1.2. Типовые примеры

Правила простых и сложных процентов (1.1), (1.2) выражаются

формулами, в которые входят следующие показатели: начальная

сумма Р0 , конечная сумма Рю процентная ставка начисления / или

ставка удержания (учетная) j , промежуток времени п между исходной

и замыкающей суммами Р0 и Рп. Итого четыре параметра.

Пусть любые три из них заданы, тогда формула, соответствующая

применяемому правилу и используемой ставке (начисления или

учетной), дает уравнение для отыскания недостающего параметра

при известных трех. Возникающие при этом четыре варианта задач

для случая начисления по ставке / представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Исходные Искомая Тип задачи

данные величина

Ро, nt i Отыскание наращенной суммы

п, /, Рп р0 Отыскание современной величины

Po,P„i п Отыскание срока приведения

PQ> Р„, п i Отыскание ставки начисления

Разумеется, при переходе на учетную ставку j типы задач будут

те же, изменятся лишь базовые формулы, необходимые для их

решения.

1. Отыскание наращенной суммы,

В какую сумму обратится через 5 лет долг, равный 10 тыс. руб.,

при росте по сложной ставке 5,5%? Чему равны процентные

деньги?

Примечание. Под процентными деньгами, или, кратко, процентами,

понимают величину прироста денежной суммы: / д — Р„ — Р0.

Р е ш е н и е

/>5= 10000(1 + 0,055)5 = 10000 • 1,30696 * 13070;

1п = 13070 - 10000 = 3070.

2. Отыскание современной величины.

Сумма в 5 млн руб. выплачивается через 5 лет. Какова ее современная

величина при условии, что применяются сложные проценты

по ставке 10% годовых?

Р е ш е н и е

Р0= 5 • 106- (1 + ОД)"5 = 5 • 106 - 0,620921 = 5 • 620921 = 3104605.

3. Отыскание срока приведения.

Каким должен быть срок ссуды в днях, для того чтобы долг,

равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются

простые проценты по ставке 25% годовых?

Р е ш е н и е

100 • (1 + л • 0,25) = 120.

Откуда п = - года или в днях:

я = 365-~ = 292 дня.

4. Отыскание ставки начисления.

При двух одинаковых процентных повышениях заработная

плата с 10 тыс. руб. обратилась в 12544 руб. Определите, на сколько

процентов повышалась она каждый раз?

Р е ш е н и е

12544= 10000-(1 +/)2.

Откуда

Л . /12544 112 t Л 1 Л

1 + / = л = = 1+0,12,

V10000 100

и поэтому/= 12%.

Для переменной во времени процентной ставки базовые формулы

(1.1), (1.2) переписываются с учетом их изменения на присоединяемых

периодах.

5. Переменные процентные ставки.

Клиент положил в банк 10 тыс. руб. сроком на один год. Согласно

депозитному договору годовая процентная ставка до середины

второго квартала составляет 30%, далее до конца третьего

квартала - 25%, а с начала четвертого квартала — снова 30%.

Какую сумму клиент получит в конце года при условии, что

договор предусматривает начисление

а) по простым процентам;

б) по сложным процентам?

Р е ш е н и е

В этой задаче периоды начисления в долях года равны следующим

значениям:

"i = «2 = 74 + Vs = Vg (года); пъ = 74 (года).

Подставляя их в формулу для простого процента, получим:

10000(1 + 3 / 8 • 0,3 + 3/g • 0,25 + 7 4 • 0,3) = 12812,5 руб.;

аналогично для сложного процента будем иметь:

10000(1 + 3 / 8 * 0,3)(1 + 3Л • 0,25)(1 + У4 * 0,3) = 13080,57 руб.

Приведем примеры, при решении которых можно воспользоваться

понятием эффективной ставки.

6. Эквивалентная непрерывная ставка.

Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление

процентов по номинальной ставке 20%?

Р е ш е н и е

е5 = ( 1 + 0 , 2 / 4 ) 4.

Откуда

6 = 41п(1 + 0,05) = 4 • 0,04879 = 0,19516 * 19,52%.

7. Непрерывный сложный процент.

Пусть сила роста (непрерывный темп прироста) изменяется

во времени по линейному закону

5, = 5 0 + at,

где 60 - начальное значение;

а - годовой прирост (он может быть как положительным, так и отрицательным).

Получить формулу наращенной суммы S(t) при величине

вклада S0.

