сталкиваются

с потерями капитала. И напротив, при падении процентных ста-

вок инвесторы реинвестируют по более низким ставкам, но полу-

чают дополнительный доход от прироста капитала.

Задача 4. Даны две государственные облигации ОФЗ-ФД

следующих серий: 27001RMFS5, 27011RMFS4. На вторичных

торгах 26.04.2000 г. курс этих облигаций составил 78,99% и

61,4% соответственно. Найдите среднерыночную доходность к

погашению по представленным ценным бумагам, дюрацию, мо-

дифицированную дюрацию и коэффициент Маколи. Как изме-

нится курс каждой облигации при изменении рыночной доход-

ности на 1%?

Основные показатели ОФЗ-ФД № 27001RMFS5 возьмем из

предыдущих задач. Параметры ОФЗ-ФД № 7011RMFS4 указаны

в таблице 3.

Номинал —10 руб.

Таблица 3

Параметры ОФЗ-ФД № 27011RMFS4

Дата аукцио-

на или дата

выплаты ку-

пона

19.08.98

14.07.99

13.10.99

12.01.00

12.04.00

12.07.00

11.10.00

10.01.01

11.04.01

11.07.01

10.10.01

09.01.02

10.04.02

10.07.02

09.10.02

08.01.03

09.04.03

09.07.03

08.10.03

Номер

купонного пе-

риода

Купонный

период

329

Величина

купона, %

годовых

Объявленный

купон, руб.

2,7

0,62

0,5

0,37

0,25

143

1. Произведем расчет доходности к погашению по ОФЗ-ФД

№ 27011RMFS4.

( 9\Л

Cj = 10 •0,25 •-Г77 I 0>62 (руб.) —размер купона (последний

V365J

столбец таблицы),

t\ = 12.07.00 - 26.04.00 = 77(дн.) —количество дней до вы-

платы ближайшего купона,

Т = 91 (дн.) —купонный период.

НКд= ГМ2) . (91 - 77)= 0,0953846 (руб.).

Цена облигации с НКД (≪грязная≫ цена) = ≪Чистая≫ цена +

Накопленный купонный доход = 10 •0,614 + 0,0953846= 6,2353846

(руб.), соответственно ≪грязный≫ курс=6,24 —100/10=62,4%. Рас-

чет эффективной доходности к погашению (4) при помощи стан-

дартных средств EXCEL дал результат, равный 42,5% годовых.

Эффективная доходность к погашению для ОФЗ-ФД

№ 27001RMFS5 равна 41,67% (см. прим. 3).

2. Рассчитаем среднерыночную процентную ставку:

(42,5+41, 67)/2=42 (%).

3. Рассчитаем дюрацию и коэффициент Маколи для каждой

облигации:

1 1

'27QURMFS4 6,24 365

= 2,299 г.

1,42365 1,42365 1,42365

2 299

^ ^ = 1,619 (года);

F m = 1,619-0,624=1,010256;

ДАТ = -1,010256-1 = -1,010256(%) —изменение ≪грязного≫

курса;

= 62.4-1,010256 = 61,39% —новый ≪грязный≫ курс.

D2701 \RMFS4 7,899 + 0,525 365

0,62 1 Л . 0,62 ,С 1 0,37

Ч + Ю 5 Ц + + 651

14-

^ 1,423≪ 1,42365 1,42365 J

= 1,389

Fm = 0 , 9 7 8 - - ^ = 0,8238672.

AK = - 0,8238672 •1= - 0,8238672 (%) —изменение ≪гряз-

ного≫ курса;

Кнов. = 84,24 ~ 0,8238672= 83,42 (%) —новый ≪грязный≫ курс.

Таким образом, дюрация облигации ОФЗ-ФД № 27011RMFS4

больше, чем дюрация ОФЗ-ФД № 27001RMFS5, следовательно,

первая облигация более чувствительна к изменению процентных

ставок и обладает повышенным уровнем процентного риска.

4. Риск ценных бумаг. Рассмотренные показатели - коэффи-

циент Маколи и дюрация —могут характеризовать степень про-

центного риска, связанного с владением облигацией или вексе-

лем. Между тем процентный риск —это всего лишь один из це-

лого ряда рисков, сопутствующих процессу инвестирования в

долговые ценные бумаги.

Совокупный риск долговой ценной бумаги = Кредитный риск +

+ Процентный риск + Риск ликвидности.,

Существует несколько методов оценки риска ценных бумаг.

Измерить агрегированный риск ценной бумаги —значит, изме-

рить вероятность того, что фактическая ее доходность будет ко-

лебаться в определенных пределах. Динамический ряд с данны-

ми о фактической доходности ценной бумаги дает возможность

составить график распределения вероятности (ось абсцисс — ставки доходности, ось ординат —плотности вероятности), а

также рассчитать средневзвешенную доходность ценной бумаги

за ряд лет.

Чем ≪выше≫ и более ≪сжат≫ график распределения вероятно-

сти, тем больше шансов, что реальная доходность будет соответ-

ствовать средневзвешенной. Следовательно, чем ≪выше≫ и более

≪сжат≫ график распределения вероятности, тем ниже риск, свя-

занный с ценной бумагой. Иными словами, чем меньше колеб-

лется вероятность получения данной средней доходности, тем

меньше риск инвестиций в эту ценную бумагу. Это означает,

что показатель вариации доходности является показателем

оценки риска.

Общепринятый показатель вариации —среднеквадратиче-

ское отклонение:

где а —среднеквадратическое отклонение фактической доходности,

ik —значение фактической доходности в каждом периоде,

i —среднее значение фактической доходности за ≪-периодов,

п —число периодов.

Вместе с тем указанный показатель не дает возможности

сравнивать ценные бумаги с разными уровнями доходности. В

этом случае используют коэффициент вариации (оценку риска

на величину доходности):

Коэффициент вариации = -.(18)

Средняя доходность ценной бумаги

Приведем пример. В таблице 4 содержатся данные для срав-

нения риска и доходности ценных бумаг различных эмитентов.

Таблица 4

Оценка риска и доходности ценных бумаг

Наименование

ценной бумаги

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

Векселя Сбербанка

Векселя ≪Газпрома≫

Средняя фактиче-

ская доходность

за ряд лет, %

16,7

35,7

8,0

40,0

Среднеквадратиче-

ское отклонение

доходности, %

48,9

93,6

19,0

65,0

Коэффициент

вариации

доходности

2,93

2,62

2,37

1,63

Наименее рискованными (с точки зрения размера риска на

величину дохода) и наиболее доходными являются дисконтные

векселя ≪Газпрома≫.

Показатели и оценка инвестиционного портфеля. После того как

произведена оценка инвестиционных инструментов, можно при-

ступать к формированию портфеля. Главный принцип при этом — создание такого портфеля, показатели которого будут наиболее

полно соответствовать поставленным инвестиционным целям.

Основными показателями портфеля, как уже отмечалось,

являются доходность, риск, срок и размер вложений в ценные

бумаги. Кроме того, могут быть определены дополнительные

показатели, такие, как ликвидность портфеля, окупаемость

операций по его формированию и т.д.

Большинство показателей портфеля представляют собой ус-

редненные показатели входящих в портфель ценных бумаг. На

основе основных и дополнительных показателей портфеля могут

быть рассчитаны агрегированные показатели, позволяющие

сравнивать эффективность нескольких портфелей.

/. Текущая стоимость портфеля —основной показатель, ко-

торый рассчитывается как сумма текущих цен всех инструмен-

тов портфеля по формуле:

(19)

где Рр —цена портфеля (текущая стоимость портфеля),

Рт —текущая рыночная цена т-го инструмента портфеля (для

купонных облигаций ≪грязная≫ цена),

Qm —количество инструментов т-то вида в портфеле.

Задача 5. Коммерческий банк решил сформировать инвести-

ционный портфель из трех типов государственных облигаций:

ГКО № 21139RMFS9, ОФЗ-ПД № 25021RMFS5; ОФЗ-ФД

№ 27001RMFS5. На вторичных торгах 26.04.5000 г. курс этих

облигаций составил 98,68%, 91,5%, 78,99% соответственно.

Рассчитайте расходы банка по формированию портфеля (без

учета комиссий и других дополнительных затрат), есвш структу-

ра портфеля должна выглядеть следующим образом: ГКО — 1000 шт; ОФЗ-ПД - 2000 шт.; ОФЗ-ФД - 100000 шт.

Параметры соответствующих облигаций следует взять из

предыдущих задач.

Решение.

Находим ≪чистую≫ стоимость каждой облигации по формуле:

p=KN

^ , = 1 0 0 0 . ^ = 986,8 (руб.),

^2 = Ю 0 0 - ^ = 915 (руб.),

100

/>3 = 10 • 100

78,99 _

100

= 7,899 (руб.).

2. Рассчитываем НКД (данные —из предыдущих задач):

яедтко=о,

НКД ОФЗ-ПД = 40,272 (руб.),

НКД ОФЗ-ФД = 0,5246154 (руб.).

Составим таблицу 5 для расчета цены портфеля.

Расчеты цены портфеля

Таблица 5

Наименова-

ние ценной

бумаги

ГКО

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

Итого Z

≪Чистая≫

стоимость

облигации,

руб.

986,8

915

7,899

НКД,

руб.

40,272

0,5246154

≪Грязная≫

стоимость

облигации,

руб.

986,8

955,272

8,4236154

Количество

ценных бумаг

в портфеле,

шт.

1000

2000

100000

Итого,

Pm-Qn,

986800

1910544

842361,54

3739705,54

Таким образом, затраты по формированию инвестиционного

портфеля банка составят 3 739 705,54 руб.

Под инвестиционные операции в коммерческом банке отво-

дятся отдельные лимиты денежных средств. При формировании

портфеля соблюдение этих лимитов является первоочередной

задачей управляющего инвестициями, для данных целей рассчи-

тывают показатель текущей стоимости портфеля.

2. Доходность портфеля (ip) —комплексный показатель, ха-

рактеризующий эффективность вложения средств и возможный

будущий доход инвестора. Показатель доходности портфеля по-

зволяет оценить эффективность вложений средств и выбрать

альтернативный вариант инвестирования в различные финансо-

вые инструменты рынка ценных буцаг.

Доходность портфеля долговых ценных бумаг рассчитывает-

ся путем математического взвешивания доходности каждого ин-

струмента, помещенного в портфель, по его денежному объему в

портфеле. При этом доходность долговых инструментов может

определяться по выбору инвестора либо как доходность к пога-

шению, рассчитанная на основе простой ставки, либо как эф-

фективная доходность.

i - JH - JE (70)

ZJ rm Urn rp

где ip —доходность портфеля, в % год.;

im —доходность к погашению долгового инструмента /я-го вида;

Рт —текущая рыночная цена /w-го инструмента портфеля;

Qm —количество инструментов т-то вида в портфеле;

Рр —цена портфеля (текущая стоимость портфеля).

Задача 6. Рассчитайте доходность портфеля, состоящего из

государственных облигаций следующих типов: ГКО

№ 21139RMFS9 - 1000 шт; ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 - 2000 шт;

ОФЗ-ФД № 27001RMFS5 - 100 000 шт.

На вторичных торгах 26.04.2000 г. курс этих облигаций со-

ставил 98,68%, 91,5%, 78,99% соответственно.

Данные по облигациям соответствующих выпусков можно

взять из предыдущих задач.

1. Рассчитаем доходность к погашению по ГКО № 21139RMFS9

исходя из сложной и простой процентной ставки (данные взяты

из задачи 3):

простая ставка: / = 13,95%,

эффективная ставка: ie = 14,8634%.

2. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ПД

№ 25021RMFS5 исходя из сложной и простой процентной став-

ки (данные взяты из задачи 3):

простая ставка: / = 27,91%,

эффективная ставка: ie = 30,57%.

3. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ФД

№27001RMFS5 исходя из сложной и простой процентной став-

ки (данные взяты из задачи 3):

простая ставка: / = 36,983299%,

эффективная ставка: ie = 41,67% годовых.

4. Определим доходность всего портфеля исходя из рассчи-

танных доходностей отдельных облигаций. Для этих целей со-

ставим таблицу 6.

Таблица 6

Расчет доходности облигаций

Наименова-

ние ценной

бумаги

ГКО

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

Итого ^Г

Доход-

ность по

простой

ставке — i, % годо-

вых

13,95

27,91

36,983299

Доход-

ность по

эффек-

тивной

ставке — ie, %

годовых

14,8634

30,57

41,67

Количе-

ство

ценных

бумаг в

портфе-

ле, шт.

1000

2000

100000

PmQm

986 800

1 910 544

842 361,54

3739705,54

0,263871

0,510881

0,225248

PmQm

' Р,

3,681001

14,25868

8,330418

26,2701

3,922021

15,61763

9,386088

28,92574

Таким образом, ожидаемая доходность портфеля государст-

венных облигаций, рассчитанная на основе простой процентной

ставки, равна 26,27%, а на основе эффективной процентной

ставки —28,93%.

3. Срочность портфеля долговых ценных бумаг. Срочность

портфеля долговых ценных бумаг, т.е. временной период, в тече-

ние которого денежные средства инвестора размещаются в ценные

бумаги, характеризуется обобщенным показателем —дюрацией.

