3.1. Основные понятия и формулы

Первичные характеристики. Величина займа (основной долг) —

D; срок погашения — п\ кредитная ставка (простая, сложная,

учетная) — /.

Условия выдачи и погашения кредитов, займов, ссуд весьма

разнообразны. При этом в качестве ограничения, определяющего

поток погашающих платежей, выступает требование его финансовой

эквивалентности величине долга D.

Разовое погашение кредита в конце срока. Ссуда D выдана на п

лет под годовую ставку сложного процента /. Размер погашающего

платежа:

Этот платеж состоит из двух частей — возврата основного долга

D и выплаты процентов:

I=D(\ +i)n-D: Y=D + I.

Погашение кредита потоком платежей. Пусть Yt — величина погашающего

платежа в конце года /, / = 1 , 2 , п . Срочные уплаты

{Yt} должны удовлетворять следующему условию финансовой эквивалентности:

У= D(l + /)я. (3.1)

￡г,(1 + / Г ' =Д (3.2)

Выплаты Yt охватывают средства Z>„ предназначенные для

амортизации основного долга, и проценты It, выплачиваемые на

остаток долга на начало года /:

/ , = / ( / > - ( 3 . 3 )

При таком назначении текущих процентных выплат кредит

будет погашен в течение предусмотренного срока п при условии,

что сумма всех промежуточных возвратов долга Dt равняется величине

займа D:

(3.4)

Рассмотрим поток произведенных в счет погашения долга

срочных уплат Yb Y2, Yk. Эти платежи покрывают «набежавшие

» за к лет проценты и погашение части долга. Наращенная на

конец ￡-го года величина выданной ссуды D( 1 + i)k содержит долг

D и начисленные за тот же срок проценты. Эти же проценты присутствуют

в выплатах Yb Y2,Yk и, значит, финансово-эквивалентная

им на момент к величина содержится в наращенной сумме:

^ = 1Г,(1+0*-'.

Поэтому остаток долга Lk на конец любого года к будет равен

разности между наращенной на эту дату величиной долга и наращенной

на ту же дату суммой всех произведенных выплат:

Lk=D(\+i)k+/)*"'. (3.5)

Использование этих правил позволяет планировать погашение

задолженности по составляющим / , , Dt суммарной выплаты

Yt и следить за динамикой изменения долга (его остатка) или, основываясь

на планируемых срочных уплатах {Yt} (3.2), разбить их

на процентные {/,} и долговые {/),} выплаты.

Приведем распространенные кредитные схемы — частные

случаи потоков срочных уплат (3.2) и условий (3.3), (3.4).

Погашение основного долга одним платежом в конце (равные

процентные выплаты). D{ = D2 — ... = Dn_x = 0, Dn == D.

Тогда согласно (3.3) проценты 1Х = 12 = ... = 1п = //). Складывая,

получим следующую последовательность срочных уплат:

У| = К2 = ... = Yn_x = //), К„ = //) + Z>. В этой схеме кредит обслуживается

равными процентными выплатами и разовым погашением

основного долга одним платежом в конце срока. При погашении

долгосрочного кредита данным способом величина задолженности

для каждого промежуточного года не меняется и учитывается

в годовой бухгалтерской отчетности в долгосрочных пассивах

в размере D.

Погашение основного долга равными ежегодными суммами.

Долг делится поровну между всеми ежегодными платежами, т. е.

Z>i = />2 = ... = -0Л = D/n. Последовательность процентных платежей

(3.3), отвечающая этому правилу, образует убывающую арифметическую

профессию:

/, = /Д / 2 = i(D - D / n ) , / , = i(D - D(t - /„ = iD/n.

Погашения кредита равными годовыми выплатами. Yx = Y2 = ...

= Yn = Y. Эти выплаты образуют годовую ренту. Приравнивая ее

современную величину сумме основного долга (3.2), получим

уравнение:

Ya(n,i) = D.

Откуда

Y-DMnA-\-^r- <3-6>

Отсюда и по правилу (3.3) можно найти размеры процентных

выплат и погашающих долг сумм:

/,=//>; DX=Y-IX;

/ 2 = / < Я - А ) ; D2=Y-I2;

м (3.7)

/,=/(/>-!Dky, 4=г-/„/=з, . . . , я.