Р е ш е н и е

Согласно определению силы роста

S(t) 0 S 0

Решая это дифференциальное уравнение с исходным условием

S0, получим:

где q(t) -е 2 — множитель наращения.

8. Эффективная ставка как результат кратной капитализации.

Ежемесячный темп инфляции составляет 10%. Рассчитайте

оценку годовой инфляции.

Р е ш е н и е

Исходя из месячного темпа прироста цены найдем, опираясь

на принцип капитализации, годовой индекс цены и годовой темп

инфляции:

Ind = (1 + 0,1)1 2= 3,1384, г г о д = Ind - 1 = 2,1384, т.е. 213,84^.

9. Сравнение финансовых операций с помощью эффективной

ставки.

Что выгоднее: вложить 20 тыс. руб. на 1 месяц под годовую

ставку 12% или на 6 мес. под 12,2%?

Р е ш е й и е

Найдем для каждого варианта эквивалентную ему эффективную

процентную ставку:

г, = ( 1 , 0 1 ) 1 2 - 1 = 0,1268 = 12,68%;

r 2 = ( l , 0 6 1 ) 2 - 1 =0,1257= 12,57%.

Очевидно, что из двух вариантов выгоднее тот, для которого

эта ставка будет больше. В нашем случае это первый вариант, который

и следует предпочесть.

10. Учет инфляции.

Какую ставку j должен назначить банк, чтобы при годовой

инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?

Р е ш е н и е

По формуле (1.7) требуемая номинальная ставка равна:

j = 0,06 + 0,12 + 0,6 • 0,12 = 0,1872 = 18,72%.

Для получения приближенного решения можно воспользоваться

оценкой (1.8) и прийти к достаточно точному значению:

7*0,06 + 0,12 = 0,18=18%.

11. Правило числа 70.

Какой среднегодовой темп прироста валового внутреннего

продукта (ВВП) обеспечит через 10 лет его удвоение?

Р е ш е н и е

Для отыскания темпа х% воспользуемся правилом числа 70,

которое запишем в виде уравнения:

￡-≫

70

Откуда х = — = 7%, иначе говоря, экономика в среднем должна

расти на 7% ежегодно, чтобы через десять лет произошло ее

удвоение.

Правила простых и сложных процентов (1.1), (1.2) выражаются

формулами, в которые входят следующие показатели: начальная

сумма Р0 , конечная сумма Рю процентная ставка начисления / или

ставка удержания (учетная) j , промежуток времени п между исходной

и замыкающей суммами Р0 и Рп. Итого четыре параметра.

Пусть любые три из них заданы, тогда формула, соответствующая

применяемому правилу и используемой ставке (начисления или

учетной), дает уравнение для отыскания недостающего параметра

при известных трех. Возникающие при этом четыре варианта задач

для случая начисления по ставке / представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Исходные Искомая Тип задачи

данные величина

Ро, nt i Отыскание наращенной суммы

п, /, Рп р0 Отыскание современной величины

Po,P„i п Отыскание срока приведения

PQ> Р„, п i Отыскание ставки начисления

Разумеется, при переходе на учетную ставку j типы задач будут

те же, изменятся лишь базовые формулы, необходимые для их

решения.

1. Отыскание наращенной суммы,

В какую сумму обратится через 5 лет долг, равный 10 тыс. руб.,

при росте по сложной ставке 5,5%? Чему равны процентные

деньги?

Примечание. Под процентными деньгами, или, кратко, процентами,

понимают величину прироста денежной суммы: / д — Р„ — Р0.

Р е ш е н и е

/>5= 10000(1 + 0,055)5 = 10000 • 1,30696 * 13070;

1п = 13070 - 10000 = 3070.

2. Отыскание современной величины.

Сумма в 5 млн руб. выплачивается через 5 лет. Какова ее современная

величина при условии, что применяются сложные проценты

по ставке 10% годовых?

Р е ш е н и е

Р0= 5 • 106- (1 + ОД)"5 = 5 • 106 - 0,620921 = 5 • 620921 = 3104605.

3. Отыскание срока приведения.

Каким должен быть срок ссуды в днях, для того чтобы долг,

равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются

простые проценты по ставке 25% годовых?

Р е ш е н и е

100 • (1 + л • 0,25) = 120.

Откуда п = - года или в днях:

я = 365-~ = 292 дня.

4. Отыскание ставки начисления.

