2.2. Типовые примеры

1. Наращенная сумма (простой процент).

Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в сумме 100 тыс.

руб. под простую ставку 14% годовых. Затем через 3, 6 и 9 месяцев

он вложил еще по 10 тыс. руб. В конце года клиент закрыл

счет. Какую сумму он получил при закрытии счета?

Решить задачу, используя следующие правила.

1. Разделение счета на основной и процентный.

2. Мультисчет.

Р е ш е н и е

1. В течение первого квартала сумма на счете капитала составляла

величину Р = 100. Проценты за первый квартал (длительность

квартала в долях года равна 0,25):

Ш Р =0,14- 0,25- 100 = 3,5.

В течение второго квартала сумма на основном счете Р = 100 +

+ 10 = 110, проценты с которой равны:

/Д/-Р=0,14- 0,25- 110 = 3,85;

сумма на счете в течение третьего квартала - 120, проценты за

третий квартал — 4,2; сумма на основном счете в течение четвер-

того квартала - 130, проценты равны 4,55. Итоговая сумма на

процентном счете (проценты за год) определяется сложением

поквартальных процентов и составляет величину / = 3,5 + 3,85 +

+ 4,2 + 4,55 = 16,1. Сумма, которую получит клиент при закрытии

счета, равна 130 + 16,1 = 146,1 тыс. руб.

2. Величина вклада на накопительном счете на дату закрытия

равна наращенной сумме потока всех вложений:

S=SX + S2 + S3 + S4;

S = 100(1 + 0,14) + 10(1 + 0,75 • 0,14) + 10(1 + 0,5 • 0,14) +

+ 10(1 + 0,25 • 0,14) = 146,1 тыс. руб.

2. Коммерческое и актуарное правила.

В условиях предыдущей задачи заменим вложение 10 тыс руб.

в конце 6-го месяца на изъятие в 20 тыс. руб. и найдем состояние

счета на конец каждого квартала в зависимости от используемого

банком правила (коммерческого или актуарного);

Р е ш е н и е

Согласно коммерческому правилу все платежи учитываются

на счете капитала, и его последовательным состояниям соответствует

вектор (ПО, 90, 100, 100).

Найдем последовательность сумм на процентном счете:

(3,5; 3,5 + 3,85 = 7,35; 7,35 + 0,14 • 0,25 • 90 =

= 10,5; 10,5 + 0,14 • 0,25 • 100 = 14).

Сопоставляя эти последовательности, получим полную сумму

счета на конец каждого квартала:

^ = 113,5; ^ 2 = 97,35; ^ 3 == 110,5; 5 4 = 114.

На практике банки выплачивают проценты по вкладу, поэтому

в случае изъятия сумм сначала уменьшается процентный счет,

а затем основной (актуарное правило). Согласно этой процедуре

выплата в 20 тыс. руб. производится за счет накопленных за полугодие

процентов (7,35) и снятия недостающей суммы (20 - 7,35 =

= 12,65) с основного счета. В результате придем к следующим

временным характеристикам состояний основного, процентного

и полного счетов (Ph Ii9 SJ) (табл. 2.1).

Таблица 2.1

/>,= ПО Р2 = 110 — (20 —

- 7,35) = 97,35

Р3 = 107,35 РА = 107,35

/, = 3,5 / 2 = 3 , 5 + 3 , 8 5 -

- 7 , 3 5 = 0

/ 3 = 0,14-0,25 х

х 97,35 = 3,407

/ 4 = 3,407 + 0,035 х

х 107,35 « 7 , 16

S{ = 113,5 5*2== 97,35 S3= 107,35 +

+ 3,40725 = 110,757

5 4 = 107,35 + 7,16 =

= 114,51

3. Наращенная сумма (сложный процент).

Для создания резервного фонда ежегодно выделяется по

400 тыс. руб. На аккумулируемые средства начисляются сложные

проценты по ставке 8%. Необходимо определить общую сумму

фонда через 5 лет для следующих вариантов поступления средств

и начисления процентов:

а) поступление в конце квартала, начисление процентов поквартальное;

б) поступление в конце квартала, начисление процентов по

полугодиям;

в) поступления в конце года при непрерывном начислении

процентов;

г) поступления на протяжении всего срока происходят непрерывно,

проценты начисляются непрерывно.