Дюрация портфеля долговых инструментов учитывает дюра-

ции отдельных инструментов, их денежные объемы в портфеле

и процентные ставки по доходности к погашению.

Дюрация портфеля долговых инструментов рассчитывается

по формуле:

(21)

где Dm —дюрация т-то долгового инструмента1,

1 Примечание: для бескупонных облигаций и дисконтных векселей дюрация равна сроку до

погашения.im —доходность к погашению инструмента т-то вида (в долях

единицы),

Рт —текущая рьшочная цена т-то долгового инструмента портфеля,

Qm —количество инструмента т-то вида в портфеле.

При расчете дюрации портфеля следует учитывать каждую

покупку долгового инструмента как отдельный платеж незави-

симо от того, покупался новый инструмент или этот инструмент

уже имелся в портфеле инвестора.

Задача 7. Определим дюрацию портфеля, состоящего из раз-

личных видов государственных облигаций. Состав портфеля

приводится в таблице 7.

Таблица 7

Состав портфеля ценных бумаг

На-

имено-

вание

ценной

бумаги

гк!о№

21139

ОФЗ-

пд

№25021

ОФЗ-

ФД№

27001

ОФЗ-

ФД№

27011

Вексель

≪Газ-

прома≫

Вексель

Сбер-

банк

Итого

Срок до

погаше-

ния или

дюра-

ция — А..

дней

252,6

509,011

830,25

Коли-

чество

в порт-

феле — О,

1000

2000

150000

100000

Цена — Рт

986,8

955,272

8,424

6,24

940334,64

977014,6361

Ставка -

0,1486

0,3057

0,4167

0,425

0,315

0,23

146 638,48

584 053,3

526542,12

265,200

296205,4116

224713,3663

2043352,679

QmPm im

HQm-Pm-im

0,071764

0,285831

0,257685

0,129787

0,14496

0,109973

D Qm'PmL

m HQmP.L

2,511728

72,20088

131,1647

107,7554

11,88676

4,508888

330,0284

Таким образом, дюрация портфеля составляет: 2,5 + 72,2 +

131,2 + 107,8 + 11,9 + 4,5 = 330 дней.

Дюрация является важным показателем, который позволяет

выбрать вариант формирования портфеля долговых ценных бу-

маг. С одной стороны, при прочих равных условиях предпочти-

тельным является тот портфель, у которого дюрация меньше,

так как в этом случае денежные средства инвестора имеют луч-

ший оборот и приносят больший доход. Но с другой стороны,

дюрация позволяет хеджировать процентный риск.

Рассмотрим инвестора, который вкладывает средства в об-

лигации и должен вернуть часть средств через два года. Как

должен такой инвестор сформировать свой портфель?

Самой простой тактикой данного инвестора является приоб-

ретение дисконтных инструментов, погашающихся через два года.

Если речь идет о высоконадежных инструментах, то инвестор

практически фиксирует свои платежи. Подобная тактика называ-

ется синхронизацией платежей. На практике, однако, она не

всегда желательна. Дело в том, что на рынке может просто не

быть дисконтных облигаций с соответствующими характеристи-

ками. Кроме того, инвестор вынужден слишком сильно лимити-

ровать себя в отношении уровня доходности. Поэтому часто при-

меняется такой вариант, как иммунизация. Иммунизация означа-

ет формирование портфеля, дюрация которого совпадает с дюра-

цией обязательств. При иммунизации инвестор формирует порт-

фель, имеющий такую же дюрацию, что и его обязательства.

Задача 8. Допустим, коммерческий банк должен осуществить

через два года платеж величиной 1 000 000 руб. На рынке име-

ется два вида облигаций:

тип А —одногодичная дисконтная облигация номиналом 1000 руб.

(ГКО);

тип В —трехгодичная купонная облигация с купонной ставкой 8%

и номинальной стоимостью 1000 руб. (ОФЗ-ПД).

1. Постройте портфель, полностью хеджирующий риск из-

менения процентной ставки при условии, что текущая процент-

ная ставка равна 10%.

2. Рассчитайте, как изменится полная стоимость портфеля

для различных процентных ставок: 9%, 10%, 11%.

Решение.

Таблица 8

Расчет дюрации трехлетней облигации

Время

выплат

Сумма

выплат

1080

Ставка дисконта

1/1,1=0,9091

1/1,21=0,8265

1/1,331=0,7513

Приведенная стоимость:

Приведенная

текущая

стоимость

72,73

66,12

811,4

950,25

t-PV

72,73

132,24

2434,2

2639,2

Дюрация = | | | ^ | = 2 , 7 8 (года).

Рассчитаем число облигаций типа А и типа В в портфеле.

Пусть wl, w2 —веса, или пропорции, по которым средства инве-

стируются. Для нахождения весов надо решить систему уравнений:

Wi + W2 = 1.

Далее: wi •D ^ w2 •D2 = 2; (wr •1) + (w2 •2,78) = 2,

Dj =1; D2 = 2,78; wj = 0,4382; w2 = 0,5618.

Если будущая стоимость портфеля должна быть равна

1000000 руб., то облигаций обоих типов, с учетом текущей про-

центной ставки (10%), следует взять на сумму, равную:

1000 000 o^CAAC^Oi ^Ч

———= 826446,28 (руб.).

Облигаций типа А надо купить на сумму 826446,28 •0,4382 =

= 362 149 (руб.).

Облигаций типа В надо купить на сумму 826446,28 •0,5618 =

= 464 297 (руб.).

Представим структуру портфеля, хеджирующего риск изме-

нения процентных ставок в штуках облигаций.

Таблица 9

Структура портфеля, хеджирующего риск

Тип

облигаций

Тип А

Тип В

Состав

портфеля, руб.

362149

464297

Приведенная стоимость

одной облигации

1000/1,1=909,091

950,25

Состав

портфеля, шт.

362149/909,091=398

464297/950,25=489

Таблица 10

Расчет портфеля облигаций для различных процентных ставок

Вид будущего

дохода

Сумма от реинвести-

ции дохода от облига-

ций 1 на конец года.2

Сумма, полученная от

реинвестиции купо-

нов, выданных в мо-

мент времени t=l

Купоны, полученные

в момент времени

Т=2

Цена продажи трех-

летней облигации в

момент времени t=2

Общая стоимость

портфеля

Доход к погашению в зависимости

от процентных ставок

0,08

1000-(1+0,08) • •398 = 429840

80-(1+0,08) • •489 = 42249,6

80-489 = 39120

489-1080/(1+0,08)=

= 489000

1000210

0,10

1000-(1+0,1) • •398 = 437800

80-1,1-489 =

= 43032

80-489=39120

489-1080/1,1 =

= 480109

1000061ДЮ1

0,11

1000-1,11-

•98 = 441780

80-1,11-489 =

= 43423,2

80-489=39120

489-1080/1,11 =

=475783,78

1000107

1 Примечание: при точных расчетах данный показатель должен равняться 1000000 руб., но

так как мы производили промежуточные округления, то произошла небольшая погрешность

в вычислениях.

Выводы: портфель иммунизирован к риску изменения про-

центной ставки. Остаются риск ликвидности и риск неуплаты. В

реальности сдвиг кривой доходности к погашению не везде па-

раллелен и обеспечить согласованность денежных потоков не

всегда просто. Для этого нужно использовать более сложные

формы кривых доходностей.

Риск портфеля. Если при анализе риска используются стати-

стические методы, то ожидаемые риски портфеля представляют

собой сочетания стандартных отклонений входящих в него ак-

тивов. В связи с тем, что различные активы по-разному реаги-

руют на конъюнктурные изменения рынка, ожидаемый риск

портфеля в большинстве случаев не соответствует средневзве-

шенной величине стандартных отклонений входящих в него ак-

тивов. Для измерения степени взаимосвязи и направления из-

менения текущих доходностей двух активов используются стати-

стические показатели ковариации и корреляции.

Ковариация определяется по формуле:

kffiЧ (22)

где / (12) ~~ доходность актива (1 или 2) в k-м периоде,

/(i,2) —средняя доходность актива (1 или 2) за п периодов.

Положительное значение ковариации свидетельствует о том,

что доходности изменяются в одном направлении, отрицатель-

ное —в обратном. При слабо выраженной зависимости значе-

ние ковариации близко к нулю.

Ковариация зависит от единицы измерения исследуемых ве-

личин, что ограничивает ее применение на практике. Более

удобным в использовании является производный от нее показа-

тель —коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:

п-С-^Ш. (23)

Коэффициент корреляции обладает теми же свойствами, что

и ковариация, но является безразмерной величиной и принима-

ет значения от +1 до —. Для независимых случайных величин

корреляция близка к нулю.

Таким образом, стандартное отклонение портфеля из двух

активов определяется по формуле:

^ . а , . ^ - ^ , (24)

где W\, W2 —удельный вес /-го актива в портфеле,

Oi,a2 —стандартные отклонения доходности активов,

р1 - 2 —корреляция между активами.

Задача 9. Средства, инвестированные в портфель, распреде-

лены следующим образом:

35% в актив А со стандартным отклонением 27,11,

65% в актив В со стандартным отклонением 7,75.

Коэффициент корреляции между доходностями этих активов

составляет 0,5. Рассчитайте риск портфеля. Как изменится риск, ес-

ли корреляция между активами составит 1) 1,0; 2) 0;3) —0,5; 4) —1?

Решение. Риск (стандартное отклонение):

а = д/(0,35)2 •(27,11)2 + (0,65)2 •(7,75)2 + 2 •0,35 •0,65 •27,11.7,75.0,5 =

1) если р = 1, то а = д/210,94 = 14,5;

2) если р = 0, то а = ^115,39 = Ю,7;

3) если р = - 0,5, то а = ^67,81 = 8,22;

4) если р = - 1, то а = ^/l9,84 = 4,45.

При расчете риска портфеля, состоящего из нескольких ак-

тивов, необходимо учесть парные корреляции (ковариации) всех

входящих в него активов:

mokam9km9 (25)

где W {к, т) —удельный вес А;-го (m-го) актива в портфеле.

Знак двойной суммы означает, что в процессе расчета снача-

ла берется к=1 и на него умножаются все значения т от 1 до п.

Затем операция повторяется для к=2 и т.д. Для упрощения про-

цедуры расчета используется ковариационная матрица. Боль-

шинство прикладных пакетов по статистике и даже EXCEL по-

зволяют производить такие расчеты автоматически, поэтому мы

не приводим примеров подобных расчетов.

Несложные алгебраические вычисления позволяют понять

интерпретацию коэффициента корреляции:

•при объединении в портфель активов с корреляцией

+ 1 риск не уменьшается, а лишь усредняется;

•идеальный портфель состоит из активов с корреляцией —1;

•при отрицательной корреляции между активами риск порт-

феля меньше средневзвешенной суммы рисков, привноси-

мых каждым конкретным активом, поэтому при формировании портфеля необходимо стремиться к объединению ак-

тивов с наименьшей корреляцией доходностей. Этот част-

ный случай диверсификации называется хеджированием.

Для оценки риска портфеля необходимо сначала рассчитать

среднюю фактическую доходность портфеля за я-периодов, за-

тем риск портфеля (по показателю среднеквадратического от-

клонения) и сравнить его совокупный риск с другими портфе-

лями на основе коэффициента вариации:

вариации

где /р —средняя фактическая доходность портфеля за я-периодов,

ар —среднеквадратическое отклонение портфеля.

Задача 10. Имеется три портфеля облигаций. Произведите

оценку риска каждого портфеля. Данные о портфелях находятся

в таблице 11.

Таблица 11

Оценка риска портфеля

Виды портфелей

Портфель облигаций

А, Б, В

Портфель облигаций

Г,Д, Е

Портфель облигаций

Ж, 3, И

Средняя фактическая

доходность, %

Риск портфеля, %

2,8

3,3

"^ворипции

0,122

0,127

0,12

Портфель облигаций Г, Д, Е обладает наибольшим риском,

так как с каждой единицей дохода связано 0,127 единицы риска.

Портфель облигаций Ж, 3, И —самый низкорисковый.

Ликвидность портфеля. Ликвидность портфеля является до-

полнительным показателем, который характеризует возможность

продажи активов на вторичных торгах и определяется ликвидно-

стью инструментов, входящих в портфель.

Для оценки ликвидности конкретного инструмента исполь-

зуют агрегированный показатель ликвидности1, который рассчи-

тывается по формуле:

Количество заявок на покупку •Количество заявок на продажу

(Спрэд -1)2

где Lm —показатель ликвидности /w-го инструмента портфеля,

1 Примечание: рассчитывается за определенный период (день, месяц, квартал и т.д.).

Спрэд = Ср цена продажи / Ср. цена покупки.

Ликвидность портфеля оценивается коэффициентом лик-

видности портфеля, который рассчитывается как сумма коэф-

фициента ликввдности всех инструментов, взвешенных по их

денежному объему:

V / . Р -V V/ . Р V

' = YP v = Р (28)

Сравнительная эффективность инвестиций при формировании

портфеля. Очень часто возникает ситуация, когда инвестор стоит

перед альтернативой выбора того или иного портфеля. Основ-

ными критериями здесь должны выступать доходность, риск и

срок инвестирования. Между первым и двумя последними пока-

зателями портфеля должна существовать прямо пропорциональ-

ная зависимость:

•чем больше риск портфеля, тем больший он должен

приносить доход;

•чем больше срок инвестирования, тем больше должна

быть ожидаемая от инвестиций доходность.

