Расчетные задачи
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
1. 152,09. 2. Сумма двух аннуитетов: с платежом 10 в течение
10 лет и начиная с 7-го года по 1 в течение 4 лет;
РК= 10 • я(10; 15) + 1 • 0(4; 15) • у(6; 15) = 51,42 млн руб.
3. 43,68; схема пренумерандо (выплаты в начале периода).
4. а) Так как наращенная на дату замыкающего платежа сумма
5« 46,65 < 50, то дата заменяющей выплаты Т> 150. Пусть Т= 150 + х.
Для определения х имеем следующее условие финансовой эквивалентности:
10- 1+(100 4-Х)
365
+20 '(1 +( 7 0+х ) . ^0± П +15
365;
1 +х •
365
=50.
Откуда х « 352,22, т.е. сумма в 50 млн руб. должна быть выплачена
через 502 дня; б) по условию новый платеж равен сумме прежних:
45 = 10 + 20 + 15, поэтому его срок не может превосходить даты последнего
платежа (Т< 150). Естественно, что снятие его суммы (45) в
момент Г приведет на дату последней выплаты в точности к нулевому
балансу:
45(1 + (150 - 7) • 0,1/365) = 10(1 + 100 • 0,1/365) + 20(1 + 70 х
х 0,1/365) + 15.
Откуда Г» 97 дней.
Можно доказать, что при замене платежей их суммой дата заменяющего
платежа не зависит от процентной ставки и равна арифметической
взвешенной исходных дат. Используя этот факт, получим
тот же ответ:
Г = —-50 + —-80+ —-150«97дн.
45 45 45
5. а) А » 275,5; S = А(\ + 0,07)3 = 337,499 - рекомендуется решить
задачу двумя способами: по формулам (2.6) и прямым счетом; б) Ау =
= А (1 + 0 1 / 2 = 275,5 • 1,071/2 = 284,979; Sx/ = S(l + j ) l / 2 = 337,499 х
х 1,07^2= 349,112.
6. А = 2112,8 тыс. руб.; 5 = 3367,49 тыс. руб.
7. Заданную годовую ставку можно рассматривать как эффективную
ставку для непрерывного начисления с силой роста 5 : еъ= 1,08.
Тогда наращенная сумма
5 = f h e m t d t - I - 1 ' 0 8 " 1 =15,06 млн руб.
J lnl,08
8. а) С поправкой на инфляцию дискретный поток состоит из
трех платежей: Ry= 105; /?2= 110,25; Л3 = 115,7625; его современная
стоимость Л = 288,9222 тыс. руб.; б) для того чтобы учесть инфляцию,
применим схему непрерывного прироста платежей с таким темпом 5,
что еъ = 1,05. Для дисконтирования воспользуемся ставкой непрерывного
процента у по заданной номинальной ставке: еу = 1,07. Тогда
современная стоимость с учетом инфляции составит:
1,053
t
1,073
A = f R e ( 5 - y ) / * =J—R(eW-y) -!).=_—! ЮО •
о 5-у 1п(1,05/1,07)
100-0,055 _Q 1 , _ _
= ! « 291,67 тыс. руб.
0,01887
Недооценка инфляции при использовании приближения «а»
составила 3378 руб., или порядка 1,15%.
9. а) 5 = 250 • *(6;7,5) = 250 • 7,24402 « 1811,0 тыс. руб.;
1 037512 -1
б) согласно (2.1) при/7 = 2, т = 4 S = 250- j = 1817,33 тыс.
руб. 1' 0 3 7 5 - 1
10. а) 34,34; б) 86,8.
11. а) 2300 долл.; б) 980 долл.
12. Текущая стоимость А должна привести к моменту последней
выплаты к нулевому балансу полной суммы счета, определяемой в
соответствии с коммерческим правилом:
А(1 + 3 -0,2) = 200(1 + 2 • 0,2) - 500(1 + 0,2) + 600 и А = 175.
В развернутой форме этому решению отвечает табл. 2.2.
Таблица 2.2
Номер года
(окончание)
Состояние
основного счета
Состояние
процентного
счета
Полная
сумма счета на
конец года
1 200 0 200
2 -300 40 -260
3 300 40-60 280
Откуда А = — = 175.
1,6
13. S = 340; А = 184,52; Совпадают: для сравниваемых моделей
обеспечение (финансирование) потока CF означает попросту обеспечение
суммы каждого платежа, иначе говоря, текущая стоимость
потока равна сумме текущих стоимостей отдельных платежей.