Р е ш е н и е

а) Воспользуемся формулой (2.2) для простой годовой ренты,

заменив год кварталом, а годовую ставку - квартальной: / = 2%,

п = 20. Значение коэффициента наращения 5(20,2) = 24,297, отку-

24 297

да S = 400 . - ^ = 2 1 = 2429,7 тыс. руб.;

4

б) в этом варианте р = 4, т = 2, п = 5, — = 0,04. По формуле

т

(2.1) находим:

е 400 (1+0,04)1 0 -1

S = — '—— =2425,45 тыс. руб.;

4 (1 + 0,04)2 / 4 -1

в) эквивалентный заданной годовой ставке / непрерывный

процент:

5 = ln(l + 0,08) = 0,07696 (e°'0 7 6 9 6=l,08).

Наращение с силой роста 5 даст тот же результат, что и начисление

под годовую ставку 8%. Воспользовавшись формулой (2.2),

найдем итоговую величину фонда:

S = 400 • J(5,8) = 400 • 5,8666 = 2346,64 тыс. руб.;

г) для случая (2.8) постоянной непрерывной ренты и непрерывных

процентов будет накопленная сумма

е 400.(1,085-1)

S = — - = 2439,33 тыс.руб.

0,07696

4. Современная стоимость ренты.

Какую сумму необходимо поместить в банк, чтобы иметь возможность

в течение следующих 8 лет ежегодно снимать со счета

25 тыс. руб., исчерпав счет полностью к концу срока? Решить задачу

для следующих вариантов начисления процентов:

а) в конце года по ставке / = 5%;

б) в конце квартала при той же годовой ставке;

в) непрерывно с силой роста 5 = 5%.

Р е ш е н и е

Во всех случаях требуется найти современную стоимость годовой

ренты:

а) применим формулу (2.2) :A = Ra (8,5). Значение а (8,5) =

= 6,46321. Откуда:

А = 25000 • 6,46321 = 161580,25 руб.;

б) по условию проценты начисляются 4 раза в год. Полагая в

формуле общей ренты р = 1, т = 4, п = 8, iг = 0,05, найдем интересующее

нас значение современной величины:

А = 2 5 0 0 0 = 2 5 0 0 0 -^Mi ^0965,75 руб.;

(1 + 0,05/4)4 -1 0,050945

в) в этом случае перейдем к эффективной ставке процента / =

= е 8 - 1 и применим обобщающую характеристику (2.2) простой

годовой ренты. В результате получим формулу современной стоимости

( е 8 - 1 )

для расчета требуемой суммы:

1 - 0 , 0 5 8

А = 25000 -^-4кк = 160753,64.

е ° ' 0 5 -1

5. Отыскание размера платежа.

Необходимо найти размер равных взносов в конце года для

следующих двух ситуаций, в каждой из которых предусматривается

начисление на взносы годовых процентов по ставке 8%.

1. Создать к концу пятилетия фонд, равный 1 млн руб.

2. Погасить к концу пятилетия текущую задолженность, равную

1 млн руб.

Р е ш е н и е

а) приравняем размер создаваемого фонда наращенной сумме

(2.2) простой годовой ренты. Из полученного уравнения находим:

D S 1000000 ЛПм**л *

R = = = 170456,4 руб.

5(5,8) 5,86660096

Таким образом, ежегодные взносы в размере 170456,4 руб.

достаточны при начислении на них процентов по указанной

ставке для накопления 1 млн руб.;

б) для определения ежегодной суммы погашения за 5 лет текущего

долга в 1 млн руб. приравняем его к современной величине

ренты (2.2), члены которой погашают долг. Из полученного

уравнения находим:

D А 1000000 -ылчслс *

R = = = 250456,46 руб.

я(5,8) 3,99271

6. Отыскание срока ренты.