Таким образом, из двух портфелей, обладающих одинаковым

уровнем дохода, наиболее эффективным является тот, который

обеспечивает наименьший риск и/или срок инвестирования. И

соответственно, наоборот, из двух портфелей с одинаковым

сроком и/или риском выбирают тот, который обладает наи-

большей доходностью.

На практике это означает, что инвестор должен оценить

ожидаемую доходность, дюрацию и стандартное отклонение ка-

ждого портфеля, а затем выбрать лучший из них, основываясь

на соотношении указанных трех параметров.

Если сравнивать портфели только на основе их абсолютных

значений, то, как правило, сложно сделать правильную оценку.

Например, ожидаемая доходность одного портфеля составляет

150% годовых, а другого —100%. Результаты по формированию

первого портфеля кажутся более предпочтительными. Однако

если его риск в два раза больше риска второго портфеля, то бо-

лее успешным окажется второй менеджер. Поэтому для оценки

эффективности портфеля используют относительные показате-

ли, которые учитывают как доходность, так и риск портфеля.

Одним из таких показателей является коэффициент эффектив-

ности портфеля:

* Э Ф = - ^ Ч (29)

где ip —ожидаемая доходность портфеля,

ар —среднеквадратическое отклонение, рассчитываемое на основе

фактической доходности.

Чем больше коэффициент эффективности, тем больше

ожидаемый доход портфеля на величину риска. Следовательно,

наилучшим является портфель с наибольшим значением коэф-

фициента эффективности.

Другим показателем эффективности портфеля является удель-

ный потенциал его роста. Его применяют в том случае, когда

нельзя определить лучший портфель на основе абсолютных зна-

чений срока и доходности.

Удельный потенциал роста определяется как отношение по-

тенциала роста и дюрации портфеля по формуле:

VR~, (30)

где Dp —дюрация портфеля,

PR —потенциал роста портфеля.

PR характеризует доход, который может быть получен ин-

вестором с учетом цен всех облигаций, находящихся в портфеле

в течение времени его существования. Потенциал роста опреде-

ляется как отношение стоимости портфеля в будущих и текущих

ценах и рассчитывается по формуле:

PR = ^LL-l = I^-h (31)

где Рт —текущая рыночная цена m-ro актива портфеля,

FVm —будущая стоимость т-го актива, рассчитывается по формуле:

FV= Q •(1 + /) п-\ + с 2 •(1 + /) " " 2 + . . . + N, (32)

С\ —размер соответствующего купона,

N —номинал облигаций,

п —количество лет до погашения облигации.

Для бескупонных бумаг FV = N.

Удельный потенциал роста позволяет выбрать вариант фор-

мирования портфеля. Портфель, у которых данный показатель имеет большее значение, обеспечивает больший доход на еди-

ницу времени.

Задача 11. Определите доходность, дюрацию, потенциал рос-

та и удельный потенциал роста для двух вариантов портфеля. На

основании рассчитанных показателей сравните эффективность

инвестиций в разные портфели. Данные по каждому портфелю

представлены в таблице 12.

Таблица 12

Данные по портфелю А

Портфель

ОФЗ-ПД

№ 25021

ОФЗ-ФД

№27011

Количест-

во в порт-

феле — Qm

2000

100000

Срок до

погашения,

или дюра-

ция- Dm

дней

252,6

830,25

Цены вы-

пусков,

руб.

955,272

6,24

Ставка — 0,3057

0,425

т ТО Pi

72.20088

107.7554

Данные по портфелю В

Портфель

ГКО№

21139

Вексель

≪Газпрома≫

ОФЗ-ФД

№ 27001

Количест-

во в порт-

феле — Qm

1000

150000

Срок до

погашения,

или дюра-

ц и я - Dm

дней

509,011

Цены вы-

пусков,

руб.

986,8

940334,64

8,424

Ставка — L

0,1486

0,315

0,4167

т ТО Pi

2.511728

11.88676

131.1647

Решение. Рассчитаем доходность и дюрацию каждого из

портфелей:

Портфель А:

Р =2000 •955,272 +100000 •6,24= 2534544 (руб.),

(0,3057 •2000 •955,272 + 0,425 •100000 •6,24) =

" (2000-955,272+ 100000-6,24) " '

D = 72,2+107,76 = 179,96 (дней).

Портфель В:

Р=1000 •986,8+1 •940334,64+150000 •8,424-3190735 (руб.),

j = (0Д486 •1000 •986,8 + 0,315 •1 •940334,64 + 0,4167 •150000 •8,424) = Q 3 0 3 g ~ (1000 •986,8 + 1 •940334,64 + 1 •50000 •8,424) ~ '

D = 2,51+11,89+131,17=145,57 (дней).

На основе рассчитанных показателей трудно выбрать луч-

ший портфель, поэтому воспользуемся показателем удельного

потенциала роста.

Сначала рассчитаем будущую стоимость каждого актива,

входящего в портфель А й в портфель В.

Портфель А:

^25021 = 74,79 •(1 + 30,57) 365 + 1074,79 = 1160,22 (руб.),

1183

FV270n = 0,62 •(1 + 0,425) 3 6 5 + .... + 10,25 = 21,18 (руб.),

^поРтфеляА= И60,22 •2000+21,18 •100000=4438440 (руб.).

Портфель В:

/^21139=1000 (руб.),

^г а з пром= Ю00000 (руб.),

637

/^27001 = 0,62 (1 + 0,4167) 365 + .... +ю?37 = 15,68 (руб.),

= ЮООООО+1000000+15,68 •150000=4352000 (руб.).

Таблица 13

Расчет удельного потенциала роста

Портфель

- А

Текущая цена

2534544

3190735

Будущая цена

4438440

4352000

р - FV портфеля

PV портфеля

0,751179

0,363949

UR-f

0,00425

0,0025

Результаты сравнения показывают, что первый вариант порт-

феля обеспечивает более эффективное вложение средств на еди-

ницу времени.

Решите самостоятельно.

Задача 12. Облигация с фиксированным купоном приобретена

31.03.1998 г.; дата погашения —31.12.2000 г. Выплата купонов

производится один раз в году (31 декабря каждого года) из расче-

та 12% от номинала, сумма номинала —1000 руб. Ставка альтер-

нативной доходности равна 16%. Найдите курсовую стоимость

облигации по отношению к ≪чистой≫ цене и накопленный ку-

понный доход. Считать в году 360 дней (30 дней в месяце).

Задача 13. На вторичных торгах 17.05.2000 г. курс ОФЗ-ПД

№ 25016RMFS5 составил 100,7%, а курс ГКО № 21139RMFS9 -

99,65%. Для инвестиционного портфеля коммерческого банка

требуется выбрать государственную облигацию, обладающую

максимальной доходностью к погашению.

Дополнительно рассчитайте дюрацию и коэффициент Мако-

ли для каждой облигации.

Параметры облигаций.

ГКО № 21139: номинал —1000 руб.; погашение —31.05.2000 г.

ОФЗ-ПД № 25016: номинал —1000 руб.

Дата аукцио-

на или дата

выплаты

купона

10.06.97

10.06.98

10.06.99

10.06.00

Номер

купонного

периода

Купонный

период

365

Величина

купона,

% годовых

Объявленный

купон

200

200.55

Задача 14. Рассчитайте расходы банка по формированию

портфеля ценных бумаг, состоящего из: 5000 шт. государст-

венных облигаций ОФЗ-ПД № 25023; 10 дисконтных векселей

РАО ≪Газпром≫; 200 000 шт. государственных облигаций ОФЗ-

ФД № 27004; 1000 шт. государственных облигаций ГКО

№ 21139RMFS9.

Курс перечисленных ценных бумаг на вторичном рынке

17 мая 2000 г. равен:

ОФЗ-ПД № 25023 —90%; векселя РАО ≪Газпром≫ —90%;

ОФЗ-ФД № 27004 - 75%; ГКО № 21139 - 99%.

Параметры ценных бумаг:

ОФЗ-ПД № 25023: номинал —1000 руб., текущий купон-

ный период —182 дня, количество дней до ближайшей купон-

ной выплаты —119, размер текущего купона —14%.

РАО ≪Газпром≫: номинал —500 000 руб., количество дней

до погашения —123.

ОФЗ-ФД № 27004: номинал —10 руб., текущий купонный

период —91 день, количество дней до ближайшей купонной

выплаты —35, размер текущего купона —25%.

ГКО № 21139RMFS9: номинал 1000 руб., количество дней

до погашения —14.

Задача 15. Рассчитайте доходность портфеля (на основе

простой процентной ставки), состоящего из ценных бумаг сле-

дующих видов:

векселя РАО ≪Газпром≫ —20 шт., ОФЗ-ПД № 25014 — 3000 шт., ОФЗ-ФД № 27007 - 300 000 шт.

На вторичных торгах 17.05.2000 г. курс этих облигаций со-

ставил 92%, 90%, 80% соответственно.

Параметры облигаций:

РАО ≪Газпром≫: номинал —500000 руб., количество дней

до погашения —123.

ОФЗ-ПД № 25014: номинал—000 руб., количество дней до

ближайшей купонной выплаты —302.

Дата аукциона или

дата выплаты купона

15.03.97

15.03.98

15.03.99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

Номер купонного

периода

Купонный

период

365

Величина купона,

% годовых

ОФЗ-ФД № 27007:

номинал —10 руб.,

количество дней до ближайшей купонной выплаты 84.

Дата аукциона или

дата выплаты купона

19.08.98

12.05.99

11.08.99

10.11.99

09.02.00

10.05.00

09.08.00

08.11.00

07.02.01

09.05.01

08.08.01

07.11.01

06.02.02

08.05.02

07.08.02

06.11.02

05.02.03

Номер купонного

периода

Купонный

период

266

Величина купона,

% годовых

Задача 16. Определите дюрацию портфеля (в годах), имею-

щего в своем составе следующие бумаги:

ОФЗ-ПД № 26001 - 1000 шт, ОФЗ-ПД № 26002 - 20000 шт.,

ОФЗ-ПД № 26003 —3000 шт., дисконтные векселя Сбербанка — 10 шт., дисконтные векселя ≪Газпрома≫ —10 шт.

Курс перечисленных ценных бумаг по состоянию на

15.03.2000 г. составил: ОФЗ-ПД № 26001 - 55%, ОФЗ-ПД

№ 26002 —45%, ОФЗ-ПД № 26003 —38%, дисконтные векселя

Сбербанка —90%, дисконтные векселя ≪Газпрома≫ —70%.

Параметры ценных бумаг:

ОФЗ-ПД № 26001: номинал —1000 руб., доходность к пога-

шению —48,58%.

Дата аукциона

или

дата выплаты

купона

15.03.97

15.03.98

15.03.99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

15.03.03

Номер купонного

периода

Купон-

ный

период

365

366

365

Объявленный

купон

100

102.07

100

Величина

купона*

% годовых

ОФЗ-ПД № 26002: номинал —1000 руб., доходность —51,41%.

Дата аукциона

или

дата выплаты

купона

15.03.97

15.03.98

15.03,99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

15.03.03

15.03.04

Номер купонного

периода

Купон-

ный

период

365

366

365

366

Объявленный

купон

100

102.07

100

102.07

Величина

купона,

% годовых

ОФЗ-ПД № 26003: номинал —1000 руб., доходность —54,25%.

Дата аукциона

или

дата выплаты

купона

15.03.97

15.03.98

15.03.99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

15.03.03

15.03.04

15.03.05

Номер купонного

периода

Купон-

ный

период

365

366

365

366

365

Объявленный

купон

100

102.07

100

102.07

100

Величина

купона,

% годовых

162

Дисконтные векселя Сбербанка:

номинал —500 000 руб., погашение через 182 дня, эффек-

тивная доходность —23,53%. Дисконтные векселя ≪Газпрома≫:

номинал —500 000 руб., погашение через 365 дней, доходность — 42,86%.

Задача 17. Коммерческий банк должен осуществить через

три года платеж величиной в 10 000 000 руб. На рынке имеется

два вида ценных бумаг:

дисконтные векселя ≪Газпрома≫ номиналом 50 000 руб. и

сроком погашения через один год и облигации федерального

займа с постоянной купонной ставкой —20%, сроком погаше-

ния —5 лет и номинальной стоимостью 1000 руб.

Постройте портфель, гарантирующий банку возврат 10 000 000 руб.

через три года, при условии, что текущая процентная ставка

равна 40%. Определите структуру портфеля в штуках соответст-

вующих ценных бумаг.

Задача 18. Имеется портфель А, состоящий на 70% из ОФЗ-

ПД № 25023 и на 30% —из облигаций ОФЗ-ФД № 27007. Рас-

считайте риск портфеля на основании данных о фактической

доходности каждой облигации, рассчитанной по месяцам 1999 г.

Вид облигации

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

60,3

65,5

58 7

67,3

59.1

68,5

6? Я

63,1

61 4

62,7

57, 8

63,2

36,1

61,7

55,3

59,4

54,2

58,3

55,7

57,6

53,1

58,7

54,7

55,9

Коэффициент корреляции принять равным 0,709605.