В принципе в правилах кредитных расчетов ничего не изменится,

если срочные уплаты будут производиться несколько раз в

год при условии, что за единичный период начисления процентов

принят промежуток между двумя уплатами (число р платежей

в году равно числу т начислений процентов в течение года,

р = т).В этом случае в приведенных выше формулах вместо годовой

ставки подставляется ставка начисления i/m на единичном

периоде, а вместо длительности п в годах — длительность в единичных

периодах пт. Например, для схемы равных срочных уплат

(3.6), руководствуясь данным соответствием, найдем, что величина

взноса

У_ D-i/m

~\-{\+i/mYnm' (3*8)

Погасительный фонд. В качестве поясняющего примера рассмотрим

схему равных процентных выплат. Пусть бюджетные

возможности заемщика ограничивают размеры его ежегодных

погашений величиной я, которая превышает процентную выплату,

но это превышение не покрывает долга. В этой ситуации,

чтобы возвратить разовым платежом в конце обусловленного

срока сумму долга, заемщик может накопить необходимые средства,

используя бюджетный остаток Д/ = тс - iD. Необходимый

для этого фонд формируется из последовательных взносов (например,

на специальном счете в банке), на которые начисляются

проценты.

Планирование погасительного фонда (равные взносы). В схеме

равных процентов, для того чтобы накопить требуемую сумму D с

помощью ежегодных взносов R за срок л, используется фонд со

ставкой начисления сложного процента у. По условию наращенная

сумма составленной из этих взносов годовой ренты равна:

S-R-ф;у>Л.И^ = D. (3.9)

J

Откуда

Л- DJ .

(1+yT-i

Одновременно происходит выплата кредитору процентов, начисляемых

на долг по ставке /. В этом случае срочная уплата составит

величину Y— Di + R.

Допустим, что заемщик не может перечислять в погасительный

фонд суммы, превосходящие величину Е. Полагая R = Е,

можно рассчитать минимально допустимый для него срок пога-

шения птт. Для этого потребуется решить простейшее показательное

уравнение вида а* = Ь:

Е.^1Л l = D. (3.10)

j

Рассмотренное не исчерпывает возможных планов создания

погасительных фондов: неравными взносами, накопление для

погашения единым платежом в конце срока и т. д.

Потребительский кредит. В потребительском кредите на всю

сумму кредита начисляются простые проценты, которые прибавляются

к величине самого кредита, и сумма всех погашающих

выплат должна быть равна этой величине. При равных выплатах

величина одного платежа получается делением этой суммы на их

число. Реальная цена кредита для покупателя определяется ставкой

сложного процента, для которой современная величина выплат

по кредиту равна основному долгу.

Равномерное погашение потребительского кредита. Пусть кредит

размером D взят на п лет под годовую ставку простых процентов

/. Следовательно, сумма долга с процентами составит:

S=Z)(1 + ш).

Если в год предусмотрено (договором о кредите) р выплат, то

одна выплата У равна:

S/pn = D(l +ni)/pn.

Величина Y в принятых выше терминах представляет собой

срочную уплату.

Возникает вопрос, как расчленить Уна погашение процентов

и основного долга. Для этого применяется правило деления некоторого

числа на части пропорционально данным числам. В качестве

исходных данных, позволяющих получить требуемое соотношение

пропорциональности, началу каждого периода ставится

в соответствие число, равное количеству оставшихся выплат:

(l;pn), (2\рп - 1 ) , ( к , р п — (к — 1 ) ) , ( р п ; 1). (3.11)

Тогда правило определения последовательных процентных

погашений 1{, 12, Д, 1рп сводится к делению всей суммы

процентов 7 = Dni пропорционально числу оставшихся относительно

начала каждого периода срочных уплат:

рп-к + 1 •Dni = рп -к +1 Dni,к =1,2,...,/?л. (3.12)

1 + 2 + . + рп{рп+\)/2

Соответственно сумма погашения долга: Dk = Y— Ik.

Отсюда для частного случая, когда кредит выдается на один

год с помесячным погашением, получим так называемое правило

числа 78. Знаменатель формулы (3.11), как легко понять, равен

сумме порядковых номеров всех выплат. В рассматриваемом варианте

эта сумма равна 78:

отсюда и название правила.

Обозначим ставку сложного процента, под которую выдается

потребительский кредит, через j и допустим, что число начислений

процентов т в течение года совпадает с числом выплат по кредиту

р(т=р). Ставка j определяется из условия равенства современной

величины выплат по кредиту его номинальной величине:

Данное уравнение можно записать в виде многочлена от

неизвестной ставки. Для определения его корня можно воспользоваться

функцией Excel для расчета внутренней ставки доходности.