Иванов должен выплатить Петрову 40 тыс. руб. Он предлагает

заменить эту разовую выплату ежегодными платежами в начале

каждого года по 10 тыс. руб. каждый. Сколько лет должен будет

ждать Петров полного погашения долга со стороны Иванова,

если на долг начисляются проценты по ставке 8% годовых?

Р е ш е н и е

Задача сводится к определению срока простой годовой ренты.

Полагая в (2.2) приведенную стоимость А равной разности между

величиной долга D и платежом R, придем к следующей формуле:

п =

-1п(1-(Р-Л)-//Д)

ln(l + /)

Подставляя в нее исходные данные, получим:

-1п(1 -3000 -0,08/10000)

1п(1 + 0,08)

«3,57 года.

Пусть продолжительность заменяющей ренты равна 3 годам.

Тогда ее современная величина

В то же время современная величина заменяемой ренты А =

= 30 тыс. Разность, таким образом, составляет 4229 руб. Эту сумму

следует уплатить в начале первого периода заменяемой ренты

или с соответствующим наращением в любой другой момент. Если

заменяемую ренту продлить на один год, то для окончательного

погашения долга Иванов должен будет в конце 4-го года выплатить

Петрову сумму Л* = 4229 • 1,084 = 4229-1,3605 «5753,55 руб.

7. Отыскание ставки процентов.

Банк предлагает клиенту выплату ренты на следующих условиях:

клиент вносит 10 тыс. руб., а банк в течение 5 лет выплачивает

ему в конце каждого года по 3 тыс. руб. Определить доходность

подобной операции.

Р е ш е н и е

Современная стоимость А получаемой клиентом ренты, вычисленная

по искомой процентной ставке /, совпадает с величиной

его начального капитала. При известных значениях ,4 = 10, R = 3,

п = 5 найдем д(5,/) = -у- = 3,(3). В соответствии с таблицей коэффициентов

приведения годовой ренты а(5; 15,5) = 3,3128<я(5,0 =

= 3,(3) < я(5; 15) = 3,3522. Поэтому за приближенную оценку

доходности допустимо принять среднюю табличных ставок: / »

8. Замена ренты разовым платежом (правило мультисчета).

Два платежа Sx = 100 тыс. руб. и S2 = 50 тыс. руб. со сроками

150 и 180 дней, отсчитываемыми от одной базы, заменяются од-

А3= 10000 • а(3,8%) = 10000 • 2,5771 « 25771.

15 + 15,5

2

= 15,25%.

ним со сроком 200 дней. Стороны согласились на замену при использовании

простой ставки, равной 6% годовых. Найти величину

консолидированного платежа Sz.

Р е ш е н и е

Для замены ренты Sx, S2 платежом Sz можно воспользоваться

моделью мультисчета: финансово-эквивалентный заменяющий

платеж должен равняться сумме наращений выплат Sx, S2 за период

их отсрочки:

Ss = 100(1 + 0,06 • 50/365) + 50(1 + 0,06 • 20/365) = 150986 руб.

9. Отыскание срока платежа, заменяющего ренту.

Рассматриваются два варианта перечисления суммы 1,2 млн руб.:

платежами в конце года с приростом в 5 тыс. руб. на протяжении

16 лет или разово. Найти срок т однократного платежа при условии,

что ставка сложного процента равна 8%.

Р е ш е н и е

Применяя (2.4), запишем условие эквивалентности в виде равенства

наращенных сумм по каждому варианту:

(Rl+°).s(n;i)-—=Л(1+/ГТ.

/ i

Согласно условиям задачи R = 12000000, а = 5000, п = 16,

/ = 0,08. Для определения недостающего параметра Rx (первого

платежа) воспользуемся формулой суммы п членов арифметической

профессии:

_2ax+d{n-\)

или, в обозначениях задачи:

1200000 =

2 * ' + 5 0 0 ° 1 5-16.

2

Решая, получим Rx = 37500. Заменим параметры в алгебраической

записи условия эквивалентности их численными значениями.