14. а) Решению соответствует табл. 2.3
Таблица 2.3
Номер года Состояние Состояние Полная
(окончаосновного
процентного сумма счета
ние) счета счета на конец года
1 1200 200 1200 + 200 = 1400
2 -300 200 + 0,2 • 1200 = 440 -300 + 440 = 140
3 600 440 - 0,2 • 300 = 380 600 + 380= 980
4 400 380 + 0,2 • 600 = 500 400 + 500= 900
5 500 500 + 0,2 • 400 = 580 500 + 580 = 1080
б) решению соответствует табл. 2.4.
Таблица 2.4
Номер года
(окончание)
Состояние
основного счета
Состояние
процентного
счета
Полная
сумма счета на
конец года
1 1200 200 1200 + 200 = 1400
2 1200 — (1500 —
- 440)= 140
200 + 240 - 440 = 0 140
3 1040 28 1040 + 28 = 1068
4 1040 28 + 208 - 200 = 36 1040 + 36 = 1076
.5 1140 36 + 208 = 244 1140 + 244= 1384
15. а) 183,153 тыс. руб.; б) 201,468; в) 192,092.
16. а) 32,759 тыс. руб.; б) 29,78 тыс. руб.
17. Полагая в (2.1) т = 1, р = 2, п = оо, R/p = 5, найдем А -
1,25^'4 -1 «42,361 тыс. руб.
18. Верхний предел цены Р должен совпадать с ценой станка,
уравнивающей выгодность рассматриваемых альтернатив, т.е. являться
сегодняшним эквивалентом потока доходов CF={(1, 2000);
(2,2000); (3, 2000 + 6000)} при ставке 8%. Откуда следует, что Р =
= 2000 • а(3;8) + 6000 • у(3,8) « 9917,19 долл.
19. а) А, =6+ .
1,1s
0,8 0,8
1,1 ю + . . . + -
_0,8
1,1 50 = 6 + 0,8о(50;10) , 0,8-9,91
5(5;10) = 0 +-6,1051
= 7,298;
0,4.д(50;10)= 7 ? 2 5
2 j(10; 10)
Варианты практически равноценны: чем ниже ставка, тем больше
влияние стоимости ремонтных работ и меньше - первоначальных
затрат. С учетом будущей неопределенности (/ < 10%) следует
предпочесть второй вариант; б) при / = 15% тем же способом, что и в
«а», найдем А х = 6,79 И/42 = 7,13.Согласно предположению фактическая
ставка может быть только выше, чем 15%. Поэтому следует выбрать
первый вариант. Задачу можно решить с помощью функции
Excel для вычисления внутренней ставки доходности. Для этого следует
перейти к дискретной ренте с периодом, равным промежутку т
между платежами, и ставкой начисления j = (1 + if1 — 1.
20. ￡ = 500 • 1,062~1 / 4 + 525 • 1,062 _ 1 / 2 +...+ (500 + 25 • (8 - 1)) =
= 4257,5 тыс. руб., А = S• 1,06~2 = 3789,247 тыс. руб.
41 с fp,A0 8'w/ 1п(1+5-0,08)
21. .3=JKe at=5K, откуда п = —- -—-«4,21 года.
о 0,08
22. а) 2,88 млн руб.; б) нет; в) нет; г) 2,487 млн руб.
23. а) 2 • а(5; 8) = 2 • я(х;8) • у(3;8) = 7,9854, т. е. 1,083(1 - 1,08~5) =
= (1 — 1,08"*). Откуда х * 6,69 года; б) нет; в) нет; г) эту недоимку
можно погасить разовой выплатой с учетом требования финансовой
эквивалентности. Чтобы ее найти, следует расчетное число лет округлить
до меньшего значения. Тогда современная величина соответствующего
потока будет меньше заданной: 7,3396 < 7,9854, и недоплата
составит 0,6458.
24. 7С= 60 • сс(11; 8%) • у(9; 8%) « 60 • 7,139 • 0,5 = 214,17 долл.
25. а) 15,72 года; б) для скорректированного срока 7* = 15 последовательность
платежей не полностью обеспечивает погашение долга.
Разность в 287751 руб. должна быть выплачена кредитору в начале
или должен быть несколько увеличен размер годового платежа.
Находим R = 10/ а(15, 6%) = 1,0296286 млн руб.