Имеется портфель В, состоящий на 25% из векселей РАО,

≪Газпром≫ и на 75% —из векселей Сбербанка. Рассчитайте риск

портфеля на основании данных о фактической доходности каж-

дого векселя, рассчитанной по месяцам 1999 г.

Эмитент

векселя

≪Газпром≫

Сбербанк

40,2

35,1

40,5

34,3

40,2

35,5

38,3

34,2

40,1

33,7

38,1

3379

37,9

3271

38,2

3179

37,5

31,3

37,3

31,5

Коэффициент корреляции принять равным 0,69329.

Сравните оба портфеля по степени риска на основании ко-

эффициента корреляции.

Задача 19. Даны два портфеля А и В. Портфель А содержит

три векселя РАО ≪Газпром≫ и имеет следующую структуру:

Эмитент

≪Газпром≫

Срок до

погашения,

дни

Рыночная до-

ходность к

погашению

(эффектив-

ная), %

31,5

Количество

в портфеле,

шт.

Рыночная

цена, руб.

940334,6

435795,1

428759,2

Номинал,

руб

1000000

500000

Портфель В содержит три векселя Сбербанка и имеет сле-

дующую структуру:

Эмитент

Сбербанк

Срок до

погашения,

дни

ПО

Рыночная до-

ходность к

погашению

(эффектив-

ная), %

Количество

в портфеле,

шт.

Рыночная

цена, руб.

488507,3

905523,3

434157,3

Номинал,

руб

500000

1000000

500000

Определите наиболее эффективный портфель с точки зрения

≪доходность —срок≫. Для решения используйте показатель

удельного потенциала роста.

Инвестиционный портфель представляет собой совокупность ак-

тивов, сформированных сознательно в определенной пропорции

для достижения одной или нескольких инвестиционных целей.

Теоретически портфель может состоять из бумаг одного ви-

да, но его можно изменять путем замещения одних бумаг дру-

гими. Однако каждая ценная бумага в отдельности, как правило,

не может достигнуть поставленных инвестиционных целей.

Основная задача портфельного инвестирования —улучшить

с позиции отдельно взятой ценной бумаги и возможны только

при их комбинации.

Перед формированием портфеля необходимо четко опреде-

лить инвестиционные цели и далее следовать этим целям на

протяжении всего времени существования портфеля.

Цели инвестирования —это конкретные значения доходности,

риска, периода, формы и размеров вложений в ценные бумаги.

Именно то, какие цели преследует инвестор (банк), и является де-

терминантой конечного выбора инвестиционных инструментов.

Здесь мы перечислим лишь цели, которые, на наш взгляд,

чаще всего преследуются коммерческим банком на рынке цен-

ных бумаг:

•Гарантия определенных платежей к известному сроку. На-

пример, банк привлек средства через размещение собст-

венных векселей в размере 1 млн долл. под 12% годовых

сроком на один год. Естественно, он должен так размес-

тить средства, чтобы к концу года получить не менее 1 млн

120 тыс. долл.

•Получение регулярных текущих выплат и гпрпнтирование

платежей к известному сроку. Например, банк привлек на

депозит средства вкладчиков в размере 1 млн долл. под

12% годовых с выплатой процентов ежемесячно. Каждый

месяц банк должен выплачивать вкладчикам 10 тыс. долл.,

а через год он должен иметь, по крайней мере, 1 млн долл.

на выплату основной суммы долга. Соответственно банку

нужно создать такой портфель инвестиций, который спо-

собствовал бы получению текущих платежей в размере не

меньше чем 10 тыс. долл. США в месяц, а к концу срока

вкладов гарантировал бы платеж не менее чем 1 млн. долл.

•Максимизация дохода к определенному сроку. В этом случае

банк связан определенными обязательствами^ например,

при инвестировании собственных средств в ценные бумаги.

Если исходить из большинства представленных инвестици-

онных целей и общей сути банковского дела, то можно сказать,

что банк, являясь посредником ≪депозитного≫ типа, инвестирует

средства, взятые в долг, т. е. банковские инвестиции обычно

строго регламентированы как по уровню риска, так и по срокам.

Более того, если при определении инвестиционных целей уро-

вень доходности банк устанавливает самостоятельно, то в отно-

шении уровня риска существуют внешние ограничения, опреде-

регулируются нормативными актами центральных банков, а в не-

которых странах они долгое время были запрещены коммер-

ческим банкам законодательно (акт ≪Гласса-Стиголла≫ в США).

Суть данных ограничений в том, чтобы поддержать ликвидность

и соответственно платежеспособность банковской системы в це-

лом. Поэтому, если акции и входят в банковский портфель, то

составляют небольшую часть его совокупных активов.

Очевидно, что большинству инвестиционных целей коммер-

ческого банка соответствуют инвестиции в так называемые

долговые инструменты.

Долговые ценные бумаги как вложение в невещественный ак-

тив представляют собой средства, данные в долг в обмен на

право получения дохода в виде процента. Заемщик же обязан

вернуть сумму долга в указанное время. По сути, покупку долго-

вой ценной бумаги можно охарактеризовать как заключение

кредитного договора, но в отличие от последнего ценная бумага

обладает рядом преимуществ, одно из которых —ликвидность.

Таким образом, наиболее распространенным объектом инвести-

рования для коммерческих банков являются долговые ценные

бумаги (векселя, облигации). Исходя из этого далее будут рас-

смотрены основные параметры портфеля долговых ценных бу-

маг как наиболее типичного для коммерческих банков.

После определения инвестиционных целей и выбора для инве-

стирования соответствующих видов ценных бумаг (акций, облига-

ций, срочных инструментов) важно произвести внутригрупповую

оценку этих инструментов с позиции инвестиционных целей бу-

дущего портфеля. Результатом оценки должны быть конкретные

параметры, соответствующие поставленным целям, а именно, до-

ходность, риск и цена каждого отдельного инструмента.

Несмотря на разнообразие долговых ценных бумаг, с точки

зрения методов расчета основных характеристик можно вьщелить

две их основные группы —купонные и дисконтные. Первые под-

разумевают обязательство эмитента ценной бумаги выплатить

помимо основной суммы долга (номинал ценной бумаги) еще и

заранее оговоренные проценты, начисляемые на основную сумму

долга. Вторые представляют собой обязательство уплатить толь-

ко заранее оговоренную сумму —номинал ценной бумаги.

Естественно, что они обращаются на рынке со скидкой

(дисконтом) к сумме долга.

Сегодня на рынке ценных бумаг в Российской Федерации

облигации (ОФЗ-ПД, ОФЗ-ФД, ОВВЗ) или корпоративные об-

лигации таких эмитентов, как НК ЛУКОЙЛ, ОАО ≪Газпром≫,

ОАО ≪ТНК≫, могут быть отнесены к первой группе долговых

инструментов. Ко второй группе относятся государственные

бескупонные облигации (ГКО) и беспроцентные корпоративные

векселя ≪Газпрома≫, Сбербанка и других крупных эмитентов. По

отдельно взятой группе долговых ценных бумаг могут наблю-

даться незначительные расхождения по методам расчета тех или

иных показателей, связанные с особенностью конкретного ин-

струмента, но основные принципы расчетов неизменны и будут

приведены в качестве основы для конструирования инвестици-

онного портфеля коммерческого банка.

Основные показатели долговых ценных бумаг и методы их оп-

ределения.

1. Рыночная цена. Одним из показателей инвестиционных ин-

струментов является их рыночная цена. В большинстве случаев,

выходя на рынок ценных бумаг, инвестор сталкивается с уже

сложившимся уровнем цен (исключение составляют случаи пер-

вичного размещения и ситуации, когда инвестор располагает

столь значительными суммами, что способен влиять на рынок).

Данный уровень цен задается рынком и является внешним по

отношению к инвестору.

На вторичном рынке цена долговых инструментов, как пра-

вило, устанавливается в процентах к номиналу. Это соотноше-

ние называется курсом облигации или векселя;

К = |-100, отсюда i> = ^ f - (1)

Если речь идет о бескупонных облигациях или дисконтных

векселях, то для вычисления цены достаточно формулы (1). Од-

нако для вычисления цены облигаций с купоном требуется рас-

считать также и накопленный купонный доход (НКД). Несмот-

ря на то, что купон в полной сумме выплачивается эмитентом

облигаций тому лицу, которому они принадлежат на дату вы-

платы, или купонную дату, каждый предыдущий владелец также

имеет право на получение дохода пропорционально сроку вла-

дения. Это достигается тем, что при приобретении облигаций их

покупатель должен выплатить прежнему владельцу помимо соб-

ственно цены, или ≪чистой≫ цены, облигаций также и величину

накопленного купонного дохода, которая рассчитывается по

формуле:

нкд =

T-t,

(2)

где С —размер текущего купона, в руб.,

Т —текущий купонный период, в днях;

tx —время (в днях), оставшееся до выплаты ближайшего купона.

Таким образом, полная (≪грязная≫) стоимость купонной об-

лигации рассчитывается как сумма ≪чистой≫ цены облигации и

(3)

Задача 1.Облигация с известным купонным доходом (ОФЗ-

ПД №25021RMFS5) приобретена 26.04.2000 г. по курсу 91,5%.

Параметры ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 указаны в таблице 1.

Номинал —1000 руб.

Параметры ОФЗ-ПД № 25021RMFS5

Таблица 1

Дата аукциона

или дата вы-

платы купона

21.01.98

21.07.98

20.01.99

21.07.99

19.01.00

19.07.00

17.01.01

Номер

купонного

периода

Купонный

период

182

Величина

купона, %

годовых

Объявленный

купон, руб.

74,79

Определите накопленный купонный доход. Какую цену дол-

жен заплатить покупатель облигации (не считая комиссионного

вознаграждения и других накладных расходов)?

Решение. 1. Находим ≪чистую≫ стоимость облигации:

= 1 0 0 0 ? ^ = 915 (руб.).

100

2. Рассчитываем НКД\

182

Q = 1000 •0Д5 •- —= 74,79 (руб.) —размер купона (последний

V365J

столбец табл. 1);

tx = 19.07.00 - 26.04.00 = 84 (дн.) —количество дней до выпла-

ты ближайшего купона;

Т = 182 (дн.) —купонный период.

133

НКД= (74,79/182) •(182 - 84) = 40,272 (руб.).

Цена облигации с НКД (≪грязная≫ цена) = 915 + 40 272 =

= 955 272 (руб.)

Как формируется рыночная цена облигации? Как и цена

любого товара, цена облигации формируется под воздействием

спроса и предложения со стороны инвесторов. При этом, одна-

ко, цена облигации не является абсолютно случайной, а колеб-

лется около своего естественного значения, своей внутренней

стоимости. При определении того, какой должна быть цена

долгового инструмента, инвестор должен дисконтировать ожи-

даемые платежи и просуммировать их, т.е. вычислить чистую

текущую стоимость потока платежей.

Обозначим через СиС2С3, , Сл все ожидаемые денеж-

ные доходы, сюда же относятся выплаты по купонам и цена по-

гашения. Тогда современная (рыночная) стоимость облигации Р

равна сумме всех дисконтированных доходов:

р - С1 | С2 , С3 •| Сп (А)

i+i ( i i ) 2 ( i i ) 3 (iiY9

где / —эффективная доходность или ставка дисконтирования (в за-

висимости от решаемой задачи).

Формула (4) позволяет решать две основные задачи:

а) определять цену облигации, если известна ставка дискон-

тирования;

б) определять эффективную доходность, если известна цена

облигации.

Частный случай формулы (4) для купонных инструментов

формула (5) и дисконтных (6):

1+IooJ

(5)

Р-—-r, (6) -M3 6 5

100 J

где ie —эффективная доходность, или ставка дисконтирования

(в процентах, с точностью до сотых процента);

N —номинал облигаций, руб.;

Р —цена облигаций, руб.;

НКД —величина накопленного купонного дохода, руб.;

Ск —размер к-того купона, руб.;

п —количество предстоящих выплат купона;

к —число дней до выплаты соответствующего купона;

t —срок до погашения облигаций, в днях.

Как правило, t = tn.

Задача 2. Определите приемлемый для вас максимальный

курс покупки государственной купонной облигации ОФЗ-ФД

№27001RMFS5 на вторичных торгах 26.04.2000 г. при условии,

что альтернативное вложение обладает доходностью 50% годо-

вых. Параметры ОФЗ-ФД №27001RMFS указаны в таблице 2.

Номинал —10 руб.

Таблица 2

Параметры ОФЗ-ПД № 27001RMFS5

Дата аукциона

или дата вы-

платы купона

19.08.98

10.02.99

12.05.99

11.08.99

10.11.99

09.02.00

10.05.00

09.08.00

08.11.00

07.02.01

09.05.01

08.08.01

07.11.01

06.02.02

Номер

купонного

периода

Купонный

период

175

Величина

купона,

% годовых

Объявленный

купон, руб.

1,44

0,75

0,62

0,5

0,37

Решение. Облигация должна быть приобретена по цене,

обеспечивающей доходность не ниже 50% годовых. Соответст-

венно, ставка дисконтирования будет равна 0,5.