В результате придем к следующему уравнению относительно

т:

(37500 + , ( 1 6 ; 8 ) - i ^ ^ =1200000 -1,0816-*.

0,08 0,08

Откуда следует, что 1,08х = 2,02277 и т = Ш А и ^ х «9,15 года.

In 1,08

10. Объединение рент.

Найти годовую ренту-сумму сроком в 10 лет для двух годовых

рент: одна - длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, другая

- 8 и 800. Годовая ставка - 8%.

Р е ш е н и е

Для отыскания современной величины ренты-суммы определим

числовые значения одноименной характеристики для рент-

слагаемых:

Ах = 1000 • я(5; 8) = 1000 • 3,993 = 3993;

А2 = 800 • а(8;8) = 800 • 5,747 = 4598.

Значит, у ренты-суммы современная величина

Az = Ax + A2=Z59l.

Согласно формуле (2)

Az = Ra(W;8).

Следовательно, годовой платеж ренты-суммы:

или, в числах:

Ry = 8591/6,710= 1280,328.

11. Замена ренты (сложный процент).

Заменить годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом

1000 евро на ренту с полугодовым платежом по 600 евро. Годовая

ставка - 10%, проценты начисляются в конце периодов ренты.

Р е ш е н и е

Согласно требованию эквивалентности современные величины

рассматриваемых финансовых потоков одинаковы, т. е.:

А2 = А{ = 1000 • я(10; 10) = 1000 . 6,1446 = 6144,6.

Для заменяющей ренты начисление процентов и платежи производятся

два раза в год, поэтому для нее можно использовать те

же формулы (2.2), что и для простой годовой ренты, считая еди-

ничным периодом времени полугодие со ставкой начисления 5%.

Отсюда получим уравнение для длительности п этого потока:

А2=Ш-а(п\ 5),

т. е.

^ ; 5 ) = 61441 6 = 1 0

600

Это значение заключено между двумя табличными: д(14;5) =

= 9,899 и я(15;5) = 10,380. Поэтому за приближенную оцен-

ку можно принять величину п = = 14,5 периода, или

7,25 года. 2

1. Наращенная сумма (простой процент).

Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в сумме 100 тыс.

руб. под простую ставку 14% годовых. Затем через 3, 6 и 9 месяцев

он вложил еще по 10 тыс. руб. В конце года клиент закрыл

счет. Какую сумму он получил при закрытии счета?

Решить задачу, используя следующие правила.

1. Разделение счета на основной и процентный.

2. Мультисчет.

Р е ш е н и е

1. В течение первого квартала сумма на счете капитала составляла

величину Р = 100. Проценты за первый квартал (длительность

квартала в долях года равна 0,25):

Ш Р =0,14- 0,25- 100 = 3,5.

В течение второго квартала сумма на основном счете Р = 100 +

+ 10 = 110, проценты с которой равны:

/Д/-Р=0,14- 0,25- 110 = 3,85;

сумма на счете в течение третьего квартала - 120, проценты за

третий квартал — 4,2; сумма на основном счете в течение четвер-

того квартала - 130, проценты равны 4,55. Итоговая сумма на

процентном счете (проценты за год) определяется сложением

поквартальных процентов и составляет величину / = 3,5 + 3,85 +

+ 4,2 + 4,55 = 16,1. Сумма, которую получит клиент при закрытии

счета, равна 130 + 16,1 = 146,1 тыс. руб.

2. Величина вклада на накопительном счете на дату закрытия

равна наращенной сумме потока всех вложений:

S=SX + S2 + S3 + S4;

S = 100(1 + 0,14) + 10(1 + 0,75 • 0,14) + 10(1 + 0,5 • 0,14) +

+ 10(1 + 0,25 • 0,14) = 146,1 тыс. руб.

2. Коммерческое и актуарное правила.

В условиях предыдущей задачи заменим вложение 10 тыс руб.

в конце 6-го месяца на изъятие в 20 тыс. руб. и найдем состояние

счета на конец каждого квартала в зависимости от используемого

банком правила (коммерческого или актуарного);

Р е ш е н и е

Согласно коммерческому правилу все платежи учитываются

на счете капитала, и его последовательным состояниям соответствует

вектор (ПО, 90, 100, 100).