1. 152,09. 2. Сумма двух аннуитетов: с платежом 10 в течение
10 лет и начиная с 7-го года по 1 в течение 4 лет;
РК= 10 • я(10; 15) + 1 • 0(4; 15) • у(6; 15) = 51,42 млн руб.
3. 43,68; схема пренумерандо (выплаты в начале периода).
4. а) Так как наращенная на дату замыкающего платежа сумма
5« 46,65 < 50, то дата заменяющей выплаты Т> 150. Пусть Т= 150 + х.
Для определения х имеем следующее условие финансовой эквивалентности:
10- 1+(100 4-Х)
365
+20 '(1 +( 7 0+х ) . ^0± П +15
365;
1 +х •
365
=50.
Откуда х « 352,22, т.е. сумма в 50 млн руб. должна быть выплачена
через 502 дня; б) по условию новый платеж равен сумме прежних:
45 = 10 + 20 + 15, поэтому его срок не может превосходить даты последнего
платежа (Т< 150). Естественно, что снятие его суммы (45) в
момент Г приведет на дату последней выплаты в точности к нулевому
балансу:
45(1 + (150 - 7) • 0,1/365) = 10(1 + 100 • 0,1/365) + 20(1 + 70 х
х 0,1/365) + 15.
Откуда Г» 97 дней.
Можно доказать, что при замене платежей их суммой дата заменяющего
платежа не зависит от процентной ставки и равна арифметической
взвешенной исходных дат. Используя этот факт, получим
тот же ответ:
Г = —-50 + —-80+ —-150«97дн.
45 45 45
5. а) А » 275,5; S = А(\ + 0,07)3 = 337,499 - рекомендуется решить
задачу двумя способами: по формулам (2.6) и прямым счетом; б) Ау =
= А (1 + 0 1 / 2 = 275,5 • 1,071/2 = 284,979; Sx/ = S(l + j ) l / 2 = 337,499 х
х 1,07^2= 349,112.
6. А = 2112,8 тыс. руб.; 5 = 3367,49 тыс. руб.
7. Заданную годовую ставку можно рассматривать как эффективную
ставку для непрерывного начисления с силой роста 5 : еъ= 1,08.
Тогда наращенная сумма
5 = f h e m t d t - I - 1 ' 0 8 " 1 =15,06 млн руб.
J lnl,08
8. а) С поправкой на инфляцию дискретный поток состоит из
трех платежей: Ry= 105; /?2= 110,25; Л3 = 115,7625; его современная
стоимость Л = 288,9222 тыс. руб.; б) для того чтобы учесть инфляцию,
применим схему непрерывного прироста платежей с таким темпом 5,
что еъ = 1,05. Для дисконтирования воспользуемся ставкой непрерывного
процента у по заданной номинальной ставке: еу = 1,07. Тогда
современная стоимость с учетом инфляции составит:
1,053
t
1,073
A = f R e ( 5 - y ) / * =J—R(eW-y) -!).=_—! ЮО •
о 5-у 1п(1,05/1,07)
100-0,055 _Q 1 , _ _
= ! « 291,67 тыс. руб.
0,01887
Недооценка инфляции при использовании приближения «а»
составила 3378 руб., или порядка 1,15%.
9. а) 5 = 250 • *(6;7,5) = 250 • 7,24402 « 1811,0 тыс. руб.;
1 037512 -1
б) согласно (2.1) при/7 = 2, т = 4 S = 250- j = 1817,33 тыс.
руб. 1' 0 3 7 5 - 1
10. а) 34,34; б) 86,8.
11. а) 2300 долл.; б) 980 долл.
12. Текущая стоимость А должна привести к моменту последней
выплаты к нулевому балансу полной суммы счета, определяемой в
соответствии с коммерческим правилом:
А(1 + 3 -0,2) = 200(1 + 2 • 0,2) - 500(1 + 0,2) + 600 и А = 175.
В развернутой форме этому решению отвечает табл. 2.2.
Таблица 2.2
Номер года
(окончание)
Состояние
основного счета
Состояние
процентного
счета
Полная
сумма счета на
конец года
1 200 0 200
2 -300 40 -260
3 300 40-60 280
Откуда А = — = 175.
1,6
13. S = 340; А = 184,52; Совпадают: для сравниваемых моделей
обеспечение (финансирование) потока CF означает попросту обеспечение
суммы каждого платежа, иначе говоря, текущая стоимость
потока равна сумме текущих стоимостей отдельных платежей.