Размер купона в рублях уже рассчитан в последнем столбце

таблицы 2. Рассчитаем ≪грязную≫ цену облигации по формуле (5):

0,5 0,5 0,5 0,5 0,37 0,37 + 10

1,5365 1,5365

1,5365

287

1,5365

378

1,5365

469

1,5 365

560

1,5365

651

1,5365

135

Р + НКД = 7,783628153 (руб.).

Расчет НКД ОФЗ-ФД:

( 9\Л

С = 10 •0,25 •— . = 0,62 (руб.) —размер купона (последний

^365J

столбец табл. 2);

tx = 10.05.00 - 26.04.00 = 14 (дн.) —количество дней до выплаты

ближайшего купона;

Т = 91 (дн.) —купонный период.

НКД ОФЗ - ФД = (0,62/91)- (91 -14) = 0,5246154 (руб.).

Р = 7,783628153 - 0,5246154 = 7,259013 (руб.).

Приемлемый курс облигации —72,59%,

2. Доходность долговых инструментов. Доходность является

важнейшим показателем, на основе которого инвестор может оце-

нить результаты финансовых операций и сравнить различные ва-

рианты альтернативных вложений денежных средств. Доходность

определяется как отношение полученной прибыли к затратам с

учетом периода инвестиций и приводится к единому базовому пе-

риоду (обычно годовому). При формировании портфеля исследу-

ются два вида доходности: ожидаемая доходность и фактическая.

Ожидаемая доходность оценивает будущие перспективы ценной

бумаги. В качестве ожидаемой доходности может быть исполь-

зована доходность к погашению. Фактическая (текущая) доход-

ность характеризует эффективность операции от момента по-

купки (в частности, момент первичного размещения) до пред-

полагаемого момента продажи (например, текущий момент).

Несмотря на то что фактическая доходность облигаций опреде-

ляется за прошедший период и непосредственно не определяет

эффективность инвестиций в будущем, тем не менее динамика

этого показателя позволяет выявить основные тенденции рынка,

рассчитать риск ценной бумаги и принять решение для прове-

дения инвестиций в будущем.

Фактическая доходность бескупонных и купонных облига-

ций с учетом особенностей каждого вида ценных бумаг может

определяться по формуле:

-Шт <7)

136

где Ах; А2 —соответственно уплаченный и накопленный купонный

доход,

Рх; Р2 —соответственно цена в начале и конце периода инвестиций,

^К, —полученные купонные выплаты,

Тг —период инвестиций.

Доходность к погашению рассчитывается двумя способами:

вестирования доходов.

Для бескупонных облигаций и беспроцентных векселей доходность

к погашению может быть рассчитана по следующей формуле:

(8)

где / —доходность к погашению по формуле простых процентов, %,

N —номинал облигаций, руб.,

Р —цена облигаций, руб.,

t —количество дней до погашения.

Формула (7) используется для расчета доходности бескупон-

ных облигаций (ГКО), публикуемой в отчетах ММВБ. Однако

она является доходностью к погашению, которая рассчитана на

основе простых процентов. Вместе с тем практически всегда

существует возможность для реинвестирования полученных до-

ходов, в этом случае рассчитывают эффективную доходность к

погашению:

NXT •00%. (9)

Расчет доходности к погашению купонных облигаций произво-

дится, как правило, по формуле сложных процентов, т.е. с учетом

реинвестирования купонов. Для этого используют формулу для

расчета ≪грязной≫ цены облигации, рассмотренную нами ранее (5):

^ Ct N

100 J ^ 100 J

где ie —эффективная доходность (в процентах, с точностью дб сотых

процента).

Данная формула используется в официальных отчетах ММВБ

при расчете доходности к погашению государственных купонных

облигаций (ОФЗ-ФД и ОФЗ-ПД).

Эффективная доходность (ie) рассчитывается путем много-

кратного расчета с подстановкой пробных значений (ie) и вне-

сения поправок в повторный расчет до достижения требуемой

для инвестора точности вычислений.

Учитывая сложность расчета эффективной доходности к по-

гашению, можно вычислить доходность к погашению по про-

стой процентной ставке:

Но всегда следует помнить, что доходность к погашению /,

рассчитанная с использованием простого процента, в некоторых

случаях может сильно отличаться от эффективной доходности к

погашению ie, рассчитанной с использованием сложной про-

центной ставки.

Задача 3. На вторичных торгах 26.04.2000 г. курс ГКО №

21139RMFS9 составил 98,68%; курс ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 -

91,5%; курс ОФЗ-ФД № 27001RMFS5 - 78,99%.

1. Определите, инвестиции в какие ценные бумаги будут

наиболее эффективными с точки зрения доходности к погаше-

нию. Доходность рассчитайте с учетом простой и сложной про-

центной ставки. Данные по купонным облигациям следует взять

из предыдущих примеров, параметры ГКО № 21139RMFS9: но-

минал —1000 руб.; погашение —31.05.2000 г.

2. Рассчитайте текущую доходность для купонных облигаций

при условии, что цены аукционов соответствующих облигаций

составляют:

ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 - 80%

ОФЗ-ФД № 27001 RMFS5 - 70%.

Решение. 1. Рассчитаем доходность к погашению по ГКО

№ 21139RMFS9 исходя из сложной и простой процентной ставки:

где N = 1000 (руб.),

Warn =31.05.2000-26.04.2000= 35 (дней).

Р = 98,68- Ш. =986,8 (руб.),

1UU

138

Простая ставка:

Эффективная ставка:

365 365

^986,8j

100% = 14,8634 (%).

2. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ПД

№25021RMFS5 исходя из сложной и простой процентной ставки:

где N= 1000 (руб.).

~ П1 с 1000

р = 9 1 '5 Тоо-=

С, = 1000 •0,15 •| j H J = 74,79 (руб.),

НКД= 40,272 (руб.),

Warn. = 84 + 182 =266 (дней).

Простая ставка:

. ((1000-915 + 74,79 •2-40,272)^ (365^ П94,:

1 \ 955,272 J'l266j' 1,955,:

•137,218 = 27,91%.

Эффективная ставка:

^ С„N

308

272

1365

915 + 40,272 = 2 -

100 )

14,19

100

365

84 266 '

\365

Отсюда находим ie. Это можно сделать при помощи стан-

дартных средств EXCEL (функция ≪подбор параметров≫). В дан-

ном случае ie = 30,57%.

3. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ФД

№ 27001RMFS5 исходя из сложной и простой процентной ставки:

где N=10 (руб.).

^-'Жв д )]-?-'≪*

7Я QQ

Р = Ю - - ^ = 7 , 8 9 9 (руб.),

Q = 10 •0,25 •Q^j = 0,62 (руб.),

НКД= 0,5246154 (руб.),

'погаш = 14 + 7 •91=651(ДН.).

Простая ставка:

/ = ((10 - 7,899 + 2 •0,62 + 4 •0,5 + 0,37 •2 - 0,5246154)/

/ 8,423615385) •(365/651)-100 = ((10 - 7,899 + 1,24 + 2 + 0,74 -

0,5246154)/8,423615385) •56,067588325= (5,5563846/8,423615385) • •56,067588325=36, 983299%.

Эффективная ставка:

расчет эффективной доходности к погашению (ij при помощи

стандартных средств EXCEL дал результат, равный 41,67% годовых.

Таким образом, наибольшей доходностью обладают инве-

стиции в ОФЗ-ФД № 27001RMFS5.

Данное обстоятельство легко объяснимо: ведь чем больше

срок инвестирования, тем выше должна быть доходность инве-

стиционного инструмента.

4. Рассчитаем текущую доходность купонных облигаций:

f7,899+ 1,44-0,75-2+ 0,62-2+ 0,5246154^ 365 1ПЛ л(,ссосл(с\

'ОФЗ-ФД = I ~ ~ 1 I •gjg •ЮО = 106,6864 {%)

3. Срок обращения долговых ценных бумаг, понятие дюрации.

Чем больше срок облигации, тем более изменчива ее курсо-

вая стоимость, т.е. небольшие изменения рыночной процентной

ставки А/ могут приводить к существенным изменениям курса

облигации АА".

С другой стороны, курс более стабилен для облигаций с вы-

сокими купонными выплатами. Величина, зависящая от срока

облигации и величины купонных выплат, которая количествен-

но связывает колебания рыночного курса с колебаниями ры-

ночной процентной ставки, называется дюрацией (duration — 140

продолжительность). Дюрация (D) определяется как средне-

взвешенное (по дисконтированным доходам) время получения

соответствующих доходов:

где Q —величины доходов (включая погашение номинала), полу-

ченных в моменты времени t^.

Дюрация имеет размерность времени, т. е. выражается в го-

дах. Для бескупонных облигаций дюрация равна сроку облига-

ции D = п. В остальных случаях выполняется неравенство D < п

за счет купонных выплат.

Частный случай формулы 10:

Дюрация является качественной и количественной характе-

ристикой процентного риска, связанного с владением облигаци-

ей. Чем меньше дюрация, тем быстрее получается отдача от об-

лигации и тем меньше риск неполучения доходов.

Кроме того, справедливы следующие утверждения. Чем боль-

ше срок облигации, тем больше дюрация, и наоборот. Также чем

больше ставка помещения (дисконтирования), тем меньше дюра-

ция. Допустим, рыночные процентные ставки изменились на ве-

личину А/. Дюрация связывает колебания процентной ставки А /,

с колебаниями курса облигации АА1. Можно показать, что при

небольших изменениях процентной ставки курс облигации изме-

нится на следующую величину:

AK = -FmAi{%\ (13)

хг MDK

MD = J L , (15)

1 + /

где А/ (%) —изменение доходности, выраженной в процентах. Ве-

личину Fm называют коэффициентом Маколи, а ве-

личину MD —модифицированной дюрацией.

Примечание: в данном случае под Курсом подразумевается ≪грязный≫ курс облигации.

Новый курс облигации Кн о в (после изменения процентной

ставки) отличается от старого КсТар. на величину, определяемую

соотношением (13).

Кнов. = КсТар. + АК (16)

Знак минус в соотношении (13) возникает в соответствии с

тем, что увеличение процентной ставки приводит к уменьшению

курса, а уменьшение процентной ставки —к его увеличению.

Формула (13) описывает изменение курса облигации при не-

больших (на 1—%) изменениях доходности. Коэффициент Ма-

коли равен абсолютному изменению курса облигации при изме-

нении доходности на 1%. Соотношение (13) показывает, что об-

лигации с меньшей дюрацией обладают более стабильным кур-

сом. Анализируя зависимость дюрации от разных параметров,

можно прийти к следующим выводам.

Облигации с низким купоном более чувствительны к изменени-

ям процентной ставки (при том же сроке), чем облигации с высо-

ким купоном.

Облигации с большим сроком более чувствительны, чем крат-

косрочные (при том же купоне).

Процентный риск облигаций включает ценовой риск и риск

реинвестирования купона, при этом данные риски действуют в

противоположных направлениях. Когда процентные ставки рас-

тут, цены облигаций падают. Это невыгодно держателям обли-

гаций, поскольку их вложения обесцениваются. В то же время

купонные платежи могут быть реинвестированы по более высо-

ким ставкам, что может возместить инвесторам их потери.

Вполне естественно, что держатели облигаций будут стремиться

уравновесить риск цены и риск реинвестирования так, чтобы

они взаимно компенсировали друг друга. Эта процедура называ-

ется иммунизацией (англ. immunisation).

Стратегия иммунизации предполагает, что дюрация облига-

ции в точности совпадает с оптимальным, с точки зрения инве-

стора, периодом владения данной ценной бумагой. В этом случае

при росте процентных ставок инвестор находится в выигрыше,

поскольку он получает возможность реинвестировать процентные

выплаты по более высокой ставке, но при этом он сталкиваются

с потерями капитала. И напротив, при падении процентных ста-

вок инвесторы реинвестируют по более низким ставкам, но полу-

чают дополнительный доход от прироста капитала.

Задача 4. Даны две государственные облигации ОФЗ-ФД

следующих серий: 27001RMFS5, 27011RMFS4. На вторичных

торгах 26.04.2000 г. курс этих облигаций составил 78,99% и

61,4% соответственно. Найдите среднерыночную доходность к

погашению по представленным ценным бумагам, дюрацию, мо-

дифицированную дюрацию и коэффициент Маколи. Как изме-

нится курс каждой облигации при изменении рыночной доход-

ности на 1%?

Основные показатели ОФЗ-ФД № 27001RMFS5 возьмем из

предыдущих задач. Параметры ОФЗ-ФД № 7011RMFS4 указаны

в таблице 3.

Номинал —10 руб.

Таблица 3

Параметры ОФЗ-ФД № 27011RMFS4

Дата аукцио-

на или дата

выплаты ку-

пона

19.08.98

14.07.99

13.10.99

12.01.00

12.04.00

12.07.00

11.10.00

10.01.01

11.04.01

11.07.01

10.10.01

09.01.02

10.04.02

10.07.02

09.10.02

08.01.03

09.04.03

09.07.03

08.10.03

Номер

купонного пе-

риода

Купонный

период

329

Величина

купона, %

годовых

Объявленный

купон, руб.

2,7

0,62

0,5

0,37

0,25

143

1. Произведем расчет доходности к погашению по ОФЗ-ФД

№ 27011RMFS4.

