2 . 1 . 1 . Потоки платежей в схеме сложных процентов

Обобщающие характеристики финансового потока. Наращенная

сумма {S) — сумма наращений всех платежей потока на дату

его окончания. Современная величина (А) — сумма современных

величин всех платежей потока.

Разумеется, для знакопеременного потока его обобщающие

характеристики вычисляются как алгебраические суммы. В общем

случае приведенную величину потока можно рассматривать

для произвольного момента времени, а не только в начале, как

для А, или конце потока, как для S.

Поток платежей, все члены которого — положительные величины,

а интервалы времени между двумя последовательными

платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ниже

приводятся формулы для потока с выплатами в конце периода,

так называемые ренты постнумерандо. Если платежи приходятся

на начало каждого периода (рента пренумерандо), то обобщающие

характеристики нетрудно получить, опираясь на формулы

предыдущего случая с учетом временного сдвига.

Общая постоянная рента — последовательность р одинаковых

выплат на протяжении года в течение всего срока ренты п (число

лет) с /w-разовым ежегодным начислением процентов по одной и

той же годовой ставке / (десятичная дробь). Наращенная сумма S

и современная величина А общей ренты составят:

(2.1)

где R — годовая сумма платежа.

Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в

конце каждого года, проценты начисляются раз в году (р = т = 1).

Обобщающие характеристики:

[(1 + 0 " - 1 ^

[l-a+/)-"]

S = R

А

(2.2)

Множители s(n, i) = [(1 + if - 1]//, a(n, i) = [1 - (1 + iyn]/i в

(2.2) называют коэффициентом наращения и соответственно

приведения годовой ренты.

Вечная рента (п = оо). Современная величина бессрочной ренты

равна:

R (2.3)

Переменные потоки платежей {Rt}: платежи изменяются во

времени. Обобщающие характеристики получают, как правило,

путем прямого счета.

Ч а с т н ы е с л у ч а и:

• рента с постоянным абсолютным приростом платежей:

Rt+l-Rt = a, т.е. {Л, = R{ + (t- 1)в, / = 1 , 2 , п } \

S= А + - (1 + 0 " -1 па (2.4)

( 1 - у л ) nay"

(2.5)

• рента с постоянным темпом роста платежей: =д, т-е-

{R, = Rx-tf-\t= 1,2, ...,п);

S = R, [<! + /)"-(! + *)"].

1-

A=R,

а-к)

1+к"

1+/

(2.6)

а-к) '

где ￡ = 1 — q — темп прироста

Непрерывные потоки платежей. В ряде случаев более адекватное

описание финансовых явлений достигается, когда поток платежей

рассматривается как непрерывный процесс.

Ч а с т н ы е с л у ч а и:

• постоянная непрерывная рента с начислением процентов

раз в год. Обобщающие характеристики для такой ренты получаются

из формул (2.1), в которых т = 1, с помощью предельного

перехода при р - » оо.

1п(1+/)

1-(1+/Г* (2J)

ln(l+/)

Аналогичным путем находятся приведенные значения непрерывной

ренты при капитализации процентов т раз в году;

• постоянная непрерывная рента с непрерывным начислением

процентов.

S = ]Rtbtdt=-\ebn-\)\

5 (2.8)

8 v '

Объединение и замена рент. Для подобных изменений в случае

равноправных участников должны выполняться требования финансовой

эквивалентности конструируемой (новой) последовательности

платежей базовым условиям. Они сводятся к так называемому

уравнению эквивалентности, в котором сумма заменяемых

платежей, приведенных к какому-либо моменту времени,

приравнена к сумме платежей искомой последовательности,

приведенных к той же дате.

Простейшим примером такой замены является разовый платеж,

приходящийся на начало потока и равный его современной

величине. Его инвестирование по ставке / полностью обеспечивает

все платежи потока, а порожденная им на дату замыкающего

платежа сумма приводит в точности к наращенной стоимости

всей последовательности платежей:

￡ = Л(1 + /)Л . (2.9)

Для сложных процентов способы приведения знакопеременных

потоков принципиально не отличаются от единообразных

правил действия с потоками однонаправленных платежей.