Разумеется, что в зависимости от возможностей участников

кредитного договора величина т не обязана совпадать с/?, например,

заемщик может начислять процент один раз в году. Тогда для

определения кредитной ставки ему следует решить то же уравнение

(ЗЛЗ) при условии, что /и = 1.

Ипотечная ссуда. Такая ссуда выдается под залог недвижимости

и имеет длительный срок погашения. В связи с этим существует

достаточно большое количество различных схем погашения

долга по ипотеке, учитывающих возраст заемщиков, их материальное

и семейное положение и прочее. В случае непогашения

ссуды в установленный срок заложенное имущество становится

собственностью кредитора.

12

1* = 78,

[D(l + ni) Ipn]a(pnj'/m) = Д m =/?. (3.13)

Традиционная ипотечная ссуда погашается равными ежемесячными

выплатами, на которые ежемесячно же начисляются

проценты. Величина ежемесячного платежа У и остатка Lk долга

после очередного взноса определяются формулами (3.8), (3.5):

У = D L / U -121,» L * =Я(1+//12)* -Y -s(kJ/\2). (3.14)

1-(1 + //12)"

Замена и объединение займов. Параметры нового кредитного

соглашения подбирают исходя из требования его финансовой эквивалентности

исходным условиям кредитования.

Льготные кредиты. В ряде случаев долгосрочные займы выдаются

под льготные условия. Низкая процентная ставка, предусматриваемая

таким займом, в сочетании с большим его сроком и

льготным периодом дают должнику существенную выгоду, которую

можно рассматривать как субсидию. Размер этой помощи

можно оценить через абсолютное или относительное превышение

объема займа D над суммой G дисконтированных по обычной

(не льготной) ставке платежей, поступающих в счет его погашения:

JV= D - G\ w = W/D.

Список типовых приемов решения задач планирования и

анализа кредитных операций можно продолжить, рассмотрев, в

том числе, ссудные и учетные операции с удержанием комиссионных,

коммерческие сделки купли-продажи товаров в кредит и

т.д. Способы решения подобных задач достаточно просто получить

самостоятельно, опираясь на правила действия с процентами

и гибко используя принцип финансовой эквивалентности,

основанный на сопоставлении обобщенных характеристик сравниваемых

потоков платежей.

Первичные характеристики. Величина займа (основной долг) —

D; срок погашения — п\ кредитная ставка (простая, сложная,

учетная) — /.

Условия выдачи и погашения кредитов, займов, ссуд весьма

разнообразны. При этом в качестве ограничения, определяющего

поток погашающих платежей, выступает требование его финансовой

эквивалентности величине долга D.

Разовое погашение кредита в конце срока. Ссуда D выдана на п

лет под годовую ставку сложного процента /. Размер погашающего

платежа:

Этот платеж состоит из двух частей — возврата основного долга

D и выплаты процентов:

I=D(\ +i)n-D: Y=D + I.

Погашение кредита потоком платежей. Пусть Yt — величина погашающего

платежа в конце года /, / = 1 , 2 , п . Срочные уплаты

{Yt} должны удовлетворять следующему условию финансовой эквивалентности:

У= D(l + /)я. (3.1)

￡г,(1 + / Г ' =Д (3.2)

Выплаты Yt охватывают средства Z>„ предназначенные для

амортизации основного долга, и проценты It, выплачиваемые на

остаток долга на начало года /:

/ , = / ( / > - ( 3 . 3 )

При таком назначении текущих процентных выплат кредит

будет погашен в течение предусмотренного срока п при условии,

что сумма всех промежуточных возвратов долга Dt равняется величине

займа D:

(3.4)

Рассмотрим поток произведенных в счет погашения долга

срочных уплат Yb Y2, Yk. Эти платежи покрывают «набежавшие

» за к лет проценты и погашение части долга. Наращенная на

конец ￡-го года величина выданной ссуды D( 1 + i)k содержит долг

D и начисленные за тот же срок проценты. Эти же проценты присутствуют

в выплатах Yb Y2,Yk и, значит, финансово-эквивалентная

им на момент к величина содержится в наращенной сумме:

^ = 1Г,(1+0*-'.

Поэтому остаток долга Lk на конец любого года к будет равен

разности между наращенной на эту дату величиной долга и наращенной

на ту же дату суммой всех произведенных выплат:

Lk=D(\+i)k+/)*"'. (3.5)

Использование этих правил позволяет планировать погашение

задолженности по составляющим / , , Dt суммарной выплаты

Yt и следить за динамикой изменения долга (его остатка) или, основываясь

на планируемых срочных уплатах {Yt} (3.2), разбить их

на процентные {/,} и долговые {/),} выплаты.