Найдем последовательность сумм на процентном счете:

(3,5; 3,5 + 3,85 = 7,35; 7,35 + 0,14 • 0,25 • 90 =

= 10,5; 10,5 + 0,14 • 0,25 • 100 = 14).

Сопоставляя эти последовательности, получим полную сумму

счета на конец каждого квартала:

^ = 113,5; ^ 2 = 97,35; ^ 3 == 110,5; 5 4 = 114.

На практике банки выплачивают проценты по вкладу, поэтому

в случае изъятия сумм сначала уменьшается процентный счет,

а затем основной (актуарное правило). Согласно этой процедуре

выплата в 20 тыс. руб. производится за счет накопленных за полугодие

процентов (7,35) и снятия недостающей суммы (20 - 7,35 =

= 12,65) с основного счета. В результате придем к следующим

временным характеристикам состояний основного, процентного

и полного счетов (Ph Ii9 SJ) (табл. 2.1).

Таблица 2.1

/>,= ПО Р2 = 110 — (20 —

- 7,35) = 97,35

Р3 = 107,35 РА = 107,35

/, = 3,5 / 2 = 3 , 5 + 3 , 8 5 -

- 7 , 3 5 = 0

/ 3 = 0,14-0,25 х

х 97,35 = 3,407

/ 4 = 3,407 + 0,035 х

х 107,35 « 7 , 16

S{ = 113,5 5*2== 97,35 S3= 107,35 +

+ 3,40725 = 110,757

5 4 = 107,35 + 7,16 =

= 114,51

3. Наращенная сумма (сложный процент).

Для создания резервного фонда ежегодно выделяется по

400 тыс. руб. На аккумулируемые средства начисляются сложные

проценты по ставке 8%. Необходимо определить общую сумму

фонда через 5 лет для следующих вариантов поступления средств

и начисления процентов:

а) поступление в конце квартала, начисление процентов поквартальное;

б) поступление в конце квартала, начисление процентов по

полугодиям;

в) поступления в конце года при непрерывном начислении

процентов;

г) поступления на протяжении всего срока происходят непрерывно,

проценты начисляются непрерывно.

Р е ш е н и е

а) Воспользуемся формулой (2.2) для простой годовой ренты,

заменив год кварталом, а годовую ставку - квартальной: / = 2%,

п = 20. Значение коэффициента наращения 5(20,2) = 24,297, отку-

24 297

да S = 400 . - ^ = 2 1 = 2429,7 тыс. руб.;

4

б) в этом варианте р = 4, т = 2, п = 5, — = 0,04. По формуле

т

(2.1) находим:

е 400 (1+0,04)1 0 -1

S = — '—— =2425,45 тыс. руб.;

4 (1 + 0,04)2 / 4 -1

в) эквивалентный заданной годовой ставке / непрерывный

процент:

5 = ln(l + 0,08) = 0,07696 (e°'0 7 6 9 6=l,08).

Наращение с силой роста 5 даст тот же результат, что и начисление

под годовую ставку 8%. Воспользовавшись формулой (2.2),

найдем итоговую величину фонда:

S = 400 • J(5,8) = 400 • 5,8666 = 2346,64 тыс. руб.;

г) для случая (2.8) постоянной непрерывной ренты и непрерывных

процентов будет накопленная сумма

е 400.(1,085-1)

S = — - = 2439,33 тыс.руб.

0,07696

4. Современная стоимость ренты.

Какую сумму необходимо поместить в банк, чтобы иметь возможность

в течение следующих 8 лет ежегодно снимать со счета

25 тыс. руб., исчерпав счет полностью к концу срока? Решить задачу

для следующих вариантов начисления процентов:

а) в конце года по ставке / = 5%;

б) в конце квартала при той же годовой ставке;

в) непрерывно с силой роста 5 = 5%.