Обобщающие характеристики финансового потока. Наращенная

сумма {S) — сумма наращений всех платежей потока на дату

его окончания. Современная величина (А) — сумма современных

величин всех платежей потока.

Разумеется, для знакопеременного потока его обобщающие

характеристики вычисляются как алгебраические суммы. В общем

случае приведенную величину потока можно рассматривать

для произвольного момента времени, а не только в начале, как

для А, или конце потока, как для S.

Поток платежей, все члены которого — положительные величины,

а интервалы времени между двумя последовательными

платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ниже

приводятся формулы для потока с выплатами в конце периода,

так называемые ренты постнумерандо. Если платежи приходятся

на начало каждого периода (рента пренумерандо), то обобщающие

характеристики нетрудно получить, опираясь на формулы

предыдущего случая с учетом временного сдвига.

Общая постоянная рента — последовательность р одинаковых

выплат на протяжении года в течение всего срока ренты п (число

лет) с /w-разовым ежегодным начислением процентов по одной и

той же годовой ставке / (десятичная дробь). Наращенная сумма S

и современная величина А общей ренты составят:

(2.1)

где R — годовая сумма платежа.

Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в

конце каждого года, проценты начисляются раз в году (р = т = 1).

Обобщающие характеристики:

[(1 + 0 " - 1 ^

[l-a+/)-"]

S = R

А

(2.2)

Множители s(n, i) = [(1 + if - 1]//, a(n, i) = [1 - (1 + iyn]/i в

(2.2) называют коэффициентом наращения и соответственно

приведения годовой ренты.

Вечная рента (п = оо). Современная величина бессрочной ренты

равна:

R (2.3)

Переменные потоки платежей {Rt}: платежи изменяются во

времени. Обобщающие характеристики получают, как правило,

путем прямого счета.

Ч а с т н ы е с л у ч а и:

• рента с постоянным абсолютным приростом платежей:

Rt+l-Rt = a, т.е. {Л, = R{ + (t- 1)в, / = 1 , 2 , п } \

S= А + - (1 + 0 " -1 па (2.4)

( 1 - у л ) nay"

(2.5)

• рента с постоянным темпом роста платежей: =д, т-е-

{R, = Rx-tf-\t= 1,2, ...,п);

S = R, [<! + /)"-(! + *)"].

1-

A=R,

а-к)

1+к"

1+/

(2.6)

а-к) '

где ￡ = 1 — q — темп прироста

Непрерывные потоки платежей. В ряде случаев более адекватное

описание финансовых явлений достигается, когда поток платежей

рассматривается как непрерывный процесс.

Ч а с т н ы е с л у ч а и:

• постоянная непрерывная рента с начислением процентов

раз в год. Обобщающие характеристики для такой ренты получаются

из формул (2.1), в которых т = 1, с помощью предельного

перехода при р - » оо.

1п(1+/)

1-(1+/Г* (2J)

ln(l+/)

Аналогичным путем находятся приведенные значения непрерывной

ренты при капитализации процентов т раз в году;

• постоянная непрерывная рента с непрерывным начислением

процентов.

S = ]Rtbtdt=-\ebn-\)\

5 (2.8)

8 v '

Объединение и замена рент. Для подобных изменений в случае

равноправных участников должны выполняться требования финансовой

эквивалентности конструируемой (новой) последовательности

платежей базовым условиям. Они сводятся к так называемому

уравнению эквивалентности, в котором сумма заменяемых

платежей, приведенных к какому-либо моменту времени,

приравнена к сумме платежей искомой последовательности,

приведенных к той же дате.

Простейшим примером такой замены является разовый платеж,

приходящийся на начало потока и равный его современной

величине. Его инвестирование по ставке / полностью обеспечивает

все платежи потока, а порожденная им на дату замыкающего

платежа сумма приводит в точности к наращенной стоимости

всей последовательности платежей:

￡ = Л(1 + /)Л . (2.9)

Для сложных процентов способы приведения знакопеременных

потоков принципиально не отличаются от единообразных

правил действия с потоками однонаправленных платежей.