( 9\Л

Cj = 10 •0,25 •-Г77 I 0>62 (руб.) —размер купона (последний

V365J

столбец таблицы),

t\ = 12.07.00 - 26.04.00 = 77(дн.) —количество дней до вы-

платы ближайшего купона,

Т = 91 (дн.) —купонный период.

НКд= ГМ2) . (91 - 77)= 0,0953846 (руб.).

Цена облигации с НКД (≪грязная≫ цена) = ≪Чистая≫ цена +

Накопленный купонный доход = 10 •0,614 + 0,0953846= 6,2353846

(руб.), соответственно ≪грязный≫ курс=6,24 —100/10=62,4%. Рас-

чет эффективной доходности к погашению (4) при помощи стан-

дартных средств EXCEL дал результат, равный 42,5% годовых.

Эффективная доходность к погашению для ОФЗ-ФД

№ 27001RMFS5 равна 41,67% (см. прим. 3).

2. Рассчитаем среднерыночную процентную ставку:

(42,5+41, 67)/2=42 (%).

3. Рассчитаем дюрацию и коэффициент Маколи для каждой

облигации:

1 1

'27QURMFS4 6,24 365

= 2,299 г.

1,42365 1,42365 1,42365

2 299

^ ^ = 1,619 (года);

F m = 1,619-0,624=1,010256;

ДАТ = -1,010256-1 = -1,010256(%) —изменение ≪грязного≫

курса;

= 62.4-1,010256 = 61,39% —новый ≪грязный≫ курс.

D2701 \RMFS4 7,899 + 0,525 365

0,62 1 Л . 0,62 ,С 1 0,37

Ч + Ю 5 Ц + + 651

14-

^ 1,423≪ 1,42365 1,42365 J

= 1,389

Fm = 0 , 9 7 8 - - ^ = 0,8238672.

AK = - 0,8238672 •1= - 0,8238672 (%) —изменение ≪гряз-

ного≫ курса;

Кнов. = 84,24 ~ 0,8238672= 83,42 (%) —новый ≪грязный≫ курс.

Таким образом, дюрация облигации ОФЗ-ФД № 27011RMFS4

больше, чем дюрация ОФЗ-ФД № 27001RMFS5, следовательно,

первая облигация более чувствительна к изменению процентных

ставок и обладает повышенным уровнем процентного риска.

4. Риск ценных бумаг. Рассмотренные показатели - коэффи-

циент Маколи и дюрация —могут характеризовать степень про-

центного риска, связанного с владением облигацией или вексе-

лем. Между тем процентный риск —это всего лишь один из це-

лого ряда рисков, сопутствующих процессу инвестирования в

долговые ценные бумаги.

Совокупный риск долговой ценной бумаги = Кредитный риск +

+ Процентный риск + Риск ликвидности.,

Существует несколько методов оценки риска ценных бумаг.

Измерить агрегированный риск ценной бумаги —значит, изме-

рить вероятность того, что фактическая ее доходность будет ко-

лебаться в определенных пределах. Динамический ряд с данны-

ми о фактической доходности ценной бумаги дает возможность

также рассчитать средневзвешенную доходность ценной бумаги

за ряд лет.

Чем ≪выше≫ и более ≪сжат≫ график распределения вероятно-

сти, тем больше шансов, что реальная доходность будет соответ-

ствовать средневзвешенной. Следовательно, чем ≪выше≫ и более

≪сжат≫ график распределения вероятности, тем ниже риск, свя-

занный с ценной бумагой. Иными словами, чем меньше колеб-

лется вероятность получения данной средней доходности, тем

меньше риск инвестиций в эту ценную бумагу. Это означает,

что показатель вариации доходности является показателем

оценки риска.

Общепринятый показатель вариации —среднеквадратиче-

ское отклонение:

где а —среднеквадратическое отклонение фактической доходности,

ik —значение фактической доходности в каждом периоде,

i —среднее значение фактической доходности за ≪-периодов,

п —число периодов.

Вместе с тем указанный показатель не дает возможности

сравнивать ценные бумаги с разными уровнями доходности. В

этом случае используют коэффициент вариации (оценку риска

на величину доходности):

Коэффициент вариации = -.(18)

Средняя доходность ценной бумаги

Приведем пример. В таблице 4 содержатся данные для срав-

нения риска и доходности ценных бумаг различных эмитентов.

Таблица 4

Оценка риска и доходности ценных бумаг

Наименование

ценной бумаги

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

Векселя Сбербанка

Векселя ≪Газпрома≫

Средняя фактиче-

ская доходность

за ряд лет, %

16,7

35,7

8,0

40,0

Среднеквадратиче-

ское отклонение

доходности, %

48,9

93,6

19,0

65,0

Коэффициент

вариации

доходности

2,93

2,62

2,37

1,63

Наименее рискованными (с точки зрения размера риска на

величину дохода) и наиболее доходными являются дисконтные

векселя ≪Газпрома≫.

Показатели и оценка инвестиционного портфеля. После того как

произведена оценка инвестиционных инструментов, можно при-

полно соответствовать поставленным инвестиционным целям.

Основными показателями портфеля, как уже отмечалось,

являются доходность, риск, срок и размер вложений в ценные

бумаги. Кроме того, могут быть определены дополнительные

показатели, такие, как ликвидность портфеля, окупаемость

операций по его формированию и т.д.

Большинство показателей портфеля представляют собой ус-

редненные показатели входящих в портфель ценных бумаг. На

основе основных и дополнительных показателей портфеля могут

быть рассчитаны агрегированные показатели, позволяющие

сравнивать эффективность нескольких портфелей.

/. Текущая стоимость портфеля —основной показатель, ко-

торый рассчитывается как сумма текущих цен всех инструмен-

тов портфеля по формуле:

(19)

где Рр —цена портфеля (текущая стоимость портфеля),

Рт —текущая рыночная цена т-го инструмента портфеля (для

купонных облигаций ≪грязная≫ цена),

Qm —количество инструментов т-то вида в портфеле.

Задача 5. Коммерческий банк решил сформировать инвести-

ционный портфель из трех типов государственных облигаций:

ГКО № 21139RMFS9, ОФЗ-ПД № 25021RMFS5; ОФЗ-ФД

№ 27001RMFS5. На вторичных торгах 26.04.5000 г. курс этих

облигаций составил 98,68%, 91,5%, 78,99% соответственно.

Рассчитайте расходы банка по формированию портфеля (без

учета комиссий и других дополнительных затрат), есвш структу-

ра портфеля должна выглядеть следующим образом: ГКО — 1000 шт; ОФЗ-ПД - 2000 шт.; ОФЗ-ФД - 100000 шт.

Параметры соответствующих облигаций следует взять из

предыдущих задач.

Решение.

Находим ≪чистую≫ стоимость каждой облигации по формуле:

p=KN

^ , = 1 0 0 0 . ^ = 986,8 (руб.),

^2 = Ю 0 0 - ^ = 915 (руб.),

100

/>3 = 10 • 100

78,99 _

100

= 7,899 (руб.).

2. Рассчитываем НКД (данные —из предыдущих задач):

яедтко=о,

НКД ОФЗ-ПД = 40,272 (руб.),

НКД ОФЗ-ФД = 0,5246154 (руб.).

Составим таблицу 5 для расчета цены портфеля.

Расчеты цены портфеля

Таблица 5

Наименова-

ние ценной

бумаги

ГКО

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

Итого Z

≪Чистая≫

стоимость

облигации,

руб.

986,8

915

7,899

НКД,

руб.

40,272

0,5246154

≪Грязная≫

стоимость

облигации,

руб.

986,8

955,272

8,4236154

Количество

ценных бумаг

в портфеле,

шт.

1000

2000

100000

Итого,

Pm-Qn,

986800

1910544

842361,54

3739705,54

Таким образом, затраты по формированию инвестиционного

портфеля банка составят 3 739 705,54 руб.

Под инвестиционные операции в коммерческом банке отво-

дятся отдельные лимиты денежных средств. При формировании

портфеля соблюдение этих лимитов является первоочередной

задачей управляющего инвестициями, для данных целей рассчи-

тывают показатель текущей стоимости портфеля.

2. Доходность портфеля (ip) —комплексный показатель, ха-

рактеризующий эффективность вложения средств и возможный

будущий доход инвестора. Показатель доходности портфеля по-

зволяет оценить эффективность вложений средств и выбрать

альтернативный вариант инвестирования в различные финансо-

вые инструменты рынка ценных буцаг.

Доходность портфеля долговых ценных бумаг рассчитывает-

ся путем математического взвешивания доходности каждого ин-

струмента, помещенного в портфель, по его денежному объему в

портфеле. При этом доходность долговых инструментов может

определяться по выбору инвестора либо как доходность к пога-

шению, рассчитанная на основе простой ставки, либо как эф-

фективная доходность.

i - JH - JE (70)

ZJ rm Urn rp

где ip —доходность портфеля, в % год.;

im —доходность к погашению долгового инструмента /я-го вида;

Рт —текущая рыночная цена /w-го инструмента портфеля;

Qm —количество инструментов т-то вида в портфеле;

Рр —цена портфеля (текущая стоимость портфеля).

Задача 6. Рассчитайте доходность портфеля, состоящего из

государственных облигаций следующих типов: ГКО

№ 21139RMFS9 - 1000 шт; ОФЗ-ПД № 25021RMFS5 - 2000 шт;

ОФЗ-ФД № 27001RMFS5 - 100 000 шт.

На вторичных торгах 26.04.2000 г. курс этих облигаций со-

ставил 98,68%, 91,5%, 78,99% соответственно.

Данные по облигациям соответствующих выпусков можно

взять из предыдущих задач.

1. Рассчитаем доходность к погашению по ГКО № 21139RMFS9

исходя из сложной и простой процентной ставки (данные взяты

из задачи 3):

простая ставка: / = 13,95%,

эффективная ставка: ie = 14,8634%.

2. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ПД

№ 25021RMFS5 исходя из сложной и простой процентной став-

ки (данные взяты из задачи 3):

простая ставка: / = 27,91%,

эффективная ставка: ie = 30,57%.

3. Рассчитаем доходность к погашению по ОФЗ-ФД

№27001RMFS5 исходя из сложной и простой процентной став-

ки (данные взяты из задачи 3):

простая ставка: / = 36,983299%,

эффективная ставка: ie = 41,67% годовых.

4. Определим доходность всего портфеля исходя из рассчи-

танных доходностей отдельных облигаций. Для этих целей со-

ставим таблицу 6.

Таблица 6

Расчет доходности облигаций

Наименова-

ние ценной

бумаги

ГКО

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

Итого ^Г

Доход-

ность по

простой

ставке — i, % годо-

вых

13,95

27,91

36,983299

Доход-

ность по

эффек-

тивной

ставке — ie, %

годовых

14,8634

30,57

41,67

Количе-

ство

ценных

бумаг в

портфе-

ле, шт.

1000

2000

100000

PmQm

986 800

1 910 544

842 361,54

3739705,54

0,263871

0,510881

0,225248

PmQm

' Р,

3,681001

14,25868

8,330418

26,2701

3,922021

15,61763

9,386088

28,92574

Таким образом, ожидаемая доходность портфеля государст-

венных облигаций, рассчитанная на основе простой процентной

ставки, равна 26,27%, а на основе эффективной процентной

ставки —28,93%.

3. Срочность портфеля долговых ценных бумаг. Срочность

портфеля долговых ценных бумаг, т.е. временной период, в тече-

ние которого денежные средства инвестора размещаются в ценные

бумаги, характеризуется обобщенным показателем —дюрацией.

Дюрация портфеля долговых инструментов учитывает дюра-

ции отдельных инструментов, их денежные объемы в портфеле

и процентные ставки по доходности к погашению.

Дюрация портфеля долговых инструментов рассчитывается

по формуле:

(21)

где Dm —дюрация т-то долгового инструмента1,

1 Примечание: для бескупонных облигаций и дисконтных векселей дюрация равна сроку до

погашения.im —доходность к погашению инструмента т-то вида (в долях

единицы),

Рт —текущая рьшочная цена т-то долгового инструмента портфеля,

Qm —количество инструмента т-то вида в портфеле.

При расчете дюрации портфеля следует учитывать каждую

покупку долгового инструмента как отдельный платеж незави-

симо от того, покупался новый инструмент или этот инструмент

уже имелся в портфеле инвестора.

Задача 7. Определим дюрацию портфеля, состоящего из раз-

личных видов государственных облигаций. Состав портфеля

приводится в таблице 7.

Таблица 7

Состав портфеля ценных бумаг

На-

имено-

вание

ценной

бумаги

гк!о№

21139

ОФЗ-

пд

№25021

ОФЗ-

ФД№

27001

ОФЗ-

ФД№

27011

Вексель

≪Газ-

прома≫

Вексель

Сбер-

банк

Итого

Срок до

погаше-

ния или

дюра-

ция — А..