14. а) Решению соответствует табл. 2.3
Таблица 2.3
Номер года Состояние Состояние Полная
(окончаосновного
процентного сумма счета
ние) счета счета на конец года
1 1200 200 1200 + 200 = 1400
2 -300 200 + 0,2 • 1200 = 440 -300 + 440 = 140
3 600 440 - 0,2 • 300 = 380 600 + 380= 980
4 400 380 + 0,2 • 600 = 500 400 + 500= 900
5 500 500 + 0,2 • 400 = 580 500 + 580 = 1080
б) решению соответствует табл. 2.4.
Таблица 2.4
Номер года
(окончание)
Состояние
основного счета
Состояние
процентного
счета
Полная
сумма счета на
конец года
1 1200 200 1200 + 200 = 1400
2 1200 — (1500 —
- 440)= 140
200 + 240 - 440 = 0 140
3 1040 28 1040 + 28 = 1068
4 1040 28 + 208 - 200 = 36 1040 + 36 = 1076
.5 1140 36 + 208 = 244 1140 + 244= 1384
15. а) 183,153 тыс. руб.; б) 201,468; в) 192,092.
16. а) 32,759 тыс. руб.; б) 29,78 тыс. руб.
17. Полагая в (2.1) т = 1, р = 2, п = оо, R/p = 5, найдем А -
1,25^'4 -1 «42,361 тыс. руб.
18. Верхний предел цены Р должен совпадать с ценой станка,
уравнивающей выгодность рассматриваемых альтернатив, т.е. являться
сегодняшним эквивалентом потока доходов CF={(1, 2000);
(2,2000); (3, 2000 + 6000)} при ставке 8%. Откуда следует, что Р =
= 2000 • а(3;8) + 6000 • у(3,8) « 9917,19 долл.
19. а) А, =6+ .
1,1s
0,8 0,8
1,1 ю + . . . + -
_0,8
1,1 50 = 6 + 0,8о(50;10) , 0,8-9,91
5(5;10) = 0 +-6,1051
= 7,298;
0,4.д(50;10)= 7 ? 2 5
2 j(10; 10)
Варианты практически равноценны: чем ниже ставка, тем больше
влияние стоимости ремонтных работ и меньше - первоначальных
затрат. С учетом будущей неопределенности (/ < 10%) следует
предпочесть второй вариант; б) при / = 15% тем же способом, что и в
«а», найдем А х = 6,79 И/42 = 7,13.Согласно предположению фактическая
ставка может быть только выше, чем 15%. Поэтому следует выбрать
первый вариант. Задачу можно решить с помощью функции
Excel для вычисления внутренней ставки доходности. Для этого следует
перейти к дискретной ренте с периодом, равным промежутку т
между платежами, и ставкой начисления j = (1 + if1 — 1.
20. ￡ = 500 • 1,062~1 / 4 + 525 • 1,062 _ 1 / 2 +...+ (500 + 25 • (8 - 1)) =
= 4257,5 тыс. руб., А = S• 1,06~2 = 3789,247 тыс. руб.
41 с fp,A0 8'w/ 1п(1+5-0,08)
21. .3=JKe at=5K, откуда п = —- -—-«4,21 года.
о 0,08
22. а) 2,88 млн руб.; б) нет; в) нет; г) 2,487 млн руб.
23. а) 2 • а(5; 8) = 2 • я(х;8) • у(3;8) = 7,9854, т. е. 1,083(1 - 1,08~5) =
= (1 — 1,08"*). Откуда х * 6,69 года; б) нет; в) нет; г) эту недоимку
можно погасить разовой выплатой с учетом требования финансовой
эквивалентности. Чтобы ее найти, следует расчетное число лет округлить
до меньшего значения. Тогда современная величина соответствующего
потока будет меньше заданной: 7,3396 < 7,9854, и недоплата
составит 0,6458.
24. 7С= 60 • сс(11; 8%) • у(9; 8%) « 60 • 7,139 • 0,5 = 214,17 долл.
25. а) 15,72 года; б) для скорректированного срока 7* = 15 последовательность
платежей не полностью обеспечивает погашение долга.
Разность в 287751 руб. должна быть выплачена кредитору в начале
или должен быть несколько увеличен размер годового платежа.
Находим R = 10/ а(15, 6%) = 1,0296286 млн руб.