Приведем распространенные кредитные схемы — частные

случаи потоков срочных уплат (3.2) и условий (3.3), (3.4).

Погашение основного долга одним платежом в конце (равные

процентные выплаты). D{ = D2 — ... = Dn_x = 0, Dn == D.

Тогда согласно (3.3) проценты 1Х = 12 = ... = 1п = //). Складывая,

получим следующую последовательность срочных уплат:

У| = К2 = ... = Yn_x = //), К„ = //) + Z>. В этой схеме кредит обслуживается

равными процентными выплатами и разовым погашением

основного долга одним платежом в конце срока. При погашении

долгосрочного кредита данным способом величина задолженности

для каждого промежуточного года не меняется и учитывается

в годовой бухгалтерской отчетности в долгосрочных пассивах

в размере D.

Погашение основного долга равными ежегодными суммами.

Долг делится поровну между всеми ежегодными платежами, т. е.

Z>i = />2 = ... = -0Л = D/n. Последовательность процентных платежей

(3.3), отвечающая этому правилу, образует убывающую арифметическую

профессию:

/, = /Д / 2 = i(D - D / n ) , / , = i(D - D(t - /„ = iD/n.

Погашения кредита равными годовыми выплатами. Yx = Y2 = ...

= Yn = Y. Эти выплаты образуют годовую ренту. Приравнивая ее

современную величину сумме основного долга (3.2), получим

уравнение:

Ya(n,i) = D.

Откуда

Y-DMnA-\-^r- <3-6>

Отсюда и по правилу (3.3) можно найти размеры процентных

выплат и погашающих долг сумм:

/,=//>; DX=Y-IX;

/ 2 = / < Я - А ) ; D2=Y-I2;

м (3.7)

/,=/(/>-!Dky, 4=г-/„/=з, . . . , я.

В принципе в правилах кредитных расчетов ничего не изменится,

если срочные уплаты будут производиться несколько раз в

год при условии, что за единичный период начисления процентов

принят промежуток между двумя уплатами (число р платежей

в году равно числу т начислений процентов в течение года,

р = т).В этом случае в приведенных выше формулах вместо годовой

ставки подставляется ставка начисления i/m на единичном

периоде, а вместо длительности п в годах — длительность в единичных

периодах пт. Например, для схемы равных срочных уплат

(3.6), руководствуясь данным соответствием, найдем, что величина

взноса

У_ D-i/m

~\-{\+i/mYnm' (3*8)

Погасительный фонд. В качестве поясняющего примера рассмотрим

схему равных процентных выплат. Пусть бюджетные

возможности заемщика ограничивают размеры его ежегодных

погашений величиной я, которая превышает процентную выплату,

но это превышение не покрывает долга. В этой ситуации,

чтобы возвратить разовым платежом в конце обусловленного

срока сумму долга, заемщик может накопить необходимые средства,

используя бюджетный остаток Д/ = тс - iD. Необходимый

для этого фонд формируется из последовательных взносов (например,

на специальном счете в банке), на которые начисляются

проценты.

Планирование погасительного фонда (равные взносы). В схеме

равных процентов, для того чтобы накопить требуемую сумму D с

помощью ежегодных взносов R за срок л, используется фонд со

ставкой начисления сложного процента у. По условию наращенная

сумма составленной из этих взносов годовой ренты равна:

S-R-ф;у>Л.И^ = D. (3.9)

J

Откуда

Л- DJ .

(1+yT-i

Одновременно происходит выплата кредитору процентов, начисляемых

на долг по ставке /. В этом случае срочная уплата составит

величину Y— Di + R.

Допустим, что заемщик не может перечислять в погасительный

фонд суммы, превосходящие величину Е. Полагая R = Е,

можно рассчитать минимально допустимый для него срок пога-

шения птт. Для этого потребуется решить простейшее показательное

уравнение вида а* = Ь:

Е.^1Л l = D. (3.10)

j

Рассмотренное не исчерпывает возможных планов создания

погасительных фондов: неравными взносами, накопление для

погашения единым платежом в конце срока и т. д.

Потребительский кредит. В потребительском кредите на всю

сумму кредита начисляются простые проценты, которые прибавляются

к величине самого кредита, и сумма всех погашающих

выплат должна быть равна этой величине. При равных выплатах

величина одного платежа получается делением этой суммы на их

число. Реальная цена кредита для покупателя определяется ставкой

сложного процента, для которой современная величина выплат

по кредиту равна основному долгу.