дней

252,6

509,011

830,25

Коли-

чество

в порт-

феле — О,

1000

2000

150000

100000

Цена — Рт

986,8

955,272

8,424

6,24

940334,64

977014,6361

Ставка -

0,1486

0,3057

0,4167

0,425

0,315

0,23

146 638,48

584 053,3

526542,12

265,200

296205,4116

224713,3663

2043352,679

QmPm im

HQm-Pm-im

0,071764

0,285831

0,257685

0,129787

0,14496

0,109973

D Qm'PmL

m HQmP.L

2,511728

72,20088

131,1647

107,7554

11,88676

4,508888

330,0284

Таким образом, дюрация портфеля составляет: 2,5 + 72,2 +

131,2 + 107,8 + 11,9 + 4,5 = 330 дней.

Дюрация является важным показателем, который позволяет

выбрать вариант формирования портфеля долговых ценных бу-

маг. С одной стороны, при прочих равных условиях предпочти-

тельным является тот портфель, у которого дюрация меньше,

так как в этом случае денежные средства инвестора имеют луч-

ший оборот и приносят больший доход. Но с другой стороны,

дюрация позволяет хеджировать процентный риск.

Рассмотрим инвестора, который вкладывает средства в об-

лигации и должен вернуть часть средств через два года. Как

должен такой инвестор сформировать свой портфель?

Самой простой тактикой данного инвестора является приоб-

ретение дисконтных инструментов, погашающихся через два года.

Если речь идет о высоконадежных инструментах, то инвестор

практически фиксирует свои платежи. Подобная тактика называ-

ется синхронизацией платежей. На практике, однако, она не

всегда желательна. Дело в том, что на рынке может просто не

быть дисконтных облигаций с соответствующими характеристи-

ками. Кроме того, инвестор вынужден слишком сильно лимити-

ровать себя в отношении уровня доходности. Поэтому часто при-

меняется такой вариант, как иммунизация. Иммунизация означа-

ет формирование портфеля, дюрация которого совпадает с дюра-

цией обязательств. При иммунизации инвестор формирует порт-

фель, имеющий такую же дюрацию, что и его обязательства.

Задача 8. Допустим, коммерческий банк должен осуществить

через два года платеж величиной 1 000 000 руб. На рынке име-

ется два вида облигаций:

тип А —одногодичная дисконтная облигация номиналом 1000 руб.

(ГКО);

тип В —трехгодичная купонная облигация с купонной ставкой 8%

и номинальной стоимостью 1000 руб. (ОФЗ-ПД).

1. Постройте портфель, полностью хеджирующий риск из-

менения процентной ставки при условии, что текущая процент-

ная ставка равна 10%.

2. Рассчитайте, как изменится полная стоимость портфеля

для различных процентных ставок: 9%, 10%, 11%.

Решение.

Таблица 8

Расчет дюрации трехлетней облигации

Время

выплат

Сумма

выплат

1080

Ставка дисконта

1/1,1=0,9091

1/1,21=0,8265

1/1,331=0,7513

Приведенная стоимость:

Приведенная

текущая

стоимость

72,73

66,12

811,4

950,25

t-PV

72,73

132,24

2434,2

2639,2

Дюрация = | | | ^ | = 2 , 7 8 (года).

Рассчитаем число облигаций типа А и типа В в портфеле.

Пусть wl, w2 —веса, или пропорции, по которым средства инве-

стируются. Для нахождения весов надо решить систему уравнений:

Wi + W2 = 1.

Далее: wi •D ^ w2 •D2 = 2; (wr •1) + (w2 •2,78) = 2,

Dj =1; D2 = 2,78; wj = 0,4382; w2 = 0,5618.

Если будущая стоимость портфеля должна быть равна

1000000 руб., то облигаций обоих типов, с учетом текущей про-

центной ставки (10%), следует взять на сумму, равную:

1000 000 o^CAAC^Oi ^Ч

———= 826446,28 (руб.).

Облигаций типа А надо купить на сумму 826446,28 •0,4382 =

= 362 149 (руб.).

Облигаций типа В надо купить на сумму 826446,28 •0,5618 =

= 464 297 (руб.).

Представим структуру портфеля, хеджирующего риск изме-

нения процентных ставок в штуках облигаций.

Таблица 9

Структура портфеля, хеджирующего риск

Тип

облигаций

Тип А

Тип В

Состав

портфеля, руб.

362149

464297

Приведенная стоимость

одной облигации

1000/1,1=909,091

950,25

Состав

портфеля, шт.

362149/909,091=398

464297/950,25=489

Таблица 10

Расчет портфеля облигаций для различных процентных ставок

Вид будущего

дохода

Сумма от реинвести-

ции дохода от облига-

ций 1 на конец года.2

Сумма, полученная от

реинвестиции купо-

нов, выданных в мо-

мент времени t=l

Купоны, полученные

в момент времени

Т=2

Цена продажи трех-

летней облигации в

момент времени t=2

Общая стоимость

портфеля

Доход к погашению в зависимости

от процентных ставок

0,08

1000-(1+0,08) • •398 = 429840

80-(1+0,08) • •489 = 42249,6

80-489 = 39120

489-1080/(1+0,08)=

= 489000

1000210

0,10

1000-(1+0,1) • •398 = 437800

80-1,1-489 =

= 43032

80-489=39120

489-1080/1,1 =

= 480109

1000061ДЮ1

0,11

1000-1,11-

•98 = 441780

80-1,11-489 =

= 43423,2

80-489=39120

489-1080/1,11 =

=475783,78

1000107

1 Примечание: при точных расчетах данный показатель должен равняться 1000000 руб., но

так как мы производили промежуточные округления, то произошла небольшая погрешность

в вычислениях.

Выводы: портфель иммунизирован к риску изменения про-

центной ставки. Остаются риск ликвидности и риск неуплаты. В

реальности сдвиг кривой доходности к погашению не везде па-

раллелен и обеспечить согласованность денежных потоков не

всегда просто. Для этого нужно использовать более сложные

формы кривых доходностей.

Риск портфеля. Если при анализе риска используются стати-

стические методы, то ожидаемые риски портфеля представляют

собой сочетания стандартных отклонений входящих в него ак-

тивов. В связи с тем, что различные активы по-разному реаги-

руют на конъюнктурные изменения рынка, ожидаемый риск

портфеля в большинстве случаев не соответствует средневзве-

шенной величине стандартных отклонений входящих в него ак-

тивов. Для измерения степени взаимосвязи и направления из-

менения текущих доходностей двух активов используются стати-

стические показатели ковариации и корреляции.

Ковариация определяется по формуле:

kffiЧ (22)

где / (12) ~~ доходность актива (1 или 2) в k-м периоде,

/(i,2) —средняя доходность актива (1 или 2) за п периодов.

Положительное значение ковариации свидетельствует о том,

что доходности изменяются в одном направлении, отрицатель-

ное —в обратном. При слабо выраженной зависимости значе-

ние ковариации близко к нулю.

Ковариация зависит от единицы измерения исследуемых ве-

личин, что ограничивает ее применение на практике. Более

удобным в использовании является производный от нее показа-

тель —коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:

п-С-^Ш. (23)

Коэффициент корреляции обладает теми же свойствами, что

и ковариация, но является безразмерной величиной и принима-

ет значения от +1 до —. Для независимых случайных величин

корреляция близка к нулю.

Таким образом, стандартное отклонение портфеля из двух

активов определяется по формуле:

^ . а , . ^ - ^ , (24)

где W\, W2 —удельный вес /-го актива в портфеле,

Oi,a2 —стандартные отклонения доходности активов,

р1 - 2 —корреляция между активами.

Задача 9. Средства, инвестированные в портфель, распреде-

лены следующим образом:

35% в актив А со стандартным отклонением 27,11,

65% в актив В со стандартным отклонением 7,75.

Коэффициент корреляции между доходностями этих активов

составляет 0,5. Рассчитайте риск портфеля. Как изменится риск, ес-

ли корреляция между активами составит 1) 1,0; 2) 0;3) —0,5; 4) —1?

Решение. Риск (стандартное отклонение):

а = д/(0,35)2 •(27,11)2 + (0,65)2 •(7,75)2 + 2 •0,35 •0,65 •27,11.7,75.0,5 =

1) если р = 1, то а = д/210,94 = 14,5;

2) если р = 0, то а = ^115,39 = Ю,7;

3) если р = - 0,5, то а = ^67,81 = 8,22;

4) если р = - 1, то а = ^/l9,84 = 4,45.

При расчете риска портфеля, состоящего из нескольких ак-

тивов, необходимо учесть парные корреляции (ковариации) всех

входящих в него активов:

mokam9km9 (25)

где W {к, т) —удельный вес А;-го (m-го) актива в портфеле.

Знак двойной суммы означает, что в процессе расчета снача-

ла берется к=1 и на него умножаются все значения т от 1 до п.

Затем операция повторяется для к=2 и т.д. Для упрощения про-

цедуры расчета используется ковариационная матрица. Боль-

шинство прикладных пакетов по статистике и даже EXCEL по-

зволяют производить такие расчеты автоматически, поэтому мы

не приводим примеров подобных расчетов.

Несложные алгебраические вычисления позволяют понять

интерпретацию коэффициента корреляции:

•при объединении в портфель активов с корреляцией

+ 1 риск не уменьшается, а лишь усредняется;

•идеальный портфель состоит из активов с корреляцией —1;

•при отрицательной корреляции между активами риск порт-

феля меньше средневзвешенной суммы рисков, привноси-

мых каждым конкретным активом, поэтому при формировании портфеля необходимо стремиться к объединению ак-

тивов с наименьшей корреляцией доходностей. Этот част-

ный случай диверсификации называется хеджированием.

Для оценки риска портфеля необходимо сначала рассчитать

среднюю фактическую доходность портфеля за я-периодов, за-

тем риск портфеля (по показателю среднеквадратического от-

клонения) и сравнить его совокупный риск с другими портфе-

лями на основе коэффициента вариации:

вариации

где /р —средняя фактическая доходность портфеля за я-периодов,

ар —среднеквадратическое отклонение портфеля.

Задача 10. Имеется три портфеля облигаций. Произведите

оценку риска каждого портфеля. Данные о портфелях находятся

в таблице 11.

Таблица 11

Оценка риска портфеля

Виды портфелей

Портфель облигаций

А, Б, В

Портфель облигаций

Г,Д, Е

Портфель облигаций

Ж, 3, И

Средняя фактическая

доходность, %

Риск портфеля, %

2,8

3,3

"^ворипции

0,122

0,127

0,12

Портфель облигаций Г, Д, Е обладает наибольшим риском,

так как с каждой единицей дохода связано 0,127 единицы риска.

Портфель облигаций Ж, 3, И —самый низкорисковый.

Ликвидность портфеля. Ликвидность портфеля является до-

полнительным показателем, который характеризует возможность

продажи активов на вторичных торгах и определяется ликвидно-

стью инструментов, входящих в портфель.

Для оценки ликвидности конкретного инструмента исполь-

зуют агрегированный показатель ликвидности1, который рассчи-

тывается по формуле:

Количество заявок на покупку •Количество заявок на продажу

(Спрэд -1)2

где Lm —показатель ликвидности /w-го инструмента портфеля,

1 Примечание: рассчитывается за определенный период (день, месяц, квартал и т.д.).

Спрэд = Ср цена продажи / Ср. цена покупки.

Ликвидность портфеля оценивается коэффициентом лик-

видности портфеля, который рассчитывается как сумма коэф-

фициента ликввдности всех инструментов, взвешенных по их

денежному объему:

V / . Р -V V/ . Р V

' = YP v = Р (28)

Сравнительная эффективность инвестиций при формировании

портфеля. Очень часто возникает ситуация, когда инвестор стоит

перед альтернативой выбора того или иного портфеля. Основ-

ными критериями здесь должны выступать доходность, риск и

срок инвестирования. Между первым и двумя последними пока-

зателями портфеля должна существовать прямо пропорциональ-

ная зависимость:

•чем больше риск портфеля, тем больший он должен

приносить доход;

•чем больше срок инвестирования, тем больше должна

быть ожидаемая от инвестиций доходность.

Таким образом, из двух портфелей, обладающих одинаковым

уровнем дохода, наиболее эффективным является тот, который

обеспечивает наименьший риск и/или срок инвестирования. И

соответственно, наоборот, из двух портфелей с одинаковым

сроком и/или риском выбирают тот, который обладает наи-

большей доходностью.

На практике это означает, что инвестор должен оценить

ожидаемую доходность, дюрацию и стандартное отклонение ка-

ждого портфеля, а затем выбрать лучший из них, основываясь

на соотношении указанных трех параметров.

Если сравнивать портфели только на основе их абсолютных

значений, то, как правило, сложно сделать правильную оценку.

Например, ожидаемая доходность одного портфеля составляет

150% годовых, а другого —100%. Результаты по формированию

первого портфеля кажутся более предпочтительными. Однако

если его риск в два раза больше риска второго портфеля, то бо-

лее успешным окажется второй менеджер. Поэтому для оценки

эффективности портфеля используют относительные показате-

ли, которые учитывают как доходность, так и риск портфеля.

Одним из таких показателей является коэффициент эффектив-

ности портфеля:

* Э Ф = - ^ Ч (29)

где ip —ожидаемая доходность портфеля,

ар —среднеквадратическое отклонение, рассчитываемое на основе

фактической доходности.

Чем больше коэффициент эффективности, тем больше

ожидаемый доход портфеля на величину риска. Следовательно,

наилучшим является портфель с наибольшим значением коэф-

фициента эффективности.