Р е ш е н и е

Во всех случаях требуется найти современную стоимость годовой

ренты:

а) применим формулу (2.2) :A = Ra (8,5). Значение а (8,5) =

= 6,46321. Откуда:

А = 25000 • 6,46321 = 161580,25 руб.;

б) по условию проценты начисляются 4 раза в год. Полагая в

формуле общей ренты р = 1, т = 4, п = 8, iг = 0,05, найдем интересующее

нас значение современной величины:

А = 2 5 0 0 0 = 2 5 0 0 0 -^Mi ^0965,75 руб.;

(1 + 0,05/4)4 -1 0,050945

в) в этом случае перейдем к эффективной ставке процента / =

= е 8 - 1 и применим обобщающую характеристику (2.2) простой

годовой ренты. В результате получим формулу современной стоимости

( е 8 - 1 )

для расчета требуемой суммы:

1 - 0 , 0 5 8

А = 25000 -^-4кк = 160753,64.

е ° ' 0 5 -1

5. Отыскание размера платежа.

Необходимо найти размер равных взносов в конце года для

следующих двух ситуаций, в каждой из которых предусматривается

начисление на взносы годовых процентов по ставке 8%.

1. Создать к концу пятилетия фонд, равный 1 млн руб.

2. Погасить к концу пятилетия текущую задолженность, равную

1 млн руб.

Р е ш е н и е

а) приравняем размер создаваемого фонда наращенной сумме

(2.2) простой годовой ренты. Из полученного уравнения находим:

D S 1000000 ЛПм**л *

R = = = 170456,4 руб.

5(5,8) 5,86660096

Таким образом, ежегодные взносы в размере 170456,4 руб.

достаточны при начислении на них процентов по указанной

ставке для накопления 1 млн руб.;

б) для определения ежегодной суммы погашения за 5 лет текущего

долга в 1 млн руб. приравняем его к современной величине

ренты (2.2), члены которой погашают долг. Из полученного

уравнения находим:

D А 1000000 -ылчслс *

R = = = 250456,46 руб.

я(5,8) 3,99271

6. Отыскание срока ренты.

Иванов должен выплатить Петрову 40 тыс. руб. Он предлагает

заменить эту разовую выплату ежегодными платежами в начале

каждого года по 10 тыс. руб. каждый. Сколько лет должен будет

ждать Петров полного погашения долга со стороны Иванова,

если на долг начисляются проценты по ставке 8% годовых?

Р е ш е н и е

Задача сводится к определению срока простой годовой ренты.

Полагая в (2.2) приведенную стоимость А равной разности между

величиной долга D и платежом R, придем к следующей формуле:

п =

-1п(1-(Р-Л)-//Д)

ln(l + /)

Подставляя в нее исходные данные, получим:

-1п(1 -3000 -0,08/10000)

1п(1 + 0,08)

«3,57 года.

Пусть продолжительность заменяющей ренты равна 3 годам.

Тогда ее современная величина

В то же время современная величина заменяемой ренты А =

= 30 тыс. Разность, таким образом, составляет 4229 руб. Эту сумму

следует уплатить в начале первого периода заменяемой ренты

или с соответствующим наращением в любой другой момент. Если

заменяемую ренту продлить на один год, то для окончательного

погашения долга Иванов должен будет в конце 4-го года выплатить

Петрову сумму Л* = 4229 • 1,084 = 4229-1,3605 «5753,55 руб.

7. Отыскание ставки процентов.

Банк предлагает клиенту выплату ренты на следующих условиях:

клиент вносит 10 тыс. руб., а банк в течение 5 лет выплачивает

ему в конце каждого года по 3 тыс. руб. Определить доходность

подобной операции.

Р е ш е н и е

Современная стоимость А получаемой клиентом ренты, вычисленная

по искомой процентной ставке /, совпадает с величиной

его начального капитала. При известных значениях ,4 = 10, R = 3,

п = 5 найдем д(5,/) = -у- = 3,(3). В соответствии с таблицей коэффициентов

приведения годовой ренты а(5; 15,5) = 3,3128<я(5,0 =

= 3,(3) < я(5; 15) = 3,3522. Поэтому за приближенную оценку

доходности допустимо принять среднюю табличных ставок: / »

8. Замена ренты разовым платежом (правило мультисчета).