Равномерное погашение потребительского кредита. Пусть кредит

размером D взят на п лет под годовую ставку простых процентов

/. Следовательно, сумма долга с процентами составит:

S=Z)(1 + ш).

Если в год предусмотрено (договором о кредите) р выплат, то

одна выплата У равна:

S/pn = D(l +ni)/pn.

Величина Y в принятых выше терминах представляет собой

срочную уплату.

Возникает вопрос, как расчленить Уна погашение процентов

и основного долга. Для этого применяется правило деления некоторого

числа на части пропорционально данным числам. В качестве

исходных данных, позволяющих получить требуемое соотношение

пропорциональности, началу каждого периода ставится

в соответствие число, равное количеству оставшихся выплат:

(l;pn), (2\рп - 1 ) , ( к , р п — (к — 1 ) ) , ( р п ; 1). (3.11)

Тогда правило определения последовательных процентных

погашений 1{, 12, Д, 1рп сводится к делению всей суммы

процентов 7 = Dni пропорционально числу оставшихся относительно

начала каждого периода срочных уплат:

рп-к + 1 •Dni = рп -к +1 Dni,к =1,2,...,/?л. (3.12)

1 + 2 + . + рп{рп+\)/2

Соответственно сумма погашения долга: Dk = Y— Ik.

Отсюда для частного случая, когда кредит выдается на один

год с помесячным погашением, получим так называемое правило

числа 78. Знаменатель формулы (3.11), как легко понять, равен

сумме порядковых номеров всех выплат. В рассматриваемом варианте

эта сумма равна 78:

отсюда и название правила.

Обозначим ставку сложного процента, под которую выдается

потребительский кредит, через j и допустим, что число начислений

процентов т в течение года совпадает с числом выплат по кредиту

р(т=р). Ставка j определяется из условия равенства современной

величины выплат по кредиту его номинальной величине:

Данное уравнение можно записать в виде многочлена от

неизвестной ставки. Для определения его корня можно воспользоваться

функцией Excel для расчета внутренней ставки доходности.

Разумеется, что в зависимости от возможностей участников

кредитного договора величина т не обязана совпадать с/?, например,

заемщик может начислять процент один раз в году. Тогда для

определения кредитной ставки ему следует решить то же уравнение

(ЗЛЗ) при условии, что /и = 1.

Ипотечная ссуда. Такая ссуда выдается под залог недвижимости

и имеет длительный срок погашения. В связи с этим существует

достаточно большое количество различных схем погашения

долга по ипотеке, учитывающих возраст заемщиков, их материальное

и семейное положение и прочее. В случае непогашения

ссуды в установленный срок заложенное имущество становится

собственностью кредитора.

12

1* = 78,

[D(l + ni) Ipn]a(pnj'/m) = Д m =/?. (3.13)

Традиционная ипотечная ссуда погашается равными ежемесячными

выплатами, на которые ежемесячно же начисляются

проценты. Величина ежемесячного платежа У и остатка Lk долга

после очередного взноса определяются формулами (3.8), (3.5):

У = D L / U -121,» L * =Я(1+//12)* -Y -s(kJ/\2). (3.14)

1-(1 + //12)"

Замена и объединение займов. Параметры нового кредитного

соглашения подбирают исходя из требования его финансовой эквивалентности

исходным условиям кредитования.

Льготные кредиты. В ряде случаев долгосрочные займы выдаются

под льготные условия. Низкая процентная ставка, предусматриваемая

таким займом, в сочетании с большим его сроком и

льготным периодом дают должнику существенную выгоду, которую

можно рассматривать как субсидию. Размер этой помощи

можно оценить через абсолютное или относительное превышение

объема займа D над суммой G дисконтированных по обычной

(не льготной) ставке платежей, поступающих в счет его погашения:

JV= D - G\ w = W/D.

Список типовых приемов решения задач планирования и

анализа кредитных операций можно продолжить, рассмотрев, в

том числе, ссудные и учетные операции с удержанием комиссионных,

коммерческие сделки купли-продажи товаров в кредит и

т.д. Способы решения подобных задач достаточно просто получить

самостоятельно, опираясь на правила действия с процентами

и гибко используя принцип финансовой эквивалентности,

основанный на сопоставлении обобщенных характеристик сравниваемых

потоков платежей.