Другим показателем эффективности портфеля является удель-

ный потенциал его роста. Его применяют в том случае, когда

нельзя определить лучший портфель на основе абсолютных зна-

чений срока и доходности.

Удельный потенциал роста определяется как отношение по-

тенциала роста и дюрации портфеля по формуле:

VR~, (30)

где Dp —дюрация портфеля,

PR —потенциал роста портфеля.

PR характеризует доход, который может быть получен ин-

вестором с учетом цен всех облигаций, находящихся в портфеле

в течение времени его существования. Потенциал роста опреде-

ляется как отношение стоимости портфеля в будущих и текущих

ценах и рассчитывается по формуле:

PR = ^LL-l = I^-h (31)

где Рт —текущая рыночная цена m-ro актива портфеля,

FVm —будущая стоимость т-го актива, рассчитывается по формуле:

FV= Q •(1 + /) п-\ + с 2 •(1 + /) " " 2 + . . . + N, (32)

С\ —размер соответствующего купона,

N —номинал облигаций,

п —количество лет до погашения облигации.

Для бескупонных бумаг FV = N.

Удельный потенциал роста позволяет выбрать вариант фор-

ницу времени.

Задача 11. Определите доходность, дюрацию, потенциал рос-

та и удельный потенциал роста для двух вариантов портфеля. На

основании рассчитанных показателей сравните эффективность

инвестиций в разные портфели. Данные по каждому портфелю

представлены в таблице 12.

Таблица 12

Данные по портфелю А

Портфель

ОФЗ-ПД

№ 25021

ОФЗ-ФД

№27011

Количест-

во в порт-

феле — Qm

2000

100000

Срок до

погашения,

или дюра-

ция- Dm

дней

252,6

830,25

Цены вы-

пусков,

руб.

955,272

6,24

Ставка — 0,3057

0,425

т ТО Pi

72.20088

107.7554

Данные по портфелю В

Портфель

ГКО№

21139

Вексель

≪Газпрома≫

ОФЗ-ФД

№ 27001

Количест-

во в порт-

феле — Qm

1000

150000

Срок до

погашения,

или дюра-

ц и я - Dm

дней

509,011

Цены вы-

пусков,

руб.

986,8

940334,64

8,424

Ставка — L

0,1486

0,315

0,4167

т ТО Pi

2.511728

11.88676

131.1647

Решение. Рассчитаем доходность и дюрацию каждого из

портфелей:

Портфель А:

Р =2000 •955,272 +100000 •6,24= 2534544 (руб.),

(0,3057 •2000 •955,272 + 0,425 •100000 •6,24) =

" (2000-955,272+ 100000-6,24) " '

D = 72,2+107,76 = 179,96 (дней).

Портфель В:

Р=1000 •986,8+1 •940334,64+150000 •8,424-3190735 (руб.),

j = (0Д486 •1000 •986,8 + 0,315 •1 •940334,64 + 0,4167 •150000 •8,424) = Q 3 0 3 g ~ (1000 •986,8 + 1 •940334,64 + 1 •50000 •8,424) ~ '

D = 2,51+11,89+131,17=145,57 (дней).

На основе рассчитанных показателей трудно выбрать луч-

ший портфель, поэтому воспользуемся показателем удельного

потенциала роста.

Сначала рассчитаем будущую стоимость каждого актива,

входящего в портфель А й в портфель В.

Портфель А:

^25021 = 74,79 •(1 + 30,57) 365 + 1074,79 = 1160,22 (руб.),

1183

FV270n = 0,62 •(1 + 0,425) 3 6 5 + .... + 10,25 = 21,18 (руб.),

^поРтфеляА= И60,22 •2000+21,18 •100000=4438440 (руб.).

Портфель В:

/^21139=1000 (руб.),

^г а з пром= Ю00000 (руб.),

637

/^27001 = 0,62 (1 + 0,4167) 365 + .... +ю?37 = 15,68 (руб.),

= ЮООООО+1000000+15,68 •150000=4352000 (руб.).

Таблица 13

Расчет удельного потенциала роста

Портфель

- А

Текущая цена

2534544

3190735

Будущая цена

4438440

4352000

р - FV портфеля

PV портфеля

0,751179

0,363949

UR-f

0,00425

0,0025

Результаты сравнения показывают, что первый вариант порт-

феля обеспечивает более эффективное вложение средств на еди-

ницу времени.

Решите самостоятельно.

Задача 12. Облигация с фиксированным купоном приобретена

31.03.1998 г.; дата погашения —31.12.2000 г. Выплата купонов

производится один раз в году (31 декабря каждого года) из расче-

та 12% от номинала, сумма номинала —1000 руб. Ставка альтер-

нативной доходности равна 16%. Найдите курсовую стоимость

облигации по отношению к ≪чистой≫ цене и накопленный ку-

понный доход. Считать в году 360 дней (30 дней в месяце).

Задача 13. На вторичных торгах 17.05.2000 г. курс ОФЗ-ПД

№ 25016RMFS5 составил 100,7%, а курс ГКО № 21139RMFS9 -

99,65%. Для инвестиционного портфеля коммерческого банка

требуется выбрать государственную облигацию, обладающую

максимальной доходностью к погашению.

Дополнительно рассчитайте дюрацию и коэффициент Мако-

ли для каждой облигации.

Параметры облигаций.

ГКО № 21139: номинал —1000 руб.; погашение —31.05.2000 г.

ОФЗ-ПД № 25016: номинал —1000 руб.

Дата аукцио-

на или дата

выплаты

купона

10.06.97

10.06.98

10.06.99

10.06.00

Номер

купонного

периода

Купонный

период

365

Величина

купона,

% годовых

Объявленный

купон

200

200.55

Задача 14. Рассчитайте расходы банка по формированию

портфеля ценных бумаг, состоящего из: 5000 шт. государст-

венных облигаций ОФЗ-ПД № 25023; 10 дисконтных векселей

РАО ≪Газпром≫; 200 000 шт. государственных облигаций ОФЗ-

ФД № 27004; 1000 шт. государственных облигаций ГКО

№ 21139RMFS9.

Курс перечисленных ценных бумаг на вторичном рынке

17 мая 2000 г. равен:

ОФЗ-ПД № 25023 —90%; векселя РАО ≪Газпром≫ —90%;

ОФЗ-ФД № 27004 - 75%; ГКО № 21139 - 99%.

Параметры ценных бумаг:

ОФЗ-ПД № 25023: номинал —1000 руб., текущий купон-

ный период —182 дня, количество дней до ближайшей купон-

ной выплаты —119, размер текущего купона —14%.

РАО ≪Газпром≫: номинал —500 000 руб., количество дней

до погашения —123.

ОФЗ-ФД № 27004: номинал —10 руб., текущий купонный

период —91 день, количество дней до ближайшей купонной

выплаты —35, размер текущего купона —25%.

ГКО № 21139RMFS9: номинал 1000 руб., количество дней

до погашения —14.

Задача 15. Рассчитайте доходность портфеля (на основе

простой процентной ставки), состоящего из ценных бумаг сле-

дующих видов:

векселя РАО ≪Газпром≫ —20 шт., ОФЗ-ПД № 25014 — 3000 шт., ОФЗ-ФД № 27007 - 300 000 шт.

На вторичных торгах 17.05.2000 г. курс этих облигаций со-

ставил 92%, 90%, 80% соответственно.

Параметры облигаций:

РАО ≪Газпром≫: номинал —500000 руб., количество дней

до погашения —123.

ОФЗ-ПД № 25014: номинал—000 руб., количество дней до

ближайшей купонной выплаты —302.

Дата аукциона или

дата выплаты купона

15.03.97

15.03.98

15.03.99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

Номер купонного

периода

Купонный

период

365

Величина купона,

% годовых

ОФЗ-ФД № 27007:

номинал —10 руб.,

количество дней до ближайшей купонной выплаты 84.

Дата аукциона или

дата выплаты купона

19.08.98

12.05.99

11.08.99

10.11.99

09.02.00

10.05.00

09.08.00

08.11.00

07.02.01

09.05.01

08.08.01

07.11.01

06.02.02

08.05.02

07.08.02

06.11.02

05.02.03

Номер купонного

периода

Купонный

период

266

Величина купона,

% годовых

Задача 16. Определите дюрацию портфеля (в годах), имею-

щего в своем составе следующие бумаги:

ОФЗ-ПД № 26001 - 1000 шт, ОФЗ-ПД № 26002 - 20000 шт.,

ОФЗ-ПД № 26003 —3000 шт., дисконтные векселя Сбербанка — 10 шт., дисконтные векселя ≪Газпрома≫ —10 шт.

Курс перечисленных ценных бумаг по состоянию на

15.03.2000 г. составил: ОФЗ-ПД № 26001 - 55%, ОФЗ-ПД

№ 26002 —45%, ОФЗ-ПД № 26003 —38%, дисконтные векселя

Сбербанка —90%, дисконтные векселя ≪Газпрома≫ —70%.

Параметры ценных бумаг:

ОФЗ-ПД № 26001: номинал —1000 руб., доходность к пога-

шению —48,58%.

Дата аукциона

или

дата выплаты

купона

15.03.97

15.03.98

15.03.99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

15.03.03

Номер купонного

периода

Купон-

ный

период

365

366

365

Объявленный

купон

100

102.07

100

Величина

купона*

% годовых

ОФЗ-ПД № 26002: номинал —1000 руб., доходность —51,41%.

Дата аукциона

или

дата выплаты

купона

15.03.97

15.03.98

15.03,99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

15.03.03

15.03.04

Номер купонного

периода

Купон-

ный

период

365

366

365

366

Объявленный

купон

100

102.07

100

102.07

Величина

купона,

% годовых

ОФЗ-ПД № 26003: номинал —1000 руб., доходность —54,25%.

Дата аукциона

или

дата выплаты

купона

15.03.97

15.03.98

15.03.99

15.03.00

15.03.01

15.03.02

15.03.03

15.03.04

15.03.05

Номер купонного

периода

Купон-

ный

период

365

366

365

366

365

Объявленный

купон

100

102.07

100

102.07

100

Величина

купона,

% годовых

162

Дисконтные векселя Сбербанка:

номинал —500 000 руб., погашение через 182 дня, эффек-

тивная доходность —23,53%. Дисконтные векселя ≪Газпрома≫:

номинал —500 000 руб., погашение через 365 дней, доходность — 42,86%.

Задача 17. Коммерческий банк должен осуществить через

три года платеж величиной в 10 000 000 руб. На рынке имеется

два вида ценных бумаг:

дисконтные векселя ≪Газпрома≫ номиналом 50 000 руб. и

сроком погашения через один год и облигации федерального

займа с постоянной купонной ставкой —20%, сроком погаше-

ния —5 лет и номинальной стоимостью 1000 руб.

Постройте портфель, гарантирующий банку возврат 10 000 000 руб.

через три года, при условии, что текущая процентная ставка

равна 40%. Определите структуру портфеля в штуках соответст-

вующих ценных бумаг.

Задача 18. Имеется портфель А, состоящий на 70% из ОФЗ-

ПД № 25023 и на 30% —из облигаций ОФЗ-ФД № 27007. Рас-

считайте риск портфеля на основании данных о фактической

доходности каждой облигации, рассчитанной по месяцам 1999 г.

Вид облигации

ОФЗ-ПД

ОФЗ-ФД

60,3

65,5

58 7

67,3

59.1

68,5

6? Я

63,1

61 4

62,7

57, 8

63,2

36,1

61,7

55,3

59,4

54,2

58,3

55,7

57,6

53,1

58,7

54,7

55,9

Коэффициент корреляции принять равным 0,709605.

Имеется портфель В, состоящий на 25% из векселей РАО,

≪Газпром≫ и на 75% —из векселей Сбербанка. Рассчитайте риск

портфеля на основании данных о фактической доходности каж-

дого векселя, рассчитанной по месяцам 1999 г.

Эмитент

векселя

≪Газпром≫

Сбербанк

40,2

35,1

40,5

34,3

40,2

35,5

38,3

34,2

40,1

33,7

38,1

3379

37,9

3271

38,2

3179

37,5

31,3

37,3

31,5

Коэффициент корреляции принять равным 0,69329.

Сравните оба портфеля по степени риска на основании ко-

эффициента корреляции.

Задача 19. Даны два портфеля А и В. Портфель А содержит

три векселя РАО ≪Газпром≫ и имеет следующую структуру:

Эмитент

≪Газпром≫

Срок до

погашения,

дни

Рыночная до-

ходность к

погашению

(эффектив-

ная), %

31,5

Количество

в портфеле,

шт.

Рыночная

цена, руб.

940334,6

435795,1

428759,2

Номинал,

руб

1000000

500000

Портфель В содержит три векселя Сбербанка и имеет сле-

дующую структуру:

Эмитент

Сбербанк

Срок до

погашения,

дни

ПО

Рыночная до-

ходность к

погашению

(эффектив-

ная), %

Количество

в портфеле,

шт.

Рыночная

цена, руб.

488507,3

905523,3

434157,3

Номинал,

руб

500000

1000000

500000

Определите наиболее эффективный портфель с точки зрения

≪доходность —срок≫. Для решения используйте показатель

удельного потенциала роста.

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

§ 4. Формирование и управление инвестиционным портфелем банка