Два платежа Sx = 100 тыс. руб. и S2 = 50 тыс. руб. со сроками

150 и 180 дней, отсчитываемыми от одной базы, заменяются од-

А3= 10000 • а(3,8%) = 10000 • 2,5771 « 25771.

15 + 15,5

2

= 15,25%.

ним со сроком 200 дней. Стороны согласились на замену при использовании

простой ставки, равной 6% годовых. Найти величину

консолидированного платежа Sz.

Р е ш е н и е

Для замены ренты Sx, S2 платежом Sz можно воспользоваться

моделью мультисчета: финансово-эквивалентный заменяющий

платеж должен равняться сумме наращений выплат Sx, S2 за период

их отсрочки:

Ss = 100(1 + 0,06 • 50/365) + 50(1 + 0,06 • 20/365) = 150986 руб.

9. Отыскание срока платежа, заменяющего ренту.

Рассматриваются два варианта перечисления суммы 1,2 млн руб.:

платежами в конце года с приростом в 5 тыс. руб. на протяжении

16 лет или разово. Найти срок т однократного платежа при условии,

что ставка сложного процента равна 8%.

Р е ш е н и е

Применяя (2.4), запишем условие эквивалентности в виде равенства

наращенных сумм по каждому варианту:

(Rl+°).s(n;i)-—=Л(1+/ГТ.

/ i

Согласно условиям задачи R = 12000000, а = 5000, п = 16,

/ = 0,08. Для определения недостающего параметра Rx (первого

платежа) воспользуемся формулой суммы п членов арифметической

профессии:

_2ax+d{n-\)

или, в обозначениях задачи:

1200000 =

2 * ' + 5 0 0 ° 1 5-16.

2

Решая, получим Rx = 37500. Заменим параметры в алгебраической

записи условия эквивалентности их численными значениями.

В результате придем к следующему уравнению относительно

т:

(37500 + , ( 1 6 ; 8 ) - i ^ ^ =1200000 -1,0816-*.

0,08 0,08

Откуда следует, что 1,08х = 2,02277 и т = Ш А и ^ х «9,15 года.

In 1,08

10. Объединение рент.

Найти годовую ренту-сумму сроком в 10 лет для двух годовых

рент: одна - длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, другая

- 8 и 800. Годовая ставка - 8%.

Р е ш е н и е

Для отыскания современной величины ренты-суммы определим

числовые значения одноименной характеристики для рент-

слагаемых:

Ах = 1000 • я(5; 8) = 1000 • 3,993 = 3993;

А2 = 800 • а(8;8) = 800 • 5,747 = 4598.

Значит, у ренты-суммы современная величина

Az = Ax + A2=Z59l.

Согласно формуле (2)

Az = Ra(W;8).

Следовательно, годовой платеж ренты-суммы:

или, в числах:

Ry = 8591/6,710= 1280,328.

11. Замена ренты (сложный процент).

Заменить годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом

1000 евро на ренту с полугодовым платежом по 600 евро. Годовая

ставка - 10%, проценты начисляются в конце периодов ренты.

Р е ш е н и е

Согласно требованию эквивалентности современные величины

рассматриваемых финансовых потоков одинаковы, т. е.:

А2 = А{ = 1000 • я(10; 10) = 1000 . 6,1446 = 6144,6.

Для заменяющей ренты начисление процентов и платежи производятся

два раза в год, поэтому для нее можно использовать те

же формулы (2.2), что и для простой годовой ренты, считая еди-

ничным периодом времени полугодие со ставкой начисления 5%.

Отсюда получим уравнение для длительности п этого потока:

А2=Ш-а(п\ 5),

т. е.

^ ; 5 ) = 61441 6 = 1 0

600

Это значение заключено между двумя табличными: д(14;5) =

= 9,899 и я(15;5) = 10,380. Поэтому за приближенную оцен-

ку можно принять величину п = = 14,5 периода, или

7,25 года. 2