При двух одинаковых процентных повышениях заработная

плата с 10 тыс. руб. обратилась в 12544 руб. Определите, на сколько

процентов повышалась она каждый раз?

Р е ш е н и е

12544= 10000-(1 +/)2.

Откуда

Л . /12544 112 t Л 1 Л

1 + / = л = = 1+0,12,

V10000 100

и поэтому/= 12%.

Для переменной во времени процентной ставки базовые формулы

(1.1), (1.2) переписываются с учетом их изменения на присоединяемых

периодах.

5. Переменные процентные ставки.

Клиент положил в банк 10 тыс. руб. сроком на один год. Согласно

депозитному договору годовая процентная ставка до середины

второго квартала составляет 30%, далее до конца третьего

квартала - 25%, а с начала четвертого квартала — снова 30%.

Какую сумму клиент получит в конце года при условии, что

договор предусматривает начисление

а) по простым процентам;

б) по сложным процентам?

Р е ш е н и е

В этой задаче периоды начисления в долях года равны следующим

значениям:

"i = «2 = 74 + Vs = Vg (года); пъ = 74 (года).

Подставляя их в формулу для простого процента, получим:

10000(1 + 3 / 8 • 0,3 + 3/g • 0,25 + 7 4 • 0,3) = 12812,5 руб.;

аналогично для сложного процента будем иметь:

10000(1 + 3 / 8 * 0,3)(1 + 3Л • 0,25)(1 + У4 * 0,3) = 13080,57 руб.

Приведем примеры, при решении которых можно воспользоваться

понятием эффективной ставки.

6. Эквивалентная непрерывная ставка.

Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление

процентов по номинальной ставке 20%?

Р е ш е н и е

е5 = ( 1 + 0 , 2 / 4 ) 4.

Откуда

6 = 41п(1 + 0,05) = 4 • 0,04879 = 0,19516 * 19,52%.

7. Непрерывный сложный процент.

Пусть сила роста (непрерывный темп прироста) изменяется

во времени по линейному закону

5, = 5 0 + at,

где 60 - начальное значение;

а - годовой прирост (он может быть как положительным, так и отрицательным).

Получить формулу наращенной суммы S(t) при величине

вклада S0.

Р е ш е н и е

Согласно определению силы роста

S(t) 0 S 0

Решая это дифференциальное уравнение с исходным условием

S0, получим:

где q(t) -е 2 — множитель наращения.

8. Эффективная ставка как результат кратной капитализации.

Ежемесячный темп инфляции составляет 10%. Рассчитайте

оценку годовой инфляции.

Р е ш е н и е

Исходя из месячного темпа прироста цены найдем, опираясь

на принцип капитализации, годовой индекс цены и годовой темп

инфляции:

Ind = (1 + 0,1)1 2= 3,1384, г г о д = Ind - 1 = 2,1384, т.е. 213,84^.

9. Сравнение финансовых операций с помощью эффективной

ставки.

Что выгоднее: вложить 20 тыс. руб. на 1 месяц под годовую

ставку 12% или на 6 мес. под 12,2%?

Р е ш е й и е

Найдем для каждого варианта эквивалентную ему эффективную

процентную ставку:

г, = ( 1 , 0 1 ) 1 2 - 1 = 0,1268 = 12,68%;

r 2 = ( l , 0 6 1 ) 2 - 1 =0,1257= 12,57%.

Очевидно, что из двух вариантов выгоднее тот, для которого

эта ставка будет больше. В нашем случае это первый вариант, который

и следует предпочесть.

10. Учет инфляции.

Какую ставку j должен назначить банк, чтобы при годовой

инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?

Р е ш е н и е

По формуле (1.7) требуемая номинальная ставка равна:

j = 0,06 + 0,12 + 0,6 • 0,12 = 0,1872 = 18,72%.

Для получения приближенного решения можно воспользоваться

оценкой (1.8) и прийти к достаточно точному значению:

7*0,06 + 0,12 = 0,18=18%.

11. Правило числа 70.

Какой среднегодовой темп прироста валового внутреннего

продукта (ВВП) обеспечит через 10 лет его удвоение?

Р е ш е н и е

Для отыскания темпа х% воспользуемся правилом числа 70,

которое запишем в виде уравнения:

￡-≫

70

Откуда х = — = 7%, иначе говоря, экономика в среднем должна

расти на 7% ежегодно, чтобы через десять лет произошло ее

